散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化-機(jī)械電子工程碩士論文

華中科技大學(xué) 碩士學(xué)位論文 散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化 姓名：李朕 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：碩士 專業(yè)：機(jī)械電子工程 指導(dǎo)教師：熊蔡華 20080501 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 I 摘 要 摘 要 拓?fù)鋬?yōu)化方法在連續(xù)體結(jié)構(gòu)、MEMS 機(jī)構(gòu)和散熱結(jié)構(gòu)等結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面得到 了廣泛應(yīng)用。拓?fù)鋬?yōu)化至今仍是結(jié)構(gòu)優(yōu)化中最具挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。本文針對(duì)散熱 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，提出了改進(jìn)的密度懲罰法，并進(jìn)行了理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究。 文中首先介紹了原始密度懲罰法基本理論，研究了密度懲罰法中的材料模型和 有限元熱傳導(dǎo)模型。接著討論了拓?fù)鋬?yōu)化中溫度場(chǎng)的有限元求解格式及二維和三維 單元導(dǎo)熱矩陣的構(gòu)造方法，對(duì)如何選擇插值函數(shù)、確定形函數(shù)待定系數(shù)以及構(gòu)建物 理矩陣進(jìn)行了深入的研究。運(yùn)用密度懲罰法和熱傳導(dǎo)分析模型研究了散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)?優(yōu)化模型。隨后針對(duì)散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中普遍存在的數(shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了討論， 并研究了消除數(shù)值不穩(wěn)定性的方法。 接下來(lái)提出了改進(jìn)的密度懲罰法模型，研究了拓?fù)鋬?yōu)化中各向異性導(dǎo)熱材料拓 撲優(yōu)化與方向角優(yōu)化問(wèn)題，提出了基于溫度梯度的方向角優(yōu)化準(zhǔn)則算法。研究了含 各向異性導(dǎo)熱材料區(qū)域溫度場(chǎng)有限元求解模型和數(shù)值算法。通過(guò)引入旋轉(zhuǎn)矩陣研究 了材料角度對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)的影響。 最后研究了散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)值算法和處理技巧，并開(kāi)發(fā)了三維散熱 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化和各向異性導(dǎo)熱材料拓?fù)?角度混合優(yōu)化的計(jì)算程序，針對(duì)一系列典型 的散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化算例進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)。 關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞： 拓?fù)鋬?yōu)化 散熱結(jié)構(gòu) SIMP 各向異性材料 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 II Abstract Topology optimization has been widely used in continuum structures, MEMS and heat radiation structures design. Topology optimization is one of the most challenging tasks in structural design. In this thesis, a modified density penalization method has been proposed. Numerical study has been carried out to investigate the efficiency of this method. First, a fundamental theory of SIMP method is introduced in this thesis. Moreover, the material model and finite element method (FEM) in density penalization method are discussed. Key steps of 2-dimenation and 3-dimenation element matrix formulation, including interpolating function selection and determination of the coefficients of shape function are implemented. The SIMP method and the heat conduction analyze model are integrated to formulate topology optimization model of heat radiation structures. Then numerical instability in topology optimization methods such as checkerboards, mesh-dependence and local minima are discussed and corresponding methods to avoid those problems are listed in the study. A modified density penalization model is also proposed and the issue of anisotropic material in heat conduction structure topology optimization is studied. Besides, a criteria method based on temperature gradient for the optimization of material orientation is proposed. Finally, a computer program for topological optimization of heat conduction structures is developed using SIMP. Furthermore, numerical experiments for a series of representative examples are implemented, which shows that this method is feasible and effective. Keywords: Topological Optimization, Heat Radiation Structures, SIMP, anisotropic material 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的 研究成果。盡我所知，除了文中已經(jīng)標(biāo)明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他人 或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果。對(duì)本文的研究做出貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已 在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名： 李朕 日期： 2008 年 5 月 24 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán) 保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借 閱。本人授權(quán)華中科技大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn) 行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。 保密，在_年解密后適用本授權(quán)書。 本論文屬于 不保密?。 （請(qǐng)?jiān)谝陨戏娇騼?nèi)打“” ） 學(xué)位論文作者簽名：李朕 指導(dǎo)教師簽名：熊蔡華 日期： 2008 年 5 月 24 日 日期：2008 年 5 月 24 日 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 1 1 緒論緒論 1.1 課題的來(lái)源課題的來(lái)源 本學(xué)位論文得到以下項(xiàng)目的聯(lián)合資助： 國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目“機(jī)電表面功能結(jié)構(gòu)及相關(guān)熱物理問(wèn)題的基礎(chǔ)研究” （批準(zhǔn)號(hào)： 50436010） 國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973）項(xiàng)目“數(shù)字化制造基礎(chǔ)研究” 。 （批準(zhǔn)號(hào)： 2005CB724100） 1.2 課題的目的和意義課題的目的和意義 隨著微電子領(lǐng)域?qū)Ξa(chǎn)品性能的無(wú)限追求，芯片集成度不斷提高，帶來(lái)致命的高 熱流密度問(wèn)題，電子器件的冷卻問(wèn)題越來(lái)越突出。英特爾公司負(fù)責(zé)芯片設(shè)計(jì)的首席 執(zhí)行官帕特-蓋爾欣格曾指出， 如果芯片耗能和散熱的問(wèn)題得不到解決， 到 2005 年芯 片上集成了 2 億個(gè)晶體管時(shí)，就會(huì)熱得像“核反應(yīng)堆”，2010 年時(shí)會(huì)達(dá)到火箭發(fā)射時(shí) 高溫氣體噴射的水平，而到 2015 年就會(huì)與太陽(yáng)的表面一樣熱。目前面積 2 2cm芯片 上的功耗可達(dá)125W。為了解決散熱問(wèn)題，芯片制造商在發(fā)布新一代產(chǎn)品的時(shí)候不約 而同的采用巨型的風(fēng)冷散熱器，甚至用水冷系統(tǒng)進(jìn)行散熱1。但是在量產(chǎn)型號(hào)中，由 于風(fēng)冷系統(tǒng)可靠性高，成本低廉等優(yōu)點(diǎn)，仍然是處理器散熱的首選。除了微電子領(lǐng) 域，在化工等領(lǐng)域同樣存在高熱流密度問(wèn)題。隨著現(xiàn)代制造技術(shù)的不斷進(jìn)步，有效 散熱空間日趨減小，許多場(chǎng)合散熱空間是封閉或半封閉的，要求散熱系統(tǒng)能在短時(shí) 間內(nèi)通過(guò)極高的熱流密度。因此，具有高熱流密度機(jī)電器件功能結(jié)構(gòu)表面散熱問(wèn)題 已成為工程熱物理、機(jī)械等學(xué)科急待解決的關(guān)鍵科學(xué)和技術(shù)問(wèn)題。 本論文旨在根據(jù)復(fù)雜表面結(jié)構(gòu)的熱功能需求，優(yōu)化熱功能結(jié)構(gòu)的拓?fù)浜托螤睿?為微電子及化工等領(lǐng)域強(qiáng)化傳熱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。 本論文提出了改進(jìn)的密度懲罰法。提出了基于溫度梯度的材料方向角優(yōu)化準(zhǔn)則 算法，解決了各向異性導(dǎo)熱材料拓?fù)渑c角度混合優(yōu)化問(wèn)題。運(yùn)用該方法開(kāi)展了大量 的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，取得了較好的效果，對(duì)散熱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有較好的指導(dǎo)意義。 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 2 1.3 拓?fù)鋬?yōu)化基本描述拓?fù)鋬?yōu)化基本描述 由于人類掌握的資源有限，最大化地利用現(xiàn)有原材料一直是人們追求的目標(biāo)， 也是許多研究領(lǐng)域不變的話題。早期的產(chǎn)品設(shè)計(jì)并沒(méi)有涉及優(yōu)化的概念，而是依賴 設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，通過(guò)簡(jiǎn)單地試算和調(diào)整有時(shí)可以得到局 部最優(yōu)的結(jié)果。但是設(shè)計(jì)余量往往留得過(guò)大，造成了浪費(fèi)。在六十年代末隨著計(jì)算 機(jī)技術(shù)的發(fā)展， 尺度優(yōu)化已經(jīng)應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中， 該方法得到了A. Miele、 E.J.Haug和J.Taylor等人的發(fā)展2。隨著有限元技術(shù)逐漸成熟，七十年代形狀優(yōu)化蓬 勃發(fā)展。進(jìn)入八十年代，伴隨著小型化高性能計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和數(shù)值計(jì)算方法走向成 熟，拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)入了活躍發(fā)展時(shí)期。 從工程設(shè)計(jì)的角度看，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)大致有三個(gè)層次：拓?fù)鋬?yōu)化、形狀優(yōu)化、 尺寸優(yōu)化，其中拓?fù)鋬?yōu)化是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的核心。 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的研究始于桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化。Maxwell早在1854年就進(jìn)行了應(yīng)力約 束下最小桁架的基本拓?fù)浞治?。 在隨后的一百年間受理論和工具的限制，拓?fù)鋬?yōu)化 發(fā)展緩慢。直到20世紀(jì)60年代隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，Dom等人把數(shù)值方法引入到 該領(lǐng)域，拓?fù)鋬?yōu)化的研究才重新活躍起來(lái)4。 由于受到理論限制，因此早期的結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究主要是針對(duì)設(shè)計(jì)域形狀和拓?fù)涔?定的尺寸優(yōu)化問(wèn)題展開(kāi)的。后來(lái)隨著結(jié)構(gòu)邊界優(yōu)化問(wèn)題的提出，形狀優(yōu)化方法應(yīng)運(yùn) 而生3。 當(dāng)今在航空和汽車制造業(yè)，尺寸和形狀優(yōu)化技術(shù)已經(jīng)廣泛用于結(jié)構(gòu)和零部件 設(shè)計(jì)。形狀優(yōu)化方法也常用于電磁、電化學(xué)和聲學(xué)零件的設(shè)計(jì)。目前已有許多成功 的算法可以處理形狀優(yōu)化問(wèn)題5。 然而， 采用邊界優(yōu)化等形狀優(yōu)化方法進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計(jì)， 設(shè)計(jì)質(zhì)量依賴于人為給定的初始設(shè)計(jì)。如果初始拓?fù)浜瓦吔鐥l件定義不當(dāng)，得到的 設(shè)計(jì)結(jié)果往往不能令人滿意。采用拓?fù)鋬?yōu)化可以避免這個(gè)問(wèn)題。Bendse3 對(duì)拓?fù)鋬?yōu) 化理論進(jìn)行了開(kāi)創(chuàng)性研究，實(shí)現(xiàn)了拓?fù)鋬?yōu)化與形狀優(yōu)化的結(jié)合，為高效高質(zhì)量的快 速原型設(shè)計(jì)提供了一個(gè)非常有效的理論工具。 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化包括離散結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化和連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化兩大類。目前國(guó)內(nèi) 外研究主要針對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)。因?yàn)殡x散結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件不連續(xù)、 不可微，可行域退化為不連通的集合。普通的求解方法難以處理這類優(yōu)化問(wèn)題。經(jīng) 過(guò)近30年的發(fā)展，連續(xù)體結(jié)構(gòu)優(yōu)化基本理論已經(jīng)比較成熟，目前正向工程熱物理、 光學(xué)和MEMS等多學(xué)科交叉領(lǐng)域發(fā)展。 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 3 拓?fù)鋬?yōu)化按模型不同可以分為兩大類：微結(jié)構(gòu)法和宏觀法。 微結(jié)構(gòu)法又稱為材料法，把材料看作有限個(gè)微小單元的集合，以不同的材料分 布代表拓?fù)洌饕硎蔷鶆蚧椒ê兔芏葢土P法模型。 宏觀法又叫幾何法，主要包括進(jìn)化法、泡泡法和近年來(lái)發(fā)展迅速的水平集拓?fù)?優(yōu)化方法。幾何法用設(shè)計(jì)域中的圓和孔等基本幾何元素代表拓?fù)?，比如進(jìn)化法中采 用移動(dòng)的邊界來(lái)表示結(jié)構(gòu)的變化，水平集方法采用移動(dòng)的零水平集界面來(lái)描述拓?fù)?結(jié)構(gòu)。 1.4 國(guó)內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀國(guó)內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀 盡管結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)難度大，但它所帶來(lái)的潛在經(jīng)濟(jì)效益卻是尺寸優(yōu)化和形 狀優(yōu)化難以達(dá)到的。因此，許多學(xué)者致力于拓?fù)鋬?yōu)化的研究。目前研究較多的結(jié)構(gòu) 拓?fù)鋬?yōu)化方法主要有均勻化方法、變密度法、進(jìn)化法和水平集方法。 均勻化方法均勻化方法 復(fù)合材料的大量應(yīng)用降低了產(chǎn)品制造成本，但是也增加了產(chǎn)品設(shè)計(jì)的復(fù)雜性。 均勻化方法（homogenization）通過(guò)構(gòu)造等價(jià)的微結(jié)構(gòu)材料模型來(lái)描述復(fù)合材料，以 微結(jié)構(gòu)單胞的幾何尺寸及方位角為設(shè)計(jì)變量，把拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題， 再通過(guò)某種優(yōu)化算法得到使結(jié)構(gòu)的某種性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)時(shí)設(shè)計(jì)區(qū)域各處的材料分 布，從而得到最優(yōu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。該方法為復(fù)合材料產(chǎn)品設(shè)計(jì)提供了一個(gè)很好的工具。 均勻化方法的理論基礎(chǔ)產(chǎn)生于上世紀(jì)70年代末。 利用Bensoussan等人發(fā)展起來(lái)的 基于攝動(dòng)理論的周期性結(jié)構(gòu)分析方法，Bendse3建立了材料微結(jié)構(gòu)尺寸與材料宏觀 彈性特性之間的關(guān)系，提出了均勻化拓?fù)鋬?yōu)化方法。由于均勻化方法具有較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因而已成為拓?fù)鋬?yōu)化研究中的重要方法。國(guó)內(nèi)大連理工大學(xué)劉書田和程 耿東等 6在復(fù)合材料彈性剛度張量預(yù)測(cè)、熱膨脹系數(shù)張量預(yù)測(cè)、導(dǎo)熱系數(shù)張量預(yù)測(cè)、 局部應(yīng)力和位移分布分析等方面開(kāi)展了均勻化方法的應(yīng)用研究。 目前，均勻化方法已能成功處理多工況的二維、三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。 變密度法變密度法 另一種基于微結(jié)構(gòu)法的拓?fù)鋬?yōu)化方法是以固體各向同性材料懲罰模型(SIMP: Solid Isotropic Material with Penalization)為代表的變密度法。該模型假設(shè)材料為各向 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 4 同性材料，僅以密度為設(shè)計(jì)變量，不需要引入細(xì)微結(jié)構(gòu)和附加的均勻化過(guò)程。程序 實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，計(jì)算效率高7。Sigmund7發(fā)表了一個(gè)簡(jiǎn)練的拓?fù)鋬?yōu)化程序，引起了拓?fù)?優(yōu)化研究者的廣泛興趣。從中派生出了許多優(yōu)化程序用于解決不同領(lǐng)域中的拓?fù)鋬?yōu) 化問(wèn)題，例如柔性體結(jié)構(gòu)優(yōu)化、光學(xué)通路優(yōu)化等。 進(jìn)化法進(jìn)化法 Xie和Steven8, 9提出了漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（ESO：Evolutionary Structural Optimizatio） 。ESO的基本思想很簡(jiǎn)單，即通過(guò)逐步去除設(shè)計(jì)域中無(wú)效或低效材料獲 得最優(yōu)結(jié)構(gòu)的一種結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。該方法在最小柔順性設(shè)計(jì)、特定自振頻率等拓?fù)?優(yōu)化設(shè)計(jì)中獲得了極大成功。該算法通用性好，不僅能解決尺寸優(yōu)化，還可同時(shí)實(shí) 現(xiàn)形狀與拓?fù)鋬?yōu)化。ESO法的局限在于刪除的材料不能被恢復(fù)，而雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法 (BESO：BiDirectional Evolutionary Structural Optimization)彌補(bǔ)了ESO法的不足。 BESO法在優(yōu)化過(guò)程中既可以刪除材料單元，又可以添加材料單元 10。Young11成 功地把雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法應(yīng)用到三維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化中。 水平集方法水平集方法 Osher 和Sethian提出了水平集方法(Level Set Method)12，該方法可以有效描述 界面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。Wiegmann13首先把水平集方法應(yīng)用到彈性體結(jié)構(gòu)的邊界設(shè)計(jì)中，采 用移動(dòng)的邊界來(lái)表示設(shè)計(jì)空間中材料的增加或刪除。隨后Allair等14把經(jīng)典的形狀 靈敏度算法結(jié)合到水平集方法中，實(shí)現(xiàn)了水平集方法在彈性體結(jié)構(gòu)拓?fù)渑c形狀構(gòu)優(yōu) 化的整合。Wang 等15提出了結(jié)構(gòu)的向量水平集表示方法。Seung-Hyun Ha16, 17等將 水平集方法應(yīng)用于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的形狀和拓?fù)鋬?yōu)化，取得了較好效果。國(guó)內(nèi)也在水平 集拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域展開(kāi)了廣泛的研究。大連理工大學(xué)梅玉林18提出了改進(jìn)的水平集拓 撲優(yōu)化算法，該算法適用于一般目標(biāo)函數(shù)、多材料、多約束和多載荷工況的結(jié)構(gòu)拓 撲優(yōu)。賈海朋19基于進(jìn)化算法的思想提出了ESO 插孔的水平集拓?fù)鋬?yōu)化算法，解決 了水平集方法對(duì)任意結(jié)構(gòu)、任意初始邊界的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。莊春剛20研究了基于水 平集方法的多載荷散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。華中科技大學(xué)蔣良杰21在SIMP法和水 平集方法散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方面展開(kāi)了研究，開(kāi)發(fā)了MATLAB和FEMLAB下 的拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算程序。 結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的優(yōu)化算法結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的優(yōu)化算法 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 5 結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的解決最終歸結(jié)為求解數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題。為了提高優(yōu)化的經(jīng)濟(jì)性， 需要選擇時(shí)間復(fù)雜度與空間復(fù)雜度都相對(duì)較低的優(yōu)化算法。對(duì)于所有優(yōu)化問(wèn)題都可 歸結(jié)為在給定條件(例如約束條件)下求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值問(wèn)題。實(shí)際工程優(yōu)化問(wèn)題 中，優(yōu)化問(wèn)題的約束條件和目標(biāo)函數(shù)不僅是非線性的，而且通常是隱式函數(shù)，直接 求解非常困難，所以優(yōu)化算法的選用至關(guān)重要。對(duì)于不同層次的優(yōu)化問(wèn)題需要選用 不同的優(yōu)化算法。目前在拓?fù)鋬?yōu)化中運(yùn)用較多的優(yōu)化算法有OC法(Optimality Criteria)、SLP法(Sequential Linear Programming)和MMA法(Method of Moving Asymptotes)等。 OC法是基于直覺(jué)的準(zhǔn)則法，把數(shù)學(xué)中最優(yōu)解應(yīng)滿足的Kuhn-Tucker條件作為最 優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的準(zhǔn)則。用優(yōu)化準(zhǔn)則來(lái)更新設(shè)計(jì)變量和拉格朗日乘子3。采用準(zhǔn)則法不 需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度等額外信息，所以計(jì)算量不大。在一般情況下，所需迭代 次數(shù)少，目標(biāo)函數(shù)收斂較快。但其缺點(diǎn)也明顯，首先它只能保證特定情況和參數(shù)下 解的收斂性；其次由于采用準(zhǔn)則法獲得的結(jié)果僅僅是人們所“期望”看到的結(jié)果， 所以不能保證獲得最優(yōu)解；最后對(duì)不同類型的約束、變量、目標(biāo)函數(shù)需導(dǎo)出不同的 優(yōu)化準(zhǔn)則，通用性差。 MMA法即移動(dòng)漸進(jìn)線法，最早由Svanberg22 提出。MMA法用一顯式的線性 凸函數(shù)來(lái)近似代替隱式的目標(biāo)和約束函數(shù)。由事先確定的左、右漸進(jìn)點(diǎn)和原函數(shù)在 各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)確定每一步迭代的近似函數(shù)。當(dāng)左、右漸進(jìn)點(diǎn)分別趨近負(fù)無(wú)窮大 和正無(wú)窮大時(shí)，MMA法就等同于用SLP近似。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于它是全局收斂的， 所以MMA法能從理論上保證解的存在性，另外MMA法對(duì)初值不敏感，迭代過(guò)程 穩(wěn)定。缺點(diǎn)是計(jì)算效率較低。 SLP法即序列線性規(guī)劃法。該法通用性好，但收斂速度慢，對(duì)初值敏感。數(shù)學(xué) 規(guī)劃法是以規(guī)劃論為基礎(chǔ)，理論嚴(yán)謹(jǐn)，適用面廣，且收斂性有保證。但由于計(jì)算量 大，對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化這一類含多個(gè)變量的優(yōu)化問(wèn)題不適合。20世紀(jì)70年代中期以后，結(jié) 構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的規(guī)劃法吸收了準(zhǔn)則法的優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)力學(xué)特性進(jìn)行了某些改進(jìn)，如顯 式逼近、變量連接、選擇有效約束、引入倒數(shù)變量、采用對(duì)偶求解技術(shù)等，使計(jì)算 效率得到了顯著提高。 其它一些新興的優(yōu)化算法也逐漸引起了拓?fù)鋬?yōu)化研究者的興趣。比如遺傳算法 （GA：Genetic Algorithms） 、粒子群算法（PSO：Particle Swarm Optimization）和模 擬退火算法等。遺傳算法屬于半隨機(jī)算法，它具有自適應(yīng)性，不需要描述問(wèn)題的全 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 6 部特點(diǎn)，搜索過(guò)程不受優(yōu)化函數(shù)的連續(xù)性約束，也不需要導(dǎo)數(shù)等額外信息。但這種 方法存在結(jié)構(gòu)分析重復(fù)次數(shù)過(guò)多、收斂速度慢等缺點(diǎn)，不適合求解大規(guī)模的工程優(yōu) 化問(wèn)題23。粒子群算法在圖像識(shí)別中體現(xiàn)出極高的效率，但在拓?fù)鋬?yōu)化中的應(yīng)用還 有待研究。 1.5 結(jié)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)展實(shí)例結(jié)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)展實(shí)例 下面簡(jiǎn)要介紹國(guó)內(nèi)外結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法應(yīng)用的一些實(shí)例，他們所開(kāi)展的研究工 作對(duì)本論文有很好的借鑒意義： 由丹麥技術(shù)大學(xué)（Technical University of Denmark）機(jī)械工程學(xué)院 Ole Sigmund，Martin Bendse 等人領(lǐng)導(dǎo)的研究隊(duì)伍很早就在拓?fù)鋬?yōu)化方面展開(kāi)了研究。 早在上世紀(jì) 90 年代初期，該學(xué)院就在與丹麥政府合作的一個(gè)小型衛(wèi)星支架優(yōu)化項(xiàng)目 中實(shí)現(xiàn)了多約束下的三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。 圖 1.1 小型衛(wèi)星支撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化 圖1.1 a）為支架的設(shè)計(jì)要求，需要在60x60x80cm的空間中安置4臺(tái)攝像機(jī)、 望遠(yuǎn)鏡頭、推進(jìn)器、電池和電子通信設(shè)備等，設(shè)備總重量小于80kg，支撐結(jié)構(gòu)的總 重量限制為12kg并需在衛(wèi)星發(fā)射時(shí)能承受數(shù)G的加速度。整個(gè)設(shè)計(jì)域?yàn)?88000個(gè) 立方體有限單元。最終優(yōu)化結(jié)果如圖1.1 b）所示。 另一個(gè)典型的優(yōu)化算例是三維橋梁的優(yōu)化算例，如圖 1.2。 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 7 圖 1.2 三維橋梁 從文獻(xiàn)和例子來(lái)看，目前結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)已經(jīng)取得了廣泛的理論研究成果， 比如上述衛(wèi)星支架優(yōu)化項(xiàng)目和三維橋梁優(yōu)化項(xiàng)目。在應(yīng)用方面也取得了一定成果， 目前已經(jīng)出現(xiàn)了一些成熟的拓?fù)鋬?yōu)化商業(yè)軟件。但在散熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面的研究還比 較滯后，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足復(fù)雜的工程需求。大部分研究還停留在數(shù)值實(shí)驗(yàn)階段。需要 跳出這一局限，為散熱結(jié)構(gòu)的工程設(shè)計(jì)提供高效的設(shè)計(jì)方法。本論文的散熱結(jié)構(gòu)拓 撲優(yōu)化正是在這種背景下提出的。主要解決三維散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化和面向各向異性 材料的拓?fù)?方向角混合優(yōu)化問(wèn)題。在本文第二章和第三章給出了詳細(xì)的介紹。 1.6 本文研究?jī)?nèi)容與章節(jié)安排本文研究?jī)?nèi)容與章節(jié)安排 本文針對(duì)散熱結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，利用密度懲罰法進(jìn)行了理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)研 究。提出了改進(jìn)的密度懲罰法，適用于各向異性材料拓?fù)?角度混合優(yōu)化。利用 MATLAB開(kāi)發(fā)了二維和三維散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)值算法和計(jì)算程序。全文內(nèi)容具 體安排如下： 第一章為緒論，闡述了課題來(lái)源和項(xiàng)目研究的背景和意義，并詳細(xì)介紹了拓?fù)?優(yōu)化問(wèn)題的描述和各種拓?fù)鋬?yōu)化方法的研究現(xiàn)狀。 第二章首先介紹了拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型和基于SIMP模型的密度懲罰法理論。 在 此基礎(chǔ)上分析了密度懲罰法散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，為后續(xù)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)建立了理論 基礎(chǔ)。 第三章研究了拓?fù)鋬?yōu)化中各向異性導(dǎo)熱材料方向角優(yōu)化問(wèn)題，提出了改進(jìn)的密 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 8 度懲罰法模型，建立了拓?fù)浜头较蚪腔旌蟽?yōu)化模型。提出了基于溫度梯度的方向角 優(yōu)化準(zhǔn)則算法。 第四章研究了散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)值算法和處理技巧， 并在MATLAB中 進(jìn)行了三維散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化和各向異性導(dǎo)熱材料拓?fù)鋬?yōu)化的幾種典型算例的數(shù)值 實(shí)驗(yàn)。 第五章總結(jié)全文，并對(duì)下一步研究工作重點(diǎn)進(jìn)行了分析和展望。 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 9 2 密度懲罰法拓?fù)鋬?yōu)化理論密度懲罰法拓?fù)鋬?yōu)化理論 拓?fù)湟辉~最早源于希臘詞“topos” ，意思是地點(diǎn)、空間或區(qū)域。拓?fù)鋵W(xué)研究區(qū)域 中物體的變形，比如四邊形、八面體在空間中的形變。拓?fù)鋮^(qū)域的定義為： 3 所有 子集 （包括線和點(diǎn)的集合） 。 拓?fù)鋬?yōu)化研究的問(wèn)題是尋找 3 中最優(yōu)拓?fù)涫鼓繕?biāo)函數(shù) （剛 度、自振頻率等）最小。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)講，所有的拓?fù)渥冃味伎梢砸暈樽儞Q或是 映射。規(guī)定拓?fù)涞淖儞Q和逆變換都是具有唯一性的連續(xù)變換。這就為拓?fù)鋬?yōu)化解的 連續(xù)性提供了保證。 研究拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題離不開(kāi)形狀優(yōu)化的討論。在拓?fù)鋵W(xué)中，區(qū)域的變形和大小并 不影響拓?fù)?，而區(qū)域的增減對(duì)拓?fù)洚a(chǎn)生影響。聯(lián)系到工程設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)的總體布置 往往比其設(shè)計(jì)尺寸更能決定設(shè)計(jì)的優(yōu)劣。所以，單純的形狀優(yōu)化很難使設(shè)計(jì)達(dá)到最 優(yōu)。在產(chǎn)品的早期設(shè)計(jì)階段引入拓?fù)鋬?yōu)化是提高設(shè)計(jì)質(zhì)量非常有效的手段。從另一 個(gè)方面來(lái)講，單純的拓?fù)鋬?yōu)化僅僅在設(shè)計(jì)域上生成一些孔洞，這些含有孔洞的拓?fù)?對(duì)設(shè)計(jì)者而言不具有實(shí)用意義，因此拓?fù)鋬?yōu)化需要結(jié)合形狀優(yōu)化生成有意義的產(chǎn)品 形狀。Qing24 結(jié)合形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化，研究了熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題。Zhou25使用 商業(yè)拓?fù)鋬?yōu)化代碼研究了形狀、拓?fù)浜统叽缛邇?yōu)化的整合問(wèn)題。Zhou提出的方法 在優(yōu)化問(wèn)題中可以組合不同設(shè)計(jì)變量，為設(shè)計(jì)者提供了極大的自由度。Rafael26等學(xué) 者開(kāi)發(fā)了ANSYS下的拓?fù)鋬?yōu)化算法，并利用該代碼成功進(jìn)行了馬達(dá)轉(zhuǎn)子的優(yōu)化。近 二十年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度和存儲(chǔ)能力的提高以及有限元等分析工具的成熟， 采用計(jì)算機(jī)求解拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題逐漸成為一個(gè)熱門領(lǐng)域。 2.1 優(yōu)化模型優(yōu)化模型 由于拓?fù)鋬?yōu)化的復(fù)雜性，只有少量的問(wèn)題可以用解析的方法人工進(jìn)行求解。為 了滿足工程中的復(fù)雜要求，需要借助計(jì)算機(jī)用數(shù)值方法求解拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。因此解 決拓?fù)鋬?yōu)化的挑戰(zhàn)首先在于如何在計(jì)算機(jī)中用離散模型描述拓?fù)?；其次是如何建?一個(gè)可供計(jì)算機(jī)求解的優(yōu)化模型。正如緒論中所述，材料法假設(shè)結(jié)構(gòu)的宏觀特性由 微尺度的單胞結(jié)構(gòu)（類似自然界中組成材料的分子和原子）特性來(lái)決定。這種方法 雖然可以提供自然界中所有材料的精確數(shù)學(xué)描述，然而它表示一個(gè)普通零件所需要 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 10 的存儲(chǔ)空間和計(jì)算量已經(jīng)大大超出了現(xiàn)有計(jì)算機(jī)的能力，因而必須用簡(jiǎn)化的材料數(shù) 學(xué)模型及有限個(gè)變量來(lái)描述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。微結(jié)構(gòu)法的思想就是把拓?fù)鋬?yōu)化轉(zhuǎn)化為有限 個(gè)參數(shù)的尺度優(yōu)化（sizing problem）問(wèn)題。 2.1.1 材料模型材料模型 基于材料微結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化起源于均勻化方法。均勻化方法中材料模型分為兩 大類：一種是多層材料模型，另一種是含有孔洞的微結(jié)構(gòu)。前者的均勻化方程可以 通過(guò)解析的方法求解，而后者的單胞模型只能用數(shù)值方法求解。為了方便計(jì)算機(jī)求 解拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，一般選擇第二種模型。 先考慮二維均勻化模型。設(shè)計(jì)域?qū)儆跉W拉空間（ 2 ） ，其中的材料單元微結(jié) 構(gòu)特性可以由對(duì)稱矩陣( , , ) ij Ea b來(lái)描述。 圖 2.1 均勻化方法材料模型 a和b分別表示第e個(gè)單元材料在x和y方向的尺度。以上是最早的微結(jié)構(gòu)材料 描述方法。 在 SIMP 法中簡(jiǎn)化了材料模型， 僅用密度x一個(gè)變量來(lái)表示單元材料性質(zhì)， 把優(yōu)化問(wèn)題歸結(jié)為固定域上的 0-1 整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。 對(duì)單元e， 密度 e x 取 0 代表沒(méi)有材 料，取 1 代表有材料。有材料的區(qū)域?qū)Y(jié)構(gòu)的剛度有貢獻(xiàn)，而無(wú)材料的區(qū)域?yàn)榭瞻?區(qū)域（即不存在結(jié)構(gòu)，不傳遞力） 。采用這樣的處理可以在把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)固定 設(shè)計(jì)域上的優(yōu)化問(wèn)題。從而避免了由于結(jié)構(gòu)變化導(dǎo)致的網(wǎng)格重新劃分和設(shè)計(jì)變量改 變的繁瑣過(guò)程。SIMP 法中的材料模型可以用密度函數(shù)來(lái)表示 3： 0 ( )( ) p E xxE= 1p (2.1) e a b 1 1 x y o 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 11 其中( ),0( )1x xx是密度函數(shù)， 0 E是給定的固體材料彈性模量。密度 函數(shù)上的指數(shù)p是懲罰因子。因?yàn)橥負(fù)鋬?yōu)化關(guān)心的是材料的有無(wú)，所以密度函數(shù)選 擇離散函數(shù)(2.2)式： ( ) 1 /0 s s xif x xif = (2.2) Bendse在研究中發(fā)現(xiàn)，如果直接采用(2.2)式的離散密度函數(shù)，不引入含中間密 度的復(fù)合材料，無(wú)法保證拓?fù)鋬?yōu)化中解的存在性。為了得到可行解，需要對(duì)原問(wèn)題 進(jìn)行一定的調(diào)整。通過(guò)引入密度處于0和1之間的復(fù)合材料把密度函數(shù)( )x松弛化 為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，再通過(guò)加上懲罰因子使占有相同容量的中間密度材料比原有材料 的剛度低。在優(yōu)化過(guò)程中( )x向0或1趨近減少密度中間值。 圖2.2表示不同懲罰因子下的材料密度函數(shù)曲線。 從上到下依次是1p =到5的密 度變化曲線。從圖上可以看出，懲罰因子越大，中間密度越趨向于0=（空洞） 。 通過(guò)這樣的處理使連續(xù)變量?jī)?yōu)化結(jié)果趨近于離散變量?jī)?yōu)化結(jié)果。但是過(guò)大的懲罰因 子會(huì)使拓?fù)鋬?yōu)化求解過(guò)程出現(xiàn)震蕩，所以p值需要小心選擇。 圖 2.2 不同懲罰因子 p 下的密度函數(shù)曲線 SIMP法的最大問(wèn)題是，設(shè)計(jì)結(jié)果不僅僅顯式的依賴于懲罰因子p，而且還受到 有限元網(wǎng)格的影響。只有通過(guò)增加約束等方法來(lái)改良函數(shù)性態(tài)才能獲得最優(yōu)解。 Sigmund和Petersson27研究了存在于拓?fù)鋬?yōu)化中的數(shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題，并介紹了多 種解決方法。對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化中數(shù)值不穩(wěn)定性的研究放在第本章第二節(jié)。 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 12 由于SIMP法具有思想簡(jiǎn)單， 易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)， 它的應(yīng)用范圍從單純的彈性體結(jié) 構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化拓展到了其它領(lǐng)域，例如MEMS、導(dǎo)電、傳熱和特征頻率等領(lǐng)域。本文 主要研究基于熱傳導(dǎo)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。 在傳熱學(xué)中， 材料的性質(zhì)用導(dǎo)熱率來(lái)描述。 將(2.1)式中的彈性模量替換成熱傳 導(dǎo)系數(shù)就建立了材料導(dǎo)熱率與密度間的函數(shù)關(guān)系： 0 ( )( ) p xx= (2.3) 式中 0 是給定的導(dǎo)熱率。(2.3)式表示了SIMP法導(dǎo)熱材料數(shù)學(xué)模型。該模型簡(jiǎn) 單，因此局限也大，只能描述各向同性材料。在下一章中，結(jié)合均勻化方法中的部 分理論，提出了改進(jìn)的密度懲罰法模型，使該模型適用于各向異性材料的拓?fù)鋬?yōu)化。 2.1.2 熱傳導(dǎo)模型熱傳導(dǎo)模型 許多與時(shí)間無(wú)關(guān)的物理系統(tǒng)，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的物理問(wèn)題都可以用橢圓偏微分方 程來(lái)描述。比如彈性體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化求解的物理問(wèn)題是彈性力學(xué)問(wèn)題，本質(zhì)上是求 解一個(gè)拉普拉斯方程。正如第一章所述，通過(guò)改變邊界條件和載荷，彈性力學(xué)拓?fù)?優(yōu)化模型可以擴(kuò)展到其它研究領(lǐng)域中，如導(dǎo)電、熱應(yīng)力、熱傳導(dǎo)等問(wèn)題的拓?fù)鋬?yōu)化 中。因?yàn)樗鼈兊谋举|(zhì)都是求解類似的偏微分方程。在研究熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn) 題之前，首先研究熱傳導(dǎo)模型。 熱傳導(dǎo)過(guò)程滿足傅立葉定律： gradTq = - (2.4) q為熱流密度矢量，gradT是空間某點(diǎn)的溫度梯度向量，是熱傳導(dǎo)系數(shù)。對(duì)于 一維導(dǎo)熱問(wèn)題，直接對(duì)(2.4)式積分即可求出熱量Q。對(duì)于多維熱傳導(dǎo)問(wèn)題，其熱傳 導(dǎo)控制方程為： ()()() xyzvp TTTT qc xxyyyzt += (2.5) p c是導(dǎo)熱材料的比熱容)/(KkgJ，代表材料密度 3 /mkg， xyz ，分別是 材料沿xyz， ，方向的導(dǎo)熱系數(shù)()/Wm Ki， v q為物體的內(nèi)熱源強(qiáng)度/W kg 熱傳導(dǎo)問(wèn)題的邊界條件有三類： 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 13 第一類Dirichlet邊界條件，給定邊界 1 上的溫度值： ( )()T xyztT t=， ， ， (2.6) 第二類Neumann邊界條件，給定邊界 2 上的熱流密度： ( ) xxyyyy TTT q t xyy += nnn (2.7) 第三類邊界條件為 3 上的混合邊界條件： () xxyyyy TTT h TT xyy += nnn (2.8) 圖 2.3表示 1 和 2 作為邊界條件的熱傳導(dǎo)區(qū)域： 1 2 圖 2.3 熱傳導(dǎo)區(qū)域示意圖 對(duì)于穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，溫度對(duì)時(shí)間的變化率為0： 0 T t = (2.9) 由于各向同性導(dǎo)熱材料各個(gè)方向?qū)崧氏嗤?xyz =， 故公式(2.5)可以簡(jiǎn) 化為： 222 222 ()0 v TTT q xyz += (2.10) 如果給定問(wèn)題的初始條件： 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 14 ()0()T xyztTxyz=， ， ， ， (2.11) 對(duì)于二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)， 在滿足邊界條件(2.6)(2.8)以及初始條件(2.11)式的溫度場(chǎng) 使以下泛函I取極小值，即： () () 123 0 , 1 2d 2 min xyv BC T IC T TT Iq T xy =+ 2 2 (2.12) 通過(guò)變分求解就可以求出設(shè)計(jì)域中的溫度場(chǎng)。離散化(2.12)式，設(shè)計(jì)域即被劃 分為e個(gè)單元。為了方便網(wǎng)格劃分選擇矩形網(wǎng)格，每個(gè)單元被劃分為由四個(gè)節(jié)點(diǎn)組成 的正方形。單元可以表示為圖2.4的形式： x y o 圖 2.4 單元形式以及節(jié)點(diǎn)編號(hào) 要形成單元?jiǎng)偠染仃?，首先要選擇單元插值函數(shù)。4節(jié)點(diǎn)單元可以選擇雙線性插 值函數(shù)。通過(guò)插值函數(shù)，在節(jié)點(diǎn)溫度已知的情況下，單元內(nèi)任意點(diǎn)的溫度可以表示 成節(jié)點(diǎn)溫度的插值形式： ()() 0123 , e Tx yaa xa ya xyf x y=+= (2.13) 在節(jié)點(diǎn)處有： (), iii T x yT= (1,2,.,4)i = (2.14) 把 1 T到 4 T代入(2.13)式中得到： 011111 122222 233333 344444 1 1 A 1 1 aTxyx y aTxyx y aTxyx y aTxyx y = e t (2.15) 通過(guò)(2.15)式可以求解出(2.13)中的待定系數(shù) ： 1 A = e t (2.16) 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 15 把溫度插值函數(shù)由(2.13)的坐標(biāo)形式重寫為節(jié)點(diǎn)溫度的形式得到： ()() 1 ,( , ) eee Tx yx yx y = AttfN (2.17) ( , )N x y稱為單元形函數(shù)。 溫度沿x和y方向的導(dǎo)數(shù)可以表示為： () () 0 0123 1 2 0123 3 010 001 a T aa xa ya xy ay xx C Ta x aa xa ya xy yy a + = + (2.18) 將(2.16)式代入(2.18)式，得到： 1 ee T x T y = = C AttB (2.19) B為單元的幾何矩陣。 將(2.19)式代入(2.12)式，并求變分極值0 e I = t ，得到單元溫度的求解公式： eee tiK= Q (2.20) 其中 e K為單元導(dǎo)熱矩陣： d T T exy xxyy =+ NNNN K (2.21) 將 e K寫成矩陣的形式： d T e = BK (2.22) 為單元熱導(dǎo)率矩陣： 0 0 x y = (2.23) 把(2.22)式的面積分轉(zhuǎn)化為二次積分得到單元導(dǎo)熱矩陣的完整形式： 24 12 d d xy T e xy x y= BK (2.24) 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 16 把單元導(dǎo)熱矩陣和右端載荷向量疊加以后得到求解溫度場(chǎng)的有限元格式： K=TQ (2.25) 式中 1 N e e KK = =是組裝后的總體傳熱矩陣， 1 T N e e= =t為疊加的總體節(jié)點(diǎn)溫 度向量， 1 N e e QQ = =為疊加后的總體右端向量。 (2.25)式是一個(gè)代數(shù)方程，給定初始以及邊界條件后，利用計(jì)算機(jī)可以方便地求 解出設(shè)計(jì)域的溫度場(chǎng)。 三維散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的單元傳熱矩陣構(gòu)建與二維的類似，采用正6面體單 元，每個(gè)單元具有8節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)排列順序見(jiàn)圖2.5。 T2 T1 T4 T5 T6 T8 T7 T3 圖 2.5 正 8 面體單元節(jié)點(diǎn)排列 對(duì)三維正6面體8節(jié)點(diǎn)單元，選擇(2.26)式的插值函數(shù)： ()() 01234567 , , , e Tx y zaa xa ya za xya xza yza xyzf x y z=+= (2.26) 將8個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入(2.26)式得到： 1111111 11 111 1 2222222222222 3333333333333 4444444444444 5555555555555 6666666666666 77 8 1 1 1 1 1 1 1 Txyzx yx zy zx y z Txyzx yx zy zx y z Txyzx yx zy zx y z Txyzx yx zy zx y z Txyzx yx zy zx y z Txyzx yx zy zx y z xyT T = e t 0 1 2 3 4 5 777777777776 888888888888 7 A 1 a a a a a a zx yx zy zx y za xyzx yx zy zx y za = (2.27) 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 17 通過(guò)(2.15)式可以求解出(2.27)中的待定系數(shù) 。 溫度沿x、y和z方向?qū)?shù)可以表示為： () () () 01234567 01234567 01234567 01000 00100 00010 T aa xa ya za xya xza yza xyz xx T aa xa ya za xya xza yza xyz yy T aa xa ya za xya xza yza xyz zz yzyz xzxz xyxy + += + 0 1 2 3 4 5 6 7 a a a a C a a a a = (2.28) (2.24)式中的單元導(dǎo)熱矩陣變?yōu)槿A矩陣： 00 00 00 x y z = (2.29) 將(2.22)的體積分化為三次積分： 468 111 d d d zxy T e zxy x y z= BK (2.30) 通過(guò)以上推導(dǎo)，得到了拓?fù)鋬?yōu)化中三維溫度場(chǎng)的求解算法。在第3章中還將介 紹含各向異性導(dǎo)熱材料區(qū)域中的溫度場(chǎng)有限元求解算法。 2.1.3密度法優(yōu)化模型密度法優(yōu)化模型 最早引入拓?fù)鋬?yōu)化研究的是彈性體結(jié)構(gòu)最小化柔度問(wèn)題。經(jīng)過(guò)近三十年的發(fā)展， 此類優(yōu)化問(wèn)題的研究已經(jīng)非常成熟。一些公司把此類拓?fù)鋬?yōu)化模塊整合到了商業(yè)軟 件中。如Altair公司在Hyperworks中提供了Optistruct拓?fù)鋬?yōu)化軟件包。 彈性體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型可以表示為(2.31)式的形式： 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 18 :( ) . .:( ) Minimize C xf udx stx dxV = = i (2.31) 其中f為力載荷，u為位移。目標(biāo)函數(shù)( )C x為結(jié)構(gòu)的平均柔度。約束( )x dxV = 代 表體積限制。優(yōu)化的目標(biāo)是在設(shè)計(jì)域中給定材料體積約束下，尋找最合適的材料分 布使得目標(biāo)函數(shù)值最小。 為了方便用數(shù)值方法求解優(yōu)化問(wèn)題，需要把設(shè)計(jì)域離散成含n個(gè)單元的區(qū)域： 1,., 1 :() . .:,0,1 n n n e e Minimize C xx stxV x = = (2.32) 若nV,.,1，對(duì)于集合 n x1 , 0，滿足( )x dxV = 非空，則(2.31)式有解28， 但不能保證解的唯一性。式(2.32)是密度法拓?fù)鋬?yōu)化的一般格式，引入帶懲罰因子的 密度函數(shù)(2.1)后得到SIMP模型如 (2.33)式： 1 ,., 1 :() . .:,0,1 pp n n n e e Minimize C xx stxV x = = (2.33) 拓?fù)鋬?yōu)化中選擇合適的目標(biāo)函數(shù)是問(wèn)題的第一步，也是最為關(guān)鍵的一步。彈性 體結(jié)構(gòu)優(yōu)化中通常選擇結(jié)構(gòu)的柔度作為目標(biāo)函數(shù)。散熱結(jié)構(gòu)研究的物理問(wèn)題與彈性 體結(jié)構(gòu)存在一定的相似性，目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò)類似的推導(dǎo)得到。Dems29, 30研究了邊 界問(wèn)題中瞬態(tài)溫度場(chǎng)的靈敏度分析問(wèn)題，為散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化提供了理論依據(jù)。其 思想可以推廣到熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化中。一般散熱器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是要在給定的散 熱空間中保證工作器件的正常運(yùn)行，即最高溫度最小。但是以最高溫度點(diǎn)作為設(shè)計(jì) 變量的函數(shù)，具有不連續(xù)性（最高溫度點(diǎn)所在的點(diǎn)的空間位置會(huì)隨著設(shè)計(jì)變量的變 化而改變） 。這會(huì)對(duì)求解造成困難19?？筛鶕?jù)程新廣31, 32提出的最小熱傳遞勢(shì)容耗散 原理定義一個(gè)性態(tài)良好的目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題，傳入?yún)^(qū)域的熱量為： += s nds qqdQ (2.34) 從(2.34)式可知，熱量由兩部分組成。qd 代表區(qū)域內(nèi)的熱源產(chǎn)生的熱量； n s q ds 項(xiàng)代表從邊界S出入?yún)^(qū)域的熱量。在非穩(wěn)態(tài)對(duì)流情況下，將各點(diǎn)溫度與熱流密 華 中 科 技 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 19 度的乘積積分稱為散熱弱度： n s CqTdq Tds =+ (2.35) 在實(shí)體內(nèi)部和邊界上傳入的熱量一定的條件下，溫度越低，則散熱弱度越小， 整個(gè)設(shè)計(jì)域上的平均溫度越低。根據(jù)傅立葉定律把q的表達(dá)式代入(2.35)式，得到： () ijijij s iij TTT CKnhT TdsKd xxx =+ (2.36) 在對(duì)流換熱邊界上： )( fi i ij TTn x T K= (2.37) 把(2.37)式代入(2.36)式得到： 2 ij s ij TT ChT dsKd xx =+ (2.38) 對(duì)于穩(wěn)態(tài)情況，不考慮對(duì)流邊界，將(2.38)式的前一項(xiàng)去掉得到： ij ij TT CKd xx = (2.39) (2.39)式也叫做熱量傳遞勢(shì)容，它的量綱是焦耳開(kāi)爾文（ J K） ，它代表了物體 向周圍介質(zhì)導(dǎo)熱的能力。隨著熱量從高溫傳向低溫，熱量傳遞中勢(shì)容存在耗散，當(dāng) 其熱量傳遞勢(shì)容耗散為最小時(shí)，熱量傳遞效率最高。散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)就是 使勢(shì)容耗散最小。經(jīng)過(guò)離散化處理后，(2.39)式可以化成： 1 ( ) n T eee e