（概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)論文）markov鏈利率下復(fù)合markov二項模型的破產(chǎn)問題.pdf

摘要 在這篇文章中，我們將m a r k o v 鏈利率引進(jìn)保險公司的盈余過程，考 慮m a r k o v 鏈利率下的復(fù)合m a r k o v z 項風(fēng)險模型，并研究了該風(fēng)險模型下的 破產(chǎn)問題，包括破產(chǎn)概率的上界和漸近公式。 首先，我們得到了關(guān)于有限時破產(chǎn)概率的遞歸方程和關(guān)于無限時破產(chǎn)概 率的積分方程。當(dāng)利率取任意值時，上述方程均成立。 其次，當(dāng)利率非負(fù)時，我們利用關(guān)于有限時破產(chǎn)概率的遞歸方程，分 別通過歸納法和鞅方法推導(dǎo)得到關(guān)于無限時破產(chǎn)概率的上界。同時，由此 得到的上界均小于復(fù)合m a r k o v _ 二項風(fēng)險模型中最終破產(chǎn)概率的l u n d b e r g 上 界。注意到在復(fù)合m a r k o v 二項風(fēng)險模型中，若盈余能產(chǎn)生非負(fù)收益，破產(chǎn) 概率應(yīng)減小。我們的結(jié)論與這一事實一致。 最后，當(dāng)允許利率取負(fù)值且索賠額分布函數(shù)為重尾時，我們得到關(guān) 于有限時破產(chǎn)概率的漸近公式。該結(jié)論表明，當(dāng)索賠額為重尾分布時，有限 時破產(chǎn)概率由索賠額分布漸近決定。 關(guān)鍵詞：破產(chǎn)概率，復(fù)合m a r k o v - 項模型，m a r k o v 鏈，利率，遞歸計算， l u n d b e r g 不等式，重尾分布 i i a b s t r a c t i l lt h i sp a p e rw ee x t e n dt h ec o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e lt ot h ec o r n p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e lw i t ham a r k o vc h a i ni n t e r e s t , w h i c hi n t r o d u c e si n - t e r e s tr a t e st ot h es u r p l u sp r o c e s so fa ni n s u r a n c ec o m p a n yg o v e r n e db yam a r k o v p r o c e s s w i t hr e s p e c tt ot h ec o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e lw i t ham a r k o v c h a i ni n t e r e s t ，w ee x a m i n es o m er u i np r o b l e m si n c l u d i n gu p p e rb o u n d sa n da s y m p - t o t i cf o r m u l a sf o rr u i np r o b a b i l i t i e s f i r s t l y , w ed e d v ear e c u r s i v ee q u a t i o nf o rt h ef i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t i e sa n d a l li n t e g r a le q u a t i o nf o r t h ei n f i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t i e s t h e s ee q u a t i o n sh o l df o r a n yi n t e r e s tr a t e s s e c o n d l y ，w h e ni n t e r e s tr a t e sa r en o n - n e g a t i v e ，w eu s et h er e c u r s i v ee q u a t i o n f o rt h ef i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t yt od e r i v ep r o b a b i l i t yi n e q u a l i t i e sf o rt h eu l t i m a t e r u i np r o b a b i l i t yb yi n d u c t i v ea n dm a r t i n g a l ea p p r o a c h e s ，r e s p e c t i v e l y b o t ht h e u p p e rb o u n d sa r el e s st h a nt h el u n d b e r g - t y p eu p p e rb o u n df o rt h eu l t i m a t er u i n p r o b a b i l i t yi nt h ec o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e l ，w h i c hi sc o n s i s t e n tw i t ht h e f a c tt h a tt h er u i np r o b a b i l i t yi nt h ec o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e li sr e d u c e d b ya d d i n gn o n - n e g a t i v ei n t e r e s ti n c o m et ot h es u r p l u s t h i r d l y , w h e ni n t e r e s tr a t e sc a nb en e g a t i v ea n d t h ec l a i ms i z ed i s t r i b u t i o nf b i sh e a v y - t a i l e d ，w ed e r i v ea s y m p t o t i cf o r m u l a sf o rt h ef i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t y t h ec o n c l u s i o ni n d i c a t e st h a tt h ef i n i t et i m er u i np r o b a b i l i 夠i sa s y m p t o t i c a l l yd e t e r - m i n e db yt h ec l a i ms i z ed i s t r i b u t i o ni nt h ep r e s e n c eo ft h eh e a v y - t a i l e dc l a i ms i z e s k e y w o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y , c o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e l ，m a r k o vc h a i n , r a t eo fi n t e r e s t ，r e c u r s i v ec a l c u l a t i o n , l u n d b e r g si n e q u a l i t y , h e a v yt a i l e dd i s t r i - b u t i o n 南開大學(xué)學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本人完全了解南開大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定， 同意如下各項內(nèi)容：按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版 本；學(xué)校有權(quán)保存學(xué)位論文的印刷本和電子版，并采用影印、縮印、 掃描、數(shù)字化或其它手段保存論文；學(xué)校有權(quán)提供目錄檢索以及提供 本學(xué)位論文全文或者部分的閱覽服務(wù)；學(xué)校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國家有 關(guān)部門或者機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版；在不以贏利為目的的前 提下，學(xué)?？梢赃m當(dāng)復(fù)制論文的部分或全部內(nèi)容用于學(xué)術(shù)活動。 學(xué)位論文作者簽名：否咄嗣 砌葛年多月凇e l 經(jīng)指導(dǎo)教師同意，本學(xué)位論文屬于保密，在年解密后適用 本授權(quán)書。 指導(dǎo)教師簽名：學(xué)位論文作者簽名： 解密時間：年月 日 各密級的最長保密年限及書寫格式規(guī)定如下： 南開大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下，進(jìn)行研究工作 所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本學(xué)位論文的研究成果不包含 任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或者沒有公開發(fā)表的作品的內(nèi)容。對本論文所涉 及的研究工作做出貢獻(xiàn)的其他個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本學(xué) 位論文原創(chuàng)性聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名：雪娟 訕。暑 年5 月 d 日 c h a p t e r i n t r o d u c t i o n t h ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e lw a sf i r s ts t u d i e db yg e r b e r 1 ，2 】a n df u r t h e r d i s c u s s e db ym i c h e l 3 ，s h i u 4 ，w i l l m o t 5 ，d i c k s o n 6 ，d i c k s o nc ta 1 7 】，d ev y l d e r & m a r c e a u 8 a n dc h e n ge ta 1 【9 f o re x a m p l e ，s h i u 4 ，w i l l m o t 5 】a n dd ev y l d e r & m a r c e a u 8 】d e r i v e dr e c u r s i v ef o r m u l a sf o rt h ef i n i t e - t i m ea n dt h ei n f i n i t e - t i m er u i n p r o b a b i l i t i e s w i l l m o t l i n 1o o b t a i n e dc o m p o u n dg e o m e t r i cb o u n d sa n da s y m p - t o t i ca p p r o x i m a t i o n sf o rt h ei n f i n i t e - t i m er u i np r o b a b i l i t i e s s e ea l s od ev y l d e r 1 1 】f o r a s y m p t o t i cv a l u e so f t h ei n f i n i t e - t i m er u i np r o b a b i l i t i e s t h ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e lw a se x t e n d e db yc o s s e t t ee ta 1 1 2 ，1 3 】t ot h es o c a l l e dc o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e lw h i c hi n t r o d u c e dt i m e - d e p e n d e n c ei nt h e a g g r e g a t ec l a i ma m o u n ti n c r e m e n t sg o v e r n e db yam a r k o vp r o c e s s w i t hr e s p e c tt ot h e c o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e l ，y u e n & g u o 14 】e x a m i n e ds o m er u i np r o b l e m s i n c l u d i n gt h eg e r b e r - s h i ue x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n t h er e a d e rc a na l s os e ey u e n & g u o 15 】f o rad i f f e r e n te x t e n s i o nt ot h ec o m p o u n d b i n o m i a lr i s km o d e l i nt h ec o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e l ，t h es u r p l u sp r o c e s so fa ni n s u r a n c ec o m o 2 p a r t y ( 尼) ，k = 0 ，1 ，2 ，) i s d e f i n e da s 七 u ( 七) = u + ( c 一匕) j = l ( 1 1 ) p e r i o da n db i st h ee v e n t u a lc l a i ma m o u n ti np e r i o d 歹w i t hd i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf ( 秒) i ti ss u p p o s e dt h a ta tm o s to n ec l a i mc a no c c u rp e rp e r i o d t h er v 巧i st h e nd e f i n e da s 巧= 蓋薹筆三三： w h e r et h ei n d i v i d u a lc l a i ma m o u n t t n b ja n dt h eo c c u r r e n c ei n 15a r ei n d e p e n d e n ti n e a c ht i m ep e r i o d 島a r ci n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ( i i d ) s t r i c t l yp o s i t i v e r e a l - v a l u e dc l a i m s i z er a n d o mv a r i a b l e sw i t hp r o b a b i l i t yf u n c t i o nl b ，d i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf ba n dm e a n 肋( 乃，歹= 0 ，1 ，2 ，i sas t a t i o n a r yh o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n w i t hs t a t es p a c e o ，1 ) a n dt r a n s i t i o np r o b a b i l i t ym a t r i x 恥q o o 沙 w h e r ep ( i k + l = 引五= i ) = 奶f o r 七= 0 ，1 ，2 ，a n df ，j o ，1 ) t h et r a n s i t i o n p r o b a b i l i t ym a t r i xi sd e f i n e di nt e r m so fap r o b a b i l i t yga n d ac o r r e l a t i o np a r a m e t e r7 r q = ( 。l ! i 三二三，丌g + q 。- 1 一q 7 l g - ，丌) c 2 ， w i t hi n i t i a lp r o b a b i l i t i e sp ( i o = 1 ) = g = 1 一p ( i o = o ) ，w h e r e0 7 r 1a n d q ( 0 ，1 ) a sw a s m e n t i o n e di nc o s s e t t ee ta 1 1 2 ，1 3 ，w h e n7 r = 0 ，( 1 2 ) b e c o m e s 、牡i - q 口q ) c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 3 w h i c hi st h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t ym a t r i xf o ri n d e p e n d e n to c c u r r e n c et 一：si k c o n - s e q u e n t l y , g e r b e r sc o m p o u n db i n o m i a lm o d e lc a nb es e e na sap a r t i c u l a rc a s eo ft h e c o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e l m o r e o v e r , t h et n ：sb ja n di a r ed e f i n e ds u c ht h a t e ( 巧) = q # a c ， w h i c he n s u r e st h a tt h es u r p l u sp r o c e s sv ( k ) g o e sa l m o s ts u r e l yt oi n f i n i t ya sk _ o 。， o re q u i v a l e n t l y , t h a tt h ei n f i n i t e - t i m er u i np r o b a b i l i t i e sg ot o0a su o o i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h ec o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lr i s km o d e lw i t ham a r k o v c h a i ni n t e r e s t ： 七奄七 ( 七) = 讓( 1 + 馬) + ( ( c 一巧) i i ( 1 + r ) ) ( 1 3 ) j = lj = l t - - j + 1 f o r k = 0 ，1 ，2 ，w h e r e 馬i s t h e i n t e r e s t r a t e i n p e r i o d j a n d i n d e p e n d e n t o f d ，j = 0 ，1 ，2 ，) t h ei n t e r e s tr a t e 弓，j = 0 ，1 ，2 ，) f o l l o w sa m a r k o vc h a i nw i t hs t a t e s p a c e 駝= 伽，t 1 ，r n a n dt r a n s i t i o np r o b a b i l i t ym a t r i x p = 饑t ) ，8 ，t = 0 ，1 ， w h e r e p ( 凡+ 1 = r t l r k = r 8 ，r k 一1 = r t k - 1 ，r o = r t o ) = p ( r k + i = r t l r k = t a ) = p s t( 1 4 ) f o r 七= 0 ，1 ，2 ，a n d ，n ，r t 0 ，r t k l 駝= r o ，r l ，r ) i na d d i t i o n , t h ei n t e r e s tr a t e 島c a nb en e g a t i v ei nt h i sp a p e r i nt h i sc a s e ，w es a y t h a t 見i st h er e t u r l lr a t eo far i s k yi n v e s t m e n t g i v e n 島= 1 8a n d 而= i ，t h ef i n i t ea n di n f i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t i e sa r e d e n o t e dr e s p e c t i v e l yb y 織( 亂，r a ) a n d ( u ，r 8 ) w h e r e 竹 織( u ，) = p ( u ( u r ( k ) o ) i 島= r | ，而= z ) t h u s ， ( u ，r a ) = o ) 1 r o = ，o = i ) 妒i ( u ，) 鶘( u ，r 。) s 織( u ，r 8 ) s l i r a 記( 釷，r o ) = ( 讓，n ) n 。o s i m i l a r l y , g i v e nr o = r a ，t h ef i n i t ea n di n f i n i t et i m er a i np r o b a b i l i t i e sa r ed e n o t e d r e s p e c t i v e l yb y 札( 缸，r 8 ) a n d 矽( u ，) w h e r e t h u s ， c l e a r l y , w eh a v e ( 缸，) = 矽( u ，) = n p ( u ( ( 七) k = l p ( u ( ( 南) k = l o ) 1 p , o = ) o ) 1 凰= ) 妒1 ( 亂，r 8 ) 如( u ，r s ) 妒3 ( u ，) l i m 譏 ，) = 妒( 讓，) n + 以( u ，r 8 ) = ( 1 一口) 織( u ，r 8 ) + g 昧( 讓，) 矽( 讓，r 6 ) = ( 1 一口) 妒o ( 讓，r a ) + 咖1 ( u ，) ( 1 5 ) ( 1 6 ) t h ee f f e c to fi n t e r e s to nt h em i n p r o b a b i l i t i e si nd i s c r e t et i m er i s km o d e l sh a sb e e n d i s c u s s e d b y v a r i o u s a u t h o r s f o r e x a m p l e ，y a n g 1 6 】a n d y a n g & z h a n g 1 7 】c o n s i d e r e d u 柚 以 c h a p t e r1 i n t i 的d u c n o n5 t h ec a s eo fc o n s t a n ti n t e r e s tr a t e s c a i 18 】a n dt a n g & t s i t s i a s h v i l i 19 c o n s i d e r e dt h e c a s eo f i i d i n t e f e s tr a t e s c a i 2 0 】c o n s i d e r e da na r ( 1 ) m o d e lf o ri n t e r e s tr a t e s c a i & d i c k s o n 21 c o n s i d e r e dam a r k o vc h a i nm o d e lf o ri n t e r e s tr a t e s i nt h i sp a p e r , w ew i l lf o l l o wt h ei d e a si nc a i & d i c k s o n 21 w ef i r s td e r i v ear e - c u r s i v ee q u a t i o nf o rt h ef i n i t et i m er a i np r o b a b i l i t i e sa n da ni n t e g r a le q u a t i o nf o rt h e i n f i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t i e si nc h a p t e r2 w h e ni n t e r e s tr a t e sa r en o n - n e g a t i v e ，w e d e r i v ep r o b a b i l i t yi n e q u a l i t i e si nc h a p t e r3a n d4f o rt h ei n f i n i t et i m er u i np r o b a b i l i 夠 b yi n d u c t i v ea n dm a r t i n g a l ea p p r o a c h e s ，r e s p e c t i v e l y w h e ni n t e r e gr a t e sc a l lb en e g a - t i v ea n dt h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o nbi sh e a v y - t a i l e d ，w ed e r i v ea s y m p t o t i cf o r m u l a si n c h a p t e r5f o rt h ef i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t y c h a p t e r 2 1 、l r e c u r s i v ea n t li n t e g r a le ou a t i o n si o rr u l n p r o b a b i l i t i e s t h r o u g h o u tt h i sp a p e r , w ed e n o t et h et a i lo fa d i s t r i b u t i o nf u n c t i o nb b y b ( x ) = 1 一b ( z ) w ef i r s tg i v ear e c u r s i v ee q u a t i o nf o r 怯( u ，) a n da ni n t e g r a le q u a t i o nf o r ( u ，) t h e s ee q u a t i o n sh o l df o ra n yi n t e r e s tr a t e s l e m m a 2 1 f o r i o ，1 ) ，n = 1 ，2 ，a n da n yu 0 ， 妒0 1 ( u ，) = + p s t ( 吼。記( u ( 1 + r t ) + c ，n ) + 吼1 ( 島( t 正( 1 + r t ) + c ) 乜( 1 + r t ) + o 以( ( 1 + r t ) + c z ，r t ) d f b ( x ) ) ) 訟( u ，r s ) = 鼬岱，i 矛b ( u ( i + r t ) + c ) 6 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 瑚 o c h a p t e r2 r e c u r s i v ea n di n t e g r a le q u a t i o n sf o rr u i np r o b a b i l i t i e s 7 礦( u ，) =p a t ( 伽妒o ( u ( 1 + r t ) + c ，r t ) + g 1 ( 島( 讓( 14 - n ) + c ) t = o u ( 1 + r t ) + o + 妒1 ( 亂( 1 + r t ) + c z ，r t ) d f e ( x ) ) ) ( 2 3 ) p r o o f g i v e nr x = r t ，w h e n 矗= 0 ，f r o m ( 1 3 ) ，w eh a v eu r ( 1 ) = u ( 1 + n ) + c t h u s ，p ( u r ( 1 ) o l r x = n ，凰= ，厶= 0 ，o = i ) = 0 ，w h i c hi m p l i e st h a t n + 1 u ( ( 尼) o ) i r l = n ，島= r s , 五= o ，o = z ) k - - 1 n + 1 = p ( u ( ( 尼) 0 ) i r l = n ，風(fēng)= ， = o ，o = t ) k = 2 k + ( c 七 i i ( i + 弓) j = 2 巧) ( 1 + 忍) t 正( 1 + t t ) + c ，t h e n p ( ( 1 ) u ( 1 + n ) + c ， n + l p ( u ( u r ( k ) o ) l b l = z ，r 1 = n ，凰= ， = 1 ，j l d = i ) = 1 k = l w h i l ei f 0 z u ( 1 + r t ) + c ，t h e n p ( ( 1 ) o i b l = z ，r 1 = r t ，r o = ， = 1 ，o = i ) = 0 ， o 0 +n+ 1玨 小u 腳 p = c h a p t e r2 r e c u r s i v ea n di n t e g r a le q u a t i o n sf o rr u i np r o b a b i l i t i e s 8 w h i c h i m p l i e s t h a t f o r 0 z u ( i + n ) + g n 4 - 1 p ( u ( u r ( k ) 0 ) i b l = 2 7 , r 1 = n ，凰 k = l 竹+ 1 = p ( u ( ( 尾) 0 ) l b x = z ，r 1 = r t ，風(fēng) k = 2 竹+ 1 = 尸( u ( ( 讓( 1 + n ) + c - x ) ( 1 + 曩，) k = 2 j = 2 盎k = r 8 l l l = ，五 十( c - r j ) i i ( 1 + 足) o ) i r l = n ， = 1 ) j = 2t = - j + 1 = 記( k i + r t ) + c z ，n ) t h e r e f o r e ，b yc o n d i t i o n i n go nr 1 ，i ia n db 1 ，w eg e t 記+ 1 ( u ，) ( k ) o ) 1 = r s ，o = i ) n + l q t o p ( u k = l 1 ，i o = i ) 1 ，o = i ) ( k ) o ) l r x = r t ，風(fēng)= r 8 ， = 0 ，o = i ) ( k ) u ( 1 + r 1 ) + c i 凰= r 8 ，i o = i ) = 黜岱1 f b ( u ( 1 - - r t ) + c ) t - - - - o t h i se n d st h ep r o o f o f l e m m a2 1 口 w en e x tu s et h er e c u r s i v ee q u a t i o nf o rt h ef i n i t et i m er a i np r o b a b i l i t yt od e r i v ea l l i n e q u a l i t yf o rt h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t yw h e ni n t e r e s tr a t e sa r en o n - n e g a t i v ea n d t o o b t a i na na s y m p t o t i cf o r m u l af o rt h ef i n i t et i m ep r o b a b i l i t yw h e ni n t e r e s tr a t e sc a l lb e n e g a t i v e c h a p t e r 3 i n e a u a l i t i e sf c r u i np r o b a b i l i t i e sb yi n d u c t i v e i o rr u i np r o d a d l l l t l e sl a yu c u v e a p p r o a c h i nt h i sc h a p t e ra n di nc h a p t e r4 ，w ea s s u m et h a ta l li n t e r e s tr a t e sa r en o n - 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