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文檔簡介

第四章 向量空間,4.1 向量空間,4.2 向量內(nèi)積,4.3 正交矩陣,的標(biāo)準(zhǔn)正交基 兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基間的過渡矩陣 正交矩陣及其性質(zhì) 求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法,【注】 1標(biāo)準(zhǔn)正交基不唯一；,2特點(diǎn): 設(shè) 是 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,則,例如,設(shè),一、 的標(biāo)準(zhǔn)正交基,二、兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基間的過渡矩陣,證明：因?yàn)?= Q , 則 T = QTT , 所以,T = QTT Q ,所以 T = E, T = E,故,(2) Q 為正交矩陣, 則 也是正交矩陣 ;,(3) 若P, Q 都是n階正交矩陣, 則PQ 也是n階正交矩陣;,定義2 實(shí)數(shù)域 R 上的 n 階矩陣 Q 滿足,稱 Q 為正交矩陣.,則,(4) Q為正交矩陣, 則,三、正交矩陣及其性質(zhì),1若 和 均是的標(biāo)準(zhǔn)正交基, 則過渡矩陣Q是正交矩陣.,2若 是標(biāo)準(zhǔn)正交基, Q是正交矩陣, 則 是標(biāo)準(zhǔn)正交基.,3若 是標(biāo)準(zhǔn)正交基, Q是正交矩陣, 則 是標(biāo)準(zhǔn)正交基 .,小結(jié)：設(shè),例1 設(shè) 是 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 證明,是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 .,證明：設(shè),則,且,即 Q 為正交矩陣,所以,是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 .,答：(4)不正確。,【注】設(shè) , 為n維向量, 在n階正交矩陣A的作用下 |A| = | | , 且T = (A)T (A) .,向量 在正交矩陣A作用下變?yōu)锳 稱為正交變換.,四、求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法,1施密特正交化方法,令,即, ,則 是與 等價(jià)且兩兩正交的向量組.,2在一組基的基礎(chǔ)上，求標(biāo)準(zhǔn)正交基的步驟：,1用施密特正交化方法, 將其化為正交向量組;,2將正交向量組中每個(gè)向量單位化(也稱標(biāo)準(zhǔn)化).,例4 已知 是 的一組基， 將其化為標(biāo)準(zhǔn)正交基.,解答見書上187頁例4。,作業(yè): P162 14, 1

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