2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題二 數(shù)學(xué)思想方法教案 理.docVIP

專題二數(shù)學(xué)思想方法概述數(shù)學(xué)思想方法既是思想也是方法,“思想”是統(tǒng)領(lǐng)全局的總綱,“方法”是可以具體操作的解題方法,“思想”與“方法”是密不可分的整體.在高考中主要考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法.1.函數(shù)思想就是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題得到解決.方程思想就是將所求的量設(shè)成未知數(shù),根據(jù)題中的等量關(guān)系,列方程(組),通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究,以求得問題的解決.2.數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想,主要包括以下兩個方面:(1)“以形助數(shù)”,把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);(2)“以數(shù)輔形”,把直觀圖形數(shù)量化,使形更加精確.3.轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而解決問題的一種方法.其應(yīng)用包括以下三個方面:(1)將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題;(2)將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;(3)將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.4.分類討論思想是當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時,就需要對研究的對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,然后對每一類分別研究,給出每一類的結(jié)論,最終集合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上分類討論就是“化整為零,各個擊破,再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.一、函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用【例1】 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且對于xR,均有f(x)f(x),則有()(A)e2 018f(-2 018)e2 018f(0)(B)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)f(0),f(2 018)e2 018f(0)(D)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)f(x),并且ex0,所以g(x)g(0),g(2 018)f(0),f(2 018)e2 018f(0),f(2 018)e2 018f(0).故選D.【思維建?！?函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù),借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題、常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題.一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù),建立函數(shù)關(guān)系求解.熱點訓(xùn)練1:(1)已知函數(shù)f(x)=ln x-asin x在區(qū)間6,4上是單調(diào)增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為()(A)-,43(B)-,42(C)42,43(D)42,+(2)(2017山西三區(qū)八校二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)滿足f(x)f(x),且f(x)f(x+3)=-1,若f(2 015)=-e,則不等式f(x)ex的解集為.解析:(1)f(x)=1x-acos x,由題意得1x-acos x0在6,4上恒成立,即a1xcosx在6,4上恒成立,設(shè)g(x)=1xcosx,則g(x)=xsinx-cosx(xcosx)2,因為x6,4,所以xsin x-cos xxcos x-cos x=(x-1)cos x0,所以g(x)0,所以g(x)在6,4上單調(diào)遞減,所以g(x)小=g4=42,所以ag(x)小=42.故選B.(2)因為f(x)f(x+3)=-1,所以f(x+3)=-1f(x),f(x+6)=-1f(x+3)=f(x),即f(x)的周期為6,所以f(2 015)=f(-1)=-e,因為f(x)是奇函數(shù),所以f(1)=e.構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)ex,則g(x)=f(x)-f(x)ex0,即g(x)在R上單調(diào)遞減,g(1)=f(1)e=1,f(x)exf(x)ex1g(x)1.答案:(1)B(2)(1,+)函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用【例2】 (2017全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解:(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故an的通項公式為an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n2n+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.【思維建?！?數(shù)列的通項與前n項和都是以正整數(shù)為自變量的函數(shù),可用函數(shù)與方程思想處理數(shù)列問題.涉及特殊數(shù)列(等差、等比數(shù)列),已知Sn與an關(guān)系問題,應(yīng)用方程思想列方程(組)求解;涉及最值問題或參數(shù)范圍問題,應(yīng)用函數(shù)思想來解決.熱點訓(xùn)練2:設(shè)公差不為零的等差數(shù)列an的前5項和為55,且a2,a6+a7,a4-9成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn=1(an-6)(an-4),數(shù)列bn的前n項和為Sn,求證:Sn12.(1)解:設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d(d0),則5a1+542d=55,(a1+5d+a1+6d)2=(a1+d)(a1+3d-9)a1=7,d=2或a1=11,d=0(舍去).故數(shù)列an的通項公式為an=7+2(n-1),即an=2n+5.(2)證明:由an=2n+5,得bn=1(an-6)(an-4)=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.所以Sn=b1+b2+bn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+10,b0)的右焦點為F,過點F作圓(x-a)2+y2=c216的切線,若該切線恰好與C的一條漸近線垂直,則雙曲線C的離心率為.解析:(1)如圖,ABC為圓錐的軸截面,則O為其外接球的球心,設(shè)外接球的半徑為R,連接OB,OA,并延長AO交BC于點D,則ADBC,由題意知,AO=BO=R,BD=1,AD=3,則在RtBOD中,有R2=(3-R)2+12,解得R=233,所以外接球O的表面積S=4R2=163.故選C.(2)不妨取與切線垂直的漸近線方程為y=bax,由題意可知該切線方程為y=-ab(x-c),即ax+by-ac=0.圓(x-a)2+y2=c216的圓心為(a,0),半徑為c4,則圓心到切線的距離d=|a2-ac|a2+b2=ac-a2c=c4,又e=ca,則e2-4e+4=0,解得e=2,所以雙曲線C的離心率e=2.答案:(1)C(2)2二、數(shù)形結(jié)合思想利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)零點問題【例4】 已知函數(shù)f(x)=-x2-2x+1,-2x0,若函數(shù)y=f(x)-a|x|恰有4個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0,2)(D)(1,3)(2)(2018石家莊市質(zhì)檢)已知M是函數(shù)f(x)=|2x-3|-8sin x(xR)的所有零點之和,則M的值為()(A)3(B)6(C)9(D)12解析:(1)函數(shù)y=f(x)-a|x|恰有4個零點,須y1=f(x)與y2=a|x|的圖象有4個不同的交點.如圖所示.由圖可知,當(dāng)y2=-ax(x0)與y1=-x2-5x-4(-4x-1)相切時,方程x2+(5-a)x+4=0有兩個相等實數(shù)根,則(5-a)2-16=0,且a-50,解得a=1(a=9舍去).所以當(dāng)x0時,y1=-x2-5x-4與y2=-ax的圖象有3個交點,顯然當(dāng)1a0,f(1)0,即2b0,1+a+2b0.即b0,a+2b+10,畫出可行域,如圖由a+2b+1=0,a+b+2=0,得A(-3,1),由b=0,a+b+2=0,得B(-2,0),由b=0,a+2b+1=0,得C(-1,0),所以點(a,b)對應(yīng)的平面區(qū)域為ABC的內(nèi)部,ABC的面積為SABC=12|BC|h=12.(2)b-2a-1的幾何意義是點(a,b)和點(1,2)連線的斜率,設(shè)D(1,2),則kAD=14,kCD=1,由圖知kADb-2a-1kCD,即14b-2a-11,所以b-2a-1的取值范圍為14,1.(3)(a-1)2+(b-2)2表示區(qū)域內(nèi)的點(a,b)與定點D(1,2)之間距離的平方因為|AD|2=17,|CD|2=8,所以8(a-1)2+(b-2)20時,f(x)單調(diào)遞增,f(1)=0,若f(x-1)0,則x的取值范圍為()(A)x|0x2(B)x|x2(C)x|x3(D)x|x1(2)當(dāng)0x12時,4x0可轉(zhuǎn)化為-1x-11,解得0x2.故選A.(2)法一構(gòu)造函數(shù)f(x)=4x和g(x)=logax,當(dāng)a1時不滿足條件,當(dāng)0a1時,畫出兩個函數(shù)在0,12上的圖象,可知,f12g12,即222,所以a的取值范圍為22,1.故選B.法二因為0x12,所以14x1,所以0a1,排除選項C,D;取a=12,x=12,則有412=2,log1212=1,顯然4x0,則滿足f(x+1)f(2x)的x的取值范圍是()(A)(-,-1(B)(0,+)(C)(-1,0)(D)(-,0)(2)設(shè)函數(shù)f(x)=a+-x2-4x,g(x)=43x+1,當(dāng)x-4,0時,恒有f(x)g(x),則實數(shù)a的取值范圍為.解析:(1)法一當(dāng)x+10,2x0即x-1時,f(x+1)f(2x)即為2-(x+1)2-2x,即-(x+1)-2x,解得x0時,不等式組無解.當(dāng)x+10,2x0即-1x0時,f(x+1)f(2x),即12-2x,解得x0,2x0即x0時,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合題意.綜上,不等式f(x+1)f(2x)的解集為(-,0).故選D.法二當(dāng)x0時,函數(shù)f(x)=2-x是減函數(shù),則f(x)f(0)=1.作出f(x)的大致圖象如圖所示,結(jié)合圖象可知,要使f(x+1)f(2x),則需x+10,2x0,2xx+1或x+10,2x0,所以x0,即不等式f(x+1)0得a-5.答案:(1)D(2)(-,-5三、化歸與轉(zhuǎn)化思想特殊與一般的轉(zhuǎn)化【例7】 如圖,已知四棱錐PABCD的底面為矩形,平面PAD平面ABCD,AD=22,PA=PD=AB=2,則四棱錐PABCD的外接球的表面積為()(A)2(B)4(C)12(D)8解析:易知AB平面PAD,以平面PAD為底面,AB為側(cè)棱,將四棱錐PABCD補(bǔ)充為如圖所示的直三棱柱PADEBC.直三棱柱PADEBC的外接球就是四棱錐PABCD的外接球,因為PA=PD=2,AD=22,所以APD=90,所以PAD外接圓的半徑r=12AD=2,又球心到平面PAD的距離h=12AB=1,所以外接球的半徑為R=r2+h2=3,所以外接球的表面積為S球=4R2=12.故選C.【思維建?！?化一般為特殊的應(yīng)用把一般問題特殊化,解答選擇題、填空題常能起到事半功倍的效果,既準(zhǔn)確又迅速.要注意恰當(dāng)利用所學(xué)知識、恰當(dāng)選擇特殊量.熱點訓(xùn)練6:(1)(2017甘肅蘭州一診)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a3+a5+a7=24,則S9等于()(A)36(B)72(C)144(D)288(2)過雙曲線x2a2-y2b2=1上任意一點P,引與實軸平行的直線,交兩漸近線于R,Q兩點,則PRPQ的值為()(A)a2(B)b2(C)2ab(D)a2+b2解析:(1)法一因為an是等差數(shù)列,又a3+a5+a7=3a5=24,所以a5=8.S9=(a1+a9)92=9a5=72.故選B.法二不妨設(shè)等差數(shù)列an的公差為0,則由a3+a5+a7=24,得a1=an=8,則S9=9a1=98=72.故選B.(2)當(dāng)直線PQ與x軸重合時,|PR|=|RQ|=a.故選A.函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化【例8】 (2018惠州市二次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=kx-1,x0,-ln(-x),x0,若函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對,則實數(shù)k的取值范圍是()(A)(-,0)(B)0,12(C)(0,+)(D)(0,1)解析:依題意,函數(shù)f(x)的圖象上存在關(guān)于原點對稱的點,如圖,可作出函數(shù)y=-ln(-x)(x0)的圖象,使得它與直線y=kx-1(x0)的交點個數(shù)為2即可.當(dāng)直線y=kx-1與y=ln x的圖象相切時,設(shè)切點為(m,ln m),又y=ln x的導(dǎo)數(shù)為y=1x,則km-1=lnm,k=1m,解得m=1,k=1,可得切線的斜率為1,結(jié)合圖象可知k(0,1)時,函數(shù)y=ln x的圖象與直線y=kx-1有2個交點,即函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對.故選D.【思維建?！?函數(shù)、方程與不等式相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”,解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助,解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡,一般可將不等關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題,從而求出參變量的范圍.熱點訓(xùn)練7:(1)(2018山東省、湖北省部分重點中學(xué)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=ln 1+|x|1-|x|+x2,則關(guān)于m的不等式f(m-1)-ln 3-140的解集為()(A)-,1232,+(B)0,1232,2(C)32,+(D)-1,12(2)(2018福州市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)對任意的xR都滿足f(x)+f(-x)=0,fx+32為偶函數(shù),當(dāng)0x32時,f(x)=-x,則f(2 017)+f(2 018)=.解析:(1)由題可知f12=ln 3+14,所以原不等式可轉(zhuǎn)化為f(m-1)f12.易知函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1),且f(-x)=f(x),故函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x(0,1)時,f(x)=ln 1+x1-x+x2單調(diào)遞增,所以12|m-1|1,解得m0,1232,2.故選B.(2)依題意,f(-x)=-f(x),f-x+32=fx+32,所以f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=f(x),所以f(2 017)=f(1)=-1,f(2 018)=f(2)=f12+32=f-12+32=f(1)=-1,所以f(2 017)+f(2 018)=-2.答案:(1)B(2)-2正難則反的轉(zhuǎn)化【例9】 (1)若對于任意t1,2,函數(shù)g(x)=x3+m2+2x2-2x在區(qū)間(t,3)上不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是()(A)-373,-5(B)-373,-5(C)-,-373(-5,+)(D)-5,+)(2)(2017廣東廣州一模)四個人圍坐在一張圓桌旁,每個人面前都放著一枚完全相同的硬幣,所有人同時拋擲自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續(xù)坐著.那么沒有相鄰的兩個人站起來的概率為()(A)14(B)716(C)12(D)916解析:(1)g(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù),g(x)0在(t,3)上恒成立;g(x)0在(t,3)上恒成立.由得3x2+(m+4)x-20,即m+42x-3x在x(t,3)上恒成立,所以m+42t-3t恒成立,則m+4-1,即m-5;由得m+42x-3x在x(t,3)上恒成立,則m+423-9,即m-373.所以,函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為-373m-5.故選A.(2)由題知先計算有相鄰的兩個人站起來的概率,四個人拋,共有24=16種不同的情況,其中有兩個人同為正面且相鄰需要站起來的有4種情況,三個人需要站起來有4種情況,四個人都站起來有1種情況,所以有相鄰的兩個人站起來的概率P=4+4+116=916(轉(zhuǎn)化為對立事件求解),故沒有相鄰的兩人站起來的概率P=1-916=716.故選B.【思維建模】 若問題直接求解困難時,可考慮運用反證法或補(bǔ)集法或用逆否命題間接地解決問題.熱點訓(xùn)練8:(1)若命題“x0R,使得x02+mx0+2m-30”為假命題,則實數(shù)m的取值范圍是()(A)2,6(B)-6,-2(C)(2,6)(D)(-6,-2)(2)(2017江西師大附中、臨川一中聯(lián)考)在某個微信群里一次搶紅包活動中,若所發(fā)紅包的總金額為10元,被隨機(jī)分配為1.49元、1.81元、2.19元、3.41元、0.62元、0.48元,共6份,供甲、乙等6人搶,則甲、乙二人搶到的金額之和低于4元的概率是()(A)13(B)14(C)23(D)34解析:(1)因為命題“x0R,使得x02+mx0+2m-30”為假命題,所以命題“xR,使得x2+mx+2m-30”為真命題,所以0,即m2-4(2m-3)0,所以2m6.故選A.(2)因甲、乙兩人從六份紅包中隨機(jī)取兩份的可能有35=15種,其中金額之和大于等于4的可能有(0.62,3.41),(1.49,3.41),(1.81,2.19),(1.81,3.41),(2.19,3.41)共五種,故甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是P=515=13,低于4元的概率為1-13=23.故選C.四、分類討論思想由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、運算引起的分類討論【例10】 (1)(2017江西師范附屬中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=-log2(3-x),x2,2x-2-1,x2,若f(2-a)=1,則f(a)等于()(A)-2(B)-1(C)1(D)2(2)(2017安徽阜陽二模)等比數(shù)列an中,a1+a4+a7=2,a3+a6+a9=18,則an的前9項和S9=.解析:(1)當(dāng)2-a2,即a0時,22-a-2-1=1,解得a=-1,則f(a)=f(-1)=-log23-(-1)=-2;當(dāng)2-a0時,-log23-(2-a)=1,解得a=-12,舍去.所以f(a)=-2.故選A.(2)由題意得q2=a3+a6+a9a1+a4+a7=9,q=3,當(dāng)q=3時,a2+a5+a8=3(a1+a4+a7)=6,S9=2+6+18=26;當(dāng)q=-3時,a2+a5+a8=-3(a1+a4+a7)=-6,S9=2-6+18=14,所以S9=14或26.答案:(1)A(2)14或26【思維建模】 數(shù)學(xué)概念運算公式中常見的分類(1)由二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義,直線的傾斜角、向量的夾角的范圍等引起分類討論;(2)由除法運算中除數(shù)不為零,不等式兩邊同乘以(或除以)同一個數(shù)(或式)時的不等號等引起分類討論;(3)由數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)成立的條件等引起分類討論.熱點訓(xùn)練9:(1)(2018湖南省湘東五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|x+1|,-7x0,lnx,e-2xe,g(x)=x2-2x,設(shè)a為實數(shù),若存在實數(shù)m,使f(m)-2g(a)=0,則實數(shù)a的取值范圍為()(A)-1,+)(B)(-,-13,+)(C)-1,3(D)(-,3(2)在等比數(shù)列an中,已知a3=4,S3=12,則a1=.解析:(1)當(dāng)-7x0時,f(x)=|x+1|0,6,當(dāng)e-2xe時,f(x)=ln x單調(diào)遞增,得f(x)-2,1,綜上,f(x)-2,6.若存在實數(shù)m,使f(m)-2g(a)=0,則有-22g(a)6,即-1a2-2a3-1a3.故選C.(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,當(dāng)q=1時,an=a1,此時S3=3a1=3a3=12,符合題意.當(dāng)q1時,S3=a1+a2+a3=a3q2+a3q+a3=4q2+4q+4=12,即2q2-q-1=0,解得q=-12或q=1(舍去),所以a1=a3q2=4(-12)2=16.所以a1=16或4.答案:(1)C(2)16或4由圖形位置或形狀引起的分類討論【例11】 (2017全國卷)設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點,若C上存在點M滿足AMB=120,則m的取值范圍是(