2019屆高考數學二輪復習 第二篇 專題二 數學思想方法教案 理.doc

專題二數學思想方法概述數學思想方法既是思想也是方法,“思想”是統領全局的總綱,“方法”是可以具體操作的解題方法,“思想”與“方法”是密不可分的整體.在高考中主要考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想等數學思想方法.1.函數思想就是通過建立函數關系或構造函數,運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題,從而使問題得到解決.方程思想就是將所求的量設成未知數,根據題中的等量關系,列方程(組),通過解方程(組)或對方程(組)進行研究,以求得問題的解決.2.數形結合思想就是通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想,主要包括以下兩個方面:(1)“以形助數”,把某些抽象的數學問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,揭示數學問題的本質;(2)“以數輔形”,把直觀圖形數量化,使形更加精確.3.轉化與化歸思想就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化,進而解決問題的一種方法.其應用包括以下三個方面:(1)將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題;(2)將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題;(3)將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.4.分類討論思想是當問題的對象不能進行統一研究時,就需要對研究的對象按某個標準進行分類,然后對每一類分別研究,給出每一類的結論,最終集合各類結果得到整個問題的解答.實質上分類討論就是“化整為零,各個擊破,再集零為整”的數學思想.一、函數與方程思想函數與方程思想在不等式中的應用【例1】 已知函數f(x)是定義在R上的可導函數,且對于xR,均有f(x)f(x),則有()(A)e2 018f(-2 018)e2 018f(0)(B)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)f(0),f(2 018)e2 018f(0)(D)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)f(x),并且ex0,所以g(x)g(0),g(2 018)f(0),f(2 018)e2 018f(0),f(2 018)e2 018f(0).故選D.【思維建?！?函數與方程思想在不等式中的應用函數與不等式的相互轉化,把不等式轉化為函數,借助函數的圖象和性質可解決相關的問題、常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題.一般利用函數思想構造新函數,建立函數關系求解.熱點訓練1:(1)已知函數f(x)=ln x-asin x在區(qū)間6,4上是單調增函數,則實數a的取值范圍為()(A)-,43(B)-,42(C)42,43(D)42,+(2)(2017山西三區(qū)八校二模)定義在R上的奇函數f(x)的導函數滿足f(x)f(x),且f(x)f(x+3)=-1,若f(2 015)=-e,則不等式f(x)ex的解集為.解析:(1)f(x)=1x-acos x,由題意得1x-acos x0在6,4上恒成立,即a1xcosx在6,4上恒成立,設g(x)=1xcosx,則g(x)=xsinx-cosx(xcosx)2,因為x6,4,所以xsin x-cos xxcos x-cos x=(x-1)cos x0,所以g(x)0,所以g(x)在6,4上單調遞減,所以g(x)小=g4=42,所以ag(x)小=42.故選B.(2)因為f(x)f(x+3)=-1,所以f(x+3)=-1f(x),f(x+6)=-1f(x+3)=f(x),即f(x)的周期為6,所以f(2 015)=f(-1)=-e,因為f(x)是奇函數,所以f(1)=e.構造函數g(x)=f(x)ex,則g(x)=f(x)-f(x)ex0,即g(x)在R上單調遞減,g(1)=f(1)e=1,f(x)exf(x)ex1g(x)1.答案:(1)B(2)(1,+)函數與方程思想在數列中的應用【例2】 (2017全國卷)記Sn為等比數列an的前n項和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數列.解:(1)設an的公比為q.由題設可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故an的通項公式為an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n2n+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數列.【思維建?！?數列的通項與前n項和都是以正整數為自變量的函數,可用函數與方程思想處理數列問題.涉及特殊數列(等差、等比數列),已知Sn與an關系問題,應用方程思想列方程(組)求解;涉及最值問題或參數范圍問題,應用函數思想來解決.熱點訓練2:設公差不為零的等差數列an的前5項和為55,且a2,a6+a7,a4-9成等比數列.(1)求數列an的通項公式;(2)設bn=1(an-6)(an-4),數列bn的前n項和為Sn,求證:Sn12.(1)解:設等差數列an的首項為a1,公差為d(d0),則5a1+542d=55,(a1+5d+a1+6d)2=(a1+d)(a1+3d-9)a1=7,d=2或a1=11,d=0(舍去).故數列an的通項公式為an=7+2(n-1),即an=2n+5.(2)證明:由an=2n+5,得bn=1(an-6)(an-4)=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.所以Sn=b1+b2+bn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+10,b0)的右焦點為F,過點F作圓(x-a)2+y2=c216的切線,若該切線恰好與C的一條漸近線垂直,則雙曲線C的離心率為.解析:(1)如圖,ABC為圓錐的軸截面,則O為其外接球的球心,設外接球的半徑為R,連接OB,OA,并延長AO交BC于點D,則ADBC,由題意知,AO=BO=R,BD=1,AD=3,則在RtBOD中,有R2=(3-R)2+12,解得R=233,所以外接球O的表面積S=4R2=163.故選C.(2)不妨取與切線垂直的漸近線方程為y=bax,由題意可知該切線方程為y=-ab(x-c),即ax+by-ac=0.圓(x-a)2+y2=c216的圓心為(a,0),半徑為c4,則圓心到切線的距離d=|a2-ac|a2+b2=ac-a2c=c4,又e=ca,則e2-4e+4=0,解得e=2,所以雙曲線C的離心率e=2.答案:(1)C(2)2二、數形結合思想利用數形結合思想研究函數零點問題【例4】 已知函數f(x)=-x2-2x+1,-2x0,若函數y=f(x)-a|x|恰有4個零點,則實數a的取值范圍是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0,2)(D)(1,3)(2)(2018石家莊市質檢)已知M是函數f(x)=|2x-3|-8sin x(xR)的所有零點之和,則M的值為()(A)3(B)6(C)9(D)12解析:(1)函數y=f(x)-a|x|恰有4個零點,須y1=f(x)與y2=a|x|的圖象有4個不同的交點.如圖所示.由圖可知,當y2=-ax(x0)與y1=-x2-5x-4(-4x-1)相切時,方程x2+(5-a)x+4=0有兩個相等實數根,則(5-a)2-16=0,且a-50,解得a=1(a=9舍去).所以當x0時,y1=-x2-5x-4與y2=-ax的圖象有3個交點,顯然當1a0,f(1)0,即2b0,1+a+2b0.即b0,a+2b+10,畫出可行域,如圖由a+2b+1=0,a+b+2=0,得A(-3,1),由b=0,a+b+2=0,得B(-2,0),由b=0,a+2b+1=0,得C(-1,0),所以點(a,b)對應的平面區(qū)域為ABC的內部,ABC的面積為SABC=12|BC|h=12.(2)b-2a-1的幾何意義是點(a,b)和點(1,2)連線的斜率,設D(1,2),則kAD=14,kCD=1,由圖知kADb-2a-1kCD,即14b-2a-11,所以b-2a-1的取值范圍為14,1.(3)(a-1)2+(b-2)2表示區(qū)域內的點(a,b)與定點D(1,2)之間距離的平方因為|AD|2=17,|CD|2=8,所以8(a-1)2+(b-2)20時,f(x)單調遞增,f(1)=0,若f(x-1)0,則x的取值范圍為()(A)x|0x2(B)x|x2(C)x|x3(D)x|x1(2)當0x12時,4x0可轉化為-1x-11,解得0x2.故選A.(2)法一構造函數f(x)=4x和g(x)=logax,當a1時不滿足條件,當0a1時,畫出兩個函數在0,12上的圖象,可知,f12g12,即222,所以a的取值范圍為22,1.故選B.法二因為0x12,所以14x1,所以0a1,排除選項C,D;取a=12,x=12,則有412=2,log1212=1,顯然4x0,則滿足f(x+1)f(2x)的x的取值范圍是()(A)(-,-1(B)(0,+)(C)(-1,0)(D)(-,0)(2)設函數f(x)=a+-x2-4x,g(x)=43x+1,當x-4,0時,恒有f(x)g(x),則實數a的取值范圍為.解析:(1)法一當x+10,2x0即x-1時,f(x+1)f(2x)即為2-(x+1)2-2x,即-(x+1)-2x,解得x0時,不等式組無解.當x+10,2x0即-1x0時,f(x+1)f(2x),即12-2x,解得x0,2x0即x0時,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合題意.綜上,不等式f(x+1)f(2x)的解集為(-,0).故選D.法二當x0時,函數f(x)=2-x是減函數,則f(x)f(0)=1.作出f(x)的大致圖象如圖所示,結合圖象可知,要使f(x+1)f(2x),則需x+10,2x0,2xx+1或x+10,2x0,所以x0,即不等式f(x+1)0得a-5.答案:(1)D(2)(-,-5三、化歸與轉化思想特殊與一般的轉化【例7】 如圖,已知四棱錐PABCD的底面為矩形,平面PAD平面ABCD,AD=22,PA=PD=AB=2,則四棱錐PABCD的外接球的表面積為()(A)2(B)4(C)12(D)8解析:易知AB平面PAD,以平面PAD為底面,AB為側棱,將四棱錐PABCD補充為如圖所示的直三棱柱PADEBC.直三棱柱PADEBC的外接球就是四棱錐PABCD的外接球,因為PA=PD=2,AD=22,所以APD=90,所以PAD外接圓的半徑r=12AD=2,又球心到平面PAD的距離h=12AB=1,所以外接球的半徑為R=r2+h2=3,所以外接球的表面積為S球=4R2=12.故選C.【思維建模】 化一般為特殊的應用把一般問題特殊化,解答選擇題、填空題常能起到事半功倍的效果,既準確又迅速.要注意恰當利用所學知識、恰當選擇特殊量.熱點訓練6:(1)(2017甘肅蘭州一診)已知等差數列an的前n項和為Sn,若a3+a5+a7=24,則S9等于()(A)36(B)72(C)144(D)288(2)過雙曲線x2a2-y2b2=1上任意一點P,引與實軸平行的直線,交兩漸近線于R,Q兩點,則PRPQ的值為()(A)a2(B)b2(C)2ab(D)a2+b2解析:(1)法一因為an是等差數列,又a3+a5+a7=3a5=24,所以a5=8.S9=(a1+a9)92=9a5=72.故選B.法二不妨設等差數列an的公差為0,則由a3+a5+a7=24,得a1=an=8,則S9=9a1=98=72.故選B.(2)當直線PQ與x軸重合時,|PR|=|RQ|=a.故選A.函數、方程、不等式之間的轉化【例8】 (2018惠州市二次調研)已知函數f(x)=kx-1,x0,-ln(-x),x0,若函數f(x)的圖象上關于原點對稱的點有2對,則實數k的取值范圍是()(A)(-,0)(B)0,12(C)(0,+)(D)(0,1)解析:依題意,函數f(x)的圖象上存在關于原點對稱的點,如圖,可作出函數y=-ln(-x)(x0)的圖象,使得它與直線y=kx-1(x0)的交點個數為2即可.當直線y=kx-1與y=ln x的圖象相切時,設切點為(m,ln m),又y=ln x的導數為y=1x,則km-1=lnm,k=1m,解得m=1,k=1,可得切線的斜率為1,結合圖象可知k(0,1)時,函數y=ln x的圖象與直線y=kx-1有2個交點,即函數f(x)的圖象上關于原點對稱的點有2對.故選D.【思維建?！?函數、方程與不等式相互轉化的應用函數、方程與不等式就像“一胞三兄弟”,解決方程、不等式的問題需要函數幫助,解決函數的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡,一般可將不等關系問題轉化為最值(值域)問題,從而求出參變量的范圍.熱點訓練7:(1)(2018山東省、湖北省部分重點中學質檢)已知函數f(x)=ln 1+|x|1-|x|+x2,則關于m的不等式f(m-1)-ln 3-140的解集為()(A)-,1232,+(B)0,1232,2(C)32,+(D)-1,12(2)(2018福州市質檢)已知函數f(x)對任意的xR都滿足f(x)+f(-x)=0,fx+32為偶函數,當0x32時,f(x)=-x,則f(2 017)+f(2 018)=.解析:(1)由題可知f12=ln 3+14,所以原不等式可轉化為f(m-1)f12.易知函數f(x)的定義域為(-1,1),且f(-x)=f(x),故函數f(x)是偶函數,且當x(0,1)時,f(x)=ln 1+x1-x+x2單調遞增,所以12|m-1|1,解得m0,1232,2.故選B.(2)依題意,f(-x)=-f(x),f-x+32=fx+32,所以f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=f(x),所以f(2 017)=f(1)=-1,f(2 018)=f(2)=f12+32=f-12+32=f(1)=-1,所以f(2 017)+f(2 018)=-2.答案:(1)B(2)-2正難則反的轉化【例9】 (1)若對于任意t1,2,函數g(x)=x3+m2+2x2-2x在區(qū)間(t,3)上不是單調函數,則實數m的取值范圍是()(A)-373,-5(B)-373,-5(C)-,-373(-5,+)(D)-5,+)(2)(2017廣東廣州一模)四個人圍坐在一張圓桌旁,每個人面前都放著一枚完全相同的硬幣,所有人同時拋擲自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續(xù)坐著.那么沒有相鄰的兩個人站起來的概率為()(A)14(B)716(C)12(D)916解析:(1)g(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調函數,g(x)0在(t,3)上恒成立;g(x)0在(t,3)上恒成立.由得3x2+(m+4)x-20,即m+42x-3x在x(t,3)上恒成立,所以m+42t-3t恒成立,則m+4-1,即m-5;由得m+42x-3x在x(t,3)上恒成立,則m+423-9,即m-373.所以,函數g(x)在區(qū)間(t,3)上不為單調函數的m的取值范圍為-373m-5.故選A.(2)由題知先計算有相鄰的兩個人站起來的概率,四個人拋,共有24=16種不同的情況,其中有兩個人同為正面且相鄰需要站起來的有4種情況,三個人需要站起來有4種情況,四個人都站起來有1種情況,所以有相鄰的兩個人站起來的概率P=4+4+116=916(轉化為對立事件求解),故沒有相鄰的兩人站起來的概率P=1-916=716.故選B.【思維建?！?若問題直接求解困難時,可考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題.熱點訓練8:(1)若命題“x0R,使得x02+mx0+2m-30”為假命題,則實數m的取值范圍是()(A)2,6(B)-6,-2(C)(2,6)(D)(-6,-2)(2)(2017江西師大附中、臨川一中聯考)在某個微信群里一次搶紅包活動中,若所發(fā)紅包的總金額為10元,被隨機分配為1.49元、1.81元、2.19元、3.41元、0.62元、0.48元,共6份,供甲、乙等6人搶,則甲、乙二人搶到的金額之和低于4元的概率是()(A)13(B)14(C)23(D)34解析:(1)因為命題“x0R,使得x02+mx0+2m-30”為假命題,所以命題“xR,使得x2+mx+2m-30”為真命題,所以0,即m2-4(2m-3)0,所以2m6.故選A.(2)因甲、乙兩人從六份紅包中隨機取兩份的可能有35=15種,其中金額之和大于等于4的可能有(0.62,3.41),(1.49,3.41),(1.81,2.19),(1.81,3.41),(2.19,3.41)共五種,故甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是P=515=13,低于4元的概率為1-13=23.故選C.四、分類討論思想由數學概念、性質、運算引起的分類討論【例10】 (1)(2017江西師范附屬中學模擬)已知函數f(x)=-log2(3-x),x2,2x-2-1,x2,若f(2-a)=1,則f(a)等于()(A)-2(B)-1(C)1(D)2(2)(2017安徽阜陽二模)等比數列an中,a1+a4+a7=2,a3+a6+a9=18,則an的前9項和S9=.解析:(1)當2-a2,即a0時,22-a-2-1=1,解得a=-1,則f(a)=f(-1)=-log23-(-1)=-2;當2-a0時,-log23-(2-a)=1,解得a=-12,舍去.所以f(a)=-2.故選A.(2)由題意得q2=a3+a6+a9a1+a4+a7=9,q=3,當q=3時,a2+a5+a8=3(a1+a4+a7)=6,S9=2+6+18=26;當q=-3時,a2+a5+a8=-3(a1+a4+a7)=-6,S9=2-6+18=14,所以S9=14或26.答案:(1)A(2)14或26【思維建模】 數學概念運算公式中常見的分類(1)由二次函數、指數函數、對數函數的定義,直線的傾斜角、向量的夾角的范圍等引起分類討論;(2)由除法運算中除數不為零,不等式兩邊同乘以(或除以)同一個數(或式)時的不等號等引起分類討論;(3)由數學公式、定理、性質成立的條件等引起分類討論.熱點訓練9:(1)(2018湖南省湘東五校聯考)已知函數f(x)=|x+1|,-7x0,lnx,e-2xe,g(x)=x2-2x,設a為實數,若存在實數m,使f(m)-2g(a)=0,則實數a的取值范圍為()(A)-1,+)(B)(-,-13,+)(C)-1,3(D)(-,3(2)在等比數列an中,已知a3=4,S3=12,則a1=.解析:(1)當-7x0時,f(x)=|x+1|0,6,當e-2xe時,f(x)=ln x單調遞增,得f(x)-2,1,綜上,f(x)-2,6.若存在實數m,使f(m)-2g(a)=0,則有-22g(a)6,即-1a2-2a3-1a3.故選C.(2)設等比數列an的公比為q,當q=1時,an=a1,此時S3=3a1=3a3=12,符合題意.當q1時,S3=a1+a2+a3=a3q2+a3q+a3=4q2+4q+4=12,即2q2-q-1=0,解得q=-12或q=1(舍去),所以a1=a3q2=4(-12)2=16.所以a1=16或4.答案:(1)C(2)16或4由圖形位置或形狀引起的分類討論【例11】 (2017全國卷)設A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點,若C上存在點M滿足AMB=120,則m的取值范圍是(