數(shù)學(xué)物理方程6特征線法.ppt

本章中心內(nèi)容,第6章特征線法,特征線法求解一階偏微分方程以及一維波動(dòng)方程,在數(shù)學(xué)的天地里,重要的不是我們知道什么,而是我們?cè)趺粗朗裁?-畢達(dá)哥拉斯,Methodofcharacteristics一種基于特征理論的求解雙,曲型偏微分方程組的似方法。它產(chǎn)生較早，19世紀(jì)末已經(jīng)有效地為人們所用。電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，又得到了進(jìn)一步的發(fā)展，在一維不定常流和二維定常流等問題中得到了廣泛的用。,特征線法也是求解偏微分方程的一種基本方法。其實(shí)質(zhì)是沿偏微分方程的特征線積分以使方程的形式簡(jiǎn)化，從而使其求解稱為可能。它不僅適用于線性偏微分方程，而且也是求解非線性方程的一種有效方法。,一、特征線法,結(jié)合一些具體的定解問題的求解，說明特征線方法的基本思想和求解方法。,第一節(jié)、一階偏微分方程特征線法,例1求解線性方法Cauchy問題,解方程（1）的左端,是,的一階偏導(dǎo)數(shù)的線性,組合。特征線方法的基本思想就是將其轉(zhuǎn)化為,關(guān)于t的全,導(dǎo)數(shù)。,在這條直線,上，即,，在這個(gè)直線上，上述,定解問題轉(zhuǎn)化為,解之，得,又,，則,此解法關(guān)鍵之處是找到直線,，偏微分方程轉(zhuǎn)化為,常微分方程。直線,稱為一階偏微分方程（1）的特征線,特征線,是方程,的解，方程,稱為（1）的特征方程，其解就是（1）的特征線。,沿一階偏微分方程的特征線將方程化為常微分方程，便是特征線法的基本思想。,對(duì)定解問題（1）（2）,也可以用變量代換方法求解。具體做法是，做變換,則,即,代入,有,所以,即,對(duì),兩邊積分，可得,其中，,為一個(gè)可微函數(shù)。,由,由方程（2）,得,即,所以,定義1考慮下面一階線性微分方程,注1,給出例1求解方法的一個(gè)幾何解釋。在該例中，使用了參數(shù),其中,、,和,、,均為自變量,、,的函數(shù)。,方程,稱為(4)式的特征方程，其積分曲線稱為(4)式的特征曲線。,c，即為特征線的初始值,。當(dāng)參數(shù),在,軸滑動(dòng)時(shí)，,(3)式的解曲線就織成了(1)式-(2)式的解曲面。,為了避免和常數(shù)c混淆，下面用變量,代替參數(shù)c。請(qǐng)記?。?變化相當(dāng)于,在,軸上滑動(dòng)。,例2求解線性方法柯西問題,解方程(6)式的特征方程為,而過點(diǎn),的特征線就是下面問題的解,解之可得,。沿此特征線原定解問題(6)-(7)簡(jiǎn)化為,解出,最后，由特征線方程,易得該問題的解為,常數(shù),(8)式中便得(6)式-(7)式的解為,將其代入到,練習(xí),求下列Cauchy問題的解,解第一步求特征線。特征線方程,的解為,第二步化偏微分方程為常微分問題并求解。令,則,則,這個(gè)常微分方程初值問題的解為,又,所以,下面考慮一階擬線性方程，即一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)與未知函數(shù),一階擬線性方程柯西問題的一般形式為,有關(guān)。,方程(9)式有一個(gè)很直觀的幾何解釋，在,的法,對(duì)曲面上任一點(diǎn),三維空間中，(9)式的解可視為該空間中的一曲面,的,曲面在該點(diǎn),向量為,而在曲面,上，過點(diǎn),的曲線,在點(diǎn),的切向,量為,。顯然，向量,與,在點(diǎn),相互,垂直。如記向量,則方程,(9)式恰好表示向量,與,在點(diǎn),處相互垂直。因此，在曲面,第二節(jié)、一維波動(dòng)方程的特征線法,考慮弦振動(dòng)方程的Cauchy問題,這里是無界問題，可以用積分變換求解，下用特征線求解。,特征線族,即,可得,（3）稱為特征方程,做變量代換,則,則（1）式變?yōu)?積分此方