2018年人教版高中數(shù)學(xué)必修四知識點歸納總結(jié).doc

人教版高中數(shù)學(xué)必修四知識點歸納總結(jié)1.11 任意角1角的有關(guān)概念：角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形始邊終邊頂點AOB角的名稱：角的分類：負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角注意：在不引起混淆的情況下，“角 ”或“ ”可以簡化成“ ”；零角的終邊與始邊重合，如果是零角 =0；角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角2象限角的概念：定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角1.1.2弧度制（一）1定 義我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制在弧度制下, 1弧度記做1rad在實際運算中，常常將rad單位省略弧度制的性質(zhì)：半圓所對的圓心角為 整圓所對的圓心角為正角的弧度數(shù)是一個正數(shù) 負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)零角的弧度數(shù)是零 角的弧度數(shù)的絕對值|=4角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換： 將角度化為弧度：； ；將弧度化為角度：；5常規(guī)寫法： 用弧度數(shù)表示角時,常常把弧度數(shù)寫成多少 的形式, 不必寫成小數(shù) 弧度與角度不能混用6特殊角的弧度角度030456090120135150180270360弧度07弧長公式弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（三）1. 三角函數(shù)的定義2. 誘導(dǎo)公式當(dāng)角的終邊上一點的坐標(biāo)滿足時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示三角函數(shù)線。1有向線段：坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時為正，與坐標(biāo)方向相反時為負(fù)。有向線段：帶有方向的線段。2三角函數(shù)線的定義：設(shè)任意角的頂點在原點，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點，過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點.（）（）（）（）由四個圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段，于是有， ，我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。說明：（1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與的終邊的交點。（3）三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負(fù)值。（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（1） 1三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個任意角，終邊上任意一點（除了原點）的坐標(biāo)為，它與原點的距離為，那么（1）比值叫做的正弦，記作，即；（2）比值叫做的余弦，記作，即；（3）比值叫做的正切，記作，即；（4）比值叫做的余切，記作，即；說明：的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，的終邊沒有表明一定是正角或負(fù)角，以及的大小，只表明與的終邊相同的角所在的位置； 根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角，四個比值不以點在的終邊上的位置的改變而改變大小；當(dāng)時，的終邊在軸上，終邊上任意一點的橫坐標(biāo)都等于，所以無意義；同理當(dāng)時，無意義；除以上兩種情況外，對于確定的值，比值、分別是一個確定的實數(shù)，正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。函 數(shù)定 義 域值 域2三角函數(shù)的定義域、值域注意：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.(2) 是任意角，射線OP是角的終邊，的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關(guān).(3)sin是個整體符號，不能認(rèn)為是“sin”與“”的積.其余五個符號也是這樣.(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似（直角）三角形的性質(zhì)，“r”同為正值. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識和研究過程.(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.3例題分析例1求下列各角的四個三角函數(shù)值： （通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值）（1）； （2）； （3） 解：（1）因為當(dāng)時，所以， ， ， 不存在。（2）因為當(dāng)時，所以， ， ， 不存在，（3）因為當(dāng)時，所以， ， 不存在， ，例2已知角的終邊經(jīng)過點，求的四個函數(shù)值。解：因為，所以，于是； ； 例3已知角的終邊過點，求的四個三角函數(shù)值。解：因為過點，所以， 當(dāng)；當(dāng)； 4三角函數(shù)的符號由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號，我們可以得知：正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負(fù)（）；余弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負(fù)（）；正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負(fù)（異號）說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。5誘導(dǎo)公式由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：，其中，這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為02間角的三角函數(shù)值問題4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 （一）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：1. 由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：（1）商數(shù)關(guān)系： （2）平方關(guān)系：說明：注意“同角”，至于角的形式無關(guān)重要，如等；注意這些關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，如；對這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用（正用、反用、變形用），如：， ， 等?？偨Y(jié)：1. 已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，確定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。2. 解題時產(chǎn)生遺漏的主要原因是：沒有確定好或不去確定角的終邊位置；利用平方關(guān)系開平方時，漏掉了負(fù)的平方根。小結(jié)：化簡三角函數(shù)式，化簡的一般要求是：（1）盡量使函數(shù)種類最少，項數(shù)最少，次數(shù)最低；（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；（4）能求得數(shù)值的應(yīng)計算出來，其次要注意在三角函數(shù)式變形時，常將式子中的“1”作巧妙的變形，13誘導(dǎo)公式1、誘導(dǎo)公式（五） 2、誘導(dǎo)公式（六） 總結(jié)為一句話：函數(shù)正變余，符號看象限小結(jié)：三角函數(shù)的簡化過程圖：公式一或二或四任意負(fù)角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)003600間角的三角函數(shù)00900間角的三角函數(shù)查表求值公式一或三三角函數(shù)的簡化過程口訣：負(fù)化正，正化小，化到銳角就行了.1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象 1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數(shù)值都為實數(shù)（1）函數(shù)y=sinx的圖象第一步：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點，以為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的交點A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2這一段分成n(這里n=12)等份.（預(yù)備：取自變量x值弧度制下角與實數(shù)的對應(yīng)）.第二步：在單位圓中畫出對應(yīng)于角，,，2的正弦線正弦線（等價于“列表” ）.把角x的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應(yīng)的點x重合，則正弦線的終點就是正弦函數(shù)圖象上的點（等價于“描點” ）. 第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結(jié)起來，就得到正弦函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動，每次移動的距離為2，就得到y(tǒng)=sinx，xR的圖象. 把角x的正弦線平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應(yīng)的點x重合，則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象. （2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象 根據(jù)誘導(dǎo)公式,可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移單位即得余弦函數(shù)y=cosx的圖象. 正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線2用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點法）：正弦函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函數(shù)y=cosx x0,2p的五個點關(guān)鍵是哪幾個？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)1.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一) 1周期函數(shù)定義：對于函數(shù)f (x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有：f (x+T)=f (x)那么函數(shù)f (x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。問題：（1）對于函數(shù)，有，能否說是它的周期？（2）正弦函數(shù)，是不是周期函數(shù)，如果是，周期是多少？（，且）（3）若函數(shù)的周期為，則，也是的周期嗎？為什么？ （是，其原因為：）2、說明：1周期函數(shù)x定義域M，則必有x+TM, 且若T0則定義域無上界；T0則定義域無下界；2“每一個值”只要有一個反例，則f (x)就不為周期函數(shù)（如f (x0+t)f (x0)）3T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,-2p,-4p,都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期為2p （一般稱為周期） 從圖象上可以看出，；，的最小正周期為；判斷：是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？ （沒有最小正周期）說明：（1）一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，（其中 為常數(shù)，且，）的周期；（2）若，如：； ； ，則這三個函數(shù)的周期又是什么？一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，的周期1.4.2(2)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二) 1. 奇偶性 (1)余弦函數(shù)的圖形當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)y取同一值。(2)正弦函數(shù)的圖形2.單調(diào)性從ysinx，x的圖象上可看出：當(dāng)x，時，曲線逐漸上升，sinx的值由1增大到1.當(dāng)x，時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到1.結(jié)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間2k，2k(kZ)上都是增函數(shù)，其值從1增大到1；在每一個閉區(qū)間2k，2k(kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1.余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間(2k1)，2k(kZ)上都是增函數(shù)，其值從1增加到1；在每一個閉區(qū)間2k，(2k1)(kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1.3.有關(guān)對稱軸觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知y=sinx的對稱軸為x= kZ y=cosx的對稱軸為x= kZ1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象 1正切函數(shù)的定義域 2正切函數(shù)是周期函數(shù) ，是的一個周期。 是不是正切函數(shù)的最小正周期？下面作出正切函數(shù)圖象來判斷。3作，的圖象 說明：（1）正切函數(shù)的最小正周期不能比小，正切函數(shù)的最小正周期是；（2）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)，且的圖象，稱“正切曲線”。y0x（3）正切曲線是由被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的。4正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：；（2）值域：R 觀察：當(dāng)從小于，時， 當(dāng)從大于，時，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；（5）單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。1.5函數(shù)y=Asin(x+)的圖象（二）函數(shù)表示一個振動量時：A：這個量振動時離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”.T：f ：稱為“相位” . x=0時的相位，稱為“初相”.2.1.1 向量的物理背景與概念及向量的幾何表示（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。A(起點) B（終點）a1、數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小. 2.向量的表示方法：用有向線段表示； 用字母、（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點與終點字母：；向量的大小長度稱為向量的模，記作|. 3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書寫區(qū)別.長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義（2）向量、平行，記作.2.1.2 相等向量與共線向量1、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關(guān).2、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.2.2.1 向量的加法運算及其幾何意義、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）ABCa+ba+baabbaa如圖，已知向量a、.在平面內(nèi)任取一點，作a，則向量叫做a與的和，記作a，即 a， 規(guī)定： a + 0-= 0 + a（1）兩向量的和仍是一個向量；（2）當(dāng)向量與不共線時：當(dāng)向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若| 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cosq，若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c(a + b) = ca + cb 即：(a +