數(shù)學(xué)模型及典型案例分析.ppt

數(shù)學(xué)建模及典型案例分析,李志林，歐宜貴編著,化學(xué)工業(yè)出版社,廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,曹敦虔制作,目錄,數(shù)學(xué)建模導(dǎo)言 插值與擬合 微分方程建模方法 差分法建模 計(jì)算機(jī)模擬 層次分析法 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述與分析 回歸分析方法 優(yōu)化模型 確定型時(shí)間序列預(yù)測(cè)法 隨機(jī)型時(shí)間序列預(yù)測(cè)法,數(shù)學(xué)建模及 典型案例分析,1 數(shù)學(xué)建模導(dǎo)言,數(shù)學(xué)模型及其分類 數(shù)學(xué)建模例子 數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟,各種模型,各種模型,各種模型,各種模型,各種模型,各種模型,模型,這些模型都是人們?yōu)榱艘欢康?，?duì)客觀事物的某一部分進(jìn)行簡(jiǎn)化、抽象、提煉出來(lái)的原型替代物。,數(shù)學(xué)模型,什么是數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是人們?yōu)榱苏J(rèn)識(shí)客觀對(duì)象在數(shù)量方面的特征、定量地分析對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)去近似地刻畫要研究的那一部分現(xiàn)象時(shí)，所得到的一個(gè)數(shù)學(xué)表述。 例如在牛頓力學(xué)中的公式f=ma, s=vt. 愛因斯坦的質(zhì)能方程E=mc2. 這些都是數(shù)學(xué)模型. 數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。,？,數(shù)學(xué)模型的分類,按應(yīng)用領(lǐng)域分類: 人口模型，環(huán)境模型、交通模型、生態(tài)模型 按建模方法分類：初等模型、微分方程模型、差分方法模型、統(tǒng)計(jì)回歸模型、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 按是否考慮隨機(jī)因素分類：確定性模型和隨機(jī)模型 按變量的連續(xù)性分類：連續(xù)模型和離散模型 按對(duì)對(duì)象內(nèi)部規(guī)律了解程序分類：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型 按變量的基本關(guān)系分類：線性模型和非線性模型 按是否考慮時(shí)間變化分類：靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型,示例1 鴨子過(guò)河,有只鴨子想游到河對(duì)岸的某個(gè)位置O，如果它的方向始終朝著目標(biāo)O。求這只鴨子的游動(dòng)曲線。,示例1 鴨子過(guò)河,模型假設(shè) 假設(shè)河的兩岸為平行直線，河寬為h; 鴨子游水的速率為b, 水流速率為a, 均為常數(shù); 初始時(shí)鴨子的位置為A; 鴨子游動(dòng)的方向始終指向O.,示例1 鴨子過(guò)河,模型建立 取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸，y軸指向?qū)Π丁?關(guān)鍵是如何求出P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)關(guān)于時(shí)刻t的表達(dá)式.,示例1 鴨子過(guò)河,t時(shí)刻鴨子本身的速度為 河水速度為 所以合速度為,示例1 鴨子過(guò)河,即 又由初始條件有 (1.1)(1.2) 就是所求問(wèn)題的一個(gè)微分方程模型。,(1.2),(1.1),示例1 鴨子過(guò)河,模型求解 數(shù)值解 設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為t, 則,(1.3),示例1 鴨子過(guò)河,當(dāng)yi0時(shí), 說(shuō)明鴨子已經(jīng)到達(dá)河對(duì)岸，應(yīng)停止計(jì)算. 由(1.3)可以算出ti時(shí)刻鴨子的位置的近似值.,例如取a=1, b=2, h=10, t=0.3, 則求得結(jié)果為,計(jì)算(1.3)的Matlab代碼,示例1 鴨子過(guò)河,所求得的鴨子經(jīng)過(guò)的路線如右圖所示。 思考： 此方法所求得的結(jié)果為近似值，為什么？,示例1 鴨子過(guò)河,2. 精確解 由(1.1)(1.2)可以得到,(1.4),示例1 鴨子過(guò)河,(1.4)可以看成是另一種形式的微分方程模型. 它是一個(gè)的常微分方程初值問(wèn)題. 求解它可以得到精確解,(1.5),求解方程(1.4)的Maple代碼: assume(h0); sol:=dsolve(D(x)(y)=-a*sqrt(x(y)2+y2)/(b*y)+x(y)/y,x(h)=0,x(y): simplify(allvalues(sol);,示例1 鴨子過(guò)河,進(jìn)一步討論 如果ba, 結(jié)果會(huì)怎么樣? 如果不要求鴨子一定要達(dá)到正對(duì)岸O, 問(wèn)鴨子以怎樣的游動(dòng)方向才能以最少的時(shí)間到達(dá)對(duì)岸?,建模過(guò)程總結(jié),簡(jiǎn)化假設(shè) 設(shè)定符號(hào)變量 建立模型 求解模型 解的討論及推廣應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟,基本方法 機(jī)理分析 測(cè)試分析,數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟,一般步驟 問(wèn)題分析 模型假設(shè) 模型建立 模型求解 模型檢驗(yàn)和應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟,假設(shè)、抽象、表達(dá),求解,解釋、翻譯,驗(yàn)證、應(yīng)用,簡(jiǎn)短精練、高度概括、準(zhǔn)確得體、恰如其分,數(shù)學(xué)建模論文寫作,標(biāo)題 作者信息 摘要 關(guān)鍵詞 正文 參考文獻(xiàn) 附錄,姓名 通信地址,使用什么方法 解決什么問(wèn)題 得到什么結(jié)論,問(wèn)題重述 問(wèn)題分析 模型建立 模型求解 模型應(yīng)用 模型評(píng)價(jià),列出你所參考的文獻(xiàn)資料,較長(zhǎng)的程序，不是很重要的推導(dǎo)過(guò)程、圖表等,小結(jié),本節(jié)主要介紹數(shù)學(xué)模型的基本概念、基本方法，并通過(guò)一個(gè)示例介紹數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，最后簡(jiǎn)單介紹了數(shù)學(xué)建模論文寫作的要點(diǎn)。,2 插值與擬合,插值與擬合是兩種最常用的數(shù)據(jù)擬合和函數(shù)逼近的方法,插值與擬合,插值 擬合,插值,已知由g(x) (可能未知或非常復(fù)雜)產(chǎn)生的一批離散數(shù)據(jù) (xi, g(xi)，且 x0x1xn，在x0, xn內(nèi)尋找一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)f(x)，使其滿足 f(xi)=g(xi) ，i=0,1,.,n, 這個(gè)過(guò)程稱為插值，f(x)稱為插值函數(shù)， g(x)稱為被插函數(shù).,多項(xiàng)式插值,線性插值 尋求直線方程f(x)=ax+b, 滿足 解得,多項(xiàng)式插值,二次插值 尋求二次函數(shù)方程f(x)=ax2+bx+c, 滿足,多項(xiàng)式插值,三次插值 尋求三次函數(shù)方程f(x)=ax3+bx2+cx+d, 滿足,多項(xiàng)式插值,當(dāng)插值數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n+1時(shí)，需要用一個(gè)n次多項(xiàng)式進(jìn)行插值。 當(dāng)n較大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)龍格(Runge)現(xiàn)象。,分段多項(xiàng)式插值,分段線性插值 所謂分段線性插值就是利用每?jī)蓚€(gè)相鄰插值節(jié)點(diǎn)作線性插值.,分段多項(xiàng)式插值,分段線性插值函數(shù)表達(dá)式 其中,分段多項(xiàng)式插值,稱lj(x)為插值基函數(shù). 其的圖像為,分段多項(xiàng)式插值,三次樣條插值 所謂三次樣條插值方法就是已知(xi,yi),i=0,1,.,n, 尋求一個(gè)函數(shù)s(x) 滿足下列條件： s(x)C2, s(x)在每個(gè)子區(qū)間xi-1,xi, i=1,2,.,n上是三次多項(xiàng)式, s(xi)=yi.,分段多項(xiàng)式插值,三次樣條插值,分段多項(xiàng)式插值,記si(x)為s(x)在xi-1,xi上的表達(dá)式, 且 si(x)=aix3+bix2+cix+di , 這樣要求s(x), 就是要求si(x), 也就是求ai, bi, ci, di, 一共有4n個(gè)未知數(shù).,分段多項(xiàng)式插值,由條件c)得 si(xi)=yi, i=0,1,.,n. 由條件a)得 si(xi)= si+1(xi), si(xi)= si+1(xi), si(xi)= si+1(xi), i=1,2,.,n-1. 這樣就有了n+1+3(n-1)=4n-2個(gè)方程, 還需要2個(gè)才能唯一確定s(x).,分段多項(xiàng)式插值,實(shí)際應(yīng)用中常用三種類型的邊界條件作為附加條件 給定兩端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)s(x0) =y0, s(xn) =yn; 給定兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)s(x0) =y0, s(xn) =yn; 周期邊界條件s(x0)=s(xn), s(x0)=s(xn). 具體使用哪一種要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)定. 這樣就一共有4n個(gè)線性方程，構(gòu)成一個(gè)4n元線性方程組。求解就可以得到s(x)各段的系數(shù)。,最小二乘擬合,已知一批離散數(shù)據(jù) (xi, yi), i=0,1,.,n，且 x0x1xn, 尋找一個(gè)函數(shù)f(x), 使 達(dá)到最小. 這個(gè)過(guò)程稱為最小二乘擬合, f(x)稱為擬合函數(shù).,線性擬合,若設(shè)擬合函數(shù)f(x)=ax+b，則有 令,線性擬合,即,這是一個(gè)關(guān)于a, b的2元線性方程組. 求解即可得到f(x)的表達(dá)式.,一般曲線擬合,線性擬合實(shí)際上可以看成是以1, x為基函數(shù)進(jìn)行擬合. 一般地, 若以 為基函數(shù)來(lái)進(jìn)行擬合, 則f(x)可以表示為,一般曲線擬合,目標(biāo)是使 最小. 令 可得到關(guān)于c0,c1,.,cm的線性方程組, 求解即可得到f(x).,一般曲線擬合,為方便計(jì)算, 下面直接給出一種求c0,c1,.,cm的方法. 將(xi,yi)代入y=f(x)可得到n+1個(gè)方程,一般曲線擬合,寫成矩陣形式為 AC=Y. 其中 當(dāng)nm且A的各行線性無(wú)關(guān)時(shí), 這是一個(gè)超定方程, 無(wú)解.,一般曲線擬合,只能求其最小二乘解, 即求方程 ATAC=ATY 的解, 這樣即可得到c0,c1,.,cm .,一般曲線擬合,如何選擇基函數(shù)? 一般是根據(jù)數(shù)據(jù)的特征或者經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)其它信息的分析來(lái)確定合適的基函數(shù).,示例1 溫度預(yù)測(cè)問(wèn)題,在12h內(nèi), 每隔1h測(cè)量一次溫度. 溫度依次為 5, 8, 9, 15, 25, 29, 31, 30, 22, 25, 27, 24. 試分別用分段線性插值, 三次樣條插值以及多項(xiàng)式擬合方法估計(jì)在3.2h, 6.5h, 7.1h,11.7h的溫度值.,示例2 參數(shù)估計(jì),設(shè)d=k1v+k2v2 , 且有一組d與v的測(cè)量數(shù)據(jù)如下 試使用最小二乘法求k1 , k2 .,示例3 國(guó)土面積的計(jì)算,已知某國(guó)家的地圖的邊界測(cè)量數(shù)據(jù)如下,求該國(guó)家的面積.,示例3 國(guó)土面積的計(jì)算,若將所有數(shù)據(jù)點(diǎn)按順序用直線連接起來(lái)得到的圖形如下,小結(jié),本章主要介紹兩種重要的數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近的方法插值與擬合。插值是求一個(gè)函數(shù)使其經(jīng)過(guò)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而擬合則是從給定的函數(shù)空間中尋求一個(gè)函數(shù)使其與給定數(shù)據(jù)的距離最小。具體使用哪種方法，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題而定。,3 微分方程建模方法,當(dāng)事物的某些特性隨時(shí)間或空間而演變時(shí)，我們通常建立微分方程模型來(lái)描述它的變化過(guò)程，以分析它的變化規(guī)律、預(yù)測(cè)它的未來(lái)性態(tài)。,微分方程建模思想和方法,守恒原理,例1 死亡時(shí)間的確定,在凌晨1時(shí)警察發(fā)現(xiàn)一具尸體，測(cè)得尸體溫度是29oC, 當(dāng)時(shí)環(huán)境的溫度是21oC. 1小時(shí)后尸體溫度下降到27oC, 試估計(jì)死者的死亡時(shí)間.,模型假設(shè),設(shè)環(huán)境的溫度為常數(shù)TE, 人體正常溫度為TP. t時(shí)刻尸體的溫度為T(t). t1時(shí)刻測(cè)量時(shí)尸體溫度為T1, t2測(cè)量溫度為T2.,根據(jù)熱傳導(dǎo)定律： 熱量總是由高溫的物體傳向低溫物體. 單位時(shí)間的熱傳導(dǎo)量與溫差成正比. 有,模型建立,令 得到,微分方程模型,模型求解,這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的微分方程方程模型, 可以求得其通解為 其中C, k 為參數(shù), 可通常測(cè)量數(shù)據(jù)確定其值.,由假設(shè)1, 3有T(0)=Tp, T(t2)=T2, 即 解得,又由t2=t1+1, 有 其中,TE=21, TP=37, T1=29, T2=27,進(jìn)一步討論,如果只測(cè)量一次尸體的溫度, 你能估計(jì)出死亡的時(shí)間嗎?,例2 湖水污染濃度,有一個(gè)小湖, 水容量為2000m3, 分別有一入水口和出水口, 水流量都為0.1m3/s. 在上午11:05時(shí), 因交通事故一個(gè)盛有毒性化學(xué)物質(zhì)Z的容器傾翻, 在入口處注入湖中. 于11:35時(shí)事故得到控制, 但已有數(shù)量不詳?shù)幕瘜W(xué)物質(zhì)瀉入湖中, 初步估計(jì)為520m3. 建立一個(gè)模型, 估計(jì)湖水污染程度隨時(shí)間的變化規(guī)律, 并估計(jì) 湖水何時(shí)到達(dá)污染高峰; 何時(shí)污染程序可降至安全水平(0.05%),入水口,出水口,假設(shè),湖水中Z的濃度是均勻的, t時(shí)刻為c(t). 湖水總?cè)萘繛槌Ａ縑. 物質(zhì)Z以均速瀉入湖中, 總量為z, 所用時(shí)長(zhǎng)為T. 入口與出口的水流速度均為r. 安全水平為Z的濃度小于k.,則有 令t0得,求解得到 利用初始條件c(0)=0和c(t)的連續(xù)性有,這樣就可以得到物質(zhì)Z在時(shí)刻t的濃度為 c(t)在0,T內(nèi)是增函數(shù),在T,)內(nèi)是減函數(shù), 且c(t)是連續(xù)的, 所以c(t)的最大值為 為求何時(shí)能達(dá)到安全水平, 當(dāng)tT時(shí)令c(t)k, 解得,例3 最優(yōu)捕魚策略,為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源(如漁業(yè)，林業(yè)資源)的開發(fā)必須適度。一種合理、簡(jiǎn)化的策略是，在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益。 考慮對(duì)鳀魚的最優(yōu)捕撈策略：假設(shè)這種魚分4個(gè)年齡組，稱為1齡魚，2齡魚，3齡魚，4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99(克)，各年齡組的自然死亡率為0.8(/年)，這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109105(個(gè))，3齡魚的產(chǎn)卵量為這個(gè)數(shù)的一半，2齡和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個(gè)月，卵孵化并成活為1齡魚，成活率(1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量n之比)為1.221011/(1.221011+n)。 漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個(gè)月進(jìn)行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力(如漁船數(shù)，下網(wǎng)次數(shù)等)固定不變，這時(shí)單位時(shí)間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。 請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型分析如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕撈(即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變)，并且在此前提下得到最高的年收獲量(捕撈總重量)。,假設(shè),魚群總量的增加雖然是離散的, 但對(duì)大規(guī)模魚群而言, 我們可以假設(shè)魚群總量的變化隨時(shí)間是連續(xù)的, 設(shè)t時(shí)刻i齡魚的數(shù)目為xi(t), 時(shí)間以年為單位. 假設(shè)鳀魚每年只在8月份產(chǎn)生卵, 12月底孵化完成. 每只 4齡魚每年的產(chǎn)卵量為N, 每只 3齡魚每年的產(chǎn)卵量為N /2. 卵的成活率(1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量n之比)為r. i齡魚到來(lái)年分別長(zhǎng)一歲成為i + 1齡魚, i = 1, 2, 3. i齡魚的重量為gi. 對(duì)i齡魚捕撈強(qiáng)度系數(shù)為ki. 魚群的自然死亡率為常數(shù)d. 4齡魚在年末留存的數(shù)量占全部數(shù)量的比例相對(duì)很小，可不予考慮。 連續(xù)捕獲使各年齡組的魚群數(shù)量呈周期性變化, 周期為1年, 可以只考慮魚群數(shù)量在1年內(nèi)的變化情況.,模型建立,考慮在t,t+t時(shí)間內(nèi)(未跨年)i齡魚的數(shù)量變化. 魚群數(shù)量的變化是由于自然死亡和被捕撈而導(dǎo)致的，所以有 令t 0, 得到,模型求解,求解得到 其中i=1,2,3,4. 如何求xi(0)?,因?yàn)槊磕昴﹊齡魚到下一年初時(shí)會(huì)變?yōu)閕+1齡魚，所以 即,又由每年產(chǎn)卵總量,又因?yàn)槊磕瓿?齡魚的數(shù)量為 其中q=1.221011. 求解可得,于是有,捕撈量為 再利用k3=0.42k4, 捕撈量就是關(guān)于k4的一元函數(shù). 通過(guò)求其極大值可得到最大捕撈量. 當(dāng)N=1.109105, g3=17.86, g4=22.99, d=0.8, q=1.221011時(shí), 求得結(jié)果為 k4=17.36292602, f=3.8870755181011.,小結(jié),本章主要介紹微分方程建模方法, 主要利用率物質(zhì)或能量的守恒原理進(jìn)行建模. 模型的求解方法有解析解法和數(shù)值解法.,4 差分法建模,實(shí)現(xiàn)中的問(wèn)題通常是連續(xù)變化, 但我們常常只能在離散的時(shí)間點(diǎn)上對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)和描述. 為了表述這一類數(shù)學(xué)模型, 本章引入了差分方程建模方法.,差分方程,定義: 對(duì)一實(shí)數(shù)數(shù)列xn, 稱形如 的方程為線性差分方程, 其中an, an-1,., an-k是實(shí)數(shù), an0, an-k0, 整數(shù)k稱為差分方程的階. 例如xn-xn-1-xn-2=0, n2就是一個(gè)2階差分方程.,若給定初值, 可通過(guò)迭代的方法求出有限項(xiàng)的值. 例如, 若 則有 x2=2, x3=3, x4=5, ,線性差分方程的解,有沒有辦法求出差分方程的解? 對(duì)于二階線性差分方程的解, 有下面的結(jié)論: 設(shè)二階線性差分方程 axn+bxn-1+cxn-2=0, n2 其中a, b, c為實(shí)數(shù), 且a, c非零. 它的特征方程為 a2+b+c=0, 特征根為1, 2.則有,若1 2且都為實(shí)數(shù), 則 若1= 2, 則 若1, 2為一對(duì)共軛的虛根, 即1 =+i, 2 = -i, 則 其中,線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性,一階線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 一階線性差分方程 xk+1+axk=b, 的平衡點(diǎn)由x+ax=b解得, 為x*=b/(1+a). 若 , 則稱平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的, 否則稱x*是不穩(wěn)定的.,顯然, 若數(shù)列xn收斂, 則必有 . 又因?yàn)?xn =anx0+anb . 當(dāng)|a|1時(shí), xn收斂, 此時(shí)平衡點(diǎn)x*=b/(1+a)是穩(wěn)定的.,二階線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 二階線性差分方程 xk+2+a1xk+1+a2xk=b, 的平衡點(diǎn)為方程x+a1x+a2=b的解x*. 若 , 則稱平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的, 否則稱x*是不穩(wěn)定的.,其對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 2+a1+a2=0, 記它的要根為1, 2, 則當(dāng)且僅當(dāng)|1|1且|2|1時(shí)平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的.,一階非線性差分方程,若 f(x)為非線性函數(shù), 形如 xk+1=f(xk), 的方程稱為一階非線性差分方程. 方程x=f(x)的解稱x*為平衡點(diǎn). 若 , 則稱平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的, 否則稱x*是不穩(wěn)定的.,當(dāng) 時(shí), x*是穩(wěn)定的. 當(dāng) 時(shí), x*是不穩(wěn)定的.,例1 貸款還款問(wèn)題,現(xiàn)有一筆p萬(wàn)元的貸款，貸款期是n年，年利率為r. 若采用等額本息（即每月還款數(shù)相同）的方式逐月償還，問(wèn)每月還款的數(shù)額是多少？,假設(shè),設(shè)第k個(gè)月欠款數(shù)為xk, 月還款m元，月利率為r1.,模型建立,根據(jù)還款及欠款的數(shù)量變化關(guān)系有 即 初始條件為,模型求解,直接求解得到 令xk=0, 求得 這就是每月還款數(shù)的計(jì)算公式. 例如, 當(dāng)p=10000, r1=0.00521255, k=24時(shí), m=444.3563, 總還款額10664.5508.,進(jìn)一步討論,若采用等額本金的方式逐月償還(即每月等額償還本金，貸款利息隨本金逐月遞減), 問(wèn)各月份所需要償還的金額是多少?,例2 養(yǎng)老保險(xiǎn),養(yǎng)老保險(xiǎn)是保險(xiǎn)中的一種重要險(xiǎn)種, 保險(xiǎn)公司為客戶提供各種不同的方案以供選擇. 請(qǐng)你分析保險(xiǎn)品種的實(shí)際投資價(jià)值. 若某人從25歲起投保, 每月交費(fèi)200元, 到60歲停止交費(fèi)并開始領(lǐng)取養(yǎng)老金, 每月2282元. 求該投保人的收益率.,假設(shè),設(shè)60歲前每月所交保費(fèi)為p, 60歲后每月領(lǐng)取養(yǎng)老金為q. 交保費(fèi)的總月數(shù)為n,領(lǐng)取養(yǎng)老金的總月數(shù)為m. 每月的收益率為r. 到第k月止所交保費(fèi)及收益的累計(jì)總額為xk.,模型建立,根據(jù)xk的變化規(guī)律, 有,模型求解,易求得通解為 利用x0=0可得,當(dāng)k=m+n-1時(shí), xk=0, 因此 解此方程可得收益率r. 取p=200, q=2282, n=3512, m=1512, 解得r=0.00485. 取p=200, q=1056, n=2512, m=1512, 解得r=0.00461.,例3 減肥計(jì)劃,某人體重100kg, 目前每周吸收20000kcal的熱量, 體重維持不變. 現(xiàn)欲減肥到75kg. 在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃. 第一階段: 每周減肥1kg, 每周吸收熱量逐漸減少, 直至達(dá)到下限10000kcal. 第二階段: 每周吸收熱量保持10000kcal, 減肥達(dá)到目標(biāo). 若要加快進(jìn)程, 第二階段增加運(yùn)動(dòng), 試安排計(jì)劃. 給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案.,每小時(shí)每千克體重消耗的熱量(kcal),假設(shè),第k周體重為wk, 吸收的熱量為ck. 除了正常代謝及運(yùn)動(dòng)消耗的熱量之外, 人體過(guò)多的熱量將轉(zhuǎn)換為脂肪, 每1kcal的熱量轉(zhuǎn)換的脂肪為常數(shù)千克. 人體因代謝消耗的熱量導(dǎo)致體重下降與體重成正比, 比例系數(shù)為.,模型建立,在第一階段, 由于體重的變化僅與吸收的熱量與消耗的熱量有關(guān), 根據(jù)體重的變化關(guān)系, 有,模型求解,首先求代謝消耗系數(shù). 當(dāng)體重為100kg, 每周吸收20000kcal熱量時(shí), 體重不變, 所以 因此有,下面求第一階段每周吸收的熱量. 由于每周減1kg, 所以,當(dāng)吸收的熱量達(dá)到下限cm時(shí), 所用的周數(shù)為 當(dāng)w0=100, cm=10000, =1/8000時(shí), k=10. 即第一階段用10周, 第k周吸收的熱量為ck=12000-200k, k=0,1,2,.,9.,第二階段, 每周吸收的熱量保持下限cm , 使體重減至75kg, 第k周體重變化關(guān)系為 解得 令wk=wm, 解得,當(dāng)w0=90, cm=10000, =1/8000, wm=75時(shí), k=18.5641517519, 按照這樣的方案, 第二階段需要用19周可以達(dá)到目標(biāo).,6 層次分析法,什么是層次分析法？ 怎樣使用層次分析法？ 層次分析法的理論基礎(chǔ)是什么？,什么是層次分析法？,層次分析法是一種將定性分析與定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策方法。它把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成因素，然后把這些因素按支配關(guān)系分組形成有序的遞階層次結(jié)構(gòu)，并衡量各方面的影響，最后綜合人的判斷，以決定決策諸因素相對(duì)重要性的先后優(yōu)劣次序。 層次分析法通常用于解決多因素，且各因素不易量化，目標(biāo)與因素的關(guān)系式難以求解的抉擇問(wèn)題。,目標(biāo)層,準(zhǔn)則層,方案層,怎樣使用層次分析法？,建立層次結(jié)構(gòu)模型。 構(gòu)造第i+1層的兩兩比較矩陣。 計(jì)