（光學(xué)專業(yè)論文）基于電容傳感的扭矩型簧片重力梯度儀的實驗研究.pdf

華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 i 摘要摘要 重力梯度是重力位的二階導(dǎo)數(shù)，重力梯度測量能夠反映地質(zhì)結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)變化，地 球重力梯度測量在慣性導(dǎo)航領(lǐng)域、地球物理學(xué)、地震學(xué)、地質(zhì)學(xué)、資源勘探等方面都 有著十分重要的應(yīng)用價值。 重力梯度測量一般可分為兩種模式：差分加速度計測量模式和扭矩測量模式。本 文基于扭矩測量原理并結(jié)合現(xiàn)代先進(jìn)的電容傳感技術(shù)， 開展了測量精度為 10e 的簧片 重力梯度儀的實驗研究。在預(yù)期研制目標(biāo)下，我們對簧片重力梯度儀的機械部分、電 路部分等方面進(jìn)行了可行性方案設(shè)計和分析，為開展簧片重力梯度儀的實驗研究提供 了理論指導(dǎo)。 在前期理論研究的基礎(chǔ)上，我們完成了一維簧片重力梯度儀在扭轉(zhuǎn)自由度上的電 容檢測和二維簧片重力梯度儀繞 y 軸扭轉(zhuǎn)方向的電容檢測， 并利用簧片的彈性力矩對 簧片重力梯度儀進(jìn)行了實驗標(biāo)定。初步實驗結(jié)果表明，目前的研制水平為：二維簧片 重力梯度儀的梯度分量 wxxwzz和 wxz的分辨率分別達(dá)到了 47 e 和 37 e， 它主要受 到系統(tǒng)檢測電路噪聲的限制。 為了進(jìn)一步提高實驗測量精度，一種方案是將電容極板與檢驗質(zhì)量之間的間距由 0.3 mm 減小到 0.1 mm，使電路部分的放大倍數(shù)提高 9 倍，可以實現(xiàn)測量精度為 10 e 的梯度測量。除此之外，還可以采用閉環(huán)測量系統(tǒng)，這樣可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減 小簧片的非線性。 關(guān)鍵詞：重力梯度測量，簧片重力梯度儀，電容傳感器 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 ii abstract the gravity gradient is the second derivative of the gravity potential, which can reflect the slim change of the geological structure. the gravity gradiometer behaves important applications in the fields of the earth science, such as inertial navigation, geophysics, earthquake, geology science, earths resource survey and so on. the measurements of gravity gradient generally can be divided into two models, differential acceleration measurement and torque measurement model. in this paper, the flexure hinges gravity gradiometer based on the principle of torque measurement combined with a high-precision capacitance transducer is designed, and then one-dimension and two-dimension gravity gradiometer prototypes are, respectively, constructed and experimental investigated. experimental results show that the two-dimension gravity gradiometer combined with a two-dimension capacitance transducer behaves resolutions of the gradiometer elements wxxwzz and wxz of 47e and 37e respectively, which are limited by the electrical noises of the capacitance transducer. the resolution of the hinge torque gravity gradiometer could be improved by a factor of 9 by reducing the gaps of the capacitance electrode from presented 0.3mm to 0.1mm. in addition, the closed-loop electrostatic torque actuators should be added in order to improve stability and reduce the nonlinear of the flexure hinges. key words： gravity gradient measurement, flexure hinges gradiometer, capacitance transducer 獨創(chuàng)性聲明獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是我個人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研 究成果。盡我所知，除文中已經(jīng)標(biāo)明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集 體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本文的研究做出貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中 以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到，本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名： 日期： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保 留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本 人授權(quán)華中科技大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索， 可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。 保密 ，在_年解密后適用本授權(quán)書。 不保密。 （請在以上方框內(nèi)打“” ） 學(xué)位論文作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本論文屬于 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 1 1 引言引言 1.1 選題背景 常規(guī)重力測量觀測重力位沿垂線方向的一階導(dǎo)數(shù)，重力梯度測量反映重力位的二 階導(dǎo)數(shù)，重力位的二階導(dǎo)數(shù)對于物體的變化部分比較敏感1。常規(guī)重力儀只測量重力 場的一個分量（鉛垂分量） ，而一臺重力梯度儀能夠測量 5 個重力場梯度張量分量， 重力梯度儀測量中多個信息的綜合應(yīng)用能夠加強應(yīng)用重力數(shù)據(jù)做出的地質(zhì)解釋2。特 別是，重力梯度的測量能夠?qū)⑤d體運動的慣性加速度和重力加速度區(qū)分出來。重力梯 度儀在航天航空領(lǐng)域、地球科學(xué)和地質(zhì)科學(xué)等方面有重要的應(yīng)用。 在航空航天領(lǐng)域，由于高精度的重力梯度儀可在大范圍內(nèi)快速測量重力梯度，安 裝在運動載體上的重力梯度儀可以實時測定所處位置的重力梯度張量分量，能夠獲得 準(zhǔn)確的重力值和垂直偏差，可提供慣性導(dǎo)航系統(tǒng)充分的重力場信息，從而達(dá)到精確導(dǎo) 航的目的3。重力梯度儀用于衛(wèi)星重力測繪能提供更高空間分辨率的全球重力圖。 對于地球科學(xué)來講，繪制和了解重力場的空間變化是非常重要的，地球重力場的 橫向變化能提供研究地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)的情況，例如，與地震有關(guān)的過程、山的構(gòu)造、地 殼板塊邊界的變形都產(chǎn)生短波長重力信號。地球重力場暫態(tài)的信息也可告訴我們與地 幔對流、火山活動、地殼形變有關(guān)的動力過程。 在地質(zhì)科學(xué)方面，重力梯度測量能顯示出地質(zhì)結(jié)構(gòu)的微小差異，即它對重力的高 頻信息 （短波分量） 十分敏感。 重力梯度測量數(shù)據(jù)能夠提高地質(zhì)特征的定量模擬質(zhì)量。 重力梯度測量對于油氣藏具有隨時間變化的監(jiān)測能力，重復(fù)重力梯度測量可以監(jiān)測生 產(chǎn)過程中石油的移動軌跡。 總之，識別重力場短波長分量的能力對地球科學(xué)、地質(zhì)科學(xué)的發(fā)展具有非常重大 的意義。重力梯度測量在石油、金屬礦勘探和小地質(zhì)探測等領(lǐng)域必將發(fā)揮越來越大的 作用。 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 2 1.2 重力梯度儀的研究進(jìn)展重力梯度儀的研究進(jìn)展 1.2.1 重力梯度的概念重力梯度的概念 地球重力位是由引力位和離心力位兩部分組成， 即 w = v+u， 其中 v 表示引力位， u 表示離心力位4-5。 一般我們所說的重力觀測是指對重力位垂線方向的一次導(dǎo)數(shù)， 即 wz的觀測： z w wg zz = (1-1) 而重力梯度的測量是指對重力位的二次導(dǎo)數(shù)的測量，即wij2w/rirj，由張量表 示為： = zzzyzx yzyyyx xzxyxx www www www w 2 (1-2) 式中wij（i,j = x,y,z）為空間梯度張量元素的分量。由于重力梯度張量的對稱性，即滿 足關(guān)系式wijwji，所以重力梯度張量中包含六個獨立的分量。由引力場的泊松方程 可知，重力梯度張量的跡與局部場的靜態(tài)物質(zhì)的密度分布有關(guān)： += 2 24 eii gww (1-3) 其中，g是萬有引力常量； 為局部場的靜態(tài)物質(zhì)的密度分布，e為地球自轉(zhuǎn)的角速 度。在地球上（0） ，泊松方程可以表示為： =+= 2 2 ezzyyxxii wwww (1-4) 這樣重力梯度張量中只包含五個獨立的分量。在重力梯度測量中，我們只需測量五個 重力梯度值或其線性組合就可得到全張量重力梯度值。 1.2.2 重力梯度的基本測量原理重力梯度的基本測量原理 重力梯度測量一般可分為兩種模式6-7：差分加速度計測量模式和扭矩測量模式。 前者通過測量相距一定距離的兩加速度計之差來獲取該測量方向重力梯度的分量，這 類儀器的精度高、但造價也高。后者通過測定作用在檢驗質(zhì)量上的力矩來間接獲取重 力梯度值，雖然這類儀器的精度相對來說比較低，但是造價低，便于攜帶，所以在地 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 3 質(zhì)研究和石油、金屬礦勘探方面仍有很大的應(yīng)用價值。 1.2.3 國內(nèi)外研究狀況國內(nèi)外研究狀況 基于扭矩測量模式的重力梯度儀可追溯到etvs扭秤重力梯度測量裝置，1900 年匈牙利地球物理學(xué)家etvs通過一根扭絲懸掛一根擺桿， 擺桿兩端分別連接一個質(zhì) 量為m的檢驗質(zhì)量，這樣便構(gòu)成了扭秤，該扭秤的扭轉(zhuǎn)周期可以達(dá)到數(shù)百秒乃至數(shù)千 秒，在水平扭轉(zhuǎn)方向靈敏度高，可用來測量水平方向的重力梯度張量分量，開創(chuàng)了重 力梯度測量的新紀(jì)元。etvs扭秤的最早形式如圖1.1所示，該儀器的測量精度為1e （1e10-9/s2）8。后來德國學(xué)者w.schweydar對etvs扭秤進(jìn)行了改進(jìn)，40年代以 前利用扭秤測量重力梯度發(fā)展比較迅速， 在石油和天然氣勘測方面得到廣泛的應(yīng)用9。 圖 1.1 etvs 扭秤結(jié)構(gòu)示意圖 后來因為扭秤重力梯度儀所需的測量時間長，體積大，受測點附近的地形起伏影 響相當(dāng)嚴(yán)重，只能在平緩的地區(qū)應(yīng)用，以及梯度測量數(shù)據(jù)的解釋方法研究沒跟上，而 逐漸地被地震儀、重力擺儀及穩(wěn)定彈簧重力儀所取代。但是由于重力梯度值具有重力 值所沒有的獨特優(yōu)點，重力梯度測量并沒有消失，一直以來，它以不同的形式在各種 領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用10-12。 近些年來，隨著人們認(rèn)知水平的不斷提高和科技水平的不斷發(fā)展以及人們對慣性 導(dǎo)航系統(tǒng)精度要求的不斷提高，重力梯度儀又逐漸被人們重視、并得到飛速的發(fā)展。 基于差分加速度計測量模式，典型的代表是上世紀(jì)70年代美國bell宇航實驗室研制 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 4 的旋轉(zhuǎn)加速度計重力梯度儀13-14，如圖1.2所示。后來澳大利亞lockheed martin 公 司購買了bell宇航實驗室的技術(shù)成功研制了獵鷹（falcon）航空重力梯度儀，其測量 精度為310 e，被廣泛地用于資源探測15-18。 圖 1.2 貝爾公司的旋轉(zhuǎn)加速度計重力梯度儀 另外，基于差分加速度計測量模式，人們開展了更高精度（10-210-3 e）的靜電 懸浮和磁懸浮空間重力梯度儀的研制19-22。1979年馬里蘭大學(xué)與美國航天局 （nasa） 開始超導(dǎo)重力梯度儀的研制項目。80年代初maryland大學(xué)研制出了精度為0.01e的 單軸超導(dǎo)重力梯度儀實驗室樣機。2002年，maryland大學(xué)研制出了三軸超導(dǎo)重力梯 度儀，在1hz帶寬內(nèi)，其分辨率為0.02e/hz1/2。圖1.3表示三軸超導(dǎo)重力梯度儀的實 物圖21。 圖 1.3 maryland 大學(xué)研制的三軸超導(dǎo)重力梯度儀 80年代末法國office national detudesetde aerospatiales(onera)研制出了精度為 0.01e的靜電懸浮重力梯度儀19。國內(nèi)重力梯度測量工作開展得比較晚，還處于實驗 室研究階段23。 綜上所述，重力梯度儀的應(yīng)用必將對地球物理和大地測量做出重要的貢獻(xiàn)。不過 現(xiàn)在重力梯度測量數(shù)據(jù)的解釋方法在應(yīng)用方面都還不成熟，還處于發(fā)展階段。 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 5 1.3 本人所做的工作本人所做的工作 本人在碩士期間主要做了以下工作： (1) 一維簧片重力梯度儀的設(shè)計與研制； (2) 二維簧片重力梯度儀的設(shè)計與研制。 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 6 2 一維簧片重力梯度儀的設(shè)計和研制一維簧片重力梯度儀的設(shè)計和研制 2.1 一維簧片重力梯度儀的設(shè)計與計算一維簧片重力梯度儀的設(shè)計與計算 2.1.1 一維重力梯度儀的機械設(shè)計一維重力梯度儀的機械設(shè)計 圖2.1顯示了一維簧片重力梯度儀系統(tǒng)的俯視圖和實物圖，一維簧片重力梯度儀 系統(tǒng)由扭擺、微位移電容傳感器的機械結(jié)構(gòu)和支撐底座共同組成。扭擺是由框架、簧 片和振動質(zhì)量三部分組成，振動質(zhì)量是由連接桿和兩個質(zhì)量相同檢驗質(zhì)量組成。2003 年，v. iafolla等人利用這種扭擺開展了測量引力常數(shù)g的初步實驗研究24， 現(xiàn)在我們 用此種扭擺構(gòu)成簧片重力梯度儀系統(tǒng)進(jìn)行重力梯度測量研究。 a 單軸重力梯度儀系統(tǒng)的俯視圖 b 單軸重力梯度儀系統(tǒng)的實物圖 圖 2.1 單軸重力梯度儀系統(tǒng)的俯視圖和實物圖 扭擺是由一塊鈹青銅通過線切割機（切割精度為0.02 mm）精密切割制成。支撐 梁是由兩個橫截面為正方形的簧片并聯(lián)構(gòu)成，它通過連接桿和檢驗質(zhì)量相連接，扭轉(zhuǎn) 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 7 軸和扭擺的中心線重合。將扭擺的一個檢驗質(zhì)量兩邊分別加上一塊與它平行的電容極 板，它們和檢驗質(zhì)量形成兩對電容極板，構(gòu)成電容微位移傳感器的機械結(jié)構(gòu)，用于檢 測扭擺的輸出信號的變化。扭擺的另一個檢驗質(zhì)量用于放置附加質(zhì)量。電容極板是由 微晶玻璃制作而成，其表面積為(40.000.02) mm(40.000.02) mm，它與檢驗質(zhì)量之 間的間距e為(0.450.02) mm，電容極板處于初始平衡位置時的電容c0為(31.51.4) pf。整個扭擺水平放置，扭轉(zhuǎn)軸和重力方向垂直，扭擺固定在鋁制支撐底座上。這樣 扭擺、微位移電容傳感器的機械結(jié)構(gòu)和支撐底座共同組成了一個完整的重力梯度儀系 統(tǒng)。該系統(tǒng)主要優(yōu)點有：第一，扭擺是整體加工制作而成，框架、簧片和振動質(zhì)量是 一個統(tǒng)一的整體，所以它們相互之間沒有滑動，沒有間隙，沒有摩擦，接觸勢比較小， 避免了機械安裝引起的誤差。第二，簧片選用的是鈹青銅材料，它能夠產(chǎn)生大的應(yīng)變 和抵抗偶然損壞的能力較強。第三，整個扭擺在設(shè)計上具有很好的對稱性，具有很高 的靈敏度，精密小巧。該單軸重力梯度儀系統(tǒng)最大的缺點是簧片在重力和靜電力作用 下，不僅產(chǎn)生繞簧片扭轉(zhuǎn)軸線的扭轉(zhuǎn)，還產(chǎn)生垂直于檢驗質(zhì)量平面方向的彎曲，使得 檢驗質(zhì)量在重力方向下降了一定的距離。 2.1.2 簧片剛度的設(shè)計和計算簧片剛度的設(shè)計和計算 設(shè)簧片的長度為l，寬度為w，厚度為t；在外力矩mt作用下，其力學(xué)模型可以 等效如圖2.2所示： 圖 2.2 一維重力梯度儀簧片剛度計算的力學(xué)等效模型 如果與簧片相連的支撐座的應(yīng)變?yōu)榱?，簧片自身沒有殘余應(yīng)力，那么在外力矩 mt作用下，簧片扭轉(zhuǎn)的角度可以表示為25： t t gi lm = (2-1) 式中g(shù)為材料的剪切模量，it = wt3為相當(dāng)極慣性矩，系數(shù)與比值w/t有關(guān)。在微小 位移的情況下，簧片的變形可看成是線性的，因此對于橫截面為正方形的簧片，其扭 l t l l mt m 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 8 轉(zhuǎn)剛度可以表示為： l a gkt 4 141. 0 = (2-2) 式中a為正方形截面桿的邊長。在我們的實驗設(shè)計中，為了提高簧片抵抗屈服強度的 能力，同時保證簧片具有很好的柔度，通常采用圓角將簧片和支座連接起來26-29。 圖 2.3 圓角簧片的結(jié)構(gòu)示意圖 圖2.3表示圓角簧片的結(jié)構(gòu)示意圖，由材料力學(xué)的基礎(chǔ)知識可以計算得到簧片繞 x軸30-32和y軸33-36的扭轉(zhuǎn)剛度分別為 )4( arctan )()4( )2( 4)2(2 /2 11 11 1111 11 11 13 1 + + + + = tbwa tbwra tbwatbwra tbwra tbwa rla gtakx (2-3) )4()2()/41arctan()4( )2(6)46)(4(2212/ 312/12/1 2/12223 + += trtrtrtr ttrrtrtrtrtrrlewtky (2-4) 其中系數(shù)a1= 0.333，b1= 0.21均為常數(shù)，r為圓角半徑。 這里采用的鈹青銅板狀材料（qbe2.0）具有高硬度、高彈性、無磁性等特點。它 的主要物理特性和機械性能有：楊氏模量e 1.31011 n/m2，剪切模量g = 5.01010 n/m2，泊松比 = 0.33，密度 = 8260 kg/m3，熱膨脹系數(shù)為1.7810-5 /c，熱時效處 理前的拉伸強度為s = 637106 pa，熱時效處理（溫度300c，時間1.5小時）后的拉 伸強度為s = 1176106 pa，實際上，對于我們設(shè)計的扭擺，簧片的形變應(yīng)該是彎曲和 扭轉(zhuǎn)組合形變，為了保證簧片在工作時安全可靠，簧片的形變應(yīng)該滿足強度條件。根 據(jù)材料力學(xué)的分析可以知道，扭桿允許的最大工作應(yīng)力為： t corner-filleted r l t y x 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 9 s s n = (2-5) 式中ns為材料的安全系數(shù)，為材料的許用應(yīng)力，通常ns可取1.52.5。對于塑性材 料， s表示極限應(yīng)力，是指材料發(fā)生破壞、失去承載能力時的應(yīng)力。 在危險截面上，梁的彎曲正應(yīng)力的最大值為： 3 2max 104. 04a pl w m z = (2-6) 式中mmax為梁橫截面上受到的最大彎矩，wz為梁的抗彎截面模量，對于截面為正方 形的梁，其抗彎截面模量為wz = 0.104a3，p為扭桿受到的力，l2為扭桿的長度。 扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力在扭轉(zhuǎn)軸表面上的最大值為： t t w m = (2-7) 式中mt為梁橫截面上受到的最大扭矩， wt為梁的抗扭截面模量，對于截面為正方 形的梁，其抗扭截面模量與抗彎截面模量的關(guān)系為wt =2wz = 0.208a3，為剪應(yīng)力。 根據(jù)第四強度理論，扭轉(zhuǎn)軸的強度條件為： += 22 max 3 (2-8) 當(dāng)安全系數(shù)取ns = 2.5時，根據(jù)式(2-5)可以得到熱時效處理前鈹青銅的拉伸強度 為 255106 pa， 正方形截面桿的邊長必須滿足a 0.8 mm。 熱時效處理后鈹青銅 的拉伸強度為 470106 pa， 正方形截面桿的邊長必須滿足a 0.66 mm。 因此我們 選取正方形截面桿的邊長a = 1.0 mm，整個扭擺的尺寸設(shè)計見表2.1。 表 2.1 扭擺設(shè)計的尺寸 長 (mm) 寬 (mm) 厚 (mm) 扭擺尺寸 250 60 8.4 簧片尺寸 20 1 1 連接桿 66 6 8.4 振子 尺寸 檢驗質(zhì)量 40 40 8.4 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 10 2.1.3 一維扭擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一維扭擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 扭擺可以等效為一個扭轉(zhuǎn)的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)。檢驗質(zhì)量在外力矩作用下， 振子的運動學(xué)方程可以寫為： mki tt =+? ? (2-9) 式中t為耗散系數(shù)（或者阻尼系數(shù)） ，i為檢驗質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量， m為輸入的扭矩信 號，為在輸入的扭矩信號作用下檢驗質(zhì)量產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角度。單軸簧片重力梯度儀系 統(tǒng)的本征角頻率可以表示為： i kt = 0 (2-10) 從上式可以知道， 如果要求系統(tǒng)的共振頻率很低， 那么檢驗質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量越大越好， 支撐梁的扭轉(zhuǎn)剛度越小越好。該系統(tǒng)的機械品質(zhì)因數(shù)可以表示為： t i q 0= (2-11) 從(2-9)式可以看出該單軸簧片重力梯度儀系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一個典型的二階系 統(tǒng)。在低頻范圍內(nèi)，當(dāng)輸入的扭矩信號為常值，它的傳遞函數(shù)就可以近似認(rèn)為是線性 的。此時作用在扭擺上的扭矩和檢驗質(zhì)量的扭轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系可以表示為： 2 0 i m k m t = (2-12) 也就是說當(dāng)輸入的扭矩信號m為常值時，敏感元件的輸出信號與系統(tǒng)的自然頻率0 的平方成反比。 圖 2.4 扭擺等效的結(jié)構(gòu)示意圖 o x z y g0 g1 g2 l12 m1 m2 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 11 如圖2.4所示，建立o-xyz坐標(biāo)系，其中z軸指向地心，x軸垂直地心指向水平 面正北方向，y軸平行扭擺平面，與扭轉(zhuǎn)軸重合，垂直xz平面。圖2.4中m1和m2為 兩個檢驗質(zhì)量的質(zhì)量，g1和g2分別為檢驗質(zhì)量m1和m2所在位置的重力加速度，l12 為兩檢驗質(zhì)量中心之間的距離，o為兩檢驗質(zhì)量的對稱中心，g0為o點所在位置的重 力加速度，為扭擺平面和x軸的夾角，根據(jù)它們之間的重力梯度引起的力矩和簧片 力矩平衡，可以得到： )cossincos(4/)(cos2/)( 22 122112012 xzzzt wwlmmlgmmk+= (2-13) 其中為檢驗質(zhì)量m1和m2之間的重力梯度引起的扭轉(zhuǎn)角度。在我們的實驗設(shè)計中， 檢驗質(zhì)量m1m2m，所以(2-13)式可以寫為： 2/ )cossincos( 22 12 xzzzt wwmlk= (2-14) 當(dāng)扭擺水平放置，即0時，重力梯度分量wxz可以表示為 2 12 2 ml k w t xz = (2-15) 當(dāng)扭擺平面與水平面（沿x軸）成45夾角時，設(shè)檢驗質(zhì)量m1和m2之間的重力梯度 引起的扭轉(zhuǎn)角度為1，那么(2-14)式可以表示為 4/ )( 2 121xzzzt wwmlk= (2-16) (2-16)式中包含兩個重力梯度分量，為了將它們分離出來，通常將整個扭擺系統(tǒng)放置 在回轉(zhuǎn)臺上，通過回轉(zhuǎn)臺繞z軸旋轉(zhuǎn)180，設(shè)此時檢驗質(zhì)量m1和m2之間的重力梯度 引起的扭轉(zhuǎn)角度為2，扭矩平衡方程可以寫為 2/ )sincoscos( 22 122 zzxzt wwmlk+= (2-17) 即： 4/ )( 2 122zzxzt wwmlk+= (2-18) 由式(2-16)和(2-18)可以得到重力梯度分量 2 12 12 )(2 ml k w t xz = (2-19) 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 12 2 12 12 )(2 ml k w t zz + = (2-20) 2.1.4 電容傳感器的機械設(shè)計與計算 由于電容傳感器具有位移分辨率高，噪聲小，體積小，價格便宜等優(yōu)點，實驗中 我們用差動式電容傳感器進(jìn)行位移測量37-39。常用的電容測量有間距變化和面積變化 兩種方案41-42。我們的實驗選用間距變化型電容傳感器，在線性近似下，電容間距檢 測方案的靈敏度可以表示為： e c x c sd 0 2 =， (2-21) 其中c0 = s/e，為電容極板間介質(zhì)的介電常數(shù)， s為檢驗質(zhì)量處于其平衡位置時檢 測電容的有效面積。該方案的優(yōu)點是位移檢測的靈敏度高，缺點是存在非線性誤差。 2.1.5 電容傳感器的檢測電路的設(shè)計與計算 圖 2.5 電容傳感器一個檢測方向的電路總圖 實驗中我們采用基于相關(guān)檢測技術(shù)的變壓器比例臂差動式電容傳感電路43-47，其 原理圖如圖2.5所示。信號發(fā)生器產(chǎn)生的高頻正弦波加載在電容極板上，中間的檢驗 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 13 質(zhì)量上會感應(yīng)出相應(yīng)的正弦信號，如果檢驗質(zhì)量有微小的位移x，就會引起極板間電 容大小的變化，形成差動電容c。這時，交流橋路的平衡被破壞，檢驗質(zhì)量上產(chǎn)生的 微小低頻信號被調(diào)制到高頻正弦信號中。這些信號經(jīng)過前置放大器和交流放大器后， 與標(biāo)準(zhǔn)載波信號相乘，最后通過濾波器濾除高頻部分的信號，得到的低頻直流電壓信 號經(jīng)過放大后輸出到數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。下面對各個部分分別進(jìn)行介紹。 1、交流激勵源 電容式傳感器的信號調(diào)節(jié)電路必須要有一個交流激勵源，本電路中我們采用 max038作為交流激勵源。這里max038輸出的正弦波vp = vp0cos(t+)，其頻率可 以通過改變外圍電路上的電阻或電容來實現(xiàn)。它產(chǎn)生的載波信號的頻率為12.5 khz。 由激勵源輸出的高頻調(diào)制信號， 一路將直接加載到電容極板上， 對交流橋路進(jìn)行調(diào)制， 另一路進(jìn)入乘法器，作為解調(diào)參考信號。 2、 ac橋路和前置放大器 前置放大器實際上是一個電荷放大器，它具有抗寄生電容，受外界環(huán)境影響小等 特點。反饋電阻rf是為了給運算放大器提供一個直流通道以免直流飽和，若其值滿足 rfcf 1，則其對交流通路的影響就可以忽略。通過交流橋路的差動信號c經(jīng)過電 荷放大器后的輸出電壓v3為 )cos( 2 1 03 + =tv c c v p f (2-22) 3、交流放大器 為了進(jìn)一步將被測信號放大以及濾除通頻帶以外的其他信號，我們在電路中加入 了交流放大器，其傳遞函數(shù)為： 3 41 4 v v h= )1)(/11 ( 1 4242414141 42 crjcrjr r + = (2-23) 參數(shù)選擇原則：對于工作頻率（載波頻率p）而言，輸出相移盡可能小，帶通濾波器 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 14 的中心角頻率c等于載波角頻率p，這要求p2r42r41c41c42 = 1。從上式可知，r42和 c42并聯(lián)作用為高通濾波器（高通濾波器的截止頻率為h=1/r42c42） ， r41和c41串聯(lián) 作用為低通濾波器（低通濾波器的截止頻率為l=1/r41c41） ，該電路的交流放大倍數(shù) 為|h4| r42/r41。帶通放大器的中心頻率為0 = (1/r42r41c41c42)1/2（定義：n2= r41c41/ r42c42） ，其通頻帶的寬度為(0/n，n0)。結(jié)合實驗選定的調(diào)制頻率，交流放大器的中 心頻率fc12.4 khz，其通頻帶的寬度為(2.1，72.3) khz。 4、 相敏檢波電路 相敏檢波電路由乘法器和低通濾波器組成，乘法器的功能是將載波信號v42和調(diào) 制信號vp相乘，乘法器的輸出為 v5 = v42vp)2cos(1 4 1 2 04 + tvh c c p f (2-24) 由于v42是被幅度調(diào)制的信號，它經(jīng)乘法器處理后就變成了兩部分，一個部分為 反映檢驗質(zhì)量運動的低頻位移信號，而另一部分為二倍調(diào)制頻率項。通過低通濾波器 慮除二倍調(diào)制頻率項，就可以提取檢驗質(zhì)量各個自由度上的低頻位移信號，即： 2 04 4 1 p f vh c c v = (2-25) 2.2 實驗測試實驗測試 根據(jù)前面的實驗設(shè)計方案，我們開展了一維簧片重力梯度儀的實驗研究，主要包 括：一維簧片重力梯度儀系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)的測量，扭擺系統(tǒng)的靈敏度標(biāo)定與實驗結(jié)果的 討論和分析，以及溫度效應(yīng)的實驗研究。下面我們分別加以介紹。 2.2.1 扭擺基本尺寸的測量扭擺基本尺寸的測量 扭擺的制作是一項很精密的工作，對于制作扭擺的材料，一般都選擇磁化率很小 的金屬或者玻璃。在我們的實驗中扭擺制作選用的材料為鈹青銅合金，扭擺的尺寸采 用測量精度為0.02 mm的游標(biāo)卡尺進(jìn)行測量，測量數(shù)據(jù)見表2.2。 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 15 表 2.2 扭擺的尺寸測量數(shù)據(jù)表 測量對象 長度 (mm) 寬度 (mm) 厚度 (mm) 扭擺 249.990.01 59.810.01 8.380.02 簧片 19.990.01 0.980.02 0.980.02 檢驗質(zhì)量39.990.01 39.990.01 8.370.01 振子 尺寸 連接桿 65.990.01 5.990.01 8.380.02 根據(jù)表2.2中的實驗測量數(shù)據(jù)，可以計算得到扭擺基本參數(shù)的理論值，計算結(jié)果 見表2.3。 表 2.3 扭擺基本參數(shù)的理論值 扭擺的參數(shù) 理論計算值 標(biāo)準(zhǔn)差 扭轉(zhuǎn)剛度（nm/rad） 0.65 0.05 振子的質(zhì)量（kg） 0.28 0.01 扭擺的頻率(hz) 2.87 0.12 扭擺的轉(zhuǎn)動慣量(kgm2) 2.00?10-3 0.07?10-3 2.2.2 扭擺的自由周期和品質(zhì)因素的測量扭擺的自由周期和品質(zhì)因素的測量 12345 -0.010 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0.000 0.002 output of the optical sensor (v) time (sec) 1e-30.010.1110100 1e-9 1e-8 1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 0.01 frequency (hz) amplitude 圖 2.6 扭擺自由振蕩的時域曲線和頻域曲線 扭擺的頻率是用光學(xué)位置探測器對它進(jìn)行測量，這里使用的光學(xué)位置探測器是由 日本濱松光子學(xué)株式會社生產(chǎn)的s1352，它的位置分辨率為2 m，這里使用的測量工 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 16 具是由美國srs公司生產(chǎn)的信號分析儀sr785，它在室溫20c40c下對頻率分析 的準(zhǔn)確度為25 ppm。圖2.6表示扭擺自由振蕩的時域曲線和頻域曲線。由圖2.6可以 得到扭擺的本征頻率為2.8050.005 hz，結(jié)合表2.3中的參數(shù)，由公式k2i可以計 算得到單軸簧片重力梯度儀對應(yīng)的扭轉(zhuǎn)剛度為0.620.02 nm/rad，在誤差范圍內(nèi)與理 論設(shè)計值相吻合。通過對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可以得到扭擺的機械品質(zhì)因數(shù)為q = 33618。 2.2.3 電容位移傳感器對扭擺系統(tǒng)的標(biāo)定電容位移傳感器對扭擺系統(tǒng)的標(biāo)定 電容傳感器對扭擺系統(tǒng)靈敏度的標(biāo)定是通過施加已知的力矩信號來完成，即在扭 擺的一個檢驗質(zhì)量上面的同一位置添加不同的附加質(zhì)量 （鋁片） ， 其質(zhì)量測量由at106 電子天平完成（精度為1 g） 。圖2.7表示扭擺系統(tǒng)的靈敏度標(biāo)定實驗數(shù)據(jù)。 010002000300040005000 -7.5 -7.0 -6.5 -6.0 -5.5 -5.0 -4.5 -4.0 -3.5 output voltage of the circuit (v) time (sec) 0.000 0.0050.010 0.0150.0200.025 0.030 -7.5 -7.0 -6.5 -6.0 -5.5 -5.0 -4.5 -4.0 -3.5 output voltage of the circuit (v) dead weights (g) 圖 2.7 扭擺標(biāo)定實驗數(shù)據(jù) 圖2.7中每一個數(shù)據(jù)點都是通過將附加質(zhì)量添加到扭擺的一個檢驗質(zhì)量上，記錄 隨后的輸出電壓信號的變化得到。對于每一個附加質(zhì)量至少重復(fù)測量三次。圖2.7中 第一個臺階、第二個臺階、第三個臺階和第四個臺階分別代表沒有添加附加質(zhì)量、附 加質(zhì)量為(0.02250.0001)g、 附加質(zhì)量為(0.02400.0001)g和附加質(zhì)量為(0.02980.0001) g電路的輸出電壓信號，相應(yīng)的輸出電壓信號為(-3.6720.002)v、(-6.4320.002)10-2 v、(-6.6160.002)v和(-7.3030.002)v。這些數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合成一條直線，斜 率為122.0v/g，從而得到該簧片重力梯度儀系統(tǒng)的等效質(zhì)量測量靈敏度為 (1.220.01)105 v/kg，除以臂長l12/2和實驗室重力加速度g，可以得到相應(yīng)的力矩靈 敏度為(1.450.01)105 v/nm。 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 17 2.2.4 電容位移傳感器對扭擺系統(tǒng)的噪聲測試電容位移傳感器對扭擺系統(tǒng)的噪聲測試 8200082500830008350084000 -1.350 -1.348 -1.346 -1.344 -1.342 -1.340 -1.338 -1.336 output volt of the circuit (v) time (sec) 1e-30.010.11 1e-5 1e-4 1e-3 0.01 0.1 psd (v/hz 1/2) frequency (hz) 圖 2.8 扭擺自由時扭擺系統(tǒng)的輸出電壓隨時間的變化關(guān)系及其功率譜密度 圖2.8表示扭擺自由時扭擺系統(tǒng)的輸出電壓隨時間的變化關(guān)系及其功率譜密度。 由圖2.8可以得到電路輸出電壓信號的一倍方差為1.4 mv， 系統(tǒng)相應(yīng)的質(zhì)量的分辨率 為11 g，系統(tǒng)等效的力矩分辨率為9.310-9 nm，由于扭擺水平放置，根據(jù)系統(tǒng)的靈 敏度，結(jié)合公式(2-15)，可得系統(tǒng)對應(yīng)的重力梯度wxz為4.4103 e。頻率為0.1 hz處 重力梯度儀系統(tǒng)電路輸出電壓信號的譜密度為1.5 mv/hz1/2，即4.8?103 e/hz1/2。 2.2.5 單軸簧片重力梯度儀系統(tǒng)的溫度測試實驗（測試時間：單軸簧片重力梯度儀系統(tǒng)的溫度測試實驗（測試時間：2004 年年 11 月月 24 日）日） 1000120014001600180020002200 -6.18 -6.16 -6.14 -6.12 -6.10 -6.08 -6.06 -6.04 2 2 time (sec) output voltage of the circuit (v) 1 1 21.210 21.205 21.200 21.195 21.190 21.185 21.180 temp (oc) 21.185 21.190 21.195 21.200 21.205 21.210 -6.18 -6.16 -6.14 -6.12 -6.10 -6.08 -6.06 -6.04 y1 =98.65-4.94 x output voltage of the circuit (v) temp ( oc) k1=(4.94+0.02) v/ 圖 2.9 單軸簧片重力梯度儀系統(tǒng)的輸出電壓信號隨溫度的變化關(guān)系 溫度除了貢獻(xiàn)給扭擺系統(tǒng)本征的熱噪聲之外， 它的波動還會引起檢驗質(zhì)量與金屬 框架以及整個實驗平臺等的熱形變， 這將直接影響扭擺系統(tǒng)檢測電容的間距， 一方面 熱效應(yīng)會被高靈敏度的電容傳感器檢測并放大， 從而貢獻(xiàn)給檢測系統(tǒng)噪聲， 另一方面 由于它改變了電容間距， 相當(dāng)于改變了單軸簧片重力梯度儀的靈敏度， 這樣就會影響 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 18 簧片重力梯度儀的工作性能。同時，溫度效應(yīng)還會引起電子電路的增益噪聲。鑒于以 上分析， 我們展開了溫度檢測的實驗研究。 實驗中我們通過電容傳感器記錄系統(tǒng)處于 穩(wěn)態(tài)時的輸出電壓信號，同時通過溫度傳感器記錄實驗室環(huán)境溫度變化情況。 圖2.9表示單軸簧片重力梯度儀系統(tǒng)的輸出電壓信號隨溫度的變化關(guān)系，其中曲 線1表示電路的輸出電壓信號的變化， 曲線2表示溫度傳感器的溫度變化。 根據(jù)溫度 傳感器的標(biāo)定函數(shù)t = 21.40632-1.351v0+0.0511v02-0.00303v03， 由圖2.9可以得到 該系統(tǒng)電路的輸出電壓受溫度影響為(4.920.02)v/c， 扭擺系統(tǒng)的輸出與溫度的相關(guān) 系數(shù)為94.6%，所以實驗中電路輸出電壓的漂移主要由溫度引起的。 2.3 單軸簧片重力梯度儀系統(tǒng)的誤差分析單軸簧片重力梯度儀系統(tǒng)的誤差分析 影響該單軸簧片重力梯度儀系統(tǒng)的主要誤差來源有：扭擺的機械熱噪聲（布朗噪 聲） 、扭擺機械結(jié)構(gòu)引起的誤差、電容傳感器的電路噪聲及外界環(huán)境引起的噪聲（如溫 度、濕度和地面震動的影響）等。下面對各種噪聲分別進(jìn)行討論。 2.3.1 扭擺系統(tǒng)的機械噪聲（布朗噪聲）扭擺系統(tǒng)的機械噪聲（布朗噪聲） 扭擺系統(tǒng)的熱噪聲是由于構(gòu)成振子和檢測質(zhì)量的微粒之間的相互碰撞， 即通常我 們所說的布朗運動而引起的。由(2-9)式可以得到角位移譜密度為48-49 22 2 0 222 02 )( 4 )( iikq iqtk t b + = (2-26) 式中kb為玻爾茲曼常數(shù)，t為實驗環(huán)境溫度。 將扭擺的各個設(shè)計參數(shù)：i =2.010-3 kgm2， kt = 0.62 nm/rad，t300 k，q3361，代入上式可以得到在0.5 hz的頻帶范圍內(nèi)， 其角位移機械熱噪聲約為1.210-12 rad，該系統(tǒng)相應(yīng)力矩的熱噪聲為7.410-13 nm，系 統(tǒng)對應(yīng)的重力梯度為0.4 e。 2.3.2 扭擺機械結(jié)構(gòu)引起的誤差扭擺機械結(jié)構(gòu)引起的誤差 圖 2.10 簧片的彎曲形變 l1/2 t l1/2 l mt p m p l1/2 f l1/2 z 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 19 簧片在重力和靜電力作用下，不僅產(chǎn)生繞簧片扭轉(zhuǎn)軸線的扭轉(zhuǎn)，還產(chǎn)生垂直于檢 驗質(zhì)量平面方向的彎曲， 如圖2.10所示。 在重力p作用下， 當(dāng)簧片的長度2/0 1 lz 時，簧片的撓度可以表示為 )43( 48 )( 3 1 3 2 1 2 3 1 l z l z ei pl zf= (2-27) 當(dāng)簧片的長度z = l1/2時，簧片產(chǎn)生的最大彎曲撓度為50-51 y ei pl f 192 3 1 = (2-28) 式中p為質(zhì)量為m的物體產(chǎn)生的重力，e為材料的楊氏模量，l1為支撐梁的長度，iy 為抗彎橫截面對中性軸的慣性矩。 根據(jù)我們設(shè)計的參數(shù)可以得到支撐梁產(chǎn)生的最大彎 曲撓度為0.13mm，這樣使得整個檢驗質(zhì)量平面沿重力方向下降了0.13mm的距離。 由于這一影響是固定不變的，因此，可以通過補償電容極板和檢驗質(zhì)量之間的間距來 克服，即應(yīng)使上下電容極板和檢驗質(zhì)量之間的間距相等。 由于振動質(zhì)量由連接桿和檢驗質(zhì)量兩部分組成，在彎矩m0作用下，檢驗質(zhì)量相 對于連接桿會產(chǎn)生一定的撓度，其最大值為 z ei lm y 2 2 20 = (2-29) 式中l(wèi)2為連接桿的長度， iz為抗彎橫截面對中性軸的慣性矩。根據(jù)我們設(shè)計的參數(shù) 可以得到檢驗質(zhì)量中心相對于連接桿會產(chǎn)生一定的撓度為1.610-3mm， 由于這一變化 是固定不變的，也可以通過補償電容極板和檢驗質(zhì)量之間的間距來克服。當(dāng)質(zhì)量為 1mg的附加質(zhì)量作用在扭擺上時， 使得檢驗質(zhì)量受到的力和重力方向存在一個很小的 傾角，由力矩公式m0 = mgb0sin 可得它引起的力矩的誤差為1.610-11nm，b0l12 為檢驗質(zhì)量的質(zhì)心到扭轉(zhuǎn)軸之間的距離，從而可以得到系統(tǒng)相應(yīng)的重力梯度為8e。 2.3.3 電容傳感器的電路噪聲電容傳感器的電路噪聲 經(jīng)過實驗測量可以得到電路和固定電容相連接時，電路的本底噪聲為510-4 v， 由于開環(huán)測量系統(tǒng)的質(zhì)量靈敏度為(1.2200.005)105 v/kg，可以得到系統(tǒng)相應(yīng)質(zhì)量的 分辨率為4.010-9 kg，系統(tǒng)等效的力矩分辨率為3.410-9 nm，對應(yīng)的重力梯度為 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 碩碩 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 20 1.6103 e，從而對簧片重力梯度儀系統(tǒng)的測量精度設(shè)置了限制。電容傳感電路系統(tǒng)采 用的是高頻信號，1/f噪聲可以得到有效的抑制， 主要噪聲來自于電路的噪聲和寄生電 容的影響。電容傳感器的電路噪聲主要由交流橋路的噪聲、電荷放大器的噪聲和電容 損耗引起的噪聲構(gòu)成。由檢驗質(zhì)量、連接桿、簧片、扭擺框架以及電容極板的引線等 因素引入的寄生電容，是扭擺系統(tǒng)的主要噪聲來源。 2.4 本章小結(jié)本章小結(jié) 本章通過對單軸簧片重力梯度儀進(jìn)行實驗方案設(shè)計，并對其進(jìn)行了結(jié)構(gòu)特性分 析。對單軸簧片重力梯度儀的相關(guān)實驗參數(shù)進(jìn)行了測試，并用光電探測器和電容