常微分方程的概念.pptVIP

一元微積分學(xué),應(yīng)學(xué)數(shù)學(xué)（二）,第六章常微分方程,腳本編寫：金立蕓,教案制作：金立蕓,第六章常微分方程,本章學(xué)習(xí)要求：,了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方程和一階線性方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.,1676年詹姆士.貝努利致牛頓的信中第一次提出微分方程。直到18世紀(jì)中期，微分方程才成為一門獨(dú)立的學(xué)科。微分方程建立以后，立即成為表示自然科學(xué)中各種基本定律和各種問(wèn)題的基本工具之一。,例如，1846年9月23日，數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家合作，通過(guò)微分方程求解，發(fā)現(xiàn)了一顆有名的新星冥王星。,英國(guó)數(shù)學(xué)家懷特曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué)，它是研究、了解和知曉現(xiàn)實(shí)世界的工具?！蔽⒎址匠叹惋@示著數(shù)學(xué)的這種威力和價(jià)值。,現(xiàn)代建立起來(lái)的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)模型大多都是微分方程。,第一節(jié)微分方程的基本概念,一、問(wèn)題的提出,二、微分方程的定義,三、主要問(wèn)題求方程的解,四、總結(jié),在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分間的關(guān)系。,一、問(wèn)題的提出,設(shè)所求曲線的方程為yy(x),則,一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),且在該曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2x,求這曲線的方程.,解,上式兩端積分得,因?yàn)榍€通過(guò)點(diǎn)(12),即當(dāng)x1時(shí)y2所以,212C,C=1,因此所求曲線方程為yx21,(C為任意常數(shù)),列車在平直路上以,的速度行駛,制動(dòng)時(shí),獲得加速度,求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,解:設(shè)列車在制動(dòng)后t秒行駛了s米,已知,由前一式兩次積分,可得,利用后兩式可得,因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,說(shuō)明:利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才,能停住,以及制動(dòng)后行駛了多少路程.,即求s=s(t).,1、含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程。,未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。,未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程。,二、微分方程的定義,(本章內(nèi)容),常微分方程,偏微分方程,2、常微分方程的階數(shù),微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的,最高次數(shù)，稱為微分方程的階數(shù)。,一階,二階,一階,微分方程的一般表示形式,一階微分方程,n階微分方程,使方程成為恒等式的函數(shù).,通解,解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程,的階數(shù)相同.,特解,通解:,特解:,1、微分方程的解,不含任意常數(shù)的解.,三、主要問(wèn)題-求方程的解,初始條件:用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.,初值問(wèn)題:求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.,常微分方程,初始條件,問(wèn)題,分歧問(wèn)題,初始條件:用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.,初值問(wèn)題:求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.,一階:,過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;,二階:,常微分方程,初始條件,也稱為初值問(wèn)題,問(wèn)題,柯西,解,微分方程,初始條件,通解,特解,解,微分方程,初始條件,通解,特解,有何想法？,2、積分曲線（解的幾何意義）,常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線。,通解的圖形是一族積分曲線。,特解是這族積分曲線中過(guò)某已知點(diǎn)的那條曲線。,解,所求特解為,補(bǔ)充:,微分方程的初等解法:初等積分法.,求解微分方程,求積分,(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來(lái)),四、小結(jié),微分方程;,微分方程