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三角形中位線中的常見輔助線知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一 中點(diǎn)一、與中點(diǎn)有關(guān)的概念三角形中線的定義:三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線 等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)三角形中位線定義:連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半中位線判定定理:經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊直角三角形斜邊中線:直角三角形斜邊中線等于斜邊一半斜邊中線判定:若三角性一邊上的中線等于該邊的一半,則這個(gè)三角形是直角三角形二、與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線方法一:倍長(zhǎng)中線解讀:凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段,都可以考慮倍長(zhǎng)中線,倍長(zhǎng)中線的目的可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線段,從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。 方法二:構(gòu)造中位線解讀:凡是出現(xiàn)中點(diǎn),或多個(gè)中點(diǎn),都可以考慮取另一邊中點(diǎn),或延長(zhǎng)三角形一邊,從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。 方法三:構(gòu)造三線合一解讀:只要出現(xiàn)等腰三角形,或共頂點(diǎn)等線段,就需要考慮構(gòu)造三線合一,從而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四:構(gòu)造斜邊中線解讀:只要出現(xiàn)直角三角形,或直角,則考慮連接斜邊中線段,第一可以出現(xiàn)三條等線段,第二可以出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形,從而轉(zhuǎn)化線段關(guān)系。 其他位置的也要能看出 常見考點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線考點(diǎn)說(shuō)明:凡是出現(xiàn)中點(diǎn),或多個(gè)中點(diǎn),都可以考慮取四邊形對(duì)角線中點(diǎn)、等腰三角形底邊中點(diǎn)、直角三角形斜邊中點(diǎn)或其他線段中點(diǎn);延長(zhǎng)三角形一邊,從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。“題中有中點(diǎn),莫忘中位線”與此很相近的幾何思想是“題中有中線,莫忘加倍延”,這兩個(gè)是常用幾何思想,但注意倍長(zhǎng)中線的主要目的是通過(guò)構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來(lái)平移也有類似作用典型例題【例1】 已知:是的中線,是的中線,且,求證:舉一反三1. 如右下圖,在中,若,為邊的中點(diǎn)求證:2. 在中,以為底作等腰直角,是的中點(diǎn),求證:且【例2】 已知四邊形的對(duì)角線,、分別是、的中點(diǎn),連結(jié)分別交、于、,求證:舉一反三1. 已知四邊形中,分別是的中點(diǎn),交于;交于,和交于點(diǎn)求證:2. 已知:在中,動(dòng)點(diǎn)繞的頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),且,連結(jié)過(guò)、的中點(diǎn)、作直線,直線與直線、分別相交于點(diǎn)、(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的延長(zhǎng)線上時(shí),點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合,取的中點(diǎn),連結(jié)、,求證: (2)當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí),與有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明【例3】 如圖,在五邊形中,為的中點(diǎn)求證:舉一反三1.如圖所示,在三角形ABC中,D為AB的中點(diǎn),分別延長(zhǎng)CA、CB到點(diǎn)E、F,使DE=DF過(guò)E、 F分別作直線CA、CB的垂線,相交于點(diǎn)P,設(shè)線段PA、PB的中點(diǎn)分別為M、N求證:(1);(2)3. 已知:在中,分別以、為斜邊作等腰直角三角形,和,是邊的中點(diǎn)求證:4. 如圖所示,已知和都是直角三角形,且,連接,設(shè)為的中點(diǎn)(1)求證(2)設(shè),固定Rt,讓Rt移至圖示位置,此時(shí)是否成立?請(qǐng)證明你的結(jié)論5. 在ABC中,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊,向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,M是BC邊中點(diǎn)中點(diǎn),連接MD和ME(1)如圖1所示,若AB=AC,則MD和ME的數(shù)量關(guān)系是 (2)如圖2所示,若ABAC其他條件不變,則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請(qǐng)給出證明過(guò)程;(3)在任意ABC中,仍分別以AB和AC為斜邊,向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形,并直接判斷MED的形狀圖24-3圖1 圖2 圖3 【例4】 以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰,.連接,、分別是、的中點(diǎn)探究:與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(1)如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí),與的位置關(guān)系是_;線段與的數(shù)量關(guān)系是_;(2)將圖中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)()后,如圖所示,(1)問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變?并說(shuō)明理由 舉一反三1. (1)如圖1,、分別是的外角平分線,過(guò)點(diǎn)作,垂足分別為,連接求證: (2)如圖2,分別是的內(nèi)角平分線,其他條件不變; (3)如圖3,為的內(nèi)角平分線,為的外角平分線,其他條件不變。則在圖2、圖3兩種情況下,還平行嗎?它與三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)你寫出猜測(cè),并給與證明2. 已知中,邊上的高線與的兩條內(nèi)角平分線、分別交于、兩點(diǎn)、的中點(diǎn)分別為、求證:【例5】 等腰梯形中,與交于點(diǎn),、分別是、的中點(diǎn),求證:是正三角形舉一反三1. 是的中線,是的中點(diǎn),的延長(zhǎng)線交于求證:【例6】 如左下圖,在梯形中,、分別是、中點(diǎn)求證:,且舉一反三2. 在課外小組活動(dòng)時(shí),小慧拿來(lái)一道題(原問(wèn)題)和小東,小明交流原問(wèn)題:如圖1,已知,分別以為邊向外作和,且,連接交于點(diǎn),探究線段與的數(shù)量關(guān)系。小慧同學(xué)的思路是:過(guò)點(diǎn)作于,構(gòu)造全等三角形,通過(guò)推理使問(wèn)題得解小東同學(xué)說(shuō):我做過(guò)一道類似的題目,不同的是,小明同學(xué)經(jīng)過(guò)合情推理,提出一個(gè)猜想,我們可以把問(wèn)題推廣到一般情況。請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路,探究并解決這三位同學(xué)提出的問(wèn)題:(1)寫出原問(wèn)題中與的數(shù)量關(guān)系(2)如圖2,若,原問(wèn)題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明;(3)如圖3,若原問(wèn)題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明。 真題演練1. 已知:中,中,. 連接、,點(diǎn)、 、分別為、的中點(diǎn).(1)如圖1,若、三點(diǎn)在同一直線上,且,則的形狀是_,此時(shí)_;(2)如圖2,若、三點(diǎn)在同一直線上,且,證明,并計(jì)算的值(用含的式子表示);(3)在圖2中,固定,將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),直接寫出的最大值. 圖1 圖22. 如圖,D是ABC中AB邊的中點(diǎn),BCE和ACF都是等邊三角形,M、N分別是CE、CF的中點(diǎn).(1)求證:DMN是等邊三角形;(2)連接EF,Q是EF中點(diǎn),CPEF于點(diǎn)P. 求證:DPDQ. 同學(xué)們,如果你覺(jué)得解決本題有困難,可以閱讀下面兩位同學(xué)的解題思路作為參考: 小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點(diǎn),因此考慮構(gòu)造三角形的中位線,添加出了一些輔助線;小慧同學(xué)想到要證明線段相等,可通過(guò)證明三角形全等,如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢? 她考慮將 NCM繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到要證的對(duì)應(yīng)線段的位置,由此猜想到了所需構(gòu)造的三角形的位置.3. 在ABC中,D為BC邊的中點(diǎn),在三角形內(nèi)部取一點(diǎn)P,使得ABP=ACP過(guò)點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn) E,PFAC于點(diǎn)F (1)如圖1,當(dāng)AB=AC時(shí),判斷的DE與DF的數(shù)量關(guān)系,直接寫出你的結(jié)論;(2)如圖2,當(dāng)ABAC,其它條件不變時(shí),(1)中的結(jié)論是否發(fā)生改變?請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 圖24. 探究問(wèn)題:已知AD、BE分別為ABC 的邊BC、AC上的中線,且AD、BE交于點(diǎn)O.(1)ABC為等邊三角形,如圖1,則AOOD=_;(2)當(dāng)小明做完(1)問(wèn)后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn),若ABC為一般三角形(如圖2),中的結(jié)論仍成立,請(qǐng)你給予證明.(3)運(yùn)用上述探究的結(jié)果,解決下列問(wèn)題:如圖3,在ABC中,點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn),AD平分BAC, ADBE于點(diǎn)F,若AD=BE=4.求:ABC的周長(zhǎng). 圖1 圖2 圖35. 如圖1,在四邊形中,分別是的中點(diǎn),連結(jié)并延長(zhǎng),分別與 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),則(不需證明)(溫馨提示:在圖1中,連結(jié),取的中點(diǎn),連結(jié),根據(jù)三角形中位線定理,證明,從而,再利用平行線性質(zhì),可證得)問(wèn)題一:如圖2,在四邊形中,與相交于點(diǎn),分別是的中點(diǎn),連結(jié),分別交于點(diǎn),判斷的形狀,請(qǐng)直接寫出結(jié)論問(wèn)題二:如圖3,在中,點(diǎn)在上,分別是的中點(diǎn),連結(jié)并延長(zhǎng),與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),若,連結(jié),判斷的形狀并證明 圖1 圖2 圖36. 我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心經(jīng)過(guò)證明我們可得三角形重心具備下面的性質(zhì): 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為請(qǐng)你用此性質(zhì)解決下面的問(wèn)題.已知:如圖,點(diǎn)為等腰直角三角形的重心,直線過(guò)點(diǎn),過(guò)三點(diǎn)分別作直線的垂線,垂足分別為點(diǎn). (1)當(dāng)直線與平行時(shí)(如圖1),請(qǐng)你猜想線段和三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明;(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不平行時(shí),分別探究在圖2、圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,線段三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的結(jié)論,不需證明7. 以平面上一點(diǎn) 為直角頂點(diǎn),分別畫出兩個(gè)直角三角形,記作 和
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