2019年中考數(shù)學復習第八章熱點題型探究8.6開放探究型（講解部分）素材.pdf

開放探究型 題型特點 開放性問題是指答案不唯一、解題方向不確定、條件（或結(jié) 論）不止一種情況的數(shù)學問題開放性問題的答案通常不是固定 的解決這類問題，需要對問題進行多方面、多角度、多層次的思 考、審視，重在培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力和探索能力 開放性試題大致可分為四類：（）條件開放型，（）結(jié)論開 放型，（）策略開放型，（）綜合開放型 命題趨勢 近幾年中考偏重開放型題目的考查如綜合開放型試題，條 件和結(jié)論都不確定，需要考生確定條件和結(jié)論，然后組成一個新 的命題，并加以證明這種新穎的命題形式成為中考的又一亮點 此外，還有策略開放型試題，主要側(cè)重于解題方法、策略的選擇 和設計 題型一 條件開放型問題 條件開放型探究題是給定結(jié)論，條件未知或不全，需探求與 結(jié)論相對應條件的題目解這類開放型問題的一般思路為：由已 知結(jié)論思考題目應具備的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，追本溯 源，逐步探求 例 （ 福建龍巖， 分）如圖，四邊形 中，對 角線 ， 相交于點 ，點 ， 分別在 ， 上 （）給出以下條件：，請你 從中選取兩個條件證明； （）在（）中你所選條件的前提下，添加 ，求證：四邊 形 是平行四邊形 解析 （）若選和，在 和 中， ， （） 若選和，在 和 中， ， ， （） 若選和，在 和 中， ， ， （） （）證明：由（）知， ， 又 ， ， 四邊形 是平行四邊形 思路分析 （）任選兩個條件，根據(jù)全等三角形的判定方 法證明；（）可以利用對角線互相平分的四邊形 是平行四邊形來證 好題精練 （ 黑龍江龍東， 分）如圖，菱形 中，對角線 、 相 交 于 點 ， 不 添 加 任 何 輔 助 線， 請 添 加 一 個 條 件 ，使四邊形 是正方形（填一個即可） 答案 答案不唯一，如： 解析 四邊形 為菱形， 當 時，四邊形 為正方形（答案不唯一） （ 廣東梅州， 分）已知： 中，點 是 邊的中 點，點 在 邊上，若以 ， 為頂點的三角形與 相似， 則需要增加的一個條件是 （寫出一個即可） 答案 是 的中點（或 或 或 或 或） 解析 答案不唯一，根據(jù)三角形相似的判定方法相應添加條 件即可 （ 四川南充， 分）已知關于 的一元二次方程（ ）（） ， 為實數(shù) （）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根； （） 為何值時，方程有整數(shù)解？ （直接寫出三個，不需說明理由） 解析 （）證明：將一元二次方程（）（） 化為一 般形式得 ， （） （） 為實數(shù)， ， 關于 的一元二次方程（）（） 有兩個不相等的實 數(shù)根 （） 或 （答案不唯一） 題型二 運動型問題 動態(tài)幾何就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定 的圖形位置、數(shù)量關系的“變”與“不變”性；就其運動對象而言 有點動、線動、面動；就其運動形式而言有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等動 態(tài)幾何問題常常集幾何、代數(shù)知識于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強的 綜合性，題目靈活、多變，動中有靜，動靜結(jié)合，能夠在運動變化 中發(fā)展學生空間想象能力，綜合分析能力，是近幾年中考命題的 熱點 解決動態(tài)幾何問題我們需要用運動與變化的眼光去觀察和 研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系 和變量關系，特別關注一些不變量和不變關系或特殊關系；在求 有關圖形的變量之間關系時，通常建立函數(shù)模型或不等式模型 來求解；求圖形之間的特殊數(shù)量關系和一些特殊值時，通常建立 方程模型求解 例 （ 四川綿陽， 分）如圖，在邊長為 的正方 形 中， 是 延長線上的一點，且 ，動點 從 點出發(fā)，以每秒 個單位的速度沿著 的路線向 點勻 速運動（ 不與 、 重合），設運動時間為 秒連接 并延長 交 于 （）是否存在點 ，使 為等腰三角形？ 若存在，分析 第八章 熱點題型探究 點 的位置；若不存在，請說明理由； （）當點 在 邊上時，若 ， 交 的平分 線于 ，求證：； （）過點 分別作 、 的垂線，垂足分別為 、，矩形 與 重疊部分的面積為 ，求 的最大值 解析 （）存在當點 為 的中點時，有 ，則 為等腰三角形；（ 分） 當點 與點 重合時，則 為等腰三角形； （ 分） 當點 在 上且 時， ，則 為等腰三 角形；（ 分） 當點 為 的中點時，則 為等腰三角形 （ 分） （）證明：在 上取點 ，使 ，連接 ， 又 平分直角， ， ， ， （ 分） 在 中， ，又 ，即 ， ， （）， （ 分） （）當 在 上，即 時，易知 為等腰直 角三角形 ， （ 分） 當 在 上，即 時， ， ， ， ， （） ， ， ， 為等腰直角三角形 （ ） （ ） （ ）， （ ） （ 分） 在 范圍內(nèi)，當 時， 的最大值為 （ ） ； 在 范圍內(nèi)， () ， 當 時， 的最大值為 ， 當 時， 的最大值為 （ 分） 好題精練 （ 北京， 分）如圖， 是 ( 所對弦 上一動點，過點 作 交 ( 于點 ，連接 ，過點 作 于點 已知 ，設 ， 兩點間的距離為 ， 兩點間的 距離為 （當點 與點 或點 重合時， 的值為 ） 小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù) 隨自變量 的變化而變化 的規(guī)律進行了探究 下面是小東的探究過程，請補充完整： （）通過取點、畫圖、測量，得到了 與 的幾組值，如下表： （說明：補全表格時相關數(shù)值保留一位小數(shù)） （）建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為 坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象； （）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當 為等腰三角形 時， 的長度約為 解析 （） （） 年中考 年模擬 （）（答案不唯一） 提示：當 為等腰三角形時，只有 這一種可能，則 有 ，求函數(shù) 的圖象與所畫出的函數(shù)圖象的交點即可 （ 山東青島， 分）已知：如圖，在矩形 中， ， ，對角線 ， 交于點 點 從點 出發(fā)，沿 方向勻速運動，速度為 ；同時，點 從點 出發(fā)，沿 方向勻速運動，速度為 ；當一個點停止運動時，另一 個點也停止運動連接 并延長，交 于點 ，過點 作 ，交 于點 設運動時間為 （）（），解答下列 問題： （）當 為何值時， 是等腰三角形？ （）設五邊形 的面積為 （），試確定 與 的函數(shù) 關系式； （）在運動過程中，是否存在某一時刻 ，使 五邊形 ？ 若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由； （）在運動過程中，是否存在某一時刻 ，使 平分？ 若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由 解析 （）在 中，根據(jù)勾股定理，得 當 是等腰三角形時， 若 ，則 ； 若 ，則 與 重合， ； 若 ，如圖， 過 作 于 ，則 ， ， ，即 ， ， 或 即當 或 時， 是等腰三角形（ 分） （）如圖，過 作 于 ，過 作 于 ， ， 又 ， 是 的中位線， ， 同理， 易證， ， 易證， () ， 即 () ， （） 答： 與 的函數(shù)關系式是 （ 分） （）存在若 五邊形 ， 則 即 ，解得 ， 當 或 時，五邊形 （ 分） （）存在若 平分， 如圖，過 作 于 ，作 于 ，過 作 于 ， 則 ， ， 即 易證， ， 第八章 熱點題型探究 即 ， ， 在 中， ， () （）， 即 ， （舍去）， 當 時， 平分（ 分） 評析 對于動點問題，往往存在多種可能的情形，故需要 分類求解； 對于不規(guī)則圖形的面積問題，往往轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和 或差求解； 存在性問題的求解思路：先對結(jié)論作出肯定的假設，然后由 這個假設出發(fā)，結(jié)合已有條件或挖掘隱含條件，利用方程思想、 數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想等進行正確地計算、推理，再對 得出的結(jié)果進行分析，檢驗其是否與題設、公理、定理等矛盾 若無矛盾，說明結(jié)論正確，由此得出符合條件的數(shù)學對象存在； 否則，說明符合條件的數(shù)學對象不存在 （ 四川攀枝花， 分）如圖 ，矩形 的兩條邊在 坐標軸上，點 與坐標原點 重合，且 ，如圖 ，矩 形 沿 方向以每秒 個單位長度的速度運動，同時點 從 點出發(fā)也以每秒 個單位長度的速度沿矩形 的 邊 經(jīng)過點 向點 運動，當點 到達點 時，矩形 和點 同時停止運動，設點 的運動時間為 秒 （）當 時，請直接寫出點 、點 的坐標； （）當點 在線段 或線段 上運動時，求出 的面 積 關于 的函數(shù)關系式，并寫出相應 的取值范圍； （）點 在線段 或線段 上運動時，作 軸，垂足為 點 ，當 與 相似時，求出相應的 值 解析 （）（，），（，） （）當點 在邊 上運動時， （） 當點 在邊 上運動時， （）， 所以 （）， （） （）連接 ，易知 ， () 當點 在邊 上運動時，點 ， () 當 時， ，解得 ， 當 時， ，解得 ， 不合題意，應舍去 當點 在邊 上運動時，點 ， () 當 時， ，解得 當 時， ，解得 ， 不合題意，應舍去 當 時， 與 相似 題型三 存在性問題 存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問 題，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構(gòu)思非常精 巧，解題方法靈活，解題的一般思路是：假設存在推理論證 得出結(jié)論若能導出合理的結(jié)果，就作出“存在”的判斷，導出矛 盾，就作出不存在的判斷 例 （ 四川成都， 分）如圖，在平面直角坐標系 中，拋物線 （）與 軸交于 、 兩點（點 在點 的左側(cè)），經(jīng)過點 的直線 ： 與 軸負半軸交于 點 ，與拋物線的另一個交點為 ，且 （）直接寫出點 的坐標，并求直線 的函數(shù)表達式（其中 、 用含 的式子表示）； （）點 是直線 上方的拋物線上的動點，若 的面積 的最大值為 ，求 的值； （）設 是拋物線的對稱軸上的一點，點 在拋物線上，以 點 、 為頂點的四邊形能否成為矩形？ 若能，求出點 的 坐標；若不能，請說明理由 解析 （）（，） 直線 經(jīng)過點 ， ， ， ， 令 ，即 （） ， 點 的橫坐標為 ， 年中考 年模擬 ， 直線 的函數(shù)表達式為 （）過點 作 軸，交直線 于點 設 （，），則 （，） （） ， （）（） （） （） () ， 的面積的最大值為 的面積的最大值為 ， ，解得 （）以點 、 為頂點的四邊形能成為矩形 令 ，即 ， 解得 ， （，） ， 拋物線的對稱軸為 設 （，）， 若 是矩形 的一條邊，則易得 （，） ，則 （，） 四邊形 為矩形， ， （） （）（）（）（）， 即 ， ， ， ， 若 是矩形 的一條對角線，則線段 的中點坐 標為 ， ()，（，）， （） ，則 （，） 四邊形 為矩形， ， ， （） （）（）（） （）， 即 ， ， ， （，） 綜上所述，以點 、 為頂點的四邊形能成為矩形，點 的坐標為 ， 或（，） 例 （ 廣東梅州， 分）如圖，在平面直角坐標系 中，已知拋物線 過 、 三點，點 的坐標是（， ），點 的坐標是（，），動點 在拋物線上 （） ， ，點 的坐標為 ；（直 接填寫結(jié)果） （）是否存在點 ，使得 是以 為直角邊的直角三 角形？ 若存在，求出所有符合條件的點 的坐標；若不存在，說 明理由； （）過動點 作 垂直 軸于點 ，交直線 于點 ，過 點 作 軸的垂線，垂足為 ，連接 當線段 的長度最短 時，求出點 的坐標 解析 （）；（，）（ 分） （）存在（ 分） 當以點 為直角頂點時，過點 作 ，交拋物線于 點 ， 過點 作 軸的垂線，垂足為點 ， ， ， ， （ 分） 由（）可得拋物線為 設 （，），則 （）， 解得 （舍去）， ， 則點 的坐標是（，）（ 分） 第八章 熱點題型探究 當以點 為直角頂點時，過點 作 ，交拋物線于 點 ，過點 作 軸的垂線，垂足為點 ，交 軸于點 ， 軸 ， ， ， ， 設 （，），則（） 解得 （舍去）， ， 則點 的坐標是（，） 綜上所述，點 的坐標是（，）或（，）（ 分） （本題有多種解法，請參照此評分標準給分） （） 連接 ，由題意可知，四邊形 是矩形，則 根據(jù)垂線段最短，可知當 時， 最短，即 最短 （ 分） 設 點的坐標為（，），由（）可知，在 中， ， 點 是 的中點， 又 ， 點 是 的中點， 點 的縱坐標是 （ 分） 則 ，解得 當 最 短 時， 點 的 坐 標 是 ， 或 ， （ 分） 好題精練 （ 陜西， 分） 問題提出 （）如圖， 是等邊三角形，若點 是 的 內(nèi)心，則 的長為 ； 問題探究 （）如圖，在矩形 中， ， 如果點 是 邊上一點，且 ，那么 邊上是否存在一點 ，使得線 段 將矩形 的面積平分？ 若存在，求出 的長； 若不存在，請說明理由； 問題解決 （）某城市街角有一草坪，草坪是由 草地和弦 與其 所對的劣弧圍成的草地組成，如圖所示管理員王師傅在 處 的 水 管 上 安 裝 了 一 噴 灌 龍 頭， 以 后， 他 想 只用噴灌龍頭 來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水 時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又能節(jié)約用 水于是，他讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于（即每次噴 灌時噴灌龍頭由 轉(zhuǎn)到 ，然后再轉(zhuǎn)回，這樣往復噴 灌），同時，再合理設計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了 如圖，已測出 ， ， 的面積為 ；過弦 的中點 作 交 ( 于點 ，又測得 請你根據(jù)以上提供的信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭的射程至 少為多少米時，才能實現(xiàn)他的想法，為什么？ （結(jié)果保留根號 或精確到 米） 解析 （） （ 分） （）存在如圖，連接 、，相交于點 ，連接 并延長交 于點 ，則線段 將矩形 的面積平分（ 分） 點 為矩形 的對稱中心， 過點 作 于點 ，則 ， （ 分） （）如圖，作射線 交 于點 ， ( 為劣弧， ( 所在圓的圓心在射線 上 假設圓心為 ，半徑為 ，連接 ，則 （） 解之，得 （ 分） 過點 作 ，垂足為 ， ， ， ， 易得， 點 在 內(nèi)部（ 分） 連接 并延長交 ( 于點 ，則 為草坪上的點到 點的 最大距離 在 ( 上任取一異于點 的點 ，連接 ， 有 即 （ 分） 過點 作 ，垂足為 ，則 ， 年中考 年模擬 噴灌龍頭的射程至少為（ ）米（約為 米） （ 分） 思路分析 （）等邊 的內(nèi)心與外心重合，構(gòu)造直角三 角形，運用勾股定理求出 的長；（）運用矩形的中心對稱性 可知 一定經(jīng)過矩形 的對稱中心，通過構(gòu)造直角三角 形，運用勾股定理可以求出 的長；（）先根據(jù)圓的對稱性找 出圓心，運用垂徑定理和勾股定理求出該圓的半徑，再利用相 似判斷出點 與三角形 的位置關系，最后根據(jù)“三角形 的兩邊之和大于第三邊”確定噴灌龍頭的最遠射程為 的 長，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出 的長，進而可得 的長 （ 山西， 分）綜合與探究 如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線 與 軸 交于 ， 兩點，與 軸交于點 ，直線 經(jīng)過坐標原點 ，與拋 物線的一個交點為 ，與拋物線的對稱軸交于點 ，連接 ， 已知點 ， 的坐標分別為（，），（，）， （）求拋物線的函數(shù)表達式，并分別求出點 和點 的坐標； （）試探究拋物線上是否存在點 ，使，若存 在，請直接寫出 點 的坐標；若不存在，請說明理由； （）若點 是 軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（，）， 直線 與直線 交于點 試探究：當 為何值時， 是等腰三角形 解析 （） 拋物線 經(jīng)過點 （，），（，）， ， 解得 ， 拋物線的函數(shù)表達式為 （） ， 拋物線的對稱軸為直線 又 拋物線與 軸交于 ， 兩點，點 的坐標為（，）， 點 的坐標為（，） 設直線 的函數(shù)表達式為 （） 點 （，）在直線 上， ，解得 直線 的函數(shù)表達式為 點 為直線 和拋物線對稱軸的交點， 點 的橫坐標為 ，縱坐標為 ， 即點 的坐標為（，） （）拋物線上存在點 ，使 點 的坐標為（，）或（ ，） （）解法一： 分兩種情況：當 時， 是等腰三角形 點 的坐標為（，）， 過點 作直線 ，交 軸于點 ，交 軸于點 ， 則 點 的坐標為（，） 設直線 的函數(shù)表達式為 （） ，解得 的函數(shù)表達式為 令 ，得 ，解得 點 的坐標為（，） 又 ， ， 即 ， 當 時， 是等腰三角形 當 時， ， 點 的坐標為（，） （） 又 ， ， 設直線 交 軸于點 ，其函數(shù)表達式為 （）， ，解得 的函數(shù)表達式為 令 ，得 點 的坐標為（，） ， ， ，解得 綜上所述，當 的值為 或 時， 是等腰三角形 第八章 熱點題型探究 解法二：設拋物線的對稱軸交直線 于點 ，與 軸交于點 分兩種情況： 當 時， 為等腰三角形 當 時， ， 點 的坐標為（，） 點 的坐標為（，）， ，（） ， ， ， ， 又 軸， 四邊形 是平行四邊形 （） ， 軸， ， ， ， 當 時， 為等腰三角形 軸， ， ， （） （） 軸， ， 當 的值為 或 時， 為等腰三角形 評析 本題考查學生的綜合探究能力，通過對存在性和結(jié)論 開放性問題的探究，考查學生綜合運用所學知識的能力第（） 問考查學生運用分類討論的思想方法解決問題的能力 （ 山東濰坊， 分）如圖，已知拋物線 經(jīng)過 的三個頂點，其中點 （，），點 （，）， 軸，點 是直線 下方拋物線上的動點 （）求拋物線的解析式； （）過點 且與 軸平行的直線 與直線 、 分別交于點 、，當四邊形 的面積最大時，求點 的坐標； （）當點 為拋物線的頂點時，在直線 上是否存在點 ，使 得以 、 為頂點的三角形與 相似？ 若存在，求 出點 的坐標；若不存在，請說明理由 解析 （）把點 （，），（，）代入 ， 得 ， （）， （ 分） 解得 ， 拋物線的解析式是 （ 分） （） 軸，（，）， 由 ，解得 ， （，），（ 分） 設直線 的解析式是 （），將點 （，），（， ）代入，得 ， ， 解得 ， 直線 的解析式是 （ 分） 設點 的坐標為 ， ()，則點 的坐標為（， ）， 則 () ， ， 四邊形 （） () () （ 分） 又 ， 當 時，四邊形 的面積最大，最大值是 ， 此時點 的坐標是 ， () （ 分） 年中考 年模擬 （）存在 由 （） ， 得頂點 的坐標是（，）， 此時 ， ， 則在 中， ， 同理可得， ，（ 分） 在直線 上存在滿足條件的點 ，如圖， 易得 ， ， 當 時，設 （，）， 由 ， 得 ，解得 ，即 （，）（ 分） 當 時，設 （，）， 由 ， 得 ，解得 ，即 （，）（ 分） 綜上，滿足條件的點 有兩個，坐標為（，）或（，） （ 分） 說明：本參考答案每題只給出了一種解題方法，其他正確方法 應參考本標準給出相應的分數(shù) 題型四 類比探究問題 類比是指依據(jù)兩類數(shù)學對象的相似性，有可能將已知的一 類數(shù)學對象的性質(zhì)遷移到另一類未知的對象上去的一種合情推 理通常先解決比較常見、比較形象具體的問題，然后變換圖形或 條件，通過比較、聯(lián)想、化歸等方式，觸類旁通，用相似的方法解 決問題或猜想相似的結(jié)論 例 （ 浙江湖州， 分） 問題背景： 已知在 中， 邊上的動點 由 向 運動（與 ， 不重合），點 與點 同時出發(fā)，由點 沿 的延長線方向運 動（ 不與 重合），連接 交 于點 ，點 是線段 上 一點 （）初步嘗試 如圖 ，若 是等邊三角形，且點 ， 的運動 速度相等 求證： 小王同學發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決問題： 思路一：過點 作 ，交 于點 ，先證 ，再 證 ，從而證得結(jié)論成立； 思路二：過點 作 ，交 的延長線于點 ，先證 ，再證 ，從而證得結(jié)論成立 請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程（如用兩 種方法作答，則以第一種方法評分）； （）類比探究 如圖 ，若在 中， ， ， 且點 ， 的運動速度之比是 ，求 的值； （）延伸拓展 如圖 ，若在 中， ，記 ，且點 ， 的運動速度相等，試用含 的代數(shù)式表示 （直 接寫出結(jié)果，不必寫解答過程） 解析 （）證明：證法一（選擇思路一）： 如題圖 ， 是等邊三角形， ， 是等邊三角形，（ 分） ， ， ，（ 分） ， ， ， ，（ 分） ，即 （ 分） 證法二（選擇思路二）： 如題圖 ， 是等邊三角形， ， ， ， ， ， ，（ 分） 又 ， ， （ 分） （）過點 作 ，交 于點 ，如圖， 則， ， ， ， ， ， ， ， 由題意可知， ， ，（ 分） ， ， ， ，（ 分） ，即 ， 第八章 熱點題型探究 （ 分） （） （其他正確表達式也相應給分）（ 分） 例 （ 山東煙臺， 分） 【探究證明】 （）某班數(shù)學課題學習小組對矩形內(nèi)兩條相互垂直的線段 與矩形兩鄰邊的數(shù)量關系進行探究，提出下列問題，請你給出 證明； 如圖 ，矩形 中， 分別交 ， 于點 ， ， 分別交 ， 于點 ，求證： ； 【結(jié)論應用】 （）如圖 ，在滿足（）的條件下，又 ，點 ， 分別 在邊 ， 上，若 ，則 的值為 【聯(lián)系拓展】 （）如圖 ，四邊形 中， ，點 ， 分別在邊 ， 上，求 的值 解析 （）證明：作 ，垂足分別為 ， （ 分） ， 四邊形 是矩形， ， 四邊形 是矩形， （ 分） 同理可證： ， ， 又 ， ， （ 分） （ 分） （） （ 分） （）解法一：過 作 的平行線交 的延長線于 ，作 交直線 于點 ， 四邊形 是矩形，（ 分） 連接 ，由已知得， ， ， 又 ， （ 分） 設 ，則 ， 在 中， 即（） （） 解得 ，（舍去），