第18屆希望杯初2決賽試題及答案.doc

第十八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初二第2試2007年4月17日 上午830至1030一、選擇題 （以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母填在每題后面的圓括號內(nèi)。） 1若a,b均為正整數(shù)，則（ ）（A）m一定是奇數(shù) （B）m一定是偶數(shù)（B）只有當(dāng)a,b一個為偶數(shù)時，m是偶數(shù)（D）只有當(dāng)a,b一個為偶數(shù)，另一個為奇數(shù)時，m是偶數(shù)2設(shè)ba0，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）33Given a,b,c are positive integers,and a,b are prime numbers,then the value of a+b+c is ( )(A)14 (B)13 (C)12 (D)11（英漢詞典 positive integer：正整數(shù)。Prime number：質(zhì)數(shù)。）4購買鉛筆7支，作業(yè)本3個，圓珠筆1支共需3元；購買鉛筆10支，作業(yè)本4個，圓珠筆1支共需4元，則購買鉛筆11支，作業(yè)本5個，圓珠筆2支共需（ ）（A）元 （B）5元 （C）6元 （D）元5計算機(jī)將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)來處理。二進(jìn)制是“逢二進(jìn)一”，如二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是，那么二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是（ ）（A） （B） （C） （D）6已知ABC的三個內(nèi)角的比是，其中m是大于1的正整數(shù)，那么ABC是（ ）（A）銳角三角形 （B）直角三角形 （C）鈍角三角形 （D）等腰三角形7已知ABC的三條高的比是3：4：5，且三條邊的長均為整數(shù)，則ABC的邊長可能是（ ）（A）10 （B）12 （C）14 （D）16 8已知兩位數(shù)能夠被3整除，它的十位數(shù)字與個位數(shù)字的乘積等于它的個位數(shù)字，且它的任意次冪的個位數(shù)字等于它的個位數(shù)字。這樣的兩位數(shù)共有（ ）（A）1個 （B）3個 （C）4個 （D）5個9放成一排的2005個盒子中共有4010個小球，其中最左端的盒子中放了a個小球，最右端的盒子中放了b個小球，如果任何相鄰的12個盒子中的小球共有24個，則（ ）（A） （B） （C） （D） 10已知整數(shù)x , y , z滿足xyz，且那么的值等于（ ）（A）2 （B）14 （C）2或14 （D）14或17二、填空題11如果，那么的絕對值等于_。12已知則_。13某汽車從A地駛向B地，若每分鐘行駛千米，則11點(diǎn)到達(dá)，若每分鐘行駛千米，則11：20時距離B地還有10千米；如果改變出發(fā)時間，若每分鐘行駛千米，則11點(diǎn)到達(dá)，若每分鐘行駛千米，則11：20時已經(jīng)超過B地30千米。A、B兩地的路程是_千米。14若是一個六位數(shù)，其中是三個互異的數(shù)字，且都不等于0，1，2，3，又M是7的倍數(shù)，那么M的最小值是_。15分解因式：_。16若在凸（為大于3的自然數(shù)）邊形的內(nèi)角中，最多有M個銳角，最少有m個銳角，則M =_；m =_。17如圖1，等腰RTABC的直角邊長為32，從直角頂點(diǎn)A作斜邊BC的垂線交BC于，再從作交AC于，再從作交BC于，則_；_。18如圖2，將三角形紙片ABC沿EF折疊可得圖3（其中EFBC），已知圖3的面積與原三角形的面積之比為3：4，且陰影部分的面積為8平方厘米，則原三角形面積為_平方厘米。 19如圖4，ABC中，BC：AC=3：5，四邊形BDEC和ACFG均為正方形，已知ABC與正方形BDEC的面積比是3：5，那么CEF與整個圖形的面積比等于_。20如果正整數(shù)有以下性質(zhì)：的八分之一是平方數(shù)，的九分之一是立方數(shù)，它的二十五分之一是五次方數(shù)，那么就稱為“希望數(shù)”，則最小的希望數(shù)是_。三、解答題：（要求：寫出推算過程）21圖5是一個長為400米的環(huán)形跑道，其中A、B為跑道對稱軸上的兩點(diǎn)，且A、B之間有一條50米的直線通道，甲、乙兩人同時從A點(diǎn)處出發(fā)，甲按逆時針方向以速度沿跑道跑步，當(dāng)跑到B點(diǎn)處時繼續(xù)沿跑道前進(jìn)，乙按順時針方向以速度沿跑道跑步。當(dāng)跑到B點(diǎn)處時沿直線通道跑回到A點(diǎn)處，假設(shè)兩人跑步時間足夠長。求： （1）如果，那么甲跑了多少路程后，兩人首次在A點(diǎn)處相遇？ （2）如果，那么乙跑了多少路程后，兩人首次在B點(diǎn)處相遇？乙 22（1）如果是小于20的質(zhì)數(shù)，且可化為一個循環(huán)小數(shù)，那么的取值有哪幾個？ （2）如果是小于20的合數(shù)，且可化為一個循環(huán)小數(shù)，那么的取值有哪幾個？23如圖6，正三角形ABC的邊長為，D是BC的中點(diǎn)，P是AC邊上的動點(diǎn)，連結(jié)PB和PD得到PBD。求： （1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，PBD的周長； （2）PBD的周長的最小值。 第十六屆“希望杯”全圃數(shù)學(xué)邀請賽參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)初中二年級 第2試一、選擇題（每小題5分）題號2345678910答案CDBCABCAA二、填空題（每小題5分，含兩個空的，前空3分，后空3分）題號1112131415答案654468321題號1617181920答案3；0；3116三、解答題。 21(1)設(shè)甲跑了n圈后，兩人首次在A處相遇。再設(shè)甲、乙兩人的速度分別為 由題意可得在A處相遇時， 他們跑步的時間是 (2分) 乙跑的路程是 (3分)因為 乙跑回到A點(diǎn)處，所以 應(yīng)是250的整數(shù)倍，從而知n的最小值是15， (4分)所以甲跑了15圈后兩人首次在A處相遇 (5分) (2)設(shè)乙跑了250p+200米，甲跑了400q+200米時兩人首次在B點(diǎn)處相遇設(shè)甲、乙兩人的速度分別為由題意可得即 （7分）所以48q+24=25p+20，即48q+4=25p(p，q均為正整數(shù))。所以 p，q的最小值為q一2，p=4， (8分)此時乙跑過的路程為 2504+200=1200（米） （9分）所以乙跑了1200米后，兩人首次在B處相遇 （10分）22、（1）小于20的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分）除了2和5以外，其余各數(shù)的倒數(shù)均可化為循環(huán)小數(shù)， （4分）所以a可以?。?，7，11，13，17，19。 (5分) (2)由(1)可知只要合數(shù)a的因數(shù)中含有2或5以外的質(zhì)數(shù)，那么該數(shù)的倒數(shù)均可化為循環(huán)小數(shù)， (8分)所以 a可以??；6，9，12，14，15，18 (10分) 23(1)如圖l，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時 BPAC， DPAB， (2分)所以 (4分)即APBD的周長為 (5分