三角形中位線中的常見輔助線.doc

三角形中位線中的常見輔助線知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一 中點(diǎn)一、與中點(diǎn)有關(guān)的概念三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線 等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半中位線判定定理：經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊直角三角形斜邊中線：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半斜邊中線判定：若三角性一邊上的中線等于該邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形二、與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線方法一：倍長(zhǎng)中線解讀：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長(zhǎng)中線，倍長(zhǎng)中線的目的可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。 方法二：構(gòu)造中位線解讀：凡是出現(xiàn)中點(diǎn)，或多個(gè)中點(diǎn)，都可以考慮取另一邊中點(diǎn)，或延長(zhǎng)三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。 方法三：構(gòu)造三線合一解讀：只要出現(xiàn)等腰三角形，或共頂點(diǎn)等線段，就需要考慮構(gòu)造三線合一，從而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四：構(gòu)造斜邊中線解讀：只要出現(xiàn)直角三角形，或直角，則考慮連接斜邊中線段，第一可以出現(xiàn)三條等線段，第二可以出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形，從而轉(zhuǎn)化線段關(guān)系。 其他位置的也要能看出 常見考點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線考點(diǎn)說(shuō)明：凡是出現(xiàn)中點(diǎn)，或多個(gè)中點(diǎn)，都可以考慮取四邊形對(duì)角線中點(diǎn)、等腰三角形底邊中點(diǎn)、直角三角形斜邊中點(diǎn)或其他線段中點(diǎn);延長(zhǎng)三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。“題中有中點(diǎn)，莫忘中位線”與此很相近的幾何思想是“題中有中線，莫忘加倍延”，這兩個(gè)是常用幾何思想，但注意倍長(zhǎng)中線的主要目的是通過(guò)構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來(lái)平移也有類似作用典型例題【例1】 已知：是的中線，是的中線，且，求證：舉一反三1. 如右下圖，在中，若，為邊的中點(diǎn)求證：2. 在中，以為底作等腰直角，是的中點(diǎn)，求證：且【例2】 已知四邊形的對(duì)角線，、分別是、的中點(diǎn)，連結(jié)分別交、于、，求證：舉一反三1. 已知四邊形中，分別是的中點(diǎn)，交于；交于，和交于點(diǎn)求證：2. 已知：在中，動(dòng)點(diǎn)繞的頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且，連結(jié)過(guò)、的中點(diǎn)、作直線，直線與直線、分別相交于點(diǎn)、（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，求證： （2）當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí)，與有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明【例3】 如圖，在五邊形中，為的中點(diǎn)求證：舉一反三1.如圖所示，在三角形ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA、CB到點(diǎn)E、F，使DE=DF過(guò)E、 F分別作直線CA、CB的垂線，相交于點(diǎn)P，設(shè)線段PA、PB的中點(diǎn)分別為M、N求證：（1）；（2）3. 已知：在中，分別以、為斜邊作等腰直角三角形，和，是邊的中點(diǎn)求證：4. 如圖所示，已知和都是直角三角形，且，連接，設(shè)為的中點(diǎn)（1）求證（2）設(shè)，固定Rt，讓Rt移至圖示位置，此時(shí)是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論5. 在ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC邊中點(diǎn)中點(diǎn)，連接MD和ME（1）如圖1所示，若AB=AC，則MD和ME的數(shù)量關(guān)系是 （2）如圖2所示，若ABAC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；（3）在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接判斷MED的形狀圖24-3圖1 圖2 圖3 【例4】 以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，.連接，、分別是、的中點(diǎn)探究：與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，與的位置關(guān)系是_；線段與的數(shù)量關(guān)系是_；（2）將圖中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)()后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由 舉一反三1. （1）如圖1，、分別是的外角平分線，過(guò)點(diǎn)作,垂足分別為，連接求證： （2）如圖2，分別是的內(nèi)角平分線，其他條件不變； （3）如圖3，為的內(nèi)角平分線，為的外角平分線，其他條件不變。則在圖2、圖3兩種情況下，還平行嗎？它與三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你寫出猜測(cè)，并給與證明2. 已知中，邊上的高線與的兩條內(nèi)角平分線、分別交于、兩點(diǎn)、的中點(diǎn)分別為、求證：【例5】 等腰梯形中，與交于點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，求證：是正三角形舉一反三1. 是的中線，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于求證：【例6】 如左下圖，在梯形中，、分別是、中點(diǎn)求證：，且舉一反三2. 在課外小組活動(dòng)時(shí)，小慧拿來(lái)一道題（原問(wèn)題）和小東，小明交流原問(wèn)題：如圖1，已知，分別以為邊向外作和，且，連接交于點(diǎn)，探究線段與的數(shù)量關(guān)系。小慧同學(xué)的思路是：過(guò)點(diǎn)作于，構(gòu)造全等三角形，通過(guò)推理使問(wèn)題得解小東同學(xué)說(shuō)：我做過(guò)一道類似的題目，不同的是，小明同學(xué)經(jīng)過(guò)合情推理，提出一個(gè)猜想，我們可以把問(wèn)題推廣到一般情況。請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問(wèn)題：（1）寫出原問(wèn)題中與的數(shù)量關(guān)系（2）如圖2，若，原問(wèn)題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖3，若原問(wèn)題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明。 真題演練1. 已知：中，中，. 連接、，點(diǎn)、 、分別為、的中點(diǎn).（1）如圖1，若、三點(diǎn)在同一直線上，且，則的形狀是_，此時(shí)_；（2）如圖2，若、三點(diǎn)在同一直線上，且，證明，并計(jì)算的值（用含的式子表示）；（3）在圖2中，固定，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直接寫出的最大值. 圖1 圖22. 如圖，D是ABC中AB邊的中點(diǎn)，BCE和ACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點(diǎn).（1）求證：DMN是等邊三角形；（2）連接EF，Q是EF中點(diǎn)，CPEF于點(diǎn)P. 求證：DPDQ. 同學(xué)們，如果你覺(jué)得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學(xué)的解題思路作為參考： 小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點(diǎn)，因此考慮構(gòu)造三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學(xué)想到要證明線段相等，可通過(guò)證明三角形全等，如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢？ 她考慮將 NCM繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到要證的對(duì)應(yīng)線段的位置，由此猜想到了所需構(gòu)造的三角形的位置.3. 在ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，在三角形內(nèi)部取一點(diǎn)P，使得ABP=ACP過(guò)點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn) E，PFAC于點(diǎn)F （1）如圖1，當(dāng)AB=AC時(shí)，判斷的DE與DF的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論；（2）如圖2，當(dāng)ABAC，其它條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 圖24. 探究問(wèn)題：已知AD、BE分別為ABC 的邊BC、AC上的中線，且AD、BE交于點(diǎn)O.（1）ABC為等邊三角形，如圖1，則AOOD=_；（2）當(dāng)小明做完（1）問(wèn)后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若ABC為一般三角形（如圖2），中的結(jié)論仍成立，請(qǐng)你給予證明.（3）運(yùn)用上述探究的結(jié)果，解決下列問(wèn)題：如圖3，在ABC中，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AD平分BAC, ADBE于點(diǎn)F，若AD=BE=4.求：ABC的周長(zhǎng). 圖1 圖2 圖35. 如圖1，在四邊形中，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，分別與 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則（不需證明）（溫馨提示：在圖1中，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，根據(jù)三角形中位線定理，證明，從而，再利用平行線性質(zhì)，可證得）問(wèn)題一：如圖2，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)，分別交于點(diǎn)，判斷的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論問(wèn)題二：如圖3，在中，點(diǎn)在上，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，連結(jié)，判斷的形狀并證明 圖1 圖2 圖36. 我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心經(jīng)過(guò)證明我們可得三角形重心具備下面的性質(zhì)： 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為請(qǐng)你用此性質(zhì)解決下面的問(wèn)題.已知：如圖，點(diǎn)為等腰直角三角形的重心，直線過(guò)點(diǎn),過(guò)三點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn). （1）當(dāng)直線與平行時(shí)（如圖1），請(qǐng)你猜想線段和三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不平行時(shí)，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，不需證明7. 以平面上一點(diǎn) 為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個(gè)直角三角形，記作 和