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文檔簡介
開放探究型 題型特點 開放性問題是指答案不唯一、解題方向不確定、條件(或結(jié) 論)不止一種情況的數(shù)學問題開放性問題的答案通常不是固定 的解決這類問題,需要對問題進行多方面、多角度、多層次的思 考、審視,重在培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力和探索能力 開放性試題大致可分為四類:()條件開放型,()結(jié)論開 放型,()策略開放型,()綜合開放型 命題趨勢 近幾年中考偏重開放型題目的考查如綜合開放型試題,條 件和結(jié)論都不確定,需要考生確定條件和結(jié)論,然后組成一個新 的命題,并加以證明這種新穎的命題形式成為中考的又一亮點 此外,還有策略開放型試題,主要側(cè)重于解題方法、策略的選擇 和設計 題型一 條件開放型問題 條件開放型探究題是給定結(jié)論,條件未知或不全,需探求與 結(jié)論相對應條件的題目解這類開放型問題的一般思路為:由已 知結(jié)論思考題目應具備的條件,即從題目的結(jié)論出發(fā),追本溯 源,逐步探求 例 ( 福建龍巖, 分)如圖,四邊形 中,對 角線 , 相交于點 ,點 , 分別在 , 上 ()給出以下條件:,請你 從中選取兩個條件證明; ()在()中你所選條件的前提下,添加 ,求證:四邊 形 是平行四邊形 解析 ()若選和,在 和 中, , () 若選和,在 和 中, , , () 若選和,在 和 中, , , () ()證明:由()知, , 又 , , 四邊形 是平行四邊形 思路分析 ()任選兩個條件,根據(jù)全等三角形的判定方 法證明;()可以利用對角線互相平分的四邊形 是平行四邊形來證 好題精練 ( 黑龍江龍東, 分)如圖,菱形 中,對角線 、 相 交 于 點 , 不 添 加 任 何 輔 助 線, 請 添 加 一 個 條 件 ,使四邊形 是正方形(填一個即可) 答案 答案不唯一,如: 解析 四邊形 為菱形, 當 時,四邊形 為正方形(答案不唯一) ( 廣東梅州, 分)已知: 中,點 是 邊的中 點,點 在 邊上,若以 , 為頂點的三角形與 相似, 則需要增加的一個條件是 (寫出一個即可) 答案 是 的中點(或 或 或 或 或) 解析 答案不唯一,根據(jù)三角形相似的判定方法相應添加條 件即可 ( 四川南充, 分)已知關于 的一元二次方程( )() , 為實數(shù) ()求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根; () 為何值時,方程有整數(shù)解? (直接寫出三個,不需說明理由) 解析 ()證明:將一元二次方程()() 化為一 般形式得 , () () 為實數(shù), , 關于 的一元二次方程()() 有兩個不相等的實 數(shù)根 () 或 (答案不唯一) 題型二 運動型問題 動態(tài)幾何就是研究在幾何圖形的運動中,伴隨著出現(xiàn)一定 的圖形位置、數(shù)量關系的“變”與“不變”性;就其運動對象而言 有點動、線動、面動;就其運動形式而言有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等動 態(tài)幾何問題常常集幾何、代數(shù)知識于一體,數(shù)形結(jié)合,有較強的 綜合性,題目靈活、多變,動中有靜,動靜結(jié)合,能夠在運動變化 中發(fā)展學生空間想象能力,綜合分析能力,是近幾年中考命題的 熱點 解決動態(tài)幾何問題我們需要用運動與變化的眼光去觀察和 研究圖形,把握圖形運動與變化的全過程,抓住其中的等量關系 和變量關系,特別關注一些不變量和不變關系或特殊關系;在求 有關圖形的變量之間關系時,通常建立函數(shù)模型或不等式模型 來求解;求圖形之間的特殊數(shù)量關系和一些特殊值時,通常建立 方程模型求解 例 ( 四川綿陽, 分)如圖,在邊長為 的正方 形 中, 是 延長線上的一點,且 ,動點 從 點出發(fā),以每秒 個單位的速度沿著 的路線向 點勻 速運動( 不與 、 重合),設運動時間為 秒連接 并延長 交 于 ()是否存在點 ,使 為等腰三角形? 若存在,分析 第八章 熱點題型探究 點 的位置;若不存在,請說明理由; ()當點 在 邊上時,若 , 交 的平分 線于 ,求證:; ()過點 分別作 、 的垂線,垂足分別為 、,矩形 與 重疊部分的面積為 ,求 的最大值 解析 ()存在當點 為 的中點時,有 ,則 為等腰三角形;( 分) 當點 與點 重合時,則 為等腰三角形; ( 分) 當點 在 上且 時, ,則 為等腰三 角形;( 分) 當點 為 的中點時,則 為等腰三角形 ( 分) ()證明:在 上取點 ,使 ,連接 , 又 平分直角, , , , ( 分) 在 中, ,又 ,即 , , (), ( 分) ()當 在 上,即 時,易知 為等腰直 角三角形 , ( 分) 當 在 上,即 時, , , , , () , , , 為等腰直角三角形 ( ) ( ) ( ), ( ) ( 分) 在 范圍內(nèi),當 時, 的最大值為 ( ) ; 在 范圍內(nèi), () , 當 時, 的最大值為 , 當 時, 的最大值為 ( 分) 好題精練 ( 北京, 分)如圖, 是 ( 所對弦 上一動點,過點 作 交 ( 于點 ,連接 ,過點 作 于點 已知 ,設 , 兩點間的距離為 , 兩點間的 距離為 (當點 與點 或點 重合時, 的值為 ) 小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù) 隨自變量 的變化而變化 的規(guī)律進行了探究 下面是小東的探究過程,請補充完整: ()通過取點、畫圖、測量,得到了 與 的幾組值,如下表: (說明:補全表格時相關數(shù)值保留一位小數(shù)) ()建立平面直角坐標系,描出以補全后的表中各對對應值為 坐標的點,畫出該函數(shù)的圖象; ()結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:當 為等腰三角形 時, 的長度約為 解析 () () 年中考 年模擬 ()(答案不唯一) 提示:當 為等腰三角形時,只有 這一種可能,則 有 ,求函數(shù) 的圖象與所畫出的函數(shù)圖象的交點即可 ( 山東青島, 分)已知:如圖,在矩形 中, , ,對角線 , 交于點 點 從點 出發(fā),沿 方向勻速運動,速度為 ;同時,點 從點 出發(fā),沿 方向勻速運動,速度為 ;當一個點停止運動時,另一 個點也停止運動連接 并延長,交 于點 ,過點 作 ,交 于點 設運動時間為 ()(),解答下列 問題: ()當 為何值時, 是等腰三角形? ()設五邊形 的面積為 (),試確定 與 的函數(shù) 關系式; ()在運動過程中,是否存在某一時刻 ,使 五邊形 ? 若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由; ()在運動過程中,是否存在某一時刻 ,使 平分? 若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由 解析 ()在 中,根據(jù)勾股定理,得 當 是等腰三角形時, 若 ,則 ; 若 ,則 與 重合, ; 若 ,如圖, 過 作 于 ,則 , , ,即 , , 或 即當 或 時, 是等腰三角形( 分) ()如圖,過 作 于 ,過 作 于 , , 又 , 是 的中位線, , 同理, 易證, , 易證, () , 即 () , () 答: 與 的函數(shù)關系式是 ( 分) ()存在若 五邊形 , 則 即 ,解得 , 當 或 時,五邊形 ( 分) ()存在若 平分, 如圖,過 作 于 ,作 于 ,過 作 于 , 則 , , 即 易證, , 第八章 熱點題型探究 即 , , 在 中, , () (), 即 , (舍去), 當 時, 平分( 分) 評析 對于動點問題,往往存在多種可能的情形,故需要 分類求解; 對于不規(guī)則圖形的面積問題,往往轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和 或差求解; 存在性問題的求解思路:先對結(jié)論作出肯定的假設,然后由 這個假設出發(fā),結(jié)合已有條件或挖掘隱含條件,利用方程思想、 數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想等進行正確地計算、推理,再對 得出的結(jié)果進行分析,檢驗其是否與題設、公理、定理等矛盾 若無矛盾,說明結(jié)論正確,由此得出符合條件的數(shù)學對象存在; 否則,說明符合條件的數(shù)學對象不存在 ( 四川攀枝花, 分)如圖 ,矩形 的兩條邊在 坐標軸上,點 與坐標原點 重合,且 ,如圖 ,矩 形 沿 方向以每秒 個單位長度的速度運動,同時點 從 點出發(fā)也以每秒 個單位長度的速度沿矩形 的 邊 經(jīng)過點 向點 運動,當點 到達點 時,矩形 和點 同時停止運動,設點 的運動時間為 秒 ()當 時,請直接寫出點 、點 的坐標; ()當點 在線段 或線段 上運動時,求出 的面 積 關于 的函數(shù)關系式,并寫出相應 的取值范圍; ()點 在線段 或線段 上運動時,作 軸,垂足為 點 ,當 與 相似時,求出相應的 值 解析 ()(,),(,) ()當點 在邊 上運動時, () 當點 在邊 上運動時, (), 所以 (), () ()連接 ,易知 , () 當點 在邊 上運動時,點 , () 當 時, ,解得 , 當 時, ,解得 , 不合題意,應舍去 當點 在邊 上運動時,點 , () 當 時, ,解得 當 時, ,解得 , 不合題意,應舍去 當 時, 與 相似 題型三 存在性問題 存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問 題,這類問題的知識覆蓋面較廣,綜合性較強,題意構(gòu)思非常精 巧,解題方法靈活,解題的一般思路是:假設存在推理論證 得出結(jié)論若能導出合理的結(jié)果,就作出“存在”的判斷,導出矛 盾,就作出不存在的判斷 例 ( 四川成都, 分)如圖,在平面直角坐標系 中,拋物線 ()與 軸交于 、 兩點(點 在點 的左側(cè)),經(jīng)過點 的直線 : 與 軸負半軸交于 點 ,與拋物線的另一個交點為 ,且 ()直接寫出點 的坐標,并求直線 的函數(shù)表達式(其中 、 用含 的式子表示); ()點 是直線 上方的拋物線上的動點,若 的面積 的最大值為 ,求 的值; ()設 是拋物線的對稱軸上的一點,點 在拋物線上,以 點 、 為頂點的四邊形能否成為矩形? 若能,求出點 的 坐標;若不能,請說明理由 解析 ()(,) 直線 經(jīng)過點 , , , , 令 ,即 () , 點 的橫坐標為 , 年中考 年模擬 , 直線 的函數(shù)表達式為 ()過點 作 軸,交直線 于點 設 (,),則 (,) () , ()() () () () , 的面積的最大值為 的面積的最大值為 , ,解得 ()以點 、 為頂點的四邊形能成為矩形 令 ,即 , 解得 , (,) , 拋物線的對稱軸為 設 (,), 若 是矩形 的一條邊,則易得 (,) ,則 (,) 四邊形 為矩形, , () ()()()(), 即 , , , , 若 是矩形 的一條對角線,則線段 的中點坐 標為 , (),(,), () ,則 (,) 四邊形 為矩形, , , () ()()() (), 即 , , , (,) 綜上所述,以點 、 為頂點的四邊形能成為矩形,點 的坐標為 , 或(,) 例 ( 廣東梅州, 分)如圖,在平面直角坐標系 中,已知拋物線 過 、 三點,點 的坐標是(, ),點 的坐標是(,),動點 在拋物線上 () , ,點 的坐標為 ;(直 接填寫結(jié)果) ()是否存在點 ,使得 是以 為直角邊的直角三 角形? 若存在,求出所有符合條件的點 的坐標;若不存在,說 明理由; ()過動點 作 垂直 軸于點 ,交直線 于點 ,過 點 作 軸的垂線,垂足為 ,連接 當線段 的長度最短 時,求出點 的坐標 解析 ();(,)( 分) ()存在( 分) 當以點 為直角頂點時,過點 作 ,交拋物線于 點 , 過點 作 軸的垂線,垂足為點 , , , , ( 分) 由()可得拋物線為 設 (,),則 (), 解得 (舍去), , 則點 的坐標是(,)( 分) 第八章 熱點題型探究 當以點 為直角頂點時,過點 作 ,交拋物線于 點 ,過點 作 軸的垂線,垂足為點 ,交 軸于點 , 軸 , , , , 設 (,),則() 解得 (舍去), , 則點 的坐標是(,) 綜上所述,點 的坐標是(,)或(,)( 分) (本題有多種解法,請參照此評分標準給分) () 連接 ,由題意可知,四邊形 是矩形,則 根據(jù)垂線段最短,可知當 時, 最短,即 最短 ( 分) 設 點的坐標為(,),由()可知,在 中, , 點 是 的中點, 又 , 點 是 的中點, 點 的縱坐標是 ( 分) 則 ,解得 當 最 短 時, 點 的 坐 標 是 , 或 , ( 分) 好題精練 ( 陜西, 分) 問題提出 ()如圖, 是等邊三角形,若點 是 的 內(nèi)心,則 的長為 ; 問題探究 ()如圖,在矩形 中, , 如果點 是 邊上一點,且 ,那么 邊上是否存在一點 ,使得線 段 將矩形 的面積平分? 若存在,求出 的長; 若不存在,請說明理由; 問題解決 ()某城市街角有一草坪,草坪是由 草地和弦 與其 所對的劣弧圍成的草地組成,如圖所示管理員王師傅在 處 的 水 管 上 安 裝 了 一 噴 灌 龍 頭, 以 后, 他 想 只用噴灌龍頭 來給這塊草坪澆水,并且在用噴灌龍頭澆水 時,既要能確保草坪的每個角落都能澆上水,又能節(jié)約用 水于是,他讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于(即每次噴 灌時噴灌龍頭由 轉(zhuǎn)到 ,然后再轉(zhuǎn)回,這樣往復噴 灌),同時,再合理設計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了 如圖,已測出 , , 的面積為 ;過弦 的中點 作 交 ( 于點 ,又測得 請你根據(jù)以上提供的信息,幫助王師傅計算噴灌龍頭的射程至 少為多少米時,才能實現(xiàn)他的想法,為什么? (結(jié)果保留根號 或精確到 米) 解析 () ( 分) ()存在如圖,連接 、,相交于點 ,連接 并延長交 于點 ,則線段 將矩形 的面積平分( 分) 點 為矩形 的對稱中心, 過點 作 于點 ,則 , ( 分) ()如圖,作射線 交 于點 , ( 為劣弧, ( 所在圓的圓心在射線 上 假設圓心為 ,半徑為 ,連接 ,則 () 解之,得 ( 分) 過點 作 ,垂足為 , , , , 易得, 點 在 內(nèi)部( 分) 連接 并延長交 ( 于點 ,則 為草坪上的點到 點的 最大距離 在 ( 上任取一異于點 的點 ,連接 , 有 即 ( 分) 過點 作 ,垂足為 ,則 , 年中考 年模擬 噴灌龍頭的射程至少為( )米(約為 米) ( 分) 思路分析 ()等邊 的內(nèi)心與外心重合,構(gòu)造直角三 角形,運用勾股定理求出 的長;()運用矩形的中心對稱性 可知 一定經(jīng)過矩形 的對稱中心,通過構(gòu)造直角三角 形,運用勾股定理可以求出 的長;()先根據(jù)圓的對稱性找 出圓心,運用垂徑定理和勾股定理求出該圓的半徑,再利用相 似判斷出點 與三角形 的位置關系,最后根據(jù)“三角形 的兩邊之和大于第三邊”確定噴灌龍頭的最遠射程為 的 長,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求出 的長,進而可得 的長 ( 山西, 分)綜合與探究 如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線 與 軸 交于 , 兩點,與 軸交于點 ,直線 經(jīng)過坐標原點 ,與拋 物線的一個交點為 ,與拋物線的對稱軸交于點 ,連接 , 已知點 , 的坐標分別為(,),(,), ()求拋物線的函數(shù)表達式,并分別求出點 和點 的坐標; ()試探究拋物線上是否存在點 ,使,若存 在,請直接寫出 點 的坐標;若不存在,請說明理由; ()若點 是 軸負半軸上的一個動點,設其坐標為(,), 直線 與直線 交于點 試探究:當 為何值時, 是等腰三角形 解析 () 拋物線 經(jīng)過點 (,),(,), , 解得 , 拋物線的函數(shù)表達式為 () , 拋物線的對稱軸為直線 又 拋物線與 軸交于 , 兩點,點 的坐標為(,), 點 的坐標為(,) 設直線 的函數(shù)表達式為 () 點 (,)在直線 上, ,解得 直線 的函數(shù)表達式為 點 為直線 和拋物線對稱軸的交點, 點 的橫坐標為 ,縱坐標為 , 即點 的坐標為(,) ()拋物線上存在點 ,使 點 的坐標為(,)或( ,) ()解法一: 分兩種情況:當 時, 是等腰三角形 點 的坐標為(,), 過點 作直線 ,交 軸于點 ,交 軸于點 , 則 點 的坐標為(,) 設直線 的函數(shù)表達式為 () ,解得 的函數(shù)表達式為 令 ,得 ,解得 點 的坐標為(,) 又 , , 即 , 當 時, 是等腰三角形 當 時, , 點 的坐標為(,) () 又 , , 設直線 交 軸于點 ,其函數(shù)表達式為 (), ,解得 的函數(shù)表達式為 令 ,得 點 的坐標為(,) , , ,解得 綜上所述,當 的值為 或 時, 是等腰三角形 第八章 熱點題型探究 解法二:設拋物線的對稱軸交直線 于點 ,與 軸交于點 分兩種情況: 當 時, 為等腰三角形 當 時, , 點 的坐標為(,) 點 的坐標為(,), ,() , , , , 又 軸, 四邊形 是平行四邊形 () , 軸, , , , 當 時, 為等腰三角形 軸, , , () () 軸, , 當 的值為 或 時, 為等腰三角形 評析 本題考查學生的綜合探究能力,通過對存在性和結(jié)論 開放性問題的探究,考查學生綜合運用所學知識的能力第() 問考查學生運用分類討論的思想方法解決問題的能力 ( 山東濰坊, 分)如圖,已知拋物線 經(jīng)過 的三個頂點,其中點 (,),點 (,), 軸,點 是直線 下方拋物線上的動點 ()求拋物線的解析式; ()過點 且與 軸平行的直線 與直線 、 分別交于點 、,當四邊形 的面積最大時,求點 的坐標; ()當點 為拋物線的頂點時,在直線 上是否存在點 ,使 得以 、 為頂點的三角形與 相似? 若存在,求 出點 的坐標;若不存在,請說明理由 解析 ()把點 (,),(,)代入 , 得 , (), ( 分) 解得 , 拋物線的解析式是 ( 分) () 軸,(,), 由 ,解得 , (,),( 分) 設直線 的解析式是 (),將點 (,),(, )代入,得 , , 解得 , 直線 的解析式是 ( 分) 設點 的坐標為 , (),則點 的坐標為(, ), 則 () , , 四邊形 () () () ( 分) 又 , 當 時,四邊形 的面積最大,最大值是 , 此時點 的坐標是 , () ( 分) 年中考 年模擬 ()存在 由 () , 得頂點 的坐標是(,), 此時 , , 則在 中, , 同理可得, ,( 分) 在直線 上存在滿足條件的點 ,如圖, 易得 , , 當 時,設 (,), 由 , 得 ,解得 ,即 (,)( 分) 當 時,設 (,), 由 , 得 ,解得 ,即 (,)( 分) 綜上,滿足條件的點 有兩個,坐標為(,)或(,) ( 分) 說明:本參考答案每題只給出了一種解題方法,其他正確方法 應參考本標準給出相應的分數(shù) 題型四 類比探究問題 類比是指依據(jù)兩類數(shù)學對象的相似性,有可能將已知的一 類數(shù)學對象的性質(zhì)遷移到另一類未知的對象上去的一種合情推 理通常先解決比較常見、比較形象具體的問題,然后變換圖形或 條件,通過比較、聯(lián)想、化歸等方式,觸類旁通,用相似的方法解 決問題或猜想相似的結(jié)論 例 ( 浙江湖州, 分) 問題背景: 已知在 中, 邊上的動點 由 向 運動(與 , 不重合),點 與點 同時出發(fā),由點 沿 的延長線方向運 動( 不與 重合),連接 交 于點 ,點 是線段 上 一點 ()初步嘗試 如圖 ,若 是等邊三角形,且點 , 的運動 速度相等 求證: 小王同學發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決問題: 思路一:過點 作 ,交 于點 ,先證 ,再 證 ,從而證得結(jié)論成立; 思路二:過點 作 ,交 的延長線于點 ,先證 ,再證 ,從而證得結(jié)論成立 請你任選一種思路,完整地書寫本小題的證明過程(如用兩 種方法作答,則以第一種方法評分); ()類比探究 如圖 ,若在 中, , , 且點 , 的運動速度之比是 ,求 的值; ()延伸拓展 如圖 ,若在 中, ,記 ,且點 , 的運動速度相等,試用含 的代數(shù)式表示 (直 接寫出結(jié)果,不必寫解答過程) 解析 ()證明:證法一(選擇思路一): 如題圖 , 是等邊三角形, , 是等邊三角形,( 分) , , ,( 分) , , , ,( 分) ,即 ( 分) 證法二(選擇思路二): 如題圖 , 是等邊三角形, , , , , , ,( 分) 又 , , ( 分) ()過點 作 ,交 于點 ,如圖, 則, , , , , , , , 由題意可知, , ,( 分) , , , ,( 分) ,即 , 第八章 熱點題型探究 ( 分) () (其他正確表達式也相應給分)( 分) 例 ( 山東煙臺, 分) 【探究證明】 ()某班數(shù)學課題學習小組對矩形內(nèi)兩條相互垂直的線段 與矩形兩鄰邊的數(shù)量關系進行探究,提出下列問題,請你給出 證明; 如圖 ,矩形 中, 分別交 , 于點 , , 分別交 , 于點 ,求證: ; 【結(jié)論應用】 ()如圖 ,在滿足()的條件下,又 ,點 , 分別 在邊 , 上,若 ,則 的值為 【聯(lián)系拓展】 ()如圖 ,四邊形 中, ,點 , 分別在邊 , 上,求 的值 解析 ()證明:作 ,垂足分別為 , ( 分) , 四邊形 是矩形, , 四邊形 是矩形, ( 分) 同理可證: , , 又 , , ( 分) ( 分) () ( 分) ()解法一:過 作 的平行線交 的延長線于 ,作 交直線 于點 , 四邊形 是矩形,( 分) 連接 ,由已知得, , , 又 , ( 分) 設 ,則 , 在 中, 即() () 解得 ,(舍去),
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