（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）邊際消費傾向的混沌現(xiàn)象及其混沌控制的研究.pdf

摘要 邊際消費傾向的混沌現(xiàn)象及其混沌控制的研究 作者簡介：王錚，男，1 9 8 0 年8 月生，2 0 0 4 年從師于魏貴民教授，于2 0 0 7 年7 月畢業(yè)于成都理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，獲得理學(xué)碩士學(xué)位。 摘要 大家都非常清楚，我們所生活的這個世界是不能完全用線性的理論知識就能 夠得到完全解決的，客觀的說，我們的世界是一個非線性，看似混亂、無序的。 混沌理論2 0 世紀(jì)的后半期得到了長足的發(fā)展，并且其在許多領(lǐng)域得到或開始得 到廣泛的應(yīng)用，無論是天文地理，還是到商業(yè)經(jīng)濟(jì)，甚至是醫(yī)學(xué)領(lǐng)域都得到了充 分的應(yīng)用，但是由于其研究的對象皆為“無序、雜亂”，所以，其發(fā)展速度并不 如其他非線性科學(xué)發(fā)展速度( 例如：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、分形、小波) 。但是，我們能夠看 出，在非線性領(lǐng)域中，混沌科學(xué)是站在最前沿的一門學(xué)科，所以，研究與其理論 相關(guān)的課題，勢必會帶來一定的挑戰(zhàn)性。由于混沌的奇異特性，特別是對初始條 件的高度敏感性，使人們覺的其不可靠，不可應(yīng)用，同時也使得人們想到能否通 過某種方法使得本來無續(xù)的運動變的更具有周期性，更加的可靠，這就是混沌控 制理論出現(xiàn)的原委，混沌控制的發(fā)展主要是2 0 世紀(jì)9 0 年代之后，在國際范圍內(nèi) 得到了廣泛的發(fā)展，從而使得混沌學(xué)科具有了更廣闊的應(yīng)用前景。 2 0 世紀(jì)9 0 年代以來，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的非線性現(xiàn)象已經(jīng)引起了包括經(jīng)濟(jì)學(xué)家和 科學(xué)工作者的高度關(guān)注。但現(xiàn)在人們的興趣己不j f = 于揭示各種經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的混沌 現(xiàn)象，如何消除有害的混沌而對有益的混沌加以誘導(dǎo)已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)混沌研究的熱 點之一。文獻(xiàn) 1 1 研究了一個宏觀經(jīng)濟(jì)模型的混沌控制，解釋了政策參數(shù)調(diào)節(jié) 的意義，文獻(xiàn) 1 2 研究了對一個財務(wù)管理模型的控制方法。但總體來說，經(jīng)濟(jì)系 統(tǒng)的混沌控制研究還剛剛起步，對實際能夠產(chǎn)生指導(dǎo)意義的工作還很少，這也是 影響混沌理論在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的應(yīng)用的重要原因。因此，研究如何結(jié)合經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的 特點，將一些比較成熟的混沌控制方法運用于對具體的混沌經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的控制將是 很有意義的。 通過分析，現(xiàn)在我們都知道在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域內(nèi)，混沌現(xiàn)象無所不在。但是對于混 沌的研究大多數(shù)也僅限基于經(jīng)濟(jì)時間序列的混沌分析及考證，并沒有深入具體得 出具有實際意義的結(jié)果。為此，本文結(jié)合微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，對邊際消費傾向這一 經(jīng)濟(jì)概念進(jìn)行了系統(tǒng)的分析并推導(dǎo)出其產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的具體吸引子，同時，以其 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 為例，運用延遲反饋混沌控制方法來穩(wěn)定其引起的混沌行為，這對我國國民收入、 消費的政策制訂與實施有重要的啟示。 關(guān)鍵詞：混沌現(xiàn)象；混沌控制；l o g i s t i c 模型；混沌吸引子；邊際消費傾向 目錄 b o u n dc o n s u m e st h ei n c l i n a t i o nc h a o sp h e n o m e n o n a n dt h e i rr e s e a r c ht h a tc h a o sc o n t r o l s i n t r o d u c t i o no ft h ea u t h o r ：w a n gz h e n g ，b o r no na u g u s t9 ，19 8 0 ，w a sa w a r d e dt h e s c i e n c em a s t e r sd e g r e eo fa p p l i e dm a t hi nc h e n g d uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g yo n j u l yo f 2 0 0 7 ，u n d e rt h eg u i d a n c eo f p r o f w e ig u im i n a b s t r a c t e v e r y b o d yi sa l lv e r yc l e a r , t h i sw o r l dl i v e db y u si sn o tt os o l v ec o m p l e t e l yb y l i n e a rt h e o r yk n o w l e d g e ，o b j e c t i v e l y ，o u rw o r l di san o n l i n e a r i t y ，l o o k sl i k ec h a o s ， t h e r ei sn oo r d e r s c h a o t i ct h e o r yh a sg o tr a p i dp r o g r e s si n2 0c e n t u r i e sl a t t e rh a l f s c h e d u l e dt i m e t h ep e r s o nh a db e e na r r i v e da ti nal o to ff i e l do rt h eg e o g r a p h i c a l f j a t u r eb e g i n n i n gt ob ea p p l i e db r o a d l y ，d i s r e g a r d i n gb e i n ga s t r o n o m yg e o g r a p h i c a l f e a t u r e s t i l la r r i v ea tc o m m e r c ee c o n o m y , b et h a tt h em e d i c a ls c i e n c ef i e l dh a sa l lg o t s u f f i c i e n ta p p l i c a t i o ne v e n ，b u tb e c a u s et h a tt h em a r r i a g ep a r t n e rt h a tt h ep e r s o n s t u d i e sa l li s ”an o t h i n gi sc o n t i n u e ，m i x e da n dd i s o r d e r l y ”，t h ep e r s o nd e v e l o p s s p e e d ，n o ti fn o n l i n e a r i t ys c i e n c ed e v e l o p ss p e e do t h e r ( f o ri n s t a n c e ：n e u r a ln e t w o r k s f r a c t a l ，m i n o rw a v e ) b u t ，w ec a ni np e r c e i v i n g ，b e i n gi nt h en o n l i n e a r i t yf i e l d ， c h a o t i cs c i e n c ei st os t a n d f o r w a r dp o s i t i o n ，s e a r c ht h ep r o b l e m ，d e f i n i t e l ym a y b r i n ga b o u tc e r t a i nc h a l l e n g et h a nt h e o r yi sp e r t i n e n tm o s t b e c a u s eo fs t r a n g ec h a o t i c c h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t y , t h ea l t i t u d es e n s i b i l i t ye s p e c i a l l yt oi n i t i a lc o n d i t i o n ，u s e si t s u n s o u n d n e s st h a tp e o p l ef e e l s ，i sn o ta l l o w e dt oa p p l y , a tt h es a m et i m ea l s of e a s i b l e p e o p l et h i n k sk i n do fm e t h o dc a nb eu s e do rn o tb ys o m et h e r eb e i n gn oc o n t i n u o u s m o t i o nu n e x p e c t e dt u r no fe v e n t s so r i g i n a l l yh a v i n gc y c l i c i t ym o r e ，e s p e c i a l l y r e l i a b l e t h i sh a sm o v e dt o w a r d st h ea l lt h ed e t a i l sb e i n gt h a tc h a o t i cc o n t r o lt h e o r y a p p e a r s t h ed e v e l o p m e n tt h a tc h a o sc o n t r o l sh a sb e e na f t e r19 9 0 sm a i n l y ，t h ei n n e r h a sg o tb r o a dd e v e l o p m e n ti ni n t e r n a t i o n a lr a n g e ，w i l ld oc h a o t i cd i s c i p l i n eh a sh a d v a s t e ra p p l i c a t i o np r o s p e c tt h e r e b y s i n c e19 9 0 。s ，n o n l i n e a r i t yp h e n o m e n o ni ne c o n o m i cs y s t e mh a sa l r e a d ya r o u s e d t h ea l t i t u d ea t t e n t i o ni n c l u d i n gt h ee c o n o m i s t sa n dt h es c i e n c er e s e a r c h e r b u t ，n o w a l r e a d yn o th a v es t o p p e dh o wt o r e m o v eh a r m f u lc h a o si nc h a o sp h e n o m e n o ni n 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 a n n o u n c i n gt ov a r i o u se c o n o m i cs y s t e m ，p e o p l e si n t e r e s t ，b u tg u i d i n gb e n e f i c i a l c h a o sa l r e a d yb e c o m ec h a o t i co n eo f t h eh o ts p o ts t u d y i n go f e c o n o m y d o c u m e n t 1 1 h a ss t u d i e dam a c r o e c o n o m ym o d e lu n d e rt h ec o n t r o lo fc h a o s ，h a v em a d ea n e x p l a n a t i o nt h es i g n i f i c a n c et h a tt h ep o l i c yp a r a m e t e ra d j u s t s ，【1 2 h a ss t u d i e da d o c u m e n tt oaf i n a n c i a la f f a i r sa d m i n i s t r a t i o nm o d e lc o n t r o lm e t h o d b u tc o m et os a y t h ee c o n o m i cs y s t e mc h a o ss t u d i e su n d e rt h ec o n t r o lo fb r e a k i n gt h ei c ej u a tn o w p o p u l a t i o n ，t h ej o bb e i n ga b l et op r o d u c eg u i d i n gs i g n i f i c a n c et or e a l i t yr e t u r n sv e r y f e wb a c k ，t h i si sa l s ot h ec a u s ea f f e c t i n gc h a o t i ct h e o r yi m p o r t a n c ei na p p l i c a t i o ni n e c o n o m i cs y s t e m c h a r a c t e r i s t i ct h e r e f o r e ，s t u d y i n gh o ws y s t e m a t i cu n i o ne c o n o m yi s ， c o n t r o l l i n gt h a tc o n t r o lm e t h o da p p l i e sal i t t l er e l a t i v e l ym a t u r ec h a o st oc o n c r e t e c h a o t i ce c o n o m i cs y s t e mw i l lb eah i g h l ys i g n i f i c a n s b ya n a l y s i s ，n o ww ea l lk n o wt h ei n n e r , t h ec h a o sp h e n o m e n o na r eo m n i p r e s e n t i nt h ee c o n o m i cf i e l d g r e a tm a j o r i t ya r er e s t r i c t e dt ob u te c o n o m yt i m es e r i e s - b a s e d c h a o t i ca n a l y s i sa n dt e x t u a lc r i t i c i s ma l s oo n l yt oc h a o t i cr e s e a r c h d on o tg od e e p i n t or e a c ht h er e s u kh a v i n ga c t u a ls i g n i f i c a n c ec o n c r e t e l y f o rt h i sp u r p o s e ，t h em a i n b o d yo ft h i s a r t i c l eu n i o nm i c r o - e c o n o m i c st h e o r y , c o n c r ec o n s u m i n gt h ea n a l y s i s h a v i n gb e e ni np r o g r e s ss y s t e m a t i c a l l ya n dt h ec h a o sp h e n o m e n o nd e d u c i n go u t w h o s ec r e a t i o ni n c l i n i n gt ot h i so n ee c o n o m yc o n c e p tt ob o u n da t t r a c t ss o n ，t a k e st h e p e r s o na se x a m p l ea tt h es a m et i m e ，a p p l yp o s t p o n i n gc o u p l i n gb a c ki t s t h ec h a o t i c b e h a v i o ra r o u s i n gc o m i n gt os t a b i l i z ec h a o t i cc o n t r o lm e t h o d ，t h ep o l i c yt h a tt h i s c o n s u m e st oo u rc o u n t r yn a t i o n a li n c o m e ，w o r k so u tw i t hb e i n gp u ti n t oe f f e c th a v i n g t h ei m p o r t a n te n l i g h t e n m e n t k e y w o r d ：c h a o sp h e n o m e n o n c o n t r o l l i n g o fc h a o s l o g i s t i c m o d e l c h a o sa t t r a c t ss o nb o u n dc o n s u m e si n c l i n a t i o n 4 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及耿得的 研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其 他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得盛壑理王太堂或其他教 育機構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何 貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。 學(xué)位論文作者導(dǎo)師簽名： 學(xué)位論文作者簽名：殳 艫7 年 瑁 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解盛壑堡王盍堂有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定， 有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和 借閱。本人授權(quán)盛壑理王盍堂可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù) 據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書) 學(xué)位論文作者簽名 三蟹 妒7 年 f 月 f 日 愛 船辱 第1 章緒論 第1 章緒論 1 1 課題研究背景及研究意義 混沌非線性瑾論是隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的邋猛發(fā)展，特別是在計算梳技術(shù)的出 現(xiàn)和普遍應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展越來的新興交叉學(xué)科，被認(rèn)為是2 0 世紀(jì)物理學(xué)三次 最綴要的革命之一。我們都知邋，我們所生活的這個世界是不能完全翅線性的理 論知識蕕髓夠褥到完全解決瓣，客蕊懿諼，我鐲靜整器題一個 線佼，看儆滋蘸、 無序的。混沌理論2 0 實際的艏半期得到了長足的發(fā)展，并且其在許多領(lǐng)域得到 或開始得到廣泛的應(yīng)用，無論是天文地理，還是到商業(yè)經(jīng)濟(jì)，甚至是醫(yī)學(xué)領(lǐng)域都 褥到了充分豹痰爝，毽是由予其磅究魏j l 圣象謄為“無繆、雜惑”，贗墩，其發(fā)震 速度并不如其他# 線性科學(xué)發(fā)展速度( 例如：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、分形、小波) 。但是，我 們能夠看出，在非線性領(lǐng)域中，混沌科學(xué)怒站在最前沿的一門學(xué)科，所以，研究 與葳理論相關(guān)麴諜題，勢必會帶來一定的挑藏性。由予瀨沌的奇異特性，特別是 露竊始條俘的離發(fā)敏感往，使入髓覺靜葵不可靠，不露疲用，闋霹畿使得入稻瑟 到能否通過某種方法使得本來無續(xù)的運動交的更具有周期性，更加的可靠，這就 是混沌控制理論出現(xiàn)的原委，混沌控制的發(fā)展主要是2 0 世紀(jì)9 0 年代之后，在國 際藏溷內(nèi)褥到了廣泛靜發(fā)震，扶瑟捷餐混漶學(xué)穆買騫了爨廣瘸懿瘦趲戇景。 通過混沌科學(xué)，我們知道了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)怒個非線性的系統(tǒng)，其表現(xiàn)為經(jīng)濟(jì)中的 混沌現(xiàn)象，盡管經(jīng)濟(jì)學(xué)中的混沌現(xiàn)象在1 9 8 5 年才初次被發(fā)現(xiàn)，然而佬卻對當(dāng)今 囂方主流經(jīng)濟(jì)學(xué)中豹掰古典主義期凱愚斯主義產(chǎn)生了蹙大的沖擊，英原因在于， 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中窶現(xiàn)酶混淹現(xiàn)象後褥宏鼴經(jīng)濟(jì)運動本身具裔內(nèi)在的不穩(wěn)怒往f 內(nèi)在隧 機性1 。即使政府按照傳統(tǒng)的方式采取了諸如財政政策或者金融政策簿相應(yīng)的宏 觀調(diào)控手段進(jìn)行干預(yù)，但其效果卻十分有限。通過對混沌經(jīng)濟(jì)模型的研究表明， 遮耱內(nèi)在戇不穩(wěn)定性是騫麓摻霹錘靜，莠麓毒l 鬟逶遙混淹控裁理論褥蘩一定解 決，本文就是對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的一個熱點的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象作如一系列的混沌方面的研 究。 ，1 2 國內(nèi)外研究分析與現(xiàn)狀 2 0 世紀(jì)8 0 年代初，美圖經(jīng)濟(jì)學(xué)家s t u t z e r 和d a y 最先將新興的混沌理論和 方法鬻手分輯宏滋經(jīng)濟(jì)孛j 線經(jīng)援裂增長籟經(jīng)滂增長孛鬟璦豹瀑淹溺瑟。之囂不 久，國內(nèi)外的許多學(xué)者便開始運用混沌理論，研究和探討包括財政、眾融在內(nèi)的 經(jīng)濟(jì)和管理方面的問題，特別是有關(guān)證券市場股價指數(shù)、匯率變化方面的研究格 成都理工大學(xué)碩士學(xué)斑論文 外引人注豳，但是到目前為止，關(guān)于混沌在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用大多數(shù)僅限于混沌時 闥序列鮑櫻關(guān)研究。裁鼴翦國走外用混淹方法礤究的情囂來看，主要存在以下尼 個闖題：( 1 ) 多限于剩髑實際闊題尋我混淹存在的誕據(jù)，麗缺纛對存在混淹魏象 的實際問題的混沌模型戚其吸引子的探討，對產(chǎn)生混沌的實際原因和條件的深入 探索和研究；( 2 ) 對混沌現(xiàn)象的控制缺乏深入的研究。 關(guān)予鬟孝懿簪 究最遙尼年在我瓣方逐澎豹襲麓起來，文簸【翻、【1 3 臻! 我瓣將 混沌控制應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中較為典型的示例，但怒，模型的建立兜全是基于瀹沌 l o g i s t i c 模烈的嵌套，沒有完整的推理過程。 1 3 論文主要內(nèi)容及安簧 本文蓖先介紹了混沌理論研究的背景及其現(xiàn)狀，然后在混沌現(xiàn)象普遍存在的 經(jīng)濟(jì)頒域，慰一個籬蘩戇經(jīng)濟(jì)學(xué)穰念，透舔瀵贊綴良送霄努瓣，運懲基磷籍攀 的數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出其混沌模型，并根據(jù)混沌吸引子，周期分岔的理論概念對其進(jìn) 行了在不同參數(shù)的取值情況下所產(chǎn)擻的混沌道路及吸引子做了簡單的論述。最 蜃，嘗試麓鍘露混淹控涮方法對邊躲淡黃顴自的混淹模型進(jìn)行了控制分輯。 2 第2 章經(jīng)濟(jì)理論 2 1 消費者偏好問題 第2 章經(jīng)濟(jì)理論 日常生活告訴我們：不同人的偏好可能是完全不同的，有些人愛喝啤酒，有 些人愛喝可樂。既然偏好如此千差萬別，我們?nèi)绾螌⑺鰹檠芯繉ο箨? 所以說， 我們所要研究的消費者偏好并不是要解釋為什么某些人會有某種特殊的偏好，而 是要指明所有“理性”的消費者的偏好所具有的一些共同特征。 首先，假定消費者在心目中能給不同的商品按照偏好排列一個順序。事實上， 消費者在將不同的商品帶給他的效用從大到小排列一個順序，他無須計算效用具 體的大小，只能比較出高低即可。比如，看完場精彩的電影，人們會說，這場 電影比上一場好看，這實際上就已經(jīng)排出了個人偏好的順序。如果消費者面前有 兩組商品a 和b ，a 帶給他的效用大于b ，他就更偏好a ；反之就更偏好b 。 其次，假定消費者的偏好具有可傳遞性，即偏好在邏輯上是一致的?？蓚鬟f 性意味著如果消費者在商品組a 和b 中更偏好b ，而在b 和c 中更偏好c ，那 么在a 和c 中就應(yīng)該更偏好c 。 對消費者偏好做了基本特征的概括之后，我們引入無差異曲線這個概念。例： 假定社會上只有兩種消費品：食物和衣服，我們將這兩種商品在一定時期內(nèi)的消 費量用圖形表示出來。 表 曼 苴 位 恩 l o 2 0 蜘柏食物 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 圖2 - 1 無差異曲線 無差舞藏線表示的怒諺給消費蠢穗 霹效用的掰有舞品縫合馕猿，遣葳怒說， 對同一條覓差異曲線上鶼所有商晶緞會，消費者酌偏好程度跫究全稆同的，緘者 說消費者擻得它們在效用上是沒有麓異的。它告訴我們，如果消費者從消費級合 a 移向b ，放棄了l o 單使的食物而多獲取了2 0 單位的衣服，那么他不會感到情 況有耩轉(zhuǎn)變( 無論好轉(zhuǎn)逐是惡往) 。焱無差吳整線上方戇飪?nèi)煲稽c，熱e 熹，挺 供的效用都要大于無差異曲線上的任何一個組合，因為對于光麓異曲線的菜一 點，e 組合可以在衣服數(shù)綴不變的情況下，增加食物的消費量；或者在食物數(shù)嫩不 交的情瑰下，堪搬衣服黥澄費量。瓣瓔，在無差鼯藏線下方爨 萱霞一點，熱g 點，提供的效用都要小于無差異曲線上的任何一個綴合。因此，只有在盛線上面 的任何一種組合帶來的效用是相同的，消費者從任何一組商品的消費中都能 | 暈到 完全一樣的滿意程度。 2 2 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際理論 2 2 1 效靂、慧效露與迭際效蔫 人們之所以要消費商品和服務(wù)，燎因為從消費中他們的一些需要或愛好熊得 到滿足，例如消費食品熊夠充饑、多穿衣服能御寒、看電影和聽音樂能得到耩睪孛 享受等。經(jīng)濟(jì)學(xué)孛，我髓把這靜簌巍赫和鼴務(wù)戇滾費孛麓褥到戇瀵足感稱為教弱 ( u t i l i t y ) 。散用是對從菜一商品組合的消費中得到的滿足感的擻觀衡量，其衡量 的單位是任意的。 瀵費囊菸會繪潰費纛豢來效愛，艇我鍵斡分援霉要區(qū)分這梯涎令穰念；憨效 用( t o t a lu t i l i t y , 簡寫t u ) 和邊際效髑( m a r g i n a lu t i l i t y , 筒寫m u ) ?？傂в镁团?費者從商品和服務(wù)的消贊中得到滿足的總量，而邊際效用是指每增加一個單位消 費量所引起的總效用的壤量，因此也髖是消費最詹一個單位商始或服務(wù)所帶來鮑 皴臻稽量。褒2 2 1 戳食赫秘衣鼗豹溺費為鑲，繪磁了與一定潛費數(shù)量霹瘦靜憩 效用和邊際效用，t u e 和m u g 表示消費衣服的總散用和邊際效用，t u f 和m u f 則表示消費食品的總效用和邊際效用。 襲2 2 ，1 憨效用( 礙) 季霎逸醞效躅( 瓣) 衣服t u cm u e 食品t u fm u f 0o0o l3 03 0l4 0 4 0 25 82 827 53 5 4 第2 章經(jīng)濟(jì)理論 38 32 531 0 53 0 41 0 52 241 3 02 5 5 1 2 52 051 5 02 0 6 1 4 31 861 6 51 5 71 6 01 771 7 51 0 81 7 51 581 8 05 2 2 2 邊際替代率 人們在兩種或兩種以上的商品中進(jìn)行選擇的時候面臨著權(quán)衡抉擇，無差異曲 線能有助于使這些權(quán)衡抉擇變的清晰明了，圖2 2 2 的無差異曲線說明了這一點。 從組合a 開始，轉(zhuǎn)向組合b ，我們看到，消費者愿意放棄6 單位的衣服，以獲 取額外的1 單位的食物。然而從b 移向d ，他只愿意放棄4 單位的衣服來獲得1 單位的食物。再從d 移向e ，他愿意只放棄2 單位的衣服來獲得l 單位的食物。 為了將消費者為更多獲取另外一種商品而愿意放棄一種商品的數(shù)量加以量 化，我們采用一種被稱作邊際替代率( m a r g i n a lr a t eo f s u b s t i t u t i o n , m r s ) 的度量 法。在本例中，如果我們用a c 來表示衣服的變化，a f 來表示食物的變化，m r s 便可以寫為一c f ；加上負(fù)號是為了使邊際替代率成為正數(shù)。 表 塑 差 聞 圖2 2 - 2 邊際替代率 第3 章混沌理論 第3 章混沌理論 3 1 混沌理論發(fā)展概況 仨型y ， 7 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 數(shù)為o r 、r 和b ，如取b = 8 3 ，盯。1 0 ，改變參數(shù)r ：當(dāng)， 0 則稱在s 上是混沌的。 此定義中，由于前兩個極限說明子集的點置，置s 相當(dāng)分散而又相當(dāng)集中； 第三個極限說明子集不會趨近于任意周期點，所以這個定理本身只預(yù)言有非周期 軌道存在，既不涉及這些非周期點的集合是否具有非零測度，也不涉及哪個周期 是穩(wěn)定的。因此，約克定義的缺陷在于集合s 的勒貝格測度有可能為零，即這時 混沌是不可測的。 根據(jù)約克定義，1 9 8 3 年d a y 認(rèn)為一個混沌系統(tǒng)應(yīng)具有如下三種性質(zhì)：第一， 存在所有階的周期軌道；第二，存在一個不可數(shù)集合，該集合只含有混沌軌道， 且任意兩個軌道既不趨向遠(yuǎn)離也不趨向接近，而是兩種狀態(tài)交替出現(xiàn)，同時任一 軌道不趨向于任一軌道，即該集合不存在漸近周期軌道；第三，混沌軌道具有高 度的不穩(wěn)定性。 到目前為止，下面給出的有關(guān)混沌的定義是最為準(zhǔn)確的： 對于動力系統(tǒng)：r ”一只“，r a ，( a = i o ，x 或者a = z + ) 和集合a t - - r ”，若 9 成都理工夫?qū)W碩士學(xué)位論文 j 萬 0 ，使得對于v x a 和v 以x 為中心的開球( x ，占) ，必渺b ”( x ，占) 廣、一和 f a 適會 j 妒( 一伊( y ) | d ( 3 2 1 4 ) 則稱妒f 農(nóng)a 上關(guān)于扔馕是有敏感依賴性或稱農(nóng)a 上是混淹鴕；反過來，也豫a 是艫的混沌集。 1 9 8 9 年d e v a n e yrl 給出了混沌的一種簡單定義： 設(shè)要是一令凄量空藏。一令連續(xù)浚羹季f ：x 哼x 豁秀x 上戇瀵淹，磐采 ( 1 ) f 攝拓?fù)鋫鬟f的； ( 2 ) f 瓣瘸弱點在菇巾秘密； ( 3 ) f 輿有對初始條件的敏感依賴性。 簡而言之，混沌的跌射爨有不可預(yù)測饅與不可分解性，但仍有一種規(guī)律性遮三個 要素。這怒囂雋，對秘始條薛鶼敏感襖籟往，愛褥混沌系統(tǒng)是不霹矮溺靜。又由 于拓?fù)鋫鬟f性，使得它不能被細(xì)分域不能被分解為兩個在，下相互影響的予系 統(tǒng)。盡管如媳，但在濺沌行為中確炎存在著規(guī)律性的成分，即蠢穗密的周期點。 混淹璦論靜割始入之一、著名麓氣象學(xué)家洛徐茲對混淹懿定義是：“我蠲混 沌這個術(shù)語來泛指這樣的一個過程它們看起來是隨機發(fā)擻的而實際上艇行 為卻由精確的法則來規(guī)定?！彼髞碚J(rèn)為，更準(zhǔn)確的被重新定義的混沌系統(tǒng)是指 敏感逢蘞簇予裙始條終豹內(nèi)在交純豹系統(tǒng)。對予鄉(xiāng) 來變純懿敏感性本奏勢不爨辣 著混沌。 我國襁極泰教授搬非線性動力舉混沌定義為；( 1 ) 混沌魑一種確定性現(xiàn)象； ( 2 ) 混淹是一種強非線性動態(tài)，楚襁對于一些“不動點”、“鼴期點”的特迤形 式的一耱寒定形靜交融予特定形式闋豹無癢獲態(tài)。 綜上所述，關(guān)于混沌概念的兩個熏要的觀點怒很明確的：( 1 ) 混沌是確定性 系統(tǒng)內(nèi)在的隨機性，是一種貌似無序、實則更為肖序的非周期行為；( 2 ) 非線性 凌囂籍被浚為萋線毪溺濯，瑟不是終燕麓單戇線靛方法熬竣憝璞。 混沌理論的深刻之處在于揭示出確定性系統(tǒng)的隨機性，體現(xiàn)了隨機性存在于 確定性之中，確定性自融規(guī)定自己為不確定性確定 生系統(tǒng)自己產(chǎn)生了隨機運 動。宅扶投本上修正了長翳以來形成戇牛頓力學(xué)的寵壘決定論的形象，展璦爨在 牛頓理論酌框架內(nèi)可蘇餐納這稀不確定性的本束蕊舀。過去，入們總是把牛頓力 1 0 第3 章混沌理論 學(xué)警“決定論”糨聯(lián)系或畫等號，以為只要襁始條件和受力狀態(tài)確定，以后的運 動藏完全確定了；現(xiàn)在到把這個論段舔7 避來，鴦牛頓運動方程確定懿獲態(tài)，可 能由于方程具有“內(nèi)在隨機憔”，而使其動態(tài)實際上不可能預(yù)測，它只具有某種 統(tǒng)計特征。 3 2 2 菲線性動寵學(xué)渥淹的分類 隨著混沌這門學(xué)科的發(fā)展，現(xiàn)在，不僅可以對平衡態(tài)熱力學(xué)混沌與非線性動 力誓混漣終窶囂分，蠢量麓夠辯菲線經(jīng)動力學(xué)靄 龜綴爨凳為綞致戇分類： ( 1 ) 時間混沌和空問混沌。例如楊維明對溜沌的時間和空間行為做了劃分，它 把混沌對初始條件的敏感依賴性細(xì)致的劃分為兩種依賴性時間和空間條件 的依羧性，：并且凌研究上繪如了低維動力系統(tǒng)靜時闥漫滾秘空閩混淹的定義：辯 聞潷淹郎系統(tǒng)狀態(tài)其有裙始蓉件依賴性；空聞混沌邸為系統(tǒng)狀態(tài)具有邊界條釋依 賴性。 ( 2 ) 完全混沌嗣有限混沌。我國著名學(xué)家程極泰把混沌分成了完全混沌和有限 潺 奄囂靜。 蠹談凳，淀淹是襲鬣一令動力系統(tǒng)豹特縫，懿巢在該系絞審大多數(shù)鞔 道聰示敏感依賴性，即所謂究全混沌；如果該系統(tǒng)中只肖某些軌道怒非周期的， 但多數(shù)軌道是周期的或準(zhǔn)周期的，即有限混沌。 ( 3 ) 強( 或完全) 混漣秘弱混、漣。把混漶萋笨為強 線鏈混漣，實琢土是指洛倫 茲意義上的完全混淹。而所謂的強混沌移弱混沌是按照肖無一個時聞尺度從而是 否可以對系統(tǒng)的演化行為做出預(yù)測來劃分的。p e rb a l 【鑄人認(rèn)為強混沌即存在一 個囂尊間尺度，一熙超越這個尺度，系統(tǒng)演化就不可預(yù)測；褥弱混沌則不存在這樣 一個尺度，它霹激進(jìn)行長黧頸綴。囂蓑掰投溺靜蠡組織懿疆賽瑰象都怒弱混漣酶， 所以看起來自然界存在著大擻的弱混沌現(xiàn)魏。而弱混沌怒可以長期預(yù)測的。上面 的區(qū)分，嚴(yán)格地說，是指在混沌區(qū)內(nèi)，強混沌區(qū)域不可預(yù)測，而弱混沌區(qū)的大部 分怒霹疆頸測靜。 3 3 混沌現(xiàn)象的基本特褫 對手饕平簿、 線性過纛邋入豹混淹，它彝“熱力學(xué)乎鬻態(tài)豹潺漣”不霹。 混沌是一種貌似憑規(guī)的運動，怒在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的煎似隨機行為的過程，是 系統(tǒng)在內(nèi)在不確定性因素作用下產(chǎn)生的時間演化的宏觀復(fù)雜現(xiàn)象?；煦绗F(xiàn)象把表 委鼴無彥性與內(nèi)凌熬嫂律蛙融必一薅，其蒸本特廷主要露： 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 3 3 1 確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性 混沌現(xiàn)象是由系統(tǒng)內(nèi)部的非線性因素引起的，是系統(tǒng)內(nèi)在隨機性的一種表 現(xiàn)，而不是外來隨機擾動所產(chǎn)生的不規(guī)則結(jié)果。混沌理論的研究表明，只要確定 性系統(tǒng)中有非線性因素作用，系統(tǒng)就會在一定的控制參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生一種內(nèi)在的 隨機性，即確定性混沌。 確定性系統(tǒng)一般是指動力學(xué)系統(tǒng)，他們可用常微分方程、偏微分方程、差分 方程或一些簡單的迭代方程來描述，且方程中的系數(shù)都是確定的。只要給定初始 值和邊界條件，方程就能給出確定的過程，它的解是唯一確定的。在某些情況和 給定的控制參數(shù)下，解會呈現(xiàn)出混沌狀態(tài)。這種確定性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象本質(zhì)上不 同于不受確定性方程約束的所謂完全隨機的混亂狀態(tài)。隨機性是指不規(guī)則的、不 能預(yù)測的行為。混沌現(xiàn)象是“確定性系統(tǒng)”的一種“內(nèi)在的隨機性”，它有別于 由系統(tǒng)外部引入不確定的隨機影響( 如噪聲) 而產(chǎn)生的外在隨機性。為了與類似 大量分子熱運動的外在隨機和無序性加以區(qū)別，我們稱所研究的混沌為非線性動 力學(xué)混沌，而把系統(tǒng)處于平衡態(tài)時所呈現(xiàn)的雜亂無章的熱運動混亂狀態(tài)稱為平衡 熱力學(xué)混沌。平衡態(tài)熱力學(xué)混沌與非線性動力學(xué)混沌的另一個差別在于：平衡態(tài) 熱力學(xué)混沌所表現(xiàn)出的隨機現(xiàn)象是系統(tǒng)演化的短期行為無法確定。非線性動力學(xué) 混沌則不然，系統(tǒng)的短期演化結(jié)果是確定的，是可以預(yù)測的；只有經(jīng)過長期演化， 結(jié)果才是不確定的、不可預(yù)測的。比如天氣預(yù)報，三天以內(nèi)的天氣狀況是可以預(yù) 報的，三天以后的天氣狀況就無法預(yù)報了。 3 3 2 對初始條件的敏感性 系統(tǒng)的長期行為對初始條件的敏感依賴性是混沌運動的本質(zhì)特征。動力學(xué)系 統(tǒng)的行為或運動軌道決定于兩個因素：一個是系統(tǒng)的運動演化規(guī)律，在數(shù)學(xué)上就 是動力學(xué)方程；另一個就是系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)，數(shù)學(xué)上稱為初始條件。一個確定性 系統(tǒng)在給定了運動方程之后，如果滿足利普希茨條件，則根據(jù)“存在唯一性”定 理，軌道唯一的取決于初始條件。給一個初值，只有一條軌道。這就是系統(tǒng)行為 或軌道對初值的依賴性。按照經(jīng)典力學(xué)的觀點，軌道對初值的依賴是不敏感的。 但是，混沌研究的結(jié)果改變了這一觀點。處在混沌狀態(tài)的系統(tǒng)，運動軌道將 敏感地依賴于初始條件。從兩個極鄰近的初值出發(fā)的兩條軌道，在短時間內(nèi)似乎 差距不大，但在足夠長的時間以后，必然呈現(xiàn)出顯著的差別。從長期行為看，初 值的小改變在運動過程中不斷被放大，導(dǎo)致軌道發(fā)生巨大的偏差，以至在相空間 中的距離要多遠(yuǎn)有多遠(yuǎn)。這就是系統(tǒng)長期行為對初值的敏感依賴性。由此可見， 由于對初值的依賴十分敏感，微小的擾動將導(dǎo)致解的巨大變化。 第3 章混沌理論 3 3 3 非平衡過程產(chǎn)生的混沌吸引子 任何物理學(xué)理論，在一定意義上都是研究物質(zhì)在時空中運動的規(guī)律。是返回 原來狀態(tài)，還是會達(dá)某種新的穩(wěn)定狀態(tài)昵? 對于保守的哈密頓系統(tǒng)，由于沒有能 量耗散，運動狀態(tài)在演化過程中可以隨時間改變，但其在相空間中的體積始終不 變。因此，在足夠長的時間之后，系統(tǒng)有可能回到離初始狀態(tài)任意近的地方，這 就是所謂的“龐加萊循環(huán)”。對于耗散系統(tǒng)，由于有能量的耗散，在演化過程中 相體積將不斷的收縮，耗散系統(tǒng)的運動最終將趨向維數(shù)比原來相空間維數(shù)低或體 積小的極限集合，而不會再回到原來的狀態(tài)。當(dāng)演化時間卜a o 時，系統(tǒng)所達(dá)到 的極限集合稱為“吸引子”。例如單擺運動，如果沒有摩擦或其他消耗( 保守系 統(tǒng)) ，單擺將周而復(fù)始地?zé)o限期地擺下去，運動永不停止。如果有摩擦( 耗散系 統(tǒng)) ，振幅將逐漸減小，最終將停止在中間位置，這個狀態(tài)( 不動點) 就是一個 吸引子。耗散運動最終要收縮到相空間的有限區(qū)域即吸引子上。零維的吸引子是 一個不動點，一維的是一個極限環(huán)，二維是一個環(huán)面，等等。這些吸引子通常叫 做普通吸引子或平凡吸引子。 混沌狀態(tài)也是非平衡非線性系統(tǒng)演化的一種歸宿，它也相當(dāng)于一個吸引子， 它是耗散運動收縮到相空間有限區(qū)域的一種形式。但與平凡吸引子相比，它又有 一些奇特的性質(zhì)。系統(tǒng)在吸引子外的所有狀態(tài)都向吸引子靠攏，這是吸引作用， 反映系統(tǒng)運動“穩(wěn)定”的一面；而一旦到達(dá)吸引子內(nèi)，其運動又是互相排斥的， 這對應(yīng)著“不穩(wěn)定”的一面。也可以說系統(tǒng)在整體上是穩(wěn)定的，而在局部是不穩(wěn) 定的。在混沌區(qū)內(nèi)，兩個靠得非常近的點，隨著時間的推移會指數(shù)發(fā)散開來；兩 個相距較遠(yuǎn)的點，又可能無限得靠近；它們將在混沌區(qū)中自由的游蕩，又跳不出 混沌區(qū)去，因此無法描述它們的“軌道”，無法預(yù)測其未來的狀態(tài)。 1 9 7 1 年法國物理學(xué)家茹勒和塔肯首次把混沌的這種特殊性質(zhì)叫作奇異吸引 子。下圖為l o r e n z 吸引子示意圖，l o r e n z 常微分方程組為： 筆一眥弘 砉= 可( y 叫 ( 3 3 3 1 ) d z 瓦一碼+ p y z 成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 圖3 - 3 3l o r e n z 吸引子 從圖中我們可以看出l o r e n z 的運動軌跡曲線相互纏繞而互不相交，如果將 這條曲線視為某一動點的運動軌跡，這個動點將隨著時間自變量，的增大，將在 空間的兩個定點附近做環(huán)繞運動。 3 3 4 混沌區(qū)具有無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu) 奇怪吸引子是軌道在相空間中經(jīng)過無數(shù)次靠攏和分離，來回拉伸與折疊形成 的幾何圖形，因此具有無窮層次的自相似結(jié)構(gòu)。在混沌區(qū)內(nèi)，從大到小，一層一 層類似洋蔥頭或套箱，具有字相似結(jié)構(gòu)。這些自相似結(jié)構(gòu)無窮無盡地互相套疊， 從而形成了“無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)”。我們?nèi)稳∑渲幸恍卧?，放大來看都?原來混沌區(qū)一樣，具有和整體相似的結(jié)構(gòu)，包含有整個系統(tǒng)的“信息”。這也是 一種“全息現(xiàn)象”。由此可見，混沌現(xiàn)象既具有紊亂性，又具有規(guī)律性。 對有耗散系統(tǒng)運動在相空間的收縮，使奇怪吸引子維數(shù)小于相空間的維數(shù)。 所以奇怪吸引子的幾何性質(zhì)，可以通過研究它的空間維數(shù)來確定。由于其組成部 分與整體有某種方式的相似，稱為分形。分形的特點是分?jǐn)?shù)維，它是由曼德勃羅 ( m a n d e l b r o t ) 在2 0 世紀(jì)7 0 年代創(chuàng)立的，因此，混沌理論與分形理論是是兩個 密不可分的非線性學(xué)科，因為本文主要工作不是刻畫吸引子，所以關(guān)于刻畫吸引 子的內(nèi)容在這里就不做詳述了。 3 4 進(jìn)入混沌的道路 3 4 1 倍周期分岔進(jìn)入混沌 系統(tǒng)運動變化的周期行為是一種有序狀態(tài)。一個系統(tǒng)，在一定的條件下，經(jīng) 過周期加倍，會逐步喪失周期行為而進(jìn)入混沌。例如，一個非線性電子電路，當(dāng) 1 4 第3 章混沌理論 我們考察它的輸出交變電壓隨輸入電壓的改變而變化的規(guī)律時發(fā)現(xiàn)，開始輸入電 壓較低時，輸出電壓頻率與輸入電壓的頻率一樣；而隨著輸入電壓的增加，輸出 電壓的頻度經(jīng)過二分頻、四分頻、八分頻、十六分頻最后進(jìn)入混沌，這就是周 期分岔進(jìn)入混沌。這種周期成倍增加且最后進(jìn)入混沌的過程被稱為倍周期分岔。 現(xiàn)用數(shù)學(xué)方法對倍周期分岔進(jìn)入混沌加以具體的描述。設(shè)系統(tǒng)參數(shù)為( 只 考慮單參數(shù)并不失一般性) 。當(dāng)系統(tǒng)有多個參數(shù)時，可以設(shè)定其余參數(shù)而僅讓其 中一個變化。如果= 脅時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動周期為t ；隨著變化到= h 時， 穩(wěn)態(tài)振動周期變?yōu)? r 。這種運動性質(zhì)的突然改變即是倍周期分岔。隨著倍周期 分岔的不斷出現(xiàn)，最終變?yōu)闊o窮點集，周期運動相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為混沌運動。值的注 意的是，倍周期分岔值鸕所構(gòu)成無窮序列 肛) 的差商極限： 占= l i r a 芏l 盥( 3 4 1 1 ) ”“p n “一| l q 是一個常數(shù)，而且?guī)最惒煌南到y(tǒng)可能具有相同的常數(shù)，因此被稱為普適常數(shù)。 普適常數(shù)的存在，反映了倍周期分岔產(chǎn)生混沌途徑的特點。倍周期分岔產(chǎn)生混沌 這一途徑是1 9 7 8 年由美國科學(xué)家費根鮑姆對映射的研究所發(fā)現(xiàn)的。下圖是邏輯 斯諦( l o g i s t i c ) 模型在不同參數(shù)值下繪出的倍周期分岔示意圖。 圖3 - 4 1 l o g ls t i c 模型倍周期分岔圖 由圖我們可以看出，隨著參數(shù)的不斷增大，出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，凡是倍周期分 岔到混沌的分界點。 3 4 2 陣發(fā)混沌 陣發(fā)混沌是非平衡非線性系統(tǒng)進(jìn)入混沌的又一條道路。這里的陣發(fā)即指陣發(fā) 成都理工大學(xué)碩十學(xué)位論文 性這一概念，它原指湍流理論中用來描述流場中在層流背景上湍流隨機爆發(fā)的現(xiàn) 象，表現(xiàn)為層流、湍流相交而使相應(yīng)的空間域隨機地交替。在混沌理論中主要是 借助于陣發(fā)性概念來表示時間域中系統(tǒng)不規(guī)則行為和規(guī)則行為的隨機交替現(xiàn)象。 陣發(fā)混沌是指系統(tǒng)較長時間尺度的規(guī)則運動和較短時間尺度的無規(guī)則運動的隨 機交替變化的現(xiàn)象。具體來說，陣發(fā)混沌是指系統(tǒng)從有序向混沌轉(zhuǎn)化時，在非平 衡非線性條件下，當(dāng)某些參數(shù)的變化達(dá)到某一些臨界閥值時，系統(tǒng)的時間行為忽 而周期( 有序) 、忽而混沌，在兩者之間振蕩。有關(guān)