2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考模擬試卷理(含解析).doc

2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考模擬試卷 理(含解析)一選擇題（共12小題，滿分60分，每小題5分）1.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，則的值是（）A. 6 B. 6 C. D. 【答案】C【解析】【分析】兩個(gè)平面垂直，則它們的法向量也垂直，利用法向量的數(shù)量積為零來建立方程，解方程求得的值.【詳解】由于兩個(gè)平面垂直，故它們的法向量也垂直，即.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2.在（1，2）內(nèi)的平均變化率為（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用平均變化率的定義列式求解，化簡得出正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)x=1時(shí)，y=3，當(dāng)x=2時(shí)，y=5，故平均變化率為5321=2，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平均變化率的概念及運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.若x2m23是1x2m2-3是-1x0,b0)的一條漸近線平行于直線l:y=x+2，一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為（）A. x22y22=1 B. x24y24=1C. x23y23=1 D. x2y2=1【答案】A【解析】分析：根據(jù)漸近線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用a,b,c的關(guān)系，列出方程求出a2,b2，代入雙曲線的方程即可.詳解：雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線平行于直線l:y=x+2，所以可得ba=1，y=x+2令y=0可得，x=-2，即c=a2+b2=4，解得a2=2,b2=2雙曲線的方程是x22-y22=1，故選A.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 本題主要考查待定系數(shù)求雙曲線方程，屬于簡單題.用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟；作判斷：根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程x2a2y2b2=1或y2a2x2b2=1；找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、b、的方程組；得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.5.若直線x+my2=0的傾斜角為30，則實(shí)數(shù)m的值是（）A. 33 B. 33 C. 3 D. 3【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，利用傾斜角和斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系列方程，解方程求得實(shí)數(shù)m的值.【詳解】將直線方程化為斜截式得y=-1mx+2m，故直線的斜率為-1m，根據(jù)斜率和傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系有tan30=33=-1m，解得m=-3.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線一般式化為斜截式，考查直線傾斜角和斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查特殊角的三角函數(shù)值以及運(yùn)算求解能力.直線方程的一般式Ax+By+C=0化為斜截式得到y(tǒng)=-ABx-CB，其中斜率是-AB，截距是-CB.斜率是傾斜角的正切值，其中90角的斜率不存在.6.已知f(x)=12x2+2xf(2016)2016lnx，則f(2016)=（）A. xx B. 2015 C. xx D. xx【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)求導(dǎo)后，令x=2016代入導(dǎo)函數(shù)，可求得所求的結(jié)果.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得fx=x+2f20162016x，令x=2016代入得f2016=2016+2f20161，解得f2016=2015，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，考查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.主要考點(diǎn)是afx=afx.7.如圖，D是ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量CD等于（）A. BC+12BA B. BC12BA C. BC12BA D. BC+12BA【答案】A【解析】由題意結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則可得：CD=CB+BD=BC+12BA=12BABC.本題選擇A選項(xiàng).8.曲線x225+y29=1與曲線x225k+y29k=1(k9)的( )A. 長軸長相等 B. 短軸長相等 C. 離心率相等 D. 焦距相等【答案】D【解析】試題分析：，而曲線x225k+y29k=1(k1)的阿波羅尼斯圓，則下列結(jié)論中正確的是（）A. 曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱B. 曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱C. 曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D. 曲線C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義求得這個(gè)曲線C的方程，再根據(jù)所求得的方程對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行排除，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Px,y，根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義有x+12+y2x12+y2=a，兩邊平方并化簡得xa2+1a212+y2=2aa212，故圓的圓心為a2+1a21,0，半徑為r=2aa21.由此可知圓關(guān)于x軸對(duì)稱，不關(guān)于y軸，原點(diǎn)對(duì)稱.B,C選項(xiàng)錯(cuò)誤，A選項(xiàng)正確.由于a1，a2+12a21=2a，所以a2+1a212aa21，故圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，D選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查對(duì)新概念的理解，考查圖形的對(duì)稱性，屬于中檔題.11.已知ABC中，ACB=90，AB=2BC=2，將ABC繞BC旋轉(zhuǎn)得PBC，當(dāng)直線PC與平面PAB所成角的正弦值為66時(shí)，P、A兩點(diǎn)間的距離是（）A. 2 B. 4 C. 22 D. 23【答案】C【解析】【分析】將直線PC與平面PAB所成的角作出來，根據(jù)線面角的正弦值為66列方程，求得未知的邊長，結(jié)合勾股定理，即可得解.【詳解】畫出圖像如下圖所示.設(shè)D是PA的中點(diǎn)，則CDPA，過C作CEBD交BD于E，連接PE.由于BCAC,BCPC，所以BC平面ACP，所以BCPA，故PA平面BCD，所以PACE，結(jié)合CEBD，證得CE平面PAB.故CPE是直線PC與平面PAB所成的角.故CEPC=CE3=66，CE=22.設(shè)CD=n，則BD=1+n2，在直角三角形PCD中，利用面積公式有121n=121+n222，解得n=1，即CD=1，故PD=3-1=2,PA=2PD=22.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與平面所成的角的作法以及應(yīng)用，考查空間想象能力和幾何作圖能力，屬于中檔題.12.已知P是雙曲線x24y2b2=1(b0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，PF1F2的三邊長成等差數(shù)列，且F1PF2=120，則雙曲線的離心率等于（）A. 357 B. 352 C. 27 D. 72【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求得的值，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)，用來表示出PF1,PF2，根據(jù)余弦定理列方程，求得的值，由此求得離心率.【詳解】根據(jù)雙曲線的方程得a=2，由于PF1F2的三邊長成等差數(shù)列，故2PF2=PF1+F1F2，根據(jù)雙曲線的定義，有PF1PF2=2a=4，而F1F2=2c，由解得PF1=2c4,PF2=2c8，在PF1F2中，F(xiàn)1PF2=120，所以由余弦定理得2c2=2c42+2c82+2c42c8，化簡得c29c+14=0，由于ca，故解得c=7，離心率為ca=72.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，考查雙曲線的定義，還考查了余弦定理解三角形.在雙曲線的定義中，雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a.在應(yīng)用余弦定理時(shí)，要注意120角的余弦值是負(fù)數(shù).最后要注意雙曲線ca，所以解只有一個(gè).二填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13.已知f(x)=13x3+x，xR，若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使得f(ax)+f(ax21)0成立，a的范圍為_【答案】(,1+22)【解析】【分析】首先判斷出函數(shù)的的奇偶性和單調(diào)性，然后解不等式f(a-x)+f(ax2-1)0，去掉函數(shù)符號(hào)，接著分離常數(shù)，最后根據(jù)存在性求得的取值范圍.【詳解】由于fx=13x3+x=fx，所以函數(shù)為奇函數(shù).注意到x3,x都是R上的增函數(shù)，故fx是增函數(shù).由f(a-x)+f(ax2-1)0得fax21fax=fxa，故ax21xa，即ax2x+a10.當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2x+a1，開口向下，故一定存在x，使得ax2x+a10成立.當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為x10，一定存在x，使x10時(shí)，需要一元二次不等式對(duì)應(yīng)的判別式大于零，即14aa10，解得0a1；“=2+k(kZ)”是“函數(shù)y=sin(2x+)為偶函數(shù)”的充要條件；命題p:x0R，使sinx0+cosx0=32”；命題q: “若sinsin，則”，那么(p)q為真命題其中正確的序號(hào)是_【答案】【解析】命題“若=4，則tan=1”為真，所以其逆否命題為真命題；命題p:xR,sinx1則p:x0R，使sinx01；函數(shù)y=sin(2x+)為偶函數(shù)，則=2+k(kZ) ，所以“=2+k(kZ)”是“函數(shù)y=sin(2x+)為偶函數(shù)”的充要條件；因?yàn)閟inx0+cosx02sin4，所以命題p，q:為假命題，所以(p)q為假命題所以正確命題的序號(hào)是點(diǎn)睛：1.命題的否定與否命題區(qū)別“否命題”是對(duì)原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結(jié)論. 2命題的否定的注意點(diǎn)(1)注意命題是全稱命題還是存在性命題，是正確寫出命題的否定的前提；(2)注意命題所含的量詞，對(duì)于量詞隱含的命題要結(jié)合命題的含義顯現(xiàn)量詞，再進(jìn)行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定為“且”，且”的否定為“或”.三解答題（共6小題，滿分10分）17.設(shè)函數(shù)f(x)=ax-bx，曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為7x-4y-12=0（1）求f(x)的解析式；（2）證明：曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值【答案】(1) f(x)=x3x (2)見解析【解析】【分析】（1）已知曲線上的點(diǎn)，并且知道過此點(diǎn)的切線方程，容易求出斜率，又知點(diǎn)(2,f(2)在曲線上，利用方程聯(lián)立解出a,b；（2）可以設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn)，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯(lián)立，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，接著利用三角形面積公式即可【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax-bx，曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為7x-4y-12=0所以f(x)|x=2=a+bx2|x=2=74，所以a+b4=74，2a-b2=12，解得a=1，b=3，故f(x)=x-3x；（2）證明：設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y=1+3x2知曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(1+3x02)(x-x0)，令x=0，得y=-6x0，從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-6x0)；令y=x，得y=x=2x0，從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2x0，2x0）；所以點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0，y=x，所圍成的三角形面積為12|-6x0|2x0|=6故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)及切線方程、三角形面積的相關(guān)知識(shí)，運(yùn)算量較大，屬于中檔題18.如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，P點(diǎn)是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，設(shè)點(diǎn)E、F、G、H分別為PAB、PBC、PCD、PDA的重心試用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面【答案】見解析【解析】【分析】畫出圖形，利用三角形的重心定義，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則，得出EG=EF+EH，即證E,F,G,H四點(diǎn)共面【詳解】分別延長PE、PF、PG、PH，交對(duì)邊于M、N、Q、R點(diǎn)，因?yàn)镋、F、G、H分別是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R為所在邊的中點(diǎn)，順次連接M、N、Q、R得到的四邊形為平行四邊形，且有PE=23PM，PF=23PN，PG=23PQ，PH=23PR；如圖所示，MQ=MN+MR=(PN-PM)+(PR-PM)=32(PF-PE)+32(PH-PE)=32(EF+EH)；又MQ=PQ-PM=32PG-32PE=32EG，32EG=32(EF+EH)，EG=EF+EH由共面向量定理知：E、F、G、H四點(diǎn)共面【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算與應(yīng)用問題，也考查了空間想象與邏輯推理能力，是中檔題目19.如圖，已知梯形ABCD與梯形ADEP全等，PAAD，ED/PA，PC=3，PA=AD=AB=2，DE=BC=1，F(xiàn)為PC中點(diǎn). （）證明：EF/平面ABCD（）點(diǎn)G在線段PC上(端點(diǎn)除外),且DG與平面PBC所成角的正弦值為105,求CGCP的值.【答案】()見解析；（）CGCP=23.【解析】試題分析：（）：設(shè)H為AC中點(diǎn)，連結(jié)FH,易得四邊形EDHF是平行四邊形，有EF/HD，進(jìn)而可證線面平行；（）由PAAC，PAAD得PA平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP的方向分別為x軸、y軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)點(diǎn)G在PC上，且CG=CP，求得平面PBC的個(gè)法向量n，設(shè)DG與平面PBC所成角為，則sin=cosn,DG=105，從而得解.試題解析：（）證明：方法一：設(shè)H為AC中點(diǎn)，連結(jié)FH,因?yàn)镕為PC中點(diǎn),所以HF是PAC的中位線，HF/12AP.由已知DE/12AP，所以HF/DE，因此四邊形EDHF是平行四邊形，所以EF/HD.又EF平面ABCD，HD平面ABCD，所以EF/平面ABCD.方法二：延長線段PE，AD，交于點(diǎn)K，連結(jié)CK，由PA=2DE=2，則E是PK的中點(diǎn)，又F是PC的中點(diǎn)，所以EF是PCK的中位線，所以EF/CK.又EF平由ABCD，CK平面ABCD，所以EF/平面ABCD. （）由梯形ABCD與梯形ADEP全等,因?yàn)镻AAD，BC/AD，所以ABBC，ABAD.RtABC中，PA=AB=2，BC=1 所以AC=AB2+BC2=5.因?yàn)镻C=3,故有PA2+AC2=PC2,從而PAAC,又因?yàn)镻AAD，ADAC=A,所以PA平面ABCD.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP的方向分別為x軸、y軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)點(diǎn)G在PC上，且CG=CP，B(2,0,0)，P(0,0,),C(2,1,0)，D(0,2,0)，所以BC=(0,1,0)，CP=(-2,-1,2)設(shè)n=(x,y,z)是平面PBC的個(gè)法向量，則nBC=0,nCP=0,即y=0,-2x-y+2z=0,取n=(1,0,1)AG=AC+CG=(2,1,0)+(-2,-1,2)=(2-2,1-,2)，故DG=(2-2,1-,2)-(0,2,0)=(2-2,-1-,2).設(shè)DG與平面PBC所成角為，則sin=|cosn,DG|，即|2-2+2|2(2-2)2+(-1-)2+42=105.解得1=23，2=0(舍去),故CGCP=23.點(diǎn)睛：（1）利用向量法求線面角的方法分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(銳角或直角時(shí))或其補(bǔ)角(鈍角時(shí))；通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線與平面所成的角（2）利用直線的方向向量求異面直線所成的角時(shí)，要注意直線方向向量的夾角和異面直線所成角的區(qū)別，不要得到錯(cuò)誤的結(jié)論20.橢圓E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-23,0)、F2(23,0)，過F1且斜率為312 的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好為F2（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l:y=12x+m與橢圓E交于A，C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)H，設(shè)AC的中點(diǎn)為Q，試問|AQ|2+|QH|2是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由【答案】（）x216+y24=1.（）10. 【解析】試題分析：（）過F1(-23,0)且斜率為312的直線方程為y=312(x+23)，令x=23，則y=1，可得a2-b2=1212a2+1b2=1，求出a、b的值即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）由y=x2+mx2+4y2=16可得x2+2mx+2m2-8=0，設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2)，根據(jù)弦長公式可得AC的值，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得HQ的值，則AQ2+HQ2=14AC2+HQ2 =1454(32-4m2)+5m24=10.試題解析：（）過F1(-23,0)且斜率為312的直線方程為y=312(x+23)，令x=23，則y=1由題意可得a2-b2=1212a2+1b2=1，解得a2=16,b2=4，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程x216+y24=1.（）由y=x2+mx2+4y2=16可得x2+2mx+2m2-8=0，設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2)則有x1+x2=-2mx1x2=2m2-8， AC=52(x1+x2)2-4x1x2=5232-4m2 ，又y1+y2=12(x1+x2)+2m=m，Q為AC的中點(diǎn)，Q(-m,m2)直線與x軸的交點(diǎn)為H(-2m,0)，所以HQ=m2+m24=5m24， AQ2+HQ2=14AC2+HQ2 =1454(32-4m2)+5m24=10，所以AQ2+HQ2為定值10. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及圓錐曲線的定值問題以及點(diǎn)在曲線上問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種： 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)； 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.21.如圖所示，三棱錐PABC中，D是AC的中點(diǎn)，PA=PB=PC=5，AC=22,AB=2，BC=6（1）求證：PD平面ABC；（2）求二面角PABC的正切值大小【答案】(1)見解析 (2) 2 【解析】【分析】（1）連接BD，推導(dǎo)出PDAC,ABBC,PDBD，由此能證明PD平面ABC.（2）取AB的中點(diǎn)E，連接DE,PE，則DE/BC,由ABBC，得ABDE，由PD平面ABC，得PDAB，由ABDE，得AB平面PDE，從而PEAB，進(jìn)而PED是二面角PABC的平面角，解三角形求得二面角PABC的正切值【詳解】（1）連接BD，D是AC的中點(diǎn)，PA=PB=PC=5，PDACAC=22，AB=2，BC=6，AB2+BC2=AC2ABC=90，即ABBCBD=12AC=2=ADPD2=PA2-AD2=3，PB=5，PD2+BD2=PB2PDBDACBD=D，PD平面ABC.（2）取AB的中點(diǎn)E，連接DE、PE，由E為AB的中點(diǎn)，知DEBC，ABBC，ABDEPD平面ABC，PDAB又ABDE，DEPD=D，AB平面PDE，PEABPED是二面角PABC的平面角在PED中，DE=12BC=62，PD=3，PDE=90，tanPED