八年級數(shù)學上冊 17 特殊三角形教學案 （新版）冀教版.doc

教學資料參考范本八年級數(shù)學上冊 17 特殊三角形教學案 （新版）冀教版撰寫人：_時 間：_1.了解等腰三角形的概念,探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理.2.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理,掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形.3.探索勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些簡單的實際問題.4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.5.會利用基本作圖方法作三角形:已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形.6.通過實例體會反證法的含義.1.經(jīng)歷由情境引出問題,探索、掌握有關(guān)數(shù)學知識,再運用于實踐的過程,培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識與能力.2.在教學過程中提供充足的時間和空間,讓學生經(jīng)歷觀察、操作、實驗、猜想、驗證等活動過程,培養(yǎng)學生嘗試探究的意識和能力.1.感受數(shù)學文化的價值和中國傳統(tǒng)數(shù)學的成就,激發(fā)學生熱愛祖國及祖國悠久文化的思想感情.2.使學生從數(shù)學的角度思考問題,培養(yǎng)學生積極的學習態(tài)度,樹立學習的信心,提高學生的學習興趣.本章知識既是三角形內(nèi)容的深化和拓展,又是進一步研究特殊四邊形的重要工具.同時,等腰三角形的知識在今后探索線段相等、角相等、直線的垂直關(guān)系等方面有著廣泛的應用;勾股定理及其逆定理不僅是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn),更是我們今后解決數(shù)學問題和實際問題的有力工具.因此,本章起著承上啟下的橋梁作用.(1)等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)和判定,主要通過觀察與思考、操作與歸納等方法去探索和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,再通過演繹推理證明結(jié)論,最后舉例證明,實現(xiàn)在發(fā)展學生合情推理能力的基礎(chǔ)上,把證明作為探索活動的自然延續(xù).較好體現(xiàn)了合情推理與演繹推理兩種推理形式的相輔相成,實現(xiàn)了兩種推理的有機融合.(2)對于勾股定理的獲得,設(shè)計了觀察、計算、思考、歸納、猜想等探究活動,將驗證猜想的過程設(shè)計為“試著做做”和“做一做”等學生自主活動,讓學生體驗勾股定理發(fā)現(xiàn)的全過程,發(fā)展學生的推理能力和創(chuàng)新意識;對于勾股定理的逆定理,通過讓學生先操作(畫直角三角形),再證明(利用全等)的方式來獲得.(3)在本章的尺規(guī)作圖中,都增加了分析環(huán)節(jié),使學生不僅要知道作圖的步驟,而且還要了解作圖的道理.(4)在反證法一節(jié)中,除介紹反證法及證明命題的一般步驟外,還運用反證法對平行線的性質(zhì)定理進行了證明,體現(xiàn)了本套教材在內(nèi)容上的完整性.同時對直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理也用反證法給出了證明,使學生從中體會反證法的價值.【重點】1.等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定.2.直角三角形的性質(zhì)和判定.3.勾股定理、逆定理及其簡單應用.4.反證法及其簡單應用.【難點】1.等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)及其應用.2.勾股定理及其逆定理的應用.1.關(guān)于等腰三角形和直角三角形性質(zhì)和判定的教學,應引導學生在獨立思考和合作交流的前提下,進行觀察與思考、操作與探究等活動并獲得猜想,進而一起完成對猜想的證明,落實對合情推理和演繹推理的自然結(jié)合,實現(xiàn)提升學生推理意識和推理能力的目的.2.對于勾股定理的教學,教師要提供充足的時間和空間,讓學生觀察、猜想、推理,使定理的發(fā)現(xiàn)成為學生認識活動的自然結(jié)果.3.對于證明格式、方法和步驟,要讓學生在親身經(jīng)歷、體驗的過程中去逐步理解和掌握,此過程切忌急于求成,更不要以教師的講解代替學生的活動,要給學生充足的時間和空間去探索、實踐和總結(jié).4.提倡思維多樣化,注重培養(yǎng)學生清晰表達自己思維過程的能力,對學生出現(xiàn)的多種思路和方法,應給予充分肯定并在全班展示,使學生的求異思維和創(chuàng)新意識能得到及時的表現(xiàn).17.1等腰三角形2課時17.2直角三角形1課時17.3勾股定理3課時17.4直角三角形全等的判定1課時17.5反證法1課時回顧與思考1課時17.1等腰三角形1.了解等腰三角形、等邊三角形的定義,掌握等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì).2.掌握等腰三角形和等邊三角形的判定方法.1.通過動手操作及等腰三角形、等邊三角形的對稱變換掌握其性質(zhì)和特征.2.掌握等腰三角形和等邊三角形的判定方法,能利用性質(zhì)和判定方法解決問題.1.體會等腰三角形和等邊三角形的對稱美.2.體會數(shù)學在現(xiàn)實生活中的廣泛應用,認識數(shù)學無處不在,提高學生學習數(shù)學的興趣.【重點】等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.【難點】等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定方法的應用.第課時在動手操作的過程中,理解等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理.1.讓學生通過動手操作,經(jīng)歷等腰三角形性質(zhì)的探索過程,培養(yǎng)學生的動手、歸納、概括的能力.2.培養(yǎng)學生的猜想能力,讓學生經(jīng)過推理證明得到等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理.培養(yǎng)學生的邏輯思維能力,讓學生樹立良好的學習觀,增強學生認真學習的態(tài)度.【重點】等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理.【難點】等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理的推理和證明.【教師準備】多媒體課件、各種形狀的圖形、剪刀.【學生準備】長方形紙、剪刀.導入一:教師預先做出各種幾何圖形,包括圓、長方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等邊三角形、等腰三角形等. 讓同學們搶答哪些是軸對稱圖形,提問什么是軸對稱圖形,什么樣的三角形才是軸對稱圖形.引入今天所要講的課題等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理.我們知道,有兩條邊相等的三角形是等腰三角形,下面我們利用軸對稱的知識來研究等腰三角形.設(shè)計意圖通過辨別,讓學生發(fā)現(xiàn)等腰三角形是軸對稱圖形,從而引出可以利用軸對稱的性質(zhì)來確定等腰三角形.導入二:在前面的學習中,我們認識了軸對稱圖形,探究了軸對稱的性質(zhì),并且能夠作出一個簡單平面圖形關(guān)于某一直線的軸對稱圖形,還能夠通過軸對稱變換來設(shè)計一些美麗的圖案.這節(jié)課我們就從軸對稱的角度來認識一些我們熟悉的幾何圖形.思考:三角形是軸對稱圖形嗎?有的三角形是軸對稱圖形,有的三角形不是.問題:什么樣的三角形是軸對稱圖形?滿足軸對稱的條件的三角形就是軸對稱圖形,也就是將三角形沿某一條直線對折后,兩部分能夠完全重合的就是軸對稱圖形.這節(jié)課我們就來認識一種是軸對稱圖形的三角形等腰三角形.設(shè)計意圖從三角形的角度,讓學生通過思考,了解等腰三角形是軸對稱圖形,從而自然地引入到本節(jié)課的學習之中,激發(fā)了學生的學習興趣和求知欲望.導入三:1.出示一組含有等腰三角形的生活圖片,讓學生感知圖片主要部分形狀的共同點.2.出示自制的測平儀,告訴學生含45角的三角板頂點固定一條拴著重物的繩子,標出底邊中點標志,它就變成了測平儀.激起學生的好奇心,從而引入課題.設(shè)計意圖活躍課堂氣氛,消除學生的緊張情緒,讓學生帶著問題進入學習.過渡語剛才我們知道等腰三角形是軸對稱圖形,那么它有哪些性質(zhì)呢?現(xiàn)在我們就共同來研究它.探究一:等腰三角形的性質(zhì)定理思路一【活動1】【課件1】如圖所示,把一張長方形紙按圖中虛線對折,并剪去陰影部分,再把它展開,得到的ABC有什么特點? 【學生活動】學生動手操作,觀察ABC的特點,可以發(fā)現(xiàn)AB=AC.【教師活動】讓學生回顧等腰三角形的概念:有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角. 如圖所示,在ABC中,若AB=AC,則ABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底邊,A是頂角,B和C是底角. 【活動2】【課件2】觀察與思考:如上圖所示,ABC是等腰三角形,其中AB=AC.(1)我們知道線段BC為軸對稱圖形,中垂線為它的對稱軸,由AB=AC,可知點A在線段BC的中垂線上.據(jù)此,你認為ABC是軸對稱圖形嗎?如果是,對稱軸是哪條直線?(2)B和C有怎樣的關(guān)系?(3)底邊BC上的高、中線及A的平分線有怎樣的關(guān)系?【學生活動】學生經(jīng)過觀察,然后小組討論交流,從中總結(jié)等腰三角形的性質(zhì).【教師活動】引導學生歸納:性質(zhì)1等腰三角形的兩個底角相等(簡稱“等邊對等角”).知識拓展等腰三角形的“等邊對等角”的特征是用來說明兩角相等、計算角的度數(shù)的常用方法.性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡稱“三線合一”).【活動3】你能用所學知識驗證上述性質(zhì)嗎?【課件3】如圖所示,在ABC中,AB=AC.求證B=C. 【學生活動】學生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行討論,尋找解決問題的辦法,若證B=C,根據(jù)全等三角形的知識可以知道只需要證明這兩個角所在的三角形全等即可.于是可以作輔助線構(gòu)造兩個三角形,作BC邊上的中線AD,證明ABD和ACD全等即可,根據(jù)條件利用“邊邊邊”可以證明.【教師活動】讓學生充分討論,根據(jù)所學的數(shù)學知識,利用邏輯推理的方式進行證明,證明過程中注意學生表述的準確性和嚴謹性. 證明:作BC邊上的中線AD,如圖所示,則BD=CD, 在ABD和ACD中,所以ABDACD(SSS),所以B=C.這樣,就證明了性質(zhì)1.類比性質(zhì)1的證明你能證明性質(zhì)2嗎?由ABDACD,還可得出BAD=CAD,ADB=ADC=90.從而ADBC,這也就證明了等腰三角形ABC底邊上的中線平分頂角A并垂直于底邊BC.添加輔助線的方法多樣,讓學生再去討論、交流,即用類似的方法可以證明性質(zhì)2.說明:經(jīng)過以上證明也可以得出等腰三角形底邊上的中線的左右兩部分經(jīng)翻折可以重合,等腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的中線(頂角平分線、底邊上的高)所在直線就是它的對稱軸.知識拓展等腰三角形還有以下性質(zhì):(1)等腰三角形兩腰上的中線、高線相等;(2)等腰三角形兩個底角平分線相等;(3)等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.設(shè)計意圖通過折疊等腰三角形讓學生觀察,在動手操作中掌握等腰三角形的性質(zhì),概括出性質(zhì),并引導學生加以證明,讓學生經(jīng)歷知識的形成和證明過程,加深了對知識的理解和掌握.思路二要求學生通過自己的思考來作一個等腰三角形.【課件4】作一條直線l,在l上取點A,在l外取點B,作出點B關(guān)于直線l的對稱點C,連接AB,BC,CA.以上活動所得三角形的兩邊相等嗎?此三角形稱為.小結(jié):【課件5】填出等腰三角形各部分名稱.歸納:等腰三角形的定義:有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,底邊與腰的夾角叫底角.同學們在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底邊、頂角和底角.【課件6】問題1:等腰三角形是軸對稱圖形嗎?請找出它的對稱軸.問題2:通過折疊或測量,看看等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系?問題3:頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎?問題4:底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎?底邊上的高所在的直線呢?1.學生通過剛才自主探究,大膽猜想以上問題的結(jié)果.2.教師用幾何畫板直觀演示并引導學生觀察等腰三角形的性質(zhì).(對稱性,等邊對等角,三線合一.)小結(jié):等腰三角形的性質(zhì):(1)等腰三角形的兩個底角(簡稱“”);(2)等腰三角形的,、重合(簡稱“三線合一”).3.你能證明以上性質(zhì)嗎?問題:(1)性質(zhì)1(等腰三角形的兩個底角相等)的條件和結(jié)論分別是什么?(2)怎樣用數(shù)學符號表示條件和結(jié)論?已知:在ABC中,AB=AC.求證:B=C;請以“頂角的平分線”為輔助線,證明以上性質(zhì).(A組同學完成以下填空,B組同學獨立證明.)教師巡視輔導點評.【課件6】證明:如圖所示,作BAC的平分線AD,=,在ABD與ACD中,ABDACD(),B=.4.受上述啟發(fā),能證明性質(zhì)2嗎?即證明BAC的平分線AD是ABC底邊上的中線和高.證明:由ABDACD知BD=,BAD=,ADB=,ADB+ADC=,ADB=ADC=.因此BAC的平分線AD也是ABC底邊BC上的中線和高.5.提問:作底邊上的高,又如何證明?(讓同學講證明思路.)設(shè)計意圖通過作等腰三角形讓學生感知其重點,通過幾何畫板讓學生對照圖形思考等腰三角形的性質(zhì),同時掌握對性質(zhì)的證明方法,培養(yǎng)學生的學習能力.探究二:等邊三角形的性質(zhì)定理過渡語我們知道三邊都相等的三角形是等邊三角形.等邊三角形是特殊的等腰三角形,它有哪些性質(zhì)呢?每位同學畫一個等邊三角形,并用量角器量一量每個內(nèi)角的度數(shù).結(jié)論:等邊三角形的三個角都相等,并且每一個角都等于60.【課件7】已知:如圖所示,在ABC中,AB=BC=AC. 求證:A=B=C=60.指導學生利用等腰三角形的性質(zhì)進行證明.證明:在ABC中,由AB=AC,得B=C.由AC=BC,得A=B.所以A=B=C.由三角形內(nèi)角和定理可得A=B=C=60.知識拓展等邊三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性質(zhì)外,等邊三角形還具有自己特有的性質(zhì):(1)等邊三角形有三條對稱軸(等邊三角形三條邊都相等,都可以作為底邊);(2)作等邊三角形各邊的高線、中線、各角的平分線一共有三條.設(shè)計意圖讓學生通過測量、證明,發(fā)現(xiàn)等邊三角形的性質(zhì),掌握等腰三角形和等邊三角形的關(guān)系.探究三:例題講解【課件8】已知:如圖所示,在ABC中,AB=AC,BD,CE分別為ABC,ACB的平分線. 求證:BD=CE.解析根據(jù)角平分線定義得到ABD=ABC,ACE=ACB,再根據(jù)等邊對等角得到ABC=ACB,從而得到ABD=ACE,然后通過ASA證得ABDACE,就可以得到BD=CE.教師巡回指導,在學生完成后,指名口述解答過程.【課件9】(補充例題)如圖所示,在ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求ABC中各角的度數(shù). 解析根據(jù)等邊對等角的性質(zhì),我們可以得到A=ABD,ABC=C=BDC,再由BDC=A+ABD,就可得到ABC=C=BDC=2A.再由三角形內(nèi)角和為180,就可求出ABC的三個角的度數(shù).如果設(shè)A為x,那么ABC,C都可以用x來表示,這樣過程就更簡捷了.解:因為AB=AC,BD=BC=AD,所以ABC=C=BDC,A=ABD.設(shè)A=x,則BDC=A+ABD=2x,從而ABC=C=BDC=2x.在ABC中,A+ABC+C=x+2x+2x=180,解得x=36.所以A=36,ABC=C=72.設(shè)計意圖通過對例題的講解、分析,引導學生應用等腰三角形的性質(zhì),讓學生掌握解題思路和方法,提高學生對等腰三角形性質(zhì)的應用能力.1.等腰三角形的性質(zhì)1等腰三角形的兩個底角相等(簡稱“等邊對等角”).注意:等邊對等角只限于在同一個三角形中使用.2.等腰三角形的性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡稱“三線合一”).說明:等腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的中線(底邊上的高、頂角平分線)所在的直線是它的對稱軸.3.等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個角都相等,并且每一個角都等于60.1.若等腰三角形的頂角為40,則它的底角度數(shù)為()A.40B.50C.60D.70解析:因為等腰三角形的兩個底角相等,頂角是40,所以其底角為=70.故選D.2.一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7,則它的周長為()A.17B.15C.13D.13或17解析:當?shù)妊切蔚难鼮?,底邊為7時,3+37,不能構(gòu)成三角形;當?shù)妊切蔚难鼮?,底邊為3時,周長為3+7+7=17.故這個等腰三角形的周長是17.故選A.3.如圖所示,AD是等邊三角形ABC的中線,AE=AD,則EDC等于() A.30B.20C.25D.15解析:ABC是等邊三角形,AB=AC,BAC=C=60,AD是ABC的中線,DAC=BAC=30,ADBC,ADC=90,AE=AD,ADE=AED=75,EDC=ADC-ADE=90-75=15.故選D.4.如圖所示,lm,等邊三角形ABC的頂點B在直線m上,邊BC與直線m所成的銳角為20,則的度數(shù)為() A.60B.45C.40D.30解析:如圖所示,過C作CE直線m,lm,lmCE,ACE=,BCE=CBF=20,ABC是等邊三角形,ACB=60,+CBF=ACB=60,=40.故選C.5.如圖所示,在ABC中,AB=AC,ADBC于點D,若AB=6,CD=4,則ABC的周長是.解析:在ABC中,AB=AC,ABC是等腰三角形,又ADBC于點D,BD=CD.AB=6,CD=4,ABC的周長=6+4+4+6=20.故填20.6.如圖所示,在ABC中,A=70,AB=AC,CD平分ACB.求ADC的度數(shù). 解析:由AB=AC及頂角A的度數(shù),利用等邊對等角得到兩底角相等,再利用三角形內(nèi)角和定理求出底角的度數(shù),再由CD為底角的平分線,求出DCB的度數(shù),由ADC為三角形BCD的外角,利用外角性質(zhì)即可求出ADC的度數(shù).解:在ABC中,A=70,AB=AC,B=ACB=55,又CD平分ACB,DCB=ACD=27.5,ADC為BCD的外角,ADC=B+DCB=82.5.7.如圖所示,等邊三角形ABC中,D為AC邊的中點,過C作CEAB,且AECE,那么CAE=ABD嗎?請說明理由. 解析:根據(jù)ABC為等邊三角形,D為AC邊上的中點得到AC=BA,BAC=BCA=60,BDAC,求出BDA=90,由CEAB得ACE=BAD,利用三角形內(nèi)角和定理得出CAE=ABD.解:CAE=ABD,理由如下:ABC為等邊三角形,D為AC邊上的中點,AC=BA,BAC=BCA=60,BDAC,BDA=90,AECE,AEC=BDA=90,又CEAB,ACE=BAD,180-90-ACE=180-90-BAD,CAE=ABD.第1課時探究一:等腰三角形的性質(zhì)探究二:等邊三角形的性質(zhì)探究三:例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第142頁練習第1,2,3題.2.教材第143頁習題A組第1,2,3題.【選做題】教材第143頁習題B組第1,2題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.如圖所示,在ABC中,AB=AC,A=30,以B為圓心,BC的長為半徑圓弧,交AC于點D,連接BD,則ABD等于() A.30B.45C.60D.902.如圖所示,在ABC中,點D在BC上,AB=AD=DC,B=80,則C的度數(shù)為() A.30B.40C.45D.603.已知等腰三角形ABC的周長為13,且各邊長均為整數(shù),那么這樣的等腰三角形ABC有()A.5個B.4個C.3個D.2個4.如圖所示,在ABC中,AB=AC,且D為BC上一點,CD=AD,AB=BD,則B的度數(shù)為() A.30B.36C.40D.455.如圖所示,ABC是一房屋人字架,其中AB=AC,為使人字架更加堅固,房主要求在頂點A和橫梁BC之間加根柱子AD,可木工卻不知將D點釘在BC何處才能使ADBC,請同學們幫幫他,并說明理由. 【能力提升】6.如圖所示,ABC是等邊三角形,E是AC上一點,D是BC延長線上一點,連接BE,DE,若ABE=40,BE=DE,求CED的度數(shù). 7.如圖所示,在ABC中,AB=AC,D為BC邊上一D點,B=30,DAB=45. (1)求DAC的度數(shù);(2)求證DC=AB.【拓展探究】8.已知等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分為9 cm和15 cm兩部分,求這個等腰三角形的底邊長和腰長.9.已知等邊三角形ABC和點P,設(shè)點A到BC的距離為h,點P到ABC的三邊AB,AC,BC的距離分別為h1,h2,h3, (1)如圖(1)所示,若點P在邊BC上,求證h1+h2=h.(2)如圖(2)所示,當點P在ABC內(nèi)時,猜想h1,h2,h3和h有什么關(guān)系?并證明你的結(jié)論.(3)如圖(3)所示,當點P在ABC外時,h1,h2,h3和h有什么關(guān)系?【答案與解析】1.B(解析:AB=AC,A=30,ABC=ACB=(180-A)=(180-30)=75,以B為圓心,BC的長為半徑圓弧,交AC于點D,BC=BD,CBD=180-2ACB=180-275=30,ABD=ABC-CBD=75-30=45.)2.B(解析:ABD中,AB=AD,B=80,B=ADB=80,ADC=180-ADB=100,AD=CD,C=40.)3.C(解析:周長為13,邊長為整數(shù)的等腰三角形的邊長只能為:3,5,5;或4,4,5;或6,6,1.共3個.)4.B(解析:AB=AC,B=C,AB=BD,BAD=BDA,CD=AD,C=CAD,BAD+CAD+B+C=180,5B=180,B=36.)5.解:木工將D點釘在BC中點處能使ADBC,理由如下:AB=AC,BD=DC,ADBC.6.解:ABC是等邊三角形,ABC=ACB=60,ABE=40,EBC=ABC-ABE=60-40=20,BE=DE,D=EBC=20,CED=ACB-D=40.7.(1)解:AB=AC,B=C=30,C+BAC+B=180,BAC=180-30-30=120,DAB=45,DAC=BAC-DAB=120-45=75.(2)證明:DAB=45,ADC=B+DAB=75,DAC=ADC,DC=AC,AB=AC,DC=AB.8.解:設(shè)等腰三角形的腰長為x,如圖所示,ABC是等腰三角形,AB=AC,由BD是AC邊上的中線,有AB+AD=9或AB+AD=15,分下面兩種情況:(1)x+x=9,x=6,三角形的周長為9+15=24(cm),三邊長分別為6,6,12,6+6=12,不符合三角形的三邊關(guān)系,舍去; (2)x+x=15,x=10.三角形的周長為24 cm,三邊長分別為10,10,4.綜上可知這個等腰三角形的底邊長為4 cm,腰長為10 cm.9.(1)證明:如圖(1)所示,連接AP,則SABC=SABP+SAPC,BCAM=ABPD+ACPF,即BCh=ABh1+ACh2.又ABC是等邊三角形,BC=AB=AC,h=h1+h2.(2)解:h=h1+h2+h3,證明如下:如圖(2)所示,連接AP,BP,CP,則SABC=SABP+SBPC+SACP,BCAM=ABPD+ACPF+BCPE,即BCh=ABh1+ACh2+BCh3.又ABC是等邊三角形,BC=AB=AC.h=h1+h2+h3.(3)解:h=h1+h2-h3.理由如下:如圖(3)所示,連接PB,PC,PA.由三角形的面積公式得SABC=SPAB+SPAC-SPBC,即BCAM=ABPD+ACPF-BCPE,ABC是等邊三角形,AB=BC=AC,h1+h2-h3=h. 這節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了三角形的有關(guān)概念和“認識軸對稱圖形”的基礎(chǔ)上進行學習的,學生已經(jīng)掌握了三角形的相關(guān)知識,具有初步的探究學習經(jīng)驗.同時本節(jié)課的內(nèi)容不僅是對前面所學知識的運用,也是今后證明角相等、線段相等及直線垂直的重要工具,它在教材中處于非常重要的地位.因為等腰三角形的性質(zhì)在日常生活中有廣泛的應用,所以探索發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)是這節(jié)課的重點;同時,對“三線合一”性質(zhì)的理解和運用,學生有一定的難度,是這節(jié)課的難點.為了突出重點,教師充分創(chuàng)設(shè)問題情境,解決問題;為了突破難點,教師引導學生經(jīng)歷動手折紙、動手畫圖、對比分析、提出猜想、小組討論、發(fā)現(xiàn)、歸納總結(jié)等活動,加以化解.教師在整個教學過程中主要通過動手操作、直觀演示、小組討論、自主探索、合作交流、發(fā)現(xiàn)歸納等多種教與學的方式,確保學生是學習的主人,教師是組織者、引導者、合作者.同時為了更好地啟發(fā)、感染和調(diào)動學生,提高教學效率,采用課件輔助教學,充分開發(fā)和利用教育資源為課堂教學服務(wù).在教學方法上,本節(jié)課以學生為主體,教師真正成為學生學習的組織者、引導者、合作者.特別是在探究“三線合一”的性質(zhì)時,老師給出探究主題,學生以小組為單位,合作交流,自主探究、發(fā)現(xiàn).本著“問題是數(shù)學的心臟”原則,教師精心設(shè)計了一些問題,在教學過程中有半數(shù)的學生回答了教師的提問,但礙于教學計劃,有的問題在回答過程中還不時得到教師的提醒,這樣導致的結(jié)果是難于發(fā)現(xiàn)學生真實的思維過程.“多提問”固然有利于學生思考和理解知識,有利于了解學生掌握知識的程度.但在倡導培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力的今天,更要重視對學生問題意識的培養(yǎng).但教師在本節(jié)課的教學設(shè)計中留給學生的時間和空間偏少,導致學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題太少,長此以往,會使學生問題意識淡化.問起于疑,疑源于思,課堂上教師要為學生質(zhì)疑創(chuàng)造足夠的空間和時間.在問題解決過程中培養(yǎng)學生問題意識和發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的良好習慣.在探究問題的過程中,教師一定要讓學生自己去發(fā)現(xiàn),只有由學生自己發(fā)現(xiàn)的東西,才是最真實的,也是最容易掌握的.在學生回答問題時,教師要適當點撥,但不能代替學生回答自己提出的問題,一定要讓學生說,哪怕是錯誤的,也是經(jīng)過學生思考得來的.【練習】(教材第142頁)1.提示:(1)70.(2)45.(3)35.(4)60.圖略.2.提示:(1)20.(2)80.(3)90.(4)120.3.解:(1)可以是銳角,不可以是直角和鈍角.因為等腰三角形兩底角相等,當?shù)捉菫橹苯腔蜮g角時,三角形內(nèi)角和大于180,與三角形內(nèi)角和等于180相矛盾,所以底角不可以是直角或鈍角.(2)都可以,因為都符合三角形內(nèi)角和定理.【習題】(教材第143頁)A組1.解:(1)圖中有3個等腰三角形,它們分別是ABC,ABD,BCD.(2)因為AB=AC,所以ABC=C.因為BD=BC,所以C=BDC.因為BD=AD,所以A=DBA.設(shè)A=DBA=,則ABC=BDC=C=2.在ABC中,ABC+C+A=180,所以2+2+=180,即5=180,所以=36,即A=36.2.解:(1)80,20或50,50.(2)40,40.(3)設(shè)這個三角形的頂角為x,則其底角為x,由題意得x+x+x=180,x=90,x=45.這個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別為90,45,45.3.解:ABC為等邊三角形,AB=AC,BAC=60,又BD=DC,CAD=BAD=BAC=60=30.4.解:AB=BC,B=50,ACB=BAC=65.AC=CD,D=CAD.又ACB=D+CAD,ACB=2D,2D=65,D=32.5.B組1.解:設(shè)腰長為x cm.當腰長大于底邊長時,x+x=18,x=12,此時底邊長為15-x=15-12=9(cm).當腰長小于底邊長時,x+x=15,x=10,此時底邊長為18-x=18-10=13(cm).綜上可得等腰三角形的底邊長為9 cm或13 cm. 2.解:相等,相等.已知:如圖所示,在ABC中,AB=AC,BD,CE分別是AC,AB邊上的中線,BG,CH分別是AC,AB邊上的高.求證BD=CE,BG=CH.證明:AB=AC,BD,CE分別為AC,AB邊上的中線,AD=AC,AE=AB,AD=AE.在ABD和ACE中,ABDACE,BD=CE.AB=AC,ACB=ABC,BG,CH分別為AC,AB邊上的高,BGC=CHB=90.在BGC和CHB中,BGCCHB,BG=CH.等腰三角形的性質(zhì)與應用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)在初中幾何證明和計算中占據(jù)了非常重要的地位,實際上這個性質(zhì)的逆定理在證明中的直接或間接應用也不亞于這個性質(zhì)的直接應用,可以作為判定等腰三角形的一種重要思路.由于書上沒有直接給出逆定理,所以很多學生在解題時很難想象到利用這一定理來解決問題,以至于在幾何證明過程中思維受阻,不能正確地作出輔助線.因而在教學中,教師如果把握好等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆定理在輔助線教學中的應用,把握好化歸思想方法的滲透,將有助于讓學生把握解題的關(guān)鍵,更好地培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力,有助于學生突破解題的難點,明確輔助線的添加,探明解題的方法,從而幫助學生提高解決問題的能力,“三線合一”性質(zhì):等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合,逆定理:如果三角形中任一角的平分線和它所對邊的中線重合,那么這個三角形是等腰三角形.如果三角形中任一角的平分線和它所對邊的高重合,那么這個三角形是等腰三角形.如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合,那么這個三角形是等腰三角形.簡言之:三角形中任意兩線合一,必能推導出它是一個等腰三角形.學習本節(jié)的關(guān)鍵之一是讓學生通過剪切、折疊,發(fā)現(xiàn)線段和角的關(guān)系,從圖形中觀察并總結(jié)出等腰三角形的性質(zhì).教學中要注意引導,不要急于得出結(jié)論,在操作過程中,讓學生翻折不同的等腰三角形,如頂角是銳角、鈍角或直角的等腰三角形,說明在翻折過程中相應的角的大小和線段的長短關(guān)系都沒有發(fā)生變化;還可以讓學生探索一般的三角形是否一定有這種性質(zhì),進一步體會等腰三角形所具有的特點.如圖所示,ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,CAD=26,AE=AD,求BDE的度數(shù). 解析由等腰三角形“三線合一”知BAD=CAD=26,由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可求得ADE=77,在RtADB中,BDE=ADB-ADE.解:AB=AC,AD是高,BAD=CAD=26.AD=AE,ADE=AED=(180-26)2=77.BDE=90-77=13.小明做了一個如圖所示的“風箏”骨架,其中AB=AD,CB=CD. (1)八年級王云同學觀察了這個“風箏”骨架后,他認為ACBD,垂足為點E,并且BE=ED,你同意王云的判斷嗎?為什么?(2)設(shè)AC=a,BD=b,請用含a,b的式子表示四邊形ABCD的面積.解析(1)根據(jù)SSS證ABCADC,推出BAC=DAC,根據(jù)等腰三角形“三線合一”推出即可;(2)四邊形ABCD的面積為S=SABD+SCBD=BDAC,代入求出即可.解:(1)在ABC和ADC中, ABCADC(SSS),BAC=DAC,AB=AD,ACBD,BE=DE.(2)AC=a,BD=b,四邊形ABCD的面積S=SABD+SCBD=BDAE+BDCE=BD(AE+CE)=BDAC=ab.用一條長為20 cm的細繩圍成一個等腰三角形.(1)如果腰長是底邊長的2倍,那么各邊的長是多少?(2)能圍成有一邊長為5 cm的等腰三角形嗎?如果能,請求出它的另兩邊長.解析(1)設(shè)底邊長為x cm,則腰長為2x cm,根據(jù)周長公式列一元一次方程,解方程即可求得各邊的長;(2)題中沒有指明5 cm長的邊是底邊還是腰,故應該分情況進行討論,注意利用三角形三邊關(guān)系進行檢驗.解:(1)設(shè)底邊長為x cm,則腰長為2x cm,根據(jù)題意得2x+2x+x=20,解得x=4,2x=8,各邊長為8 cm,8 cm,4 cm.(2)當5 cm為底邊長時,腰長為7.5 cm;當5 cm為腰長時,底邊長為10 cm,5+5=10,不能構(gòu)成三角形,故舍去.因此能構(gòu)成有一邊長為5 cm的等腰三角形,另兩邊長為7.5 cm,7.5 cm.如圖所示,兩根鋼繩一端用鐵柱固定在地面上,另一端固定在電線桿上(電線桿垂直于地面),已知兩根鋼繩的長度相等,則兩個鐵柱到電線桿底部的距離BO與CO相等嗎?為什么? 解析已知兩根鋼繩的長度相等,所以ABC是等腰三角形,因為電線桿垂直于地面,所以根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知BO=CO.解:BO與CO相等.理由如下:AB=AC,ABC是等腰三角形,由題知AOBC,BO=CO,因此兩個鐵柱到電線桿底部的距離BO與CO相等.第課時1.理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定定理.2.運用等腰三角形、等邊三角形的判定定理進行證明和計算.1.理解并掌握“等角對等邊”,體會與“等邊對等角”的互逆關(guān)系.2.能夠利用等腰三角形和等邊三角形的判定定理解決問題.1.提高學生的動手能力,學會數(shù)學說理,發(fā)展初步的演繹推理能力.2.引導學生觀察,發(fā)現(xiàn)等腰三角形、等邊三角形的判定定理,讓學生從思考中獲得成功,在這個過程中體驗學習的興趣.【重點】等腰三角形、等邊三角形的判定定理.【難點】邊、角關(guān)系互相轉(zhuǎn)化及運用.【教師準備】課件15.【學生準備】復習等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì).導入一:【課件1】某地質(zhì)專家為估測一條東西流向的河流的寬度,選擇河流北岸上一棵樹(B點),然后在這棵樹的正南方A點插一小旗作標志,沿南偏東60方向走一段距離到C處時,測得ACB為30,這時,地質(zhì)專家只要測得AC的長度就可知河流寬度. 學生們很想知道,這樣估測河流寬度的根據(jù)是什么?帶著這個問題,引導學生學習“等腰三角形、等邊三角形的判定定理”.導入二:教師提出問題,引導學生思考.1.什么樣的三角形叫做等腰三角形?2.等腰三角形的兩底角有何關(guān)系?誰能告訴我怎樣去判定一個三角形是不是等腰三角形?除用兩邊相等判定等腰三角形外,是否還有其他方法?由此引入課題.等腰三角形的兩個底角是相等的,反過來,如果一個三角形有兩個角相等,那么這個三角形是否一定是等腰三角形呢?設(shè)計意圖通過問題引入,激發(fā)學生的學習興趣,同時使學生認識到等腰三角形的性質(zhì)與等腰三角形的判定方法是否存在一種特殊關(guān)系,從而掀起學生的探究欲望,使他們能更好地投入到學習中.導入三:對于一個三角形,怎樣判定它是不是等腰三角形呢?我們已經(jīng)知道的方法是看它是否有兩條邊相等.現(xiàn)在我們將學習另一種判定方法.活動一:等腰三角形、等邊三角形的判定定理過渡語我們已經(jīng)知道如果一個三角形有兩條邊相等,那么它們所對的角也相等,反過來,如果一個三角形有兩個角相等,那么它們所對的邊是否相等呢?下面我們就來研究這個問題.1.等腰三角形的判定定理思路一【課件2】已知在ABC中,B=C.(1)請你作出BAC的平分線AD.(2)將ABC沿AD所在直線折疊,ABC被直線AD分成的兩部分能夠重合嗎?(3)由上面的操作,你是否發(fā)現(xiàn)了邊AB和邊AC之間的數(shù)量關(guān)系?學生思考教師提出的問題,得出結(jié)論:ABC被直線AD分成的兩部分能夠重合,AB=AC.從上面的探究我們不難發(fā)現(xiàn):如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等.如何證明?(1)在這一問題中,條件和結(jié)論是什么?(2)用數(shù)學符號怎樣表示?教師引導提示,學生根據(jù)提示畫出圖形,并寫出已知、求證.已知:在ABC中,B=C.求證:AB=AC.與學生一起回顧等腰三角形性質(zhì)的證明過程,從作底邊上的高、中線、頂角平分線三個方面分析.讓