（運籌學與控制論專業(yè)論文）幾類經(jīng)濟訂購批量模型及其優(yōu)化.pdf

廣西大學學位論文原創(chuàng)性聲明和使用授支裂燮攀戮矬 原創(chuàng)性聲明 本人聲明：所呈交的學位論文是在導師指導下完成的，研究工作所取得的成果和相 關知識產(chǎn)權屬廣西大學所有，本人保證不以其它單位為第一署名單位發(fā)表或使用本論 文的研究內容除已注明部分外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表過的研究成果，也不包 含本人為獲得其它學位而使用過的內容對本文的研究工作提供過重要幫助的個人和集 體，均已在論文中明確說明并致謝 論文作者簽名： 積訊 1 驢薩多月力陽 學位論文使用授權說明 本人完全了解廣西大學關于收集、保存、使用學位論文的規(guī)定，即： 按照學校要求提交學位論文的印刷本和電子版本： 學校有權保存學位論文的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務； 學校可以采用影印、縮印、數(shù)字化或其它復制手段保存論文； 在不以贏利為目的的前提下，學?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉績热?請選擇發(fā)布時間： 函即時發(fā)布口解密后發(fā)布 ( 保密論文需注明，并在解密后遵守此規(guī)定) 酗新躲齜t 看洲年多月二咱 幾類經(jīng)濟訂購批量模型及其優(yōu)化 摘要 庫存是企業(yè)經(jīng)營過程中的重要組成部分如何保持適當?shù)膸齑媪?，?減少庫存成本，又不影響正常的企業(yè)經(jīng)營活動，已經(jīng)成為企業(yè)管理者必須 考慮的問題影響庫存成本的因素是多方面的，本文從二層信用支付、存 貨影響銷售率與產(chǎn)品的市場生命周期等方面研究了零售商的庫存成本問題， 主要內容如下安排 第一章介紹庫存管理的基礎知識，總結了相關庫存模型的研究現(xiàn)狀 第二章研究了一類存貨影響銷售率的庫存問題，其中采用二層信用支 付策略，即供應商向零售商提供信用支付期，同時零售商也向顧客提供信 用支付期，建立了相應的庫存模型，證明了零售商最優(yōu)訂購策略是存在且 唯一的，然后給出確定最優(yōu)訂貨策略的算法與數(shù)值例子 第三章假設需求率與變質率均為常數(shù)，研究了在二層信用策略下的兩 貨棧系統(tǒng)的庫存模型，并討論了模型最優(yōu)解的存在性及唯一性，然后給出 確定最優(yōu)訂購策略的算法步驟與數(shù)值例子 第四章建立了一類采用先訂貨后缺貨策略變質物品庫存模型，其中需 求率是時間的雙斜坡函數(shù)，拖后率和損耗率均為時間的一般函數(shù)，目的是 極小化總成本，討論了最優(yōu)解的存在性及唯一性，并給出了確定最優(yōu)訂購 策略的計算步驟及數(shù)值例子 最后，對本 關鍵詞：庫 s e v e r a lk i n d so fe c o n o m i co r d e r q u a n t i t y m o d e la n dt h e i ro p t i m i z a t i o n a b s t r a c t i n v e n t o r yi sav e r yi m p o r t a n c ec o m p o n e n te l e m e n ti nb u s i n e s sp r o c e s sf o r e n t e r p r i s e s i ta ni s s u et h a tm u s tb ec o n s i d e r e db yt h em a n a g e rt ok e e pi n v e n t o r y a p p r o p r i a t e s oa st oc u td o w ni n v e n t o r yc o s tw i t h o u t i n f l u e n c i n gn o r m a l b u s i n e s sa c t i v i t yo fe n t e r p r i s e t h ef a c t o r st h a ti n f l u e n c ei n v e n t o r yc o s t a r e v a r i o u s t h et h e s i ss t u d i e st h er e t a i l e r s i n v e n t o r yc o s tp r o b l e mb a s e do nt w o l e v e l so fc r e d i tt r a d e ，s t o c k d e p e n d e n ts e l l i n gr a t ea n d p r o d u c tl i f ec y c l e t h e t h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s c h a p t e r1 i st h eb r i e fi n t r o d u c t i o no ft h eb a s i ck n o w l e d g eo fi n v e n t o r y m a n a g e m e n ta n d t h er e v i e wo ft h er e l a t i v er e s e a r c ho n i n v e n t o r ym o d e l s i nc h a p t e r2 ，a l li n v e n t o r yp r o b l e mo fs t o c k d e p e n d e n ts e l l i n gr a t ei ss t u d i e d ， i nw h i c ht w ol e v e l so ft r a d ec r e d i tp o l i c yi s a d o p t e db yt h er e t a i l e ra n dt h e s u p p l i e r , n a m e l y t h es u p p l i e ro f f e r sac r e d i tp e r i o dt ot h er e t a i l e r , a n dt h er e t a i l e r , i nt u m ，o f f e r sac r e d i tp e r i o dt oh i s h e rc u s t o m e r s ar e l e v a n ti n v e n t o r ym o d e l f o rt h ep r o b l e mi sd e v e l o p e da n dw ep r o v et h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h e o p t i m a lo r d e r i n gp o l i c yf o rt h er e t a i l e r t h e n ，a na l g o r i t h mo fd e t e r m i n i n gt h e o p t i m a lo r d e r i n gp o l i c ya n dn u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e d i i i i n t r a d e b o t h a r ed i s c u s s e d t h e n ，a na l g o r i t h mt od e t e r m i n et h eo p t i m a lo r d e r i n g p o l i c ya n d n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e n i nc h a p t e r4 ，a ni n v e n t o r ym o d e lf o rd e t e r i o r a t i n gi t e m ss t a r t i n gw i t h o u t s h o r t a g e si sd e v e l o p e d ，w h e r ed e m a n dr a t ei sab i r a m pt y p ef u n c t i o na n d b a c k l o g g i n gr a t ea n dd e t e r i o r a t i o nr a t ei sr e s p e c t i v e l yag e n e r a lf u n c t i o no f t i m e o u rp u r p o s ei st om i n i m i z et h et o t a lc o s t t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o it h eo p t i m a ls o l u t i o nt ot h em o d e la r ed i s c u s s e d t h e n ，f ls i m p l ep r o c e d u r e f i n d i n gt h eo p t i m a lo r d e rp o l i c ya n dn u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e d f i n a l l y , t h er e s e a r c hr e s u l t so ft h et h e m ea r es u m m a r i z e da n dt h ef u r t h e r r e s e a r c h e sa r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：i n v e n t o r y ；d e l a yi np a y m e n t s ；s t o c k d e p e n d e n ts e l l i n gr a t e ； p r o d u c tl i f ec y c l e ；d e t e r i o r a t i n gi t e m s i v 目錄 第一章緒論。1 1 1 庫存管理基礎知識1 1 2 庫存理論的產(chǎn)生與發(fā)展3 1 - 3 相關庫存模型的研究現(xiàn)狀3 1 4 本文的主要工作6 第二章基于二層信用策略且存貨影響銷售率的庫存模型8 2 1 符號與假設9 2 2 模型的建立與求解9 2 3 算法步驟1 4 2 4 數(shù)值例子1 5 2 5 本章小結1 6 第三章兩貨棧及二層信用策略下的庫存模型優(yōu)化_ 1 7 3 1 符號說明與假設：18 3 2 模型建立1 9 3 3 模型分析2 2 3 4 算法步驟3 0 3 5 數(shù)值例子31 3 6 本章小結3 2 第四章基于產(chǎn)品生命周期的變質物品庫存模型3 4 4 1 符號說明與假設3 4 4 2 模型建立。3 5 4 3 理論結果及計算步驟4 0 4 4 數(shù)值例子4 2 4 5 本章小結4 4 結論4 5 參考文獻4 6 致謝5 ：! 攻讀碩士學位期間發(fā)表論文情況5 3 v 1 1 庫存管理基礎知識 第一章緒論 1 1 1 庫存的概念 庫存是指暫時閑置的，為了滿足未來需求而臨時儲備的一切資源這里的資源泛指 企業(yè)已經(jīng)購買但是尚未投入使用的原材料、半成品或是尚未銷售的產(chǎn)品【l 】 庫存的產(chǎn)生原因是多方面的，一般主要有以下幾個方面 一、當物資的供應量大于需求量時，多余的部分物資就成為庫存【l 】 二、當物資供應時間與物資的實際需求時間不同步時，暫時積壓的物資就成為庫存 三、為了避免供應市場發(fā)生波動而造成缺貨，防止供應過程中的不確定因素造成的 供應不及時，在供需之間需設置一定量的庫存儲備，以保證物資實時仍能維持企業(yè)的正 常工作【1 1 1 1 2 庫存的作用 企業(yè)保持一定的庫存，可以有效地緩解供需矛盾，盡量均勻地保持生產(chǎn)，有利于預 防不確定性、調節(jié)季節(jié)差異、降低成本與穩(wěn)定生產(chǎn)等作用【1 1 ，【2 】 ( 1 ) 預防不確定性、提高客戶服務水平顧客的需求很難預測，持有一定量的庫存有 利于調節(jié)供需之間的不平衡，預防由于不確定的供應引起的停工，保證企業(yè)按時交貨， 避免由于庫存缺貨或供應延遲造成的損失，對企業(yè)提高客戶服務水平具有重要作用【1 】，【2 】 ( 2 ) 調節(jié)季節(jié)差異企業(yè)可以利用產(chǎn)成品庫存來平衡因季節(jié)性、促銷活動與節(jié)假日 等因素造成的需求波動，維持正常的經(jīng)營秩序【l 】 【2 】 ( 3 ) 降低成本當大批量的采購物資進行儲備時，可以獲得價格優(yōu)惠，減少采購次 數(shù)，從而可以降低總費用如果能夠預測到未來價格會上漲，可以在低價位時購進額外 數(shù)量的產(chǎn)品進行儲備，避免價格上漲帶來的成本增加【l 】【2 】 ( 4 ) 穩(wěn)定生產(chǎn)在許多情況下，供應的數(shù)量及交貨時間存在很大的不確定性，而庫 存具有保持企業(yè)經(jīng)營的連續(xù)性、及時滿足客戶訂貨需求，以及協(xié)調生產(chǎn)資源在時間、空 間上的相銜接【l 】，【2 】 1 1 3 庫存的弊端 雖然庫存有很多好處，但是庫存也存在弊端，它包括下面幾點 幾典經(jīng)濟匍廣j 由批h 奠盈! 及其優(yōu)化 ( 1 ) 占用資金庫存中的物資占用了企業(yè)的大量流動資金，大多數(shù)企業(yè)的資金都是 有限的，當預測不準時，多余的庫存沒有用處，只會占用了企業(yè)的資金【2 1 ( 2 ) 產(chǎn)生庫存成本庫存成本是指企業(yè)為了持有庫存所必需開支的成本，包括：保管 費、倉庫設施設備、保險費、物資價值損失( 丟失或變舊、損耗) 等【2 1 ( 3 ) 庫存會掩蓋企業(yè)經(jīng)營過程中存在的問題，使管理者忽視眾多管理漏洞比如， 供應物品質量問題，交貨不及時，以及計劃安排等諸多問題，都可能被庫存掩蓋f 2 】 總之，持有庫存就要產(chǎn)生成本，還可能帶來一些其他管理上的問題，因此要在庫存 的利弊之間進行權衡這將是庫存管理者所要研究和解決的問題 1 1 4 庫存成本的構成 對庫存進行分析，不僅要定性分析其優(yōu)缺點以便形成庫存管理的指導原則與思想， 還需進行必要的量化分析在進行定量分析時，常常將庫存決策表達為一個成本( 或利 潤) 問題進行分析，這時就需要分析庫存成本的構成【2 1 庫存成本一般包括訂購費，購置 費，存貯成本，變質損耗成本，缺貨費與資金機會成本等【l 】_ f 3 】 ( 1 ) 訂購費訂購費是指與發(fā)出訂單或收貨相關的費用，通常包括通訊、下單、訂 單跟蹤、收貨與差旅等費用訂貨費僅與訂貨次數(shù)有關，而與一次的訂購量的大小無關 ( 2 ) 購置費購置費是指因購進物資而產(chǎn)生的費用，取決于購買的單價與購買數(shù)量 ( 3 ) 存儲成本該費用包括用于庫存所必需的倉庫，設施設備等的折舊，如：看管、 通風、取暖與照明等所需的開支 ( 4 ) 變質損耗成本在持有庫存的過程中，一部分物資會被污染、損壞、變舊、盜竊 或不適合銷售造成的損失 ( 5 ) 缺貨費缺貨費是指由于庫存不足導致缺貨而發(fā)生的費用比如干擾了企業(yè)正 常運作而另作計劃，需增加額外的費用等缺貨費與缺貨數(shù)量有關，缺貨量越多，缺貨 費就越高，缺貨的數(shù)量越少，缺貨費就會越低【3 】 ( 6 ) 丟單成本在倉庫空出時不能及時滿足顧客的需求而失去的銷售機會，產(chǎn)生商 業(yè)信譽損失 ( 7 ) 資金機會成本投資于庫存的資金不能用于其他的投資活動而產(chǎn)生投資于庫 存的資金被庫存占用而失去了其他投資機會，必須算作庫存投資的資金成本 2 廣西大掌璜士掌位論丈 1 2 庫存理論的產(chǎn)生與發(fā)展 在企業(yè)的經(jīng)營過程中，企業(yè)物資的庫存數(shù)量經(jīng)常會發(fā)生變化，為了使得庫存量保持 在一個合理的水平，就要進行合理的、科學的庫存控制早在1 9 1 5 年經(jīng)濟學家h a r r i s 提出了經(jīng)濟訂貨批量模型，從經(jīng)濟的角度確定最佳的庫存量，1 9 3 4 年，w i l s o nr h 重 新提出了h a r r i s 的公式，即經(jīng)典的經(jīng)濟訂購批量公式( e o q ) ，“經(jīng)濟批量的提出，從根 本上改變了人們對庫存問題的傳統(tǒng)認識，是現(xiàn)代庫存理論的奠基石【 從2 0 世紀5 0 年代以來，隨著運籌學，數(shù)理統(tǒng)計等理論與方法的廣泛應用，學者們 開始運用系統(tǒng)工程理論來研究和解決企業(yè)經(jīng)營過程中的庫存控制問題，從而逐步形成了 較為完整的庫存理論體系，亦稱存儲論【1 1 特別是近二十多年以來，隨著電子計算機應 用技術的快速發(fā)展及經(jīng)濟全球化快速推進，庫存理論的研究已經(jīng)取得了巨大的成就，許 多具有應用價值的研究成果不斷涌現(xiàn)如，有在產(chǎn)品生命周期內考慮了產(chǎn)品的庫存問題 的，也有從存貨影響需求率的角度來研究庫存問題的，也有從延期支付對庫存成本的影 響來研究庫存模型的，也有研究如何確定最優(yōu)的訂貨時間與訂貨量的多周期庫存模型， 還有考慮了兩貨棧庫存模型的，等等隨著研究的不斷深入，相信還會有更多的具有應 用價值的研究成果相續(xù)出現(xiàn) 1 3 相關庫存模型的研究現(xiàn)狀 1 3 1 基于二層信用策略的庫存模型研究現(xiàn)狀 信用支付( 或延期支付) 作為一種短期的商業(yè)信貸策略，是指賣方允許買方在購買貨 物時延期支付貨款，在信用支付期限內買方不需向賣方支付任何費用，信用支付期結束 時買方必須向賣方支付全部貨款信用支付策略不但能夠鼓勵買方購買更多的貨物、增 加訂貨量，減少賣方的庫存壓力，而且還能使得買方在延期時間內把現(xiàn)有的資金用于其 他投資，以獲得額外的收益，因此信用支付廣泛存在于現(xiàn)代商業(yè)交易中 本文將供應商向零售商提供信用期的情形定義為一層信用策略，把供應商向零售商 提供信用期，零售商又提供給自己顧客信用期的情形定義為二層信用策略自從文獻 4 】 建立了基于一層信用策略的e o q 模型以來，關于一層信用策略的庫存問題得到了深入 的研究，最近，基于二層信用策略的庫存問題，引起了學者們的重視如：文獻 5 】把文 獻 4 】的模型擴展為二層信用策略的情形；文獻【6 】建立了變質物品的e o q 模型，探討了 二層信用期對零售商年費用的影響；文獻【7 】、 8 】在補貨率與需求率為常數(shù)的假設下，建 立了基于二層信用策略的生產(chǎn)庫存模型，并討論了最優(yōu)訂貨策略的存在性；文獻【9 】假設 物品有變質的情形下，研究了二層信用策略對e p q 模型的影響；文獻 1 0 1 、 1 l 】考慮了 零售商提供給顧客部分延期支付的庫存問題；文獻 1 2 】研究了需求與零售商提供給顧客 信用期限正相關的生產(chǎn)庫存模型，而文獻【1 3 】進一步考慮了銷售價格對需求的影響，擴 展了文獻 1 2 1 ；文獻【1 4 】在模糊環(huán)境下研究了關于二層信用策略的庫存模型 1 3 2 存貨影響銷售率的庫存模型研究現(xiàn)狀 空調、電腦、彩電與洗衣機等家電產(chǎn)品在賣場排放得越多越能吸引顧客，銷售率也 越高，這種現(xiàn)象被市場研究者稱為存貨影響銷售率許多學者對存貨影響銷售率的庫存 問題進行了大量的研究如： 文獻 1 5 1 的綜述把存貨影響銷售率的庫存問題分為兩類，總結了存貨影響銷售率的 庫存模型的研究進展文獻 1 6 】假設缺貨時拖后率是等待時間的減函數(shù)，建立了以訂貨 周期和缺貨時間為決策變量的庫存模型，目的是極大化平均利潤，并證明了平均利潤函 數(shù)的凹性文獻 1 7 】以采購次數(shù)和服務水平為決策變量，探討了采購價格為時變的庫存 問題文獻 1 8 1 在兩貨棧條件下，研究了考慮運輸費用的存貨影響銷售率的庫存模型， 并給出確定最優(yōu)訂貨策略的有效算法文獻 1 9 考慮了通貨膨脹下，短缺量部分拖后的 變質物品最優(yōu)生產(chǎn)策略問題，并證明了最優(yōu)生產(chǎn)策略的存在性文獻 2 0 l 考慮了通貨膨 脹和貨幣存在時間價值，建立了物品變質率為常數(shù)，短缺量完全拖后的多個等周期的庫存 模型，并討論了總成本函數(shù)的凸性文獻 2 1 1 建立了非瞬時變質物品的庫存模型，以缺 貨時間點與訂貨周期為決策變量，討論了成本函數(shù)的凸性文獻 2 2 】假設庫存維持費是 物品在庫時間的遞增函數(shù)，建立了最小化成本的庫存模型文獻 2 3 1 假設庫存維持費離 散可變，擴展了文獻 2 2 】的庫存模型，建立了最大化總利潤的庫存模型文獻【2 4 研究了 廠商與零售商構成的供應鏈協(xié)調庫存問題，建立了極大化利潤的庫存模型，討論了廠商 與零售商獲得最優(yōu)利潤的訂貨策略文獻 2 5 】在信用期策略下，討論了零售商的最優(yōu)訂 貨策略，并給出確定最優(yōu)訂購策略的算法文獻 2 6 】建立了零售商邊補貨邊需求的多個 補貨周期的庫存模型，最后對總成本的最小值解用遺傳算法進行仿真求解 4 1 3 3 基于產(chǎn)品生命周期的庫存模型的研究現(xiàn)狀 產(chǎn)品生命周期是指產(chǎn)品的市場壽命，即一種新產(chǎn)品從進入市場到被市場淘汰的整個 過程一般地，產(chǎn)品的生命周期可以分成四個階段，即萌芽期( 或引入期) 、成長期、成熟 期和衰退期在產(chǎn)品的生命周期的各個階段，市場對產(chǎn)品的需求是不同的在萌芽期，需 求緩慢增長進入成長期后，需求迅速上升在成熟期，需求增長速度緩慢直至轉而下 降在衰退期，需求持續(xù)下降，以至最后退出市場隨著科學技術的快速發(fā)展、市場競 爭的加劇與人們消費習慣的改變，產(chǎn)品的市場壽命有變得越來越短的趨勢，對庫存管理 的影響越來越大 不少研究者選擇了適當?shù)暮瘮?shù)來擬合產(chǎn)品在生命周期內的需求的變化規(guī)律，研究了 在產(chǎn)品生命周期內多次訂貨的庫存問題，如：文獻 2 7 】引入需求率函數(shù)z ( t ) = k t ( t 一，) “， ( ， o ，t 】，m n ) 討論了一類需求隨產(chǎn)品生命周期變化的庫存模型的最優(yōu)解；文獻 2 8 】 假設需求率為d ( t ) = a t 6 e a , ( 口 0 , b n ，c 0 ，b o ) ( 2 ) 計劃期無限長，瞬時補貨，不允許缺貨，提前期為零 ( 3 ) 供應商給零售商信用期m ，即在信用期【o ，m 】之內，零售商不須向供應商支付任何 費用，零售商的銷售收入可以存入銀行賺得利息，信用期結束時，零售商須在時點 f = m 支付全部貨款，而且還要為未銷售的商品及已經(jīng)銷售但未收到顧客貨款的商品 支付利息 ( 4 ) 零售商給顧客信用期，顧客在時刻f = f 。購買商品，在時刻，= “+ 付清貨款 ( 5 ) 在計算支付利息時，把未收到顧客貨款的商品看成在庫庫存 ( 6 ) i 。 l ，8 c ，c s l ( m n ) 0 2 2 模型的建立與求解 2 2 1 模型建立 由于受需求的影響，時刻庫存水平，( f ) 的變化應滿足微分方程： 警一蹴 鞏i ( d = 0 解之，得 ，o ) = 導( p 6 7 - ，) 一1 ) ( 2 1 ) 此時需求率函數(shù)可以化為 9 d o ) = a e 叭。- t ) s 0 f t 根據(jù)( 2 1 ) 可以得 訂貨批量 q ：，( o ) ：旱( p 打一1 ) d 商品成本費 c ：罕( e 竹一1 ) d 庫存維持費 日= h r i ( t ) m = 等r 坩_ 1 ) 零售商是賺得利息還是支付利息是隨n ，m 及丁+ n 的大小關系變化而相應變化，因 此需要分 m t + n ，t + n m 和m 三種情形討論 ( 1 ) n m t + n 在此種情形下，零售商在【0 ，m n 】內的銷售收入可以賺得利息，需為在【m 一，刀 內未銷售的商品及已銷售但未收到顧客貨款支付利息所以支付利息皿與收益利息皿 分別為 皿= 等e 一( e b ( t - t ) - - 1 渺= 丐a c f c 【e b ( t - m + n ) _ b ( t m + ) 一1 】 i e 。- s lef m n - 1 ) d ( t ) d t = 了a s i ec b t 一n b - 1 + e b ( u - m ) 、) 此種情形下的平均總成本r 喝( 丁) 為 t v c ( t ) = 專( 么+ c + h + 喝一甌) ( 2 2 ) ( 2 ) n t + n sm 此種情形下，零售商在信用期內銷售完所有商品，所以在【o ，t + r 】內賺得利息，不 需付任何利息支付利息以= o ，收益利息為 i e 2 = s l f ( t - t ) d ( t ) d t + q ( m t - n ) = 丁a s l ep ( e b r - 1 ) ( m 一 r 一丁) + 6 n 6 r _ e b r + 1 1 0 則此種情形f = 的平均總成本t v c 2 ( t ) 為 t v c 2 ( t ) = i ( a + c + 日一z 島) ( 2 3 ) ( 3 ) m n 此種情形下，在收到顧客的貨款之前零售商需付給供應商全部貨款，所以零售商沒 有任何收益利息；在 m ，n 】內零售商需為所有商品支付利息，在 ，r + n 】內零售商為 未收到顧客貨款及在庫庫存支付利息，所以收益利息為如= 0 支付利息為 t n + t 毋= 吐 l i ( t n ) d t + ( n m ) q 】 = 等【6 ( e b t - 1 ) ( 一m ) 一 t - e b r + 1 ) 此種情況下的平均總成本t v c ；叮) 為 t v c 3 ( 丁) = 亍1 ( 爿+ c + h + 皿) ( 2 4 ) 因此，在一個計劃期 o ，t 】內庫存系統(tǒng)的平均總成本t v c ( t ) 可以表示為 一 ft v c l ( t ) ，n 0 。 現(xiàn)在證明模型( 2 5 ) 存在最優(yōu)解 ( i ) 當n o ，o pf ( t ) 在 m n ，佃) 上是嚴格單調遞增函數(shù)又因為 l i m 老- 1 ，l i m 一蝎緲= 佃 所以 。l i m 廠( r ) = + 0 0 r _ + 即存在充分大的丁 m n ，使得( r ) 0 如果f ( m 一) 。 所以n ，c l ( r ) 存在唯一的最小值點互 m n 如果f ( m 一) o ，因為廠( r ) 是關于t 嚴格遞增函數(shù)，所以當t m n 時， ( 丁) f ( m 一) 0 ，此時丁暇仃) 0 ，即t v q ( t ) 在 m n ，佃) 上是嚴格遞增函數(shù)， 從而可知r ( d 在 m 一，刪上的唯一最小值在五= m 一取得口 ( i i ) 當n 0 ，那么t v c 2 ( r ) 在( 0 ，m 一) 上有唯一的最小值解互 ( 2 7 ) ( 2 ) 如果g ( m 一) 0 ，那么t v c 2 ( t ) 在( 0 ，m 一】上的唯一最小值在瓦= m 一取得 證明：因為0 0 ，所以有最 0 時 g ( 丁) = 一最6 2 t e 0 ，即g ( 丁) 在( o ，m 一】上是嚴格單調遞增函數(shù) ( 1 ) 因為g ( o ) = 一彳6 2 0 ，由中值定理及g ( t ) 的單調性知， 方程g ( r ) = 0 在( 0 ，m 一) 有唯一解疋又因為 t v c ；( 吃疋2 南眩( 疋) 一i 2 鵬) 】= 壺g ( 疋) 。 所以t v c 2 ( t ) 在( o ，m - n ) 內有唯一的最小值點疋 ( 2 ) 如果g ( m 一) 0 ，因為g ( t ) 是單調遞增函數(shù)，所以當0 o ，所以9 ( r ) = 一b 2 e e 0 從而可知函數(shù)妒( 丁) 在( o ，佃) 嚴格單調遞 增又因為 n l i m 佃一6 6 p 只( t 云) 萬= 1 ，r 1 + i m 佃一6 e 死打= 佃 所以 7 l ，i m 。p ( t ) = 佃 即存在充分大的丁。 0 ，使得9 ( 丁。) 0 由于妒( 0 ) = 一a b 2 。 因此五是t v g ( t ) 在( 0 ，佃) 上唯一的最小值點口 定理2 1 假設t 為( 2 5 ) 的最優(yōu)解，那么，當n m 時，( 2 5 ) 的最優(yōu)值 t v c ( t ) = m i n t v c l ( 互) ，t v c 2 ( 疋) ) ；當n m 時，( 2 5 ) 的最優(yōu)t d 復t v c ( t ) = t v g ( t 3 ) 證明：( 1 ) 若 m ，則根據(jù)引理2 1 與引理2 2 可知，當f ( m n ) 0 時，t v c 2 ( 丁) 的最小值點是方程g ( r ) = 0 的解疋，當 g ( m 一) 0 時，t v c 。( r ) 的最小值點是疋= m - n 因此，當n ( 2 ) 若7 、r m ，則由引理2 3 易知，t v c ( t ) = t v g ( t 3 ) ，t = l 口 2 3 算法步驟 按照定理2 1 的結論，我們得到確定最優(yōu)訂購策略的算法步驟 第一步：輸入?yún)?shù)，當n r ( 互) 時，t v c ( t ) = 明( 互) ，t = 五：卿jt v c ( t ) = 丁y - c 2 ( 互) ，t = 正 第五步：根據(jù)( 2 8 ) 解方程9 ( r ) = 0 得r = 正，根據(jù)( 2 4 ) 計算：f 導r v c ( r ) = r ( 乃) 第六步：o = a ( e 6 r 一1 ) b ，停止 2 4 數(shù)值例子 考慮如下數(shù)值例子 例2 1 設庫存系統(tǒng)參數(shù)為：a = 1 0 0 0 ，b = 0 2 ，c = 2 0 ，s = 3 0 ，a = 2 0 0 ，h = 0 2 ，i e = 0 1 2 ，i c = o 1 8 ， m = 5 0 3 6 5 ，n = 3 0 3 6 5 根據(jù)2 3 節(jié)給出的算法步驟得最優(yōu)訂購策略為：t = o 2 2 3 7 ，q * = 2 2 8 7 4 ， t v c ( t ) = 2 1 5 7 7 9 0 當參數(shù)b 變化時，其對最優(yōu)訂購策略的影響如表2 1 所示 例2 2 設庫存系統(tǒng)參數(shù)為：a = 1 0 0 0 ，b = 0 3 ，c = 2 0 ，s = 3 0 ，a = 2 0 0 ，h = 0 2 ，i e = 0 1 2 ，i c = 0 1 8 ， m = 4 0 3 6 5 ，n = 3 0 3 6 5 根據(jù)2 3 節(jié)給出的算法步驟得最優(yōu)訂購策略為：t 棗= 0 1 9 8 3 ，q * = 2 0 4 3 7 ， t v c ( t * ) = 2 1 8 9 8 1 8 當參數(shù)m 變化時，其最優(yōu)訂購策略的影響如表2 2 所示 表2 - 1 例2 1 計算結果表2 - 2 例2 2 計算結果 例2 3 設庫存系統(tǒng)參數(shù)為：a = 1 0 0 0 ，b = 0 3 ，c = 2 0 ，s = 3 0 ，a = 2 0 0 ，h = 0 2 ，i e = 0 1 2 ，i c = 0 1 8 ， m = 5 0 3 6 5 ，n = 3 0 3 6 5 ( n ( 丁 t a ) ， 【0 ， q w ( t 乃) q 表示一個周期的訂購量 c 表示每單位商品的購買成本 s 表示每單位商品的銷售價格 h 表示單位商品單位時間的自有倉庫庫存維持費 k 表示單位商品單位時間的租用倉庫庫存維持費( 克 h ) l 表示每年每單位貨幣的收益利率 l 表示每年每單位貨幣的支付利率 丁表示最優(yōu)訂貨周期 r v c ( t ) 表示庫存系統(tǒng)的最優(yōu)平均成本 模型假設 1 計劃期無限長，瞬時補貨，不允許缺貨，提前期為零 2 物品只有在倉庫時候發(fā)生變質，發(fā)生變質的物品不可再用，物品的變質率為0 0 1 8 3 供應商給零售商信用期m ，即在信用期【0 ，m 】之內，零售商不須向供應商支付任何 費用，零售商的銷售收入可以存入銀行賺得利息；信用期結束時，零售商須在t = m 時 支付全部貨款，而且還要為未銷售的商品及已經(jīng)銷售但未收到顧客貨款的商品支付利 息 4 在計算支付利息時，把未收到顧客貨款的商品看成在庫庫存 5 零售商給顧客信用期，顧客在時刻，購買商品，在時刻f + 付清貨款 6 租用倉庫( r 容量無限大，當零售商的訂購量q 超過自有倉庫( o 的容量形時，超 出的訂貨量需存放到租用倉庫( r v o 在銷售時，應先銷售租用倉庫( r w ) 中的物品再銷 售自有倉庫( o w ) 的物品 3 2 模型建立 由于受需求與變質的影響，庫存水平，0 ) 的變化應滿足以下微分方程 掣+ o i ( t ) ：一d ，o f r ，( r ) ：0 ( 3 1 ) 甜 解上述微分方程得 m ) _ d 日( e o ( r - t ) _ 1 ) ，o ，丁 于是，一個周期內的訂購量 q = 邶) = 礦o p 0 7 一1 ) 一個訂貨周期內的物品變質量 q 一。丁= 礦op o t 一盯一1 ) ( 3 2 ) 根據(jù)( 3 2 ) 得乃= o l n 嗜o w + 1 ) ，當且僅當q 形時，丁 乙 在一個訂貨周期 0 ，t 】零售商的固定訂購費、變質損失費與庫存維持費分別為： 固定訂購費：a 變質損失費：- 譬- ( e e r - o t 一1 ) 零售商庫存維持費須分兩種情形計算 ( i ) 當t 只( q w ) 時，不需要租用倉庫，所以庫存維持費為 1 9 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ，1 可大掣u 曩士掌位論文 辦扣渺= 礦d h k f o r 一卯一1 ) ( 3 5 ) ( i i ) 當瓦 n r m n 且疋m 一 ( 1 ) t 2 ： 此時有t + n m ，零售商在信用期限m 內，已全部收到顧客貨款所以支付利息 為零，收益利息為 姒r ( r f ) d d t + d t ( m 一一刪= s i , d ( m n ) t 一圭吐刃2 - ( i i ) 瓦 t m n 利息的計算與( i ) 相同 ( i i i ) 藝m n t 此時有瓦+ r m - n 日l m n 時，零售商的平均成本函數(shù)可以 表示為 i 丁陽q ( 丁) ，0 t 瓦， t v c ( t ) = 乃r c 2 ( r ) ，瓦 t m - n ， ( 3 7 ) 【t v g ( t ) ， m n ( 3 1 0 ) 情形3 2 2m n 且m n 乃 類似于情形3 2 1 的討論，庫存系統(tǒng)的平均成本函數(shù)為 嘲d = 鵬t v c 4 ( t ) t v c z ( t ) ， i ，0 o ，即仇( 丁) 在( o ，r o l _ k 是 關于t 的單調遞增函數(shù) ( a ) n e 。( l ) o ，則根據(jù)中值定理及仍( 丁) 的單調性知，方程妒( 丁) = 0 在( o ，疋】有 唯一解巧又因為 r v c ；( r ) i r 叫2 壽破( 互) 仉 故互是r 啊( 丁) 在( o ，疋】的最小值點 ( b ) 若妒1 ( 疋) o ，則當0 t - l 時，有 丁v c i ( r ) = 壽吼( 丁) 兩1 仍( 瓦) o 所以當0 t 0 ，所以仍( 丁) 在( 瓦，m 一】上是關于丁單 調遞增函數(shù)，有9 ：( 疋) 9 ：( m 一) ( a ) 若妒2 ( 藝) 0 ，貝0 當乃 而1 9 2 ( 疋) o 所以丁( 丁) 在( 乃，m 一】上單調遞增函數(shù)，故乙是n ，c 2 ( 丁) 的最小值點 ( b ) 若妒：( 瓦) 。 故瓦r g c 2 ( r ) 在( 藝，m 一】的最小值點 ( c ) 若妒2 ( m 一) 0 ，則當乙 。 故乃是丁喝( 丁) 的最小值點 ( b ) 若妒3 ( m 一) o ，則當t m 一時，有 嬲( 丁) = 萬1 蚋 兩l 仍( m 一) o 所以丁喝( 丁) 在 m 一，佃) 是單調遞增函數(shù)，故丁= m n 是n ，c 3 ( 丁) 的最小值點 注意到下面等式成立 t p l ( 疋) = t p ，( ) 2 4 曼查堂里查堂垡簦壅 叢叁叁墮塑墮塾量苧墨墨基塑墾 _-=二=_=!二!一嗍o 一彳0 2 + d ( h + c o ) ( o t o e a r - - e a r - + 1 ) + 三吐。礙曠 9 2 ( m n ) = e p 3 ( m 一) = - a 0 2 + d ( 尼+ c 日) 9 ( m n ) e 口( m 一) 一e o ( m 一+ l 】 ( 3 1 9 ) 一d ( k h ) ( o r o p 眈一p 眈+ 1 ) + l s i , d ( m 一) 2 日2 ( 3 2 0 ) t v c , ( t o ) = r ( 瓦) ，t v c 2 ( m - n ) = t v c 3 ( m 一忉 當瓦 o 令l l = 9 2 ( ) ，a 1 2 = 9 2 ( m