（凝聚態(tài)物理專業(yè)論文）金屬過(guò)冷熔體中枝晶側(cè)枝生長(zhǎng)的相場(chǎng)法模擬.pdf

摘要 金屬過(guò)冷熔體中枝晶側(cè)枝生長(zhǎng)的相場(chǎng)法模擬 摘要 模擬枝晶形貌的演變有利于對(duì)凝固組織更深層次的理解和控制，是獲得理想 產(chǎn)品的關(guān)鍵。模擬非平衡體系中的枝晶生長(zhǎng)已有幾十年的歷史，主枝兩側(cè)出現(xiàn)的 二次側(cè)枝的生長(zhǎng)行為仍然是研究的熱點(diǎn)。相場(chǎng)方法不需要跟蹤固液界面，因此在 模擬枝晶生長(zhǎng)方面有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。 本文從相場(chǎng)基本原理出發(fā)，在綜合分析現(xiàn)有相場(chǎng)模型的基礎(chǔ)上，基于自由能 函數(shù)建立了純金屬純擴(kuò)散相場(chǎng)模型，簡(jiǎn)化了耦合噪聲的相場(chǎng)模型，并對(duì)目前兩種 耦合流場(chǎng)的相場(chǎng)模型作了進(jìn)一步完善。為模型確定合適的邊界條件和初始條件， 并采用基于均勻網(wǎng)格的有限差分方法對(duì)其控制方程進(jìn)行了離散。利用m a t l a b 軟件 實(shí)現(xiàn)了程序的編制和模擬結(jié)果的可視化，并計(jì)算了尖端生長(zhǎng)速度、尖端半徑和固 相分?jǐn)?shù)等參數(shù)。分別對(duì)無(wú)擾動(dòng)和有擾動(dòng)作用下的純金屬枝晶生長(zhǎng)過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值 模擬。 在無(wú)擾動(dòng)的情況下，研究了空間步長(zhǎng)、各向異性系數(shù)、過(guò)冷度及耦合系數(shù)對(duì) 晶粒形貌的影響，并計(jì)算了不同情況下的尖端生長(zhǎng)速度和半徑。結(jié)果表明：空間 步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算精度和計(jì)算效率均有重要的影響；各向異性系數(shù)和耦合系數(shù)過(guò)大時(shí)， 枝晶界面不連續(xù)而出現(xiàn)棱角；過(guò)冷度較大時(shí)，界面 出溶易生成側(cè)枝。對(duì)各參數(shù)的 取值進(jìn)行了優(yōu)化，為加入噪聲后各參數(shù)的取值提供參考、廷 在合理選擇上述參數(shù)的基礎(chǔ)上，研究了噪聲振幅以及上述參數(shù)對(duì)枝晶側(cè)枝生 長(zhǎng)行為的影響。結(jié)果表明：兩種噪聲中對(duì)側(cè)枝形成起決定性作用的是能量守恒噪 聲；噪聲振幅只影響枝晶側(cè)枝的生長(zhǎng)，不影響尖端生長(zhǎng)行為。加入噪聲的情況下， 過(guò)冷度對(duì)側(cè)枝的生長(zhǎng)行為起很大的作用；各向異性系數(shù)不僅促發(fā)二次分支的形 成，還引發(fā)三次枝晶，跟實(shí)驗(yàn)觀察到的現(xiàn)象相一致；耦合系數(shù)對(duì)側(cè)枝的形成也有 很大的影響，耦合系數(shù)越大，側(cè)枝越發(fā)達(dá)。 關(guān)鍵詞：相場(chǎng)噪聲各向異性枝晶側(cè)枝 a b s t r a c t s i m u l a t i o no ft h ed e n d r i t i cs i d e b r a n c h i n gg r o w t hi nt h e u n d e r c o o l i n gm e l to ft h ep u r em e t a lu s i n gp h a s e f i e l dm e t h o d a b s t r a c t d e n d r i t i ca r em t r i c a t ep a t t e r n st h a tm a k eu pt h em i c r o s t r u c t u r eo f m a n yi m p o r t a n t c o m m e r c i a la l l o y s u n d e r s t a n d i n gt h ed y n a m i c a lp r o c e s si sv e r yn e c e s s a r y s t u d i n g d e n d r i t i cg r o w t hh a sm a n yy e a r sh i s t o r y , t h ee m i s s i o no fs i d e b r a n c h i n gi sah o t s p o tt o m e t a l l u 哂s t s t h ep h a s e f i e l dm e t h o di sv e r yp o w e r f u li ns i m u l a t i o no fd e n d r i t i c g r o w t h , t h ew i d e l ya p p e a lo ft h i sa p w o a c hi sf r e eo ft r a c k i n gt h ei n t e r f a c eo f s o l i d l i q i u d ， t h eo b j e c to ft h i sd i s s e r t a t i o ni st op r e s e n taq u a n t i t a t i v es t u d yo ff r e ed e n d r i t i c s i d e b r a n e h i n gg r o w t ho fp u r em e t a lw i t hn o i s eu s i n gt h ep h a s e - f i e l dm e t h o d n 圮 s e c t i o nig i v e st h ef o r m u l a t i o no ft h ep h a s e f i e l dm o d e lt h a ti n c o r p o r a t e sb o t hn o i s e a n dm e l tc o n v e c t i o n , w h i c hb a s e do nt h em e t h o d o l o g yd e v e l o p e db yk a r m a n 地 s e c t i o ni in o to n l yd e s c r i b e st h ei n i t i a lc o n d i t i o n sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，b u ts o l v e s t h ep h a s e - f i e l da n dt e m p e r a t u r e - f i e l de q u a t i o n su s i n gt h ef i n i t ed i f f e r e n c ef o r m u l a so n u n i f o r mm e s h s e c t i o n f o c u so np r o g r a m m i n ga n dc a l c u l a t i n gt h et i pv e l o c i t y a n dr a d i u sb yv i r t u eo fm a t l a bs o f t w a r e t h es e c t i o n i vi n v e s t i g a t e st h ee v o l u t i o n o f d e n d r i t i cg r o w t hw i t h o u tn o i s e , a n ds t u d i e st h ei n f l u e n c eo f a n i s o t r o p i cc o e f f i c i e n tt ， t h ec o u p l i n gc o e f f i c i e n t 九a n du n d e r c o o l i n gao nt h eg r a i nm o r p h o l o 西e s t h es e c t i o n vs i m u l a t e st h ee v o l u t i o no fs i d c b r a n c h i n gg r o w t hw i t hn o i s e ，s t u d i e st h ec o n n e c t i o n b e t w e e nt h ep a r a m e t e r sl b a td i s c u s s e di nt h es e c t i o ni va n dt h ed e n d r i t i cg r o w t h t h en o i s ef r e ec a l c u l a t e dr e s u l t si n d i c a t et h a t t h eg r i ds p a c i n gh a se f f e c to n e f f i c i e n c ya n dp r e c i s i o n ，a n i s o l r o p i cc o e f f i c i e n t 丫a n dt h ec o u p l i n gc o e f f i c i e n t 九e x c e e d c r i t i c a lv a l u e ，t h ei n t e r f a c es h a p ei sd i s c o n t i n u i t yw i t hc o m e r , w h e nt h et m d e r c o o l i n gi s g r e a t ，t h et h e r m a ld i f f u s i o ni st l l i i l w h i c hi sa d v a n t a g e o u st ot h eg r o w t ho ft h e s i d e b r a n c h i n g s i m u l a t i o nt oi n c o r p o r a t en o i s es h o wt h a tb o t ht h ep a r a m e t e r sm e n t i o n e di nt h e s e c t i o ni va n dt h en o i s ea m p l i t u d ea f f e c tt h es i d e b r a n c h i n gg r o w t h t h en o n c o n s e r v e d n o i s e , n o ti n f l u e n c i n gs i d e b r a n c h i n gg r o w t h , i sn e g l e c t e df o rs a v i n gc o m p u t a t i o n a l t i m e w i t ht h ei n c r e m e n to fu n d e r c o o l i n ga ，t h et h e r m a ld i f f u s i o nl a y e rc o l l e c t e d a r o u n dt h ee q u i a x e dd e n d r i t i ci sm o r et h i n w h i c hi sa d v a n t a g e o u st ot h eg r o w t ho f t h e s i d e b r a n c h i n ga n dt h ed e n d r i t i cp r e s e n t st h em o r p h o l o g yo fd e v e l o p e ds i d e b r a n c h i n g t h en o i s ea m p l i t u d ec a ne n h a n c et h ee m e r g e n c eo fs i d e b r a n c h i n gw i mn oi n f l u e n c e i i a b s t r a c t t h et i pv e l o c i t y b o t ht h ea n i s o t r o p i cc o e f f i c i e n tya n dt h ec o u p l i n gc o e f f i c i e n t 九h a v e e f f e c to nt h ed e n d r i t i cs i d e b r a n c h i n gg r o w t h w i t ht h ei n c r e m e n to ft ，t h et h i r d s i d e b r a n c h i n ge m e r g eo nt h es e c o n d a r yd e n d r i t i ca r m s k e yw o r d s ：p h a s e - f i e l d n o i s e a n i s o t r o p y d e n d r i t i cs i d e b r a n c h i n g 1 1 1 a b s t ra c t 論文主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)和研究成果 1 分析現(xiàn)有模型的基礎(chǔ)上，建立了純金屬純擴(kuò)散相場(chǎng)模型，簡(jiǎn)化了耦合噪聲的 相場(chǎng)模型，并將目前的兩種耦合對(duì)流的相場(chǎng)模型作了進(jìn)一步完善。 2 利用m a t l a b 軟件完成了程序的編制和模擬結(jié)果的可視化 3 以純金屬鎳為研究對(duì)象，模擬了無(wú)擾動(dòng)作用下純金屬的枝晶生長(zhǎng)行為，分析 了參數(shù)空間步長(zhǎng)、各向異性系數(shù)、過(guò)冷度和耦合系數(shù)對(duì)晶粒形貌的影響。并 對(duì)各參數(shù)的取值進(jìn)行了優(yōu)化，為加入噪聲后各參數(shù)的取值提供參考。 4 無(wú)擾動(dòng)f 仁用下各向異性系數(shù)超過(guò)臨界值1 1 5 時(shí)，一些高能量方向?qū)⑾?。?面不連續(xù)仕現(xiàn)棱角，模擬結(jié)果跟g i b b s - t h o m s o n 得到的理論相吻合。 5 無(wú)擾動(dòng)作用下統(tǒng)計(jì)了不同各向異性系數(shù)下的尖端生長(zhǎng)速度和尖端半徑，并發(fā) 現(xiàn)尖端速率隨各向異性系數(shù)呈現(xiàn)線性增大趨勢(shì)l r 跌端半徑則是指數(shù)衰減趨勢(shì)。 6 模擬了噪聲作用下的枝晶側(cè)枝生長(zhǎng)行為，并討論了噪聲振幅、空間步長(zhǎng)、各 向異性系數(shù)、過(guò)冷度和耦合系數(shù)對(duì)側(cè)枝形成的影響。并統(tǒng)計(jì)了不同噪聲振幅 下的尖端位置，不同過(guò)冷度下的尖端速率。 西北工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 研究背景和意義 第一章緒論 金屬材料廣泛應(yīng)用于航天、航空、機(jī)械等領(lǐng)域。無(wú)論是傳統(tǒng)的金屬材料還是新型 的金屬功能材料，其應(yīng)用價(jià)值都體現(xiàn)在通過(guò)鑄造、焊接等工藝形成一定形狀、輪廓、 尺寸并具備特殊性能的零件、部件、構(gòu)件，服務(wù)于各行各業(yè)。 鑄造業(yè)產(chǎn)量大，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中占有重要的地位。我國(guó)鑄件年產(chǎn)量超過(guò)1 6 0 0 萬(wàn)噸， 居世界第二，但優(yōu)質(zhì)鑄件僅為2 0 7 ( 美國(guó)4 0 7 ) 。用于航空航天方面的鑄件，世 界銷售總額為5 2 3 億美元，其中美國(guó)占4 7 4 ( 2 4 8 億) ，中國(guó)僅占3 4 ( 1 8 億) 。 為了滿足經(jīng)濟(jì)建設(shè)的需要，提高鑄件質(zhì)量勢(shì)在必行“1 。 鑄件產(chǎn)品的最終機(jī)械性能，如韌性、抗腐蝕性和屈服程度等，主要取決于凝固過(guò) 程中形成的微觀組織。對(duì)這一過(guò)程的理解在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都具有十分重要的意 義。枝晶是金屬材料鑄造和焊接等成形工藝過(guò)程中最常見(jiàn)的微觀組織。研究枝晶形貌 的演變有利于對(duì)凝固組織更深層次的理解和控制，是獲得理想產(chǎn)品的關(guān)鍵。 由于金屬熔體不透明，無(wú)法直接觀察凝固過(guò)程中的枝晶形貌，一般采取金相嚷驗(yàn) 方法或用類金屬( 丁二腈等) 模擬法摸索枝晶形成的規(guī)律性。另一方面，影響枝晶形 成因素很多，它是一個(gè)涉及高溫、相變和多物理場(chǎng)( 溫度場(chǎng)、溶質(zhì)場(chǎng)及流場(chǎng)等) 相互 作用的復(fù)雜過(guò)程，試圖完整地處理包括所有過(guò)程的凝固形態(tài)問(wèn)題，將會(huì)遇上數(shù)學(xué)上的 巨大困難。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算材料學(xué)科學(xué)的迅速發(fā)展，人們?cè)诮⒏鞣N物理模型 上的復(fù)雜數(shù)理方程的基礎(chǔ)上，借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解真實(shí)再現(xiàn)枝晶生長(zhǎng)過(guò)程，完成 過(guò)冷熔體中枝晶生長(zhǎng)行為的研究。這對(duì)于優(yōu)化工藝設(shè)計(jì)，預(yù)測(cè)缺陷，保證質(zhì)量，縮短 周期，提高產(chǎn)品的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)能力有重要的作用。 目前模擬枝晶生長(zhǎng)行為的方法主要有三類：確定性方法( d e t e r m i n i s t i em e t h o d ) 、 隨機(jī)方法( s t o c h a s t i cm e t h o d ) 和相場(chǎng)方法( p h a s e f i e l dm e t h o d ) 。確定性方法以凝固 動(dòng)力學(xué)為基礎(chǔ)，認(rèn)為晶粒的形核生長(zhǎng)行為是過(guò)冷度、各向異性等參數(shù)的函數(shù)，它符合 晶粒生長(zhǎng)物理背景，具有實(shí)際意義，但由于其確定性，從而不能處理晶體生長(zhǎng)中的一 些隨機(jī)過(guò)程。確定性方法主要有前沿跟蹤法( f r o n tt r a c k i n g ) ，前沿跟蹤法是將固相 和液相中的熱、質(zhì)傳輸方程與固液界面上的邊界條件耦合起來(lái)，建立統(tǒng)一的方程組， 用有限元和邊界積分法進(jìn)行數(shù)值求解。該方法原理簡(jiǎn)單，需要跟蹤界面，難以處理枝 晶生長(zhǎng)過(guò)程中的分支合并、分叉等現(xiàn)象，也不能再現(xiàn)凝固時(shí)枝晶的生長(zhǎng)、競(jìng)爭(zhēng)和淘汰 過(guò)程，更不能預(yù)測(cè)晶粒的具體形貌。 隨機(jī)方法主要是采用概率方法來(lái)研究晶粒的形核和長(zhǎng)大，包括形核位置的隨機(jī)分 第一章緒論 布和晶粒晶向的隨機(jī)取向。凝固過(guò)程中的傳質(zhì)過(guò)程以及能量和結(jié)構(gòu)起伏都是隨機(jī)過(guò) 程，因此概率方法更接近實(shí)際。具有代表性的主要有蒙特卡羅法( m o n t e c a r l o ) 0 1 1 和元胞自動(dòng)機(jī)法( c e l l u l a r a u t o m a t a ) 0 1 。蒙特卡羅法( m c ) 以概率統(tǒng)計(jì)理論為主要 理論基礎(chǔ)，以隨機(jī)抽樣為主要手段。建立在界面能最小基礎(chǔ)上，考慮固液界面或不同 晶粒之間界面能的差異，來(lái)描述固液界面的移動(dòng)。雖可以得到與實(shí)際中金相觀察到的 類似圖象，但缺乏物理基礎(chǔ)和明確體現(xiàn)凝固時(shí)間的因素。元胞自動(dòng)機(jī)法( c a ) 以形 核過(guò)程的物理機(jī)制和晶體生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，可以得到晶粒的尺寸大小及分布， 也可以描述柱狀晶的形成及柱狀晶向等軸晶的轉(zhuǎn)變( c e t ) 。但該方法模擬晶粒生長(zhǎng) 時(shí)需要跟蹤固液界面，因此只能模擬枝晶的近似形狀，而不能模擬復(fù)雜枝晶的形貌。 不論是確定性方法還是隨機(jī)方法，模擬晶粒形貌都需要跟蹤固液界面，固液界面 結(jié)構(gòu)取決于結(jié)構(gòu)有序化與熱致無(wú)序的競(jìng)爭(zhēng)，因此它們?cè)谀M詳細(xì)的晶體生長(zhǎng)形態(tài)、內(nèi) 部結(jié)構(gòu)有困難。相場(chǎng)法是一種用于描述在非平衡狀態(tài)中復(fù)雜相界面演變強(qiáng)有力的工 具，不需要跟蹤復(fù)雜固液界面，就可實(shí)現(xiàn)對(duì)金屬凝固過(guò)程中枝晶生長(zhǎng)的復(fù)雜形貌的模 擬。 相場(chǎng)法“”( p h a s ef i e l dm e t h o d ) 金茲堡一朗道( g i n z b u r g - l a n d a n ) 相變理論為基 礎(chǔ)，通過(guò)引入相場(chǎng)變量礦而得名。是一個(gè)有序參量，表示系統(tǒng)在空間一時(shí)間上每個(gè)位 置韻物理狀態(tài)。= 1 表示固相；妒= 一1 表示液相；在固一液界面上的值在一l 1 之間 連續(xù)變化。相場(chǎng)方法可以描述平衡狀態(tài)下新相與母相界面以及固液界面處復(fù)雜的生長(zhǎng) 過(guò)程。相場(chǎng)法最大的優(yōu)點(diǎn)就是避免了復(fù)雜的相界面跟蹤，可以有效地通過(guò)相場(chǎng)與溫度 場(chǎng)、溶質(zhì)場(chǎng)、流場(chǎng)及其它外部場(chǎng)的耦合而實(shí)現(xiàn)微觀與宏觀尺度的結(jié)合，從而可直接模 擬宏觀場(chǎng)作用下的枝晶生長(zhǎng)，逼真地動(dòng)態(tài)顯示枝晶的演化過(guò)程，并能定量地研究固液 界面曲率效應(yīng)、動(dòng)力學(xué)效應(yīng)、擾動(dòng)、各向異性及各種材料參數(shù)對(duì)枝晶形貌的影響；同 時(shí)，相場(chǎng)法通過(guò)相場(chǎng)變量的變化能模擬金屬和合金凝固過(guò)程中側(cè)枝的產(chǎn)生、合并、分 支熟化與重熔等復(fù)雜的凝固現(xiàn)象；還可以定量模擬熱擾動(dòng)、各向異性強(qiáng)度以及材料熱 物性參數(shù)對(duì)枝晶生長(zhǎng)的影響。因此成為目前模擬凝固過(guò)程中枝晶生長(zhǎng)的最有潛力的方 法。 國(guó)外利用相場(chǎng)法模擬枝晶生長(zhǎng)已取得了顯著成果。2 0 世紀(jì)8 0 年代初，c o l l i n s 嘲、 c a 百n a l p 。1 等提出了最早的相場(chǎng)模型。c a g i n a l p “”、f i f e 和g i l l “21 等對(duì)相場(chǎng)模型進(jìn)行 了大量的數(shù)學(xué)分析，并最早將各向異性引入了相場(chǎng)模型。1 9 9 3 年，k o b a y a s h i “”利用 含有各向異性的相場(chǎng)模型實(shí)現(xiàn)了純金屬過(guò)冷熔體中枝晶生長(zhǎng)的二維模擬，最早對(duì)具有 復(fù)雜形狀的枝晶進(jìn)行了計(jì)算，再現(xiàn)了過(guò)冷溶液中樹(shù)枝狀晶體的生長(zhǎng)過(guò)程，定性說(shuō)明了 微觀組織形成的一些特征。為了驗(yàn)證相場(chǎng)法的可靠性和準(zhǔn)確性，w h e e l e r 等“”承d w a n g “” 完善了k o b a y a s h i “”提出的模型并定量模擬了純n i 的枝晶生長(zhǎng)，得到的結(jié)果與 2 西北工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 i v a n t s o v 解和微觀可解理論符合的很好。m u r r a r y “”等通過(guò)在表面能和界面動(dòng)力學(xué)系數(shù) 中引入各向異性的影響，模擬了純物質(zhì)在過(guò)冷熔體中枝晶側(cè)枝的競(jìng)爭(zhēng)生長(zhǎng)，再現(xiàn)了實(shí) 驗(yàn)結(jié)果的一些現(xiàn)象。由于受到界面動(dòng)力學(xué)和毛細(xì)長(zhǎng)度的限制，相場(chǎng)的模擬計(jì)算規(guī)模一 直無(wú)法突破。1 9 9 6 年，k a r m a 等“”制對(duì)相場(chǎng)模型進(jìn)行了薄界面限制下漸進(jìn)分析，分析 結(jié)果表明，界面厚度可以大于毛細(xì)長(zhǎng)度，在此基礎(chǔ)上，建立了大過(guò)冷度范圍的相場(chǎng)模 型，擴(kuò)大了相場(chǎng)方法的應(yīng)用范圍，并提高了計(jì)算效率，縮短了計(jì)算時(shí)間，并對(duì)低過(guò)冷 度晃面動(dòng)力學(xué)系數(shù)為0 的純金屬自由枝晶的生長(zhǎng)進(jìn)行二維和三維的數(shù)值模擬。以上模 擬均采用有限差分來(lái)求解相場(chǎng)模型，為了節(jié)約計(jì)算時(shí)間，b r a u n o ”等人采用自適應(yīng)網(wǎng) 格法來(lái)求解相場(chǎng)模型，在不影響模擬結(jié)果的前提下減少了計(jì)算時(shí)間。 國(guó)內(nèi)在這方面的研究雖然起步很晚，但是開(kāi)展比較迅速。目前主要有沈陽(yáng)鑄造 研究所的李殿中噙“”博士等人以高溫鎳基合金為研究對(duì)象，模擬了晶粒的三維生長(zhǎng)過(guò) 程，并對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)真空精鑄渦輪葉片微觀組織的形成過(guò)程進(jìn)行了模擬計(jì)算，結(jié)合實(shí) 際鑄件進(jìn)行優(yōu)化工藝設(shè)計(jì)，取得了很好的效果。中國(guó)科學(xué)院金屬研究所的張玉妥等 用相場(chǎng)法模擬了純金屬鎳的枝晶生長(zhǎng)過(guò)程。西北工業(yè)大學(xué)材料學(xué)院的于艷梅、趙達(dá)文 等啡。用相場(chǎng)法模擬了過(guò)冷純物質(zhì)熔體中枝晶生長(zhǎng)過(guò)程，研究了各向異性系數(shù)、過(guò)冷 度、界面動(dòng)力學(xué)系數(shù)對(duì)枝晶形貌的影響。李俊杰等研究高各向異性下的枝晶生長(zhǎng)狀 況。清華大學(xué)的張清光。1 對(duì)二維過(guò)冷熔體中枝晶生長(zhǎng)進(jìn)行了相場(chǎng)模擬。清華大學(xué)的趙 代平等啪馴不僅模擬t _ - 維枝晶的生長(zhǎng)，還嘗試性地用捕獲液態(tài)改進(jìn)的方法模擬了三 維純金屬枝晶的生長(zhǎng)。盡管已經(jīng)取锝一些成果，但離模擬實(shí)際鑄件的微觀組織有相當(dāng) 大的差距，有待于進(jìn)一步完善。 一 研究非平衡體系中的枝晶生長(zhǎng)已有幾十年的歷史，但是主枝兩側(cè)出現(xiàn)的二次側(cè)枝 的生長(zhǎng)行為仍然是研究的熱點(diǎn)。主要是由于側(cè)枝出現(xiàn)的振幅和頻率還沒(méi)有完全得到解 決。影響側(cè)枝的主要因素有：凝固過(guò)程中的擾動(dòng)( 溫度擾動(dòng)、濃度擾動(dòng)和相擾動(dòng)) 、 額外添加噪聲項(xiàng)及對(duì)流。純金屬在擾動(dòng)和對(duì)流作用下，得到的是側(cè)枝較發(fā)達(dá)的枝晶形 貌。 由自然對(duì)流或強(qiáng)制對(duì)流所引起的金屬液體的流動(dòng)是凝固過(guò)程中不可避免的現(xiàn)象， 它對(duì)凝固后的組織和成分偏析有著重要的影響。主要表現(xiàn)在：一方面，對(duì)流沖刷枝晶 臂，造成晶粒繁殖；另一方面，對(duì)流影響一次枝晶臂間距及二次枝晶臂的生長(zhǎng)方向， 迎流側(cè)的二次枝晶較背流側(cè)的發(fā)達(dá)。由于凝固過(guò)程中熔體的對(duì)流較復(fù)雜，數(shù)學(xué)上難以 表述，大多數(shù)凝固模型是基于純擴(kuò)散條件，熔體的對(duì)流則被忽略。近年來(lái)隨著計(jì)算科 學(xué)的發(fā)展，國(guó)外一些研究者開(kāi)始研究對(duì)流作用下的枝晶生長(zhǎng)行為。 1 9 9 7 年，d i e p c r s 等o ”首次運(yùn)用相場(chǎng)方法模擬了耦合流場(chǎng)的凝固組織。t o n g ?！?和b e c k c r m a n n 等m 州基于k a r m a 的純擴(kuò)散相場(chǎng)模型，提出了考慮流場(chǎng)的相場(chǎng)模型，定 量模擬了在強(qiáng)迫對(duì)流下流速、流動(dòng)方向和各向異性強(qiáng)度對(duì)枝晶形貌的影響，還研究了 第一章緒論 尖端的穩(wěn)態(tài)行為和側(cè)向分支。1 9 9 8 年t 6 n h a r d t 和a m b e r g m ”1 將純金屬凝固時(shí)熔體的對(duì) 流簡(jiǎn)化為剪切流，模擬了剪切流作用下的枝晶生長(zhǎng)演化。a n d e r s o n 、w h c c l e 與 m c f a d d e n “蜊通過(guò)耦合不含對(duì)流的相場(chǎng)模型與流體流動(dòng)的擴(kuò)散界面模型，提出了同時(shí) 處理凝固和熔體對(duì)流的相場(chǎng)模型。在該模型中，固相被視為具有高粘度的液態(tài)，材料 密度被視為相場(chǎng)變量的函數(shù)。他們將這一模型用于有對(duì)流( 包括密度變化引起的對(duì)流 和平面凝固時(shí)熔體中的剪流) 發(fā)生的相變過(guò)程中，得到的結(jié)果與通過(guò)尖銳界面模型計(jì) 算的結(jié)果一致。2 0 0 1 年g o l d e n f e l d 、j e o n g 、d a n t z i g “”“1 使用自適應(yīng)有限元法模擬了流 動(dòng)對(duì)三維枝晶生長(zhǎng)的影響。2 0 0 0 年t o n h a r d t 和a m b e r g “”模擬了丁二腈在自然對(duì)流作用 下的枝晶生長(zhǎng)。 對(duì)于相場(chǎng)耦合流場(chǎng)方面的研究，國(guó)內(nèi)依然是空白，未見(jiàn)任何文獻(xiàn)報(bào)道過(guò)。研究對(duì) 流作用下的枝晶生長(zhǎng)行為，必須處理錯(cuò)綜復(fù)雜的流體流動(dòng)、熱和質(zhì)的傳輸、相變之間 的非線性耦合關(guān)系，人們對(duì)對(duì)流作用下的枝晶生長(zhǎng)規(guī)律了解的非常缺乏。 過(guò)冷熔體在熱力學(xué)上處于不穩(wěn)定態(tài)，晶體核心一旦形成及自發(fā)生長(zhǎng)。當(dāng)晶體長(zhǎng)至 一定尺度以后，凝固界面將在溶質(zhì)和熱擾動(dòng)下發(fā)生失穩(wěn)，形成枝晶的一次分支，一次 分支在其生長(zhǎng)過(guò)程中界面同樣會(huì)失穩(wěn)，產(chǎn)生二次分支，在二次分支的基礎(chǔ)上還會(huì)形成 三次乃至更高次的分支，結(jié)果得到了不同層次分支的樹(shù)枝晶組織，代表了晶體生長(zhǎng)過(guò) 程中一類更復(fù)雜的界面形態(tài)演化模式。為了描述接近實(shí)際情況的枝晶形態(tài)，國(guó)內(nèi)外 均采用加入擾動(dòng)的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)這一目的。 k o b a y a s h i “”最早提出了將噪聲加入相場(chǎng)方程中，研究了不同噪聲振幅下的枝晶生 長(zhǎng)行為。1 9 9 9 年k a r m a 和r a p p e lm 1 等提出了另一種處理方法，即在能量方程中加入 熱噪聲，認(rèn)為儺枝主要是由于熱噪聲弓i 起的。2 0 0 2 年于艷梅“”嘗試模擬了兩種噪聲作 用下的枝晶生長(zhǎng)過(guò)程，得到了和k a r m a 相同的結(jié)果。2 0 0 5 年朱昌盛“”等采用耦合熱 擾動(dòng)的相場(chǎng)模型，研究了噪聲振幅對(duì)側(cè)向分支的影響。同時(shí)楊弘“”等用耦合熱擾動(dòng)的 相場(chǎng)模型模擬了過(guò)冷熔體純金屬二次枝晶的生長(zhǎng)過(guò)程，討論了熱擾動(dòng)對(duì)枝晶尖端行為 的影響。但是就能量守恒噪聲是否是側(cè)枝形成的唯一因素未達(dá)成共識(shí)。以上研究者均 采用k a r m a 等提出的加入噪聲的方法；在相場(chǎng)方程中加入一個(gè)與時(shí)間和空間相關(guān)的平 均值為零的呈高斯分布的隨機(jī)變量矩陣，在溫度場(chǎng)方程中則加入隨機(jī)變量矩陣的梯 度，在一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)里同時(shí)產(chǎn)生三個(gè)隨機(jī)數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜性。本文只采用簡(jiǎn) 單的方式引入擾動(dòng)，即分別在相場(chǎng)和溫度場(chǎng)方程中加入一個(gè)與空間和時(shí)間不相關(guān)的隨 機(jī)變量 r ，其中，為噪聲振幅，表征起伏波動(dòng)的強(qiáng)度，為一1 - 1 之間的隨機(jī)數(shù)，在一 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)只產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，明顯減少了計(jì)算量。 1 2 本文的主要研究?jī)?nèi)容 課題來(lái)源于國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目“凝固過(guò)程中微觀對(duì)流效應(yīng)及其對(duì)組織 4 西北1 ：業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 形成的影響規(guī)律”。本文建立了純金屬耦合擾動(dòng)和對(duì)流的相場(chǎng)模型，采用顯式有限差 分格式對(duì)二維相場(chǎng)方程和溫度場(chǎng)方程進(jìn)行了離散，完成了方程的數(shù)值求解過(guò)程以及采 用m a t l a b 語(yǔ)言完成了相關(guān)程序的編制，分別對(duì)無(wú)擾動(dòng)和擾動(dòng)下的枝晶生長(zhǎng)過(guò)程進(jìn)行了 模擬，并詳細(xì)研究了模型參數(shù)對(duì)枝晶生長(zhǎng)的影響。具體研究?jī)?nèi)容如下： 1 簡(jiǎn)化了純金屬耦合噪聲和完善了耦合對(duì)流的相場(chǎng)模型 基于自由能函數(shù)建立了純金屬無(wú)擾動(dòng)和對(duì)流的相場(chǎng)模型，采用簡(jiǎn)單的方式引入 擾動(dòng)，并對(duì)目前兩種耦合對(duì)流的相場(chǎng)模型作了進(jìn)一步完善。 2 相場(chǎng)模型的離散處理、計(jì)算方法選擇及程序的優(yōu)化 對(duì)相場(chǎng)方程和溫度場(chǎng)方程采用顯式差分格式進(jìn)行了離散，用m a t l a b 語(yǔ)言完成了 程序的編制和實(shí)現(xiàn)了枝晶形貌和溫度場(chǎng)的可視化，并利用o r i n g i n 軟件的強(qiáng)大數(shù)據(jù)處 理功能，經(jīng)過(guò)插值和擬合計(jì)算特征參數(shù)，如尖端速度、尖端半徑及固相率等。 3 以純金屬鎳為研究對(duì)象，模擬了二維無(wú)對(duì)流、無(wú)噪聲作用下的枝晶生長(zhǎng)形貌和 溫度場(chǎng)分布 在用相場(chǎng)法研究枝晶生長(zhǎng)的過(guò)程中，相場(chǎng)模型參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果有很重要的影 響，通常這些參數(shù)是靠經(jīng)驗(yàn)反復(fù)嘗試獲得。本文主要研究擾動(dòng)情況下側(cè)枝的生長(zhǎng)行 為，為了提高計(jì)算效率，本文先研究了無(wú)擾動(dòng)作用下空間步長(zhǎng)、過(guò)冷度、各向異性 系數(shù)和耦合系數(shù)等參數(shù)對(duì)枝晶生長(zhǎng)的影響，并對(duì)其取值進(jìn)行了優(yōu)化，為加入擾動(dòng)后 各參數(shù)的取值提供參考。 4 模擬了噪聲作用下的枝晶形貌演化過(guò)程和溫度場(chǎng)分布 分析了擾動(dòng)作用下空間步長(zhǎng)、各向異性系數(shù)、過(guò)冷度、相場(chǎng)與溫度場(chǎng)的耦合系 數(shù)、噪聲振幅對(duì)枝晶生長(zhǎng)行為的影響 第二章相場(chǎng)模型 第二章相場(chǎng)模型 凝固過(guò)程中晶粒形貌的形成主要取決于凝固過(guò)程中固液界面的形態(tài)及其演化。凝 固界面形態(tài)學(xué)是一個(gè)涉及到熱量、質(zhì)量、動(dòng)量傳輸及界面動(dòng)力學(xué)和毛細(xì)作用相耦合的 自由邊界問(wèn)題。目前處理自由邊界問(wèn)題的模型主要有兩種：尖銳界面模型和彌散界面 模型。尖銳界面假定界面厚度為零，在固液兩相中分別求解控制方程，并不斷地調(diào)整 邊界條件，來(lái)跟蹤復(fù)雜的固液界面。而彌散界面則是假定界面厚度是一有限長(zhǎng)度，在 整個(gè)區(qū)域求解統(tǒng)的偏微分方程組，通過(guò)引入描述相態(tài)變化的輔助變量來(lái)確定相，避 免追蹤界面。本文所采用的相場(chǎng)方法本質(zhì)上是彌散界面模型，可以有效克服尖銳界面 模型追蹤界面引起的誤差，并能自動(dòng)處理尖銳界面模型中難以處理的界面形態(tài)演化問(wèn) 題，如相的產(chǎn)生和消失等，真實(shí)刻化晶粒形貌的演化。相場(chǎng)法還可以方便地將楣變過(guò) 程中的起伏、流場(chǎng)和形核等相變過(guò)程有影響的因素加入相場(chǎng)模型中去，以考察其對(duì)相 變過(guò)程中的影響。因此，相場(chǎng)方法在模擬枝晶生長(zhǎng)方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。 相場(chǎng)模型的建立是相場(chǎng)法模擬的核心技術(shù)，模型的優(yōu)劣將直接影響模擬結(jié)果的準(zhǔn) 確性和計(jì)算效率。本章從相場(chǎng)方法基本原理出發(fā)，在綜合分析現(xiàn)有相場(chǎng)模型的基礎(chǔ)上， 建立純金屬在過(guò)冷熔體中生長(zhǎng)的耦合擾動(dòng)和對(duì)流的相場(chǎng)模型，并根據(jù)漸進(jìn)分析確定了 相場(chǎng)模型參數(shù)和熱物性參數(shù)之間的關(guān)系。 2 1 相場(chǎng)模型的原理 2 1 1 基本原理 相場(chǎng)方法是建立在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)上，以金茲堡朗道相變理論嘞“o 為基礎(chǔ)，通過(guò) 微分方程反映凝固過(guò)程中擴(kuò)散、有序化勢(shì)及熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)力的綜合作用，其解用來(lái)描述 固液界面的形態(tài)、曲率以及界面的移動(dòng)。相場(chǎng)方法又是一種計(jì)算技術(shù)，主要基于 l a n g e r 0 2 3 提出的相場(chǎng)理論，通過(guò)引入相場(chǎng)變量來(lái)表示系統(tǒng)在時(shí)間和空問(wèn)上物理狀態(tài)。 本文主要采用k a r m a “7 1 等人提出的相場(chǎng)模型，在該模型中= 1 時(shí)表示固相，= - 1 時(shí) 表示液相，在固液界面上的值在1 1 之間連續(xù)變化。的主要目的是跟蹤兩相不 同的熱力學(xué)狀態(tài)，可以不嚴(yán)格地將其理解為結(jié)晶程度的度量。圖2 1 示出了廬的物理 含義。圖中w 表示界面厚度。 6 兩北工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 ii oi oi o 1 o 3 ： - 囊- 一 o 0 oo o 豢 圖2 - 1 的物理含義 圖2 - 2 過(guò)冷熔體中晶體生長(zhǎng)的幾何示意圖 對(duì)于純金屬凝固枝晶生長(zhǎng)過(guò)程的模擬區(qū)域可劃分為：固相q 一( t ) ，液相q + ( r ) 和 界面區(qū)r ( r ) ，相場(chǎng)變量礦對(duì)應(yīng)于圖2 - 2 的值可以定義為如下： ( x ，y ，r ) = 1 礦( x ，y ，t ) = - 1 o ，y ) q 一( r ) ( x ，y ) q + ( t ) ( 2 - 1 ) ( 2 2 ) 一1 ( 工，y ，) 0( 2 - 5 ) 式中，豳為該體系演化過(guò)程中熵的變化，由g i n z b u r g - l a n d a u 洲方程得到滿足( 2 5 ) 并符合熱力學(xué)定律的西隨時(shí)間的演化方程為： 絲：m 8 s( 2 6 ) 研勱 將( 2 4 ) 代入( 2 6 ) 得到基于熵函數(shù)的的相場(chǎng)方程為： 詈斗即一掣 倍， 2 1 3 基于自由能函數(shù)的相場(chǎng)模型 相場(chǎng)模型的建立首先將相變自由能表示為場(chǎng)變量的函數(shù)。相變自由能通常未提及 化學(xué)自由能、界面能、彈性能以及所加的外場(chǎng)的能量等。對(duì)于純金屬來(lái)說(shuō)，根據(jù) g i n z b u r g - l a n d a u 自由能理論，圖2 - 2 對(duì)應(yīng)的體系，總自由能f 的表達(dá)式為： f = 扣，c ，小別2 拋 浯s ， 式中廠( 礦，c ，e ) 是自由能密度，s 是相場(chǎng)模型參量( 各向同性系統(tǒng)中為常數(shù)，在各向異 性系統(tǒng)中與界面法向有關(guān)) ，表示界面層厚度，是決定微觀相互作用的長(zhǎng)度控制變量。 根據(jù)熱力學(xué)第二定律，一個(gè)孤立體系隨時(shí)間演化時(shí)，自由能趨于減小直至平衡態(tài)， 即： d f 0( 2 9 ) 式中d f 為該體系演化過(guò)程中自由能的變化。 由g i n z b u r g - l a n d a u 咖1 方程得到滿足( 2 - 9 ) 式的巧隨時(shí)間的演g 方n n ： f 型：一堅(jiān)( 2 1 0 ) f = 一一 k z l u ， 西謝 式中r 為界面動(dòng)力學(xué)相關(guān)的參量( 各向同性系統(tǒng)中為常數(shù)，在各向異性系統(tǒng)中與界面 兩北工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 2 純金屬相場(chǎng)模型的建立 2 2 1 純擴(kuò)散相場(chǎng)模型的建立 朗道理論假定系統(tǒng)自由能為有序參數(shù)和溫度的分布函數(shù)， 序化參量毋做級(jí)數(shù)展開(kāi)，即： ( 聲，t ) ：f o + a f b + b 廬2 + c 3 + 印4 + 自由能密度函數(shù)，對(duì)有 根據(jù)c r i n z b u r g l a n d a u 相變理論，有序參量廬在空間變化時(shí)，體系的自由能密度 不僅與矽的大小有關(guān)，還與它的梯度有關(guān)，即在自由能密度展開(kāi)式中包含序參量的梯 度項(xiàng)，從對(duì)稱性考慮，梯度項(xiàng)不可能是線性項(xiàng)，而是一個(gè)二次項(xiàng)。體系的自由能函數(shù) f 的表示式如式子( 2 8 ) ，式中廠( 妒，c ，e ) 是自由能密度，是雙阱勢(shì)形式的函數(shù)，q 為 體積，將自由能密度在熔點(diǎn)附近展開(kāi)得到： ，( 妒，r ) = ，( ，) + a g ( 妒) ( r 一) ( 2 1 3 ) 式中g(shù) ( 聲) ；五- 1 礦( ，r ) a 丁l 覡，是的奇函 數(shù)，旯是溫度場(chǎng)與相場(chǎng)的耦合系數(shù)，為一正數(shù)。 如此構(gòu)造廠可以保h t _ 當(dāng)t t m 時(shí)，固相穩(wěn)態(tài)而液 相處于亞穩(wěn)態(tài)。根據(jù)文獻(xiàn)選取： g ( 妒) = 妒一2 妒3 3 + 5 s ( 2 1 4 ) 使得g ( 廬) = ( 1 一妒2 ) 2 在= 1 處值為零，從而保 證，( 廬，t ) 獨(dú)立于溫度，在礦= 1 處( 即固相 和液相) 取極小值而使體系處于最穩(wěn)態(tài)。 ，( 妒，l ) 是一個(gè)雙阱曲線，如圖2 - 3 所示， 9 圖2 - 3 廠( ，乙) 的物理示意圖 第二章相場(chǎng)模型 其在= l 處，取最小值，分別對(duì)應(yīng)著固相和液相。為了滿足這個(gè)要求，按如下方式 構(gòu)造【妒，2 ：j ： 舢川= 無(wú)+ 了4 ) ( 2 _ 1 5 ) 其中 為常數(shù)。 廠( 妒，) = 矗( 一礦+ 礦) = 一艫( 1 一2 ) ( 2 1 6 ) 將式( 2 - 1 3 ) 代入( 2 1 1 ) 中得相場(chǎng)控制方程為： f 警= 卻2 一，( 礦，) 一名( 聲) ( r 一) ( 2 - 1 7 ) 弧無(wú)量綱溉= 涮拭媯： r 警彰v 2 - ，( 舢) 咄( 礦) 甜( 2 - 1 8 ) 在非等溫條件下，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)熱傳導(dǎo)方程，有 望+而石：o(2-19)ot ￥ 式中q 為單位體積熱量，石為熱流，根據(jù)f o u r i e r s 定律， = - k t ( 2 2 0 ) 式中j 0 為熱導(dǎo)率?？紤]固液界面熵的變化，單位體積單位時(shí)間內(nèi)熱量的變化可以表 述為 詈= c p 詈 掣 治2 ， 式中 ( 痧) 為礦的單調(diào)增函數(shù)，為了準(zhǔn)確描述液固相變時(shí)界面上潛熱的釋放， ( 礦) 的選 擇必須保證廳( 礦) i 卜，= 一1 及矗( 礦) h = + 。= + l 。滿足該條件的最簡(jiǎn)單的選擇是j j l ( 礦) = ， 也可選取 ( ) = g ( ) ，這兩種選取方式都能準(zhǔn)確模擬枝晶生長(zhǎng)“。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本 文采用 ( 妒) = 妒。 將式( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 代入式( 2 2 1 ) 得： 1 0 西北工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 詈卻2 丁+ 擊2 c 掣 西 1 。 西 式中島= 坼g ，為熱擴(kuò)散率，引入無(wú)量綱溫度z f = 式： 絲= d 三絲盟rv2u+ 西2 西 2 2 2 加入各向異性的相場(chǎng)模型的建立 ( 2 2 2 ) ，( 2 - 2 2 ) 式變成如下形 ( 2 2 3 ) 通常金屬界面能具有各向異性，為此在模擬金屬凝固過(guò)程中的枝晶生長(zhǎng)時(shí)，必須 考慮固液界面的各向異性啼8 1 。 晶體在過(guò)冷熔體中的生長(zhǎng)形態(tài)，不僅與晶體生長(zhǎng)機(jī)制有關(guān)，而g - q 凝固界面結(jié)構(gòu) 有著重要的關(guān)系，而界面自由能對(duì)界面結(jié)構(gòu)有重要影響。對(duì)于各向異性較弱的晶體來(lái) 說(shuō)，界面自由能表示為： 盯( 元) = c r 0 ( 1 + y c o s 4 p ) ( 2 2 4 ) 各向異性因子q ( 面) 表示為”1 ： ) = 警小腳s 。分( 2 - 2 5 ) 其中y 為各向異性系數(shù)，表征各向異性強(qiáng)度的大小，口為界面法向與x 軸之間的夾角。 為了確定界面法向與參考坐標(biāo)之間的夾角，利用相場(chǎng)變量來(lái)定義界面，界面法向 元可以表示為： i ；：品：c o s ( 口) 量+ s i n ( 9 ) 夕 ( 2 2 6 ) 肛商砌s 【彤h 州彤y 一 口一1 ( 妻 c z z ， 將相場(chǎng)模型參量馳豫時(shí)間r 和界面厚度分別和角度建立關(guān)系，從而將各向異性引入 相場(chǎng)模型中。r p ： f ( 元) = f o q ( 而) ( 2 2 8 ) ( 元) = o e o a ，( 元) ( 2 2 9 ) 斜 第二章相場(chǎng)模型 式子( 2 - 1 7 ) 中的占。v 2 是通過(guò)變分方法獲得的，沒(méi)有考慮各f 可異住，是作為帚頸 處理的，現(xiàn)在考慮各向異性以后，相場(chǎng)控制方程( 2 1 8 ) 中的l a p l a c e 算子變?yōu)椋?占2 v 2 = v ( g ( 占) 2 v 礦) 一曇( ( 目) ( 口) 茜) + 導(dǎo)( g ( 口) a j ( 臼) 曇) ( 2 - 3 0 ) 將( 2 8 ) 、( 2 1 4 ) 、( 2 - 3 0 ) 代入( 2 1 6 ) 得到考慮各向異性的相場(chǎng)控制方程： f o q ( 口) 譬：p 五( 1 一：) ( 1 一礦：) + 菇v ( ：口) 2v ) 一曇( 爵q ( 口) 口，( 口) 茜 + 號(hào)( 爵q ( 占) q ( 口) 丟 2 3 1 2 2 3 耦合噪聲的相場(chǎng)模型 凝固過(guò)程中的各種起伏對(duì)凝固組織演化有重要的影響，液相中的起伏使液相形 核；而界面穩(wěn)定性則把各種起伏放大到宏觀尺度，形成二次枝晶。相場(chǎng)模型中，各種 起伏是通過(guò)在控制方程中加入隨機(jī)變量而引入的。 通過(guò)兩種方式引入擾動(dòng)：一種是在相場(chǎng)方程中加入擾動(dòng)因子，即界面處加入擾動(dòng)， 對(duì)溫度場(chǎng)的影響通過(guò)相場(chǎng)和溫度場(chǎng)的耦合系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。擾動(dòng)項(xiàng)可以表示為： ，( ) = a ( n ) r ( n ) g ( g ) ( 2 3 2 ) 彳砂為噪聲振幅，表征擾動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)，為一1 1 之間的高斯隨機(jī)數(shù)。其相場(chǎng)控制方 程為： r ( 亓) 署= p 五”( 1 一2 ) 一r ( 妒) ( 1 - 妒2 ) + 露v i 2 ( 穢) 2 v 礦) 一曇( 菇q ( 口) q ，( 口) 號(hào) + 導(dǎo)( 爵q ( 日) 口j ( 口) 曇) 2 3 3 溫度場(chǎng)控制方程仍然采取( 2 - 2 1 ) 的形式。 另一種是在溫度場(chǎng)中加入擾動(dòng)項(xiàng)，相場(chǎng)控制方程采取( 2 2 9 ) 的形式，溫度場(chǎng)控 制方程如下： 詈= d v 2 “畦掣+ 爿( ”) ，( 抬) ( 2 - s a ) 金屬凝固過(guò)程中的對(duì)流效應(yīng)是不容忽視的事實(shí)，眾所周知，對(duì)流效應(yīng)嚴(yán)重影響枝 晶形貌。 1 2 兩北工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 。2 4 對(duì)流作用下的相場(chǎng)模型 純金屬凝固過(guò)程中的對(duì)流改變熱量傳輸?shù)乃俣龋绊憸囟葓?chǎng)分布，進(jìn)而影響枝晶 形貌。研究凝固過(guò)程中的對(duì)流現(xiàn)象時(shí)，一般將金屬熔體看作不可壓縮流體，具體流動(dòng) 情況用標(biāo)準(zhǔn)的n a v i e r - s t o k e s 方程來(lái)描述。目前，相場(chǎng)控制方程中加入流動(dòng)的方式主要 有兩種：一種是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的能量守恒方程、質(zhì)量守恒方程和動(dòng)量守恒方程在局部求平均 值，通過(guò)在動(dòng)量方程中引入分布式衰減的界面應(yīng)力項(xiàng)，界面應(yīng)力是相場(chǎng)變量的函數(shù)， 以滿足無(wú)滑移邊界條件“圳。另一種是將固相處理為粘度較大的液相，令粘度為相 場(chǎng)變量的函數(shù)，將其代入標(biāo)準(zhǔn)的n a v i e r - s t o k e s 方程中。 在流體中任取一閉合曲面，設(shè)q 1 為此閉合曲面內(nèi)單位時(shí)間產(chǎn)生的熱量，q 2 為單 位時(shí)間內(nèi)流入的凈熱量，9 為由于溫度上升單位時(shí)間內(nèi)吸收的熱量，則： q l + q 2 = q 3 ( 2 3 5 ) q l 一般為相變過(guò)程中產(chǎn)生的相變潛熱，q 2 來(lái)自兩個(gè)方面，一是來(lái)自熱傳導(dǎo)，其熱流 密度矢量為吼= 島v r ，二是來(lái)自對(duì)流，其熱流密度可表示為q 2 = p ct o ，式中的g 為定壓比熱，d 為流體的速度矢量。于是單位時(shí)間內(nèi)流入閉合曲面的凈熱量為： q 2 f i ( k ，v t + p c ，r o ) t s ( 2 3 6 ) 。 又由于： q ，= 弼嗚蠆0 1 d 礦( 2 - 3 7 ) 故 c 掰p c ，a 講t - d 礦= j j ( 巧v 丁一, o ct v ) d s + 孵工, o v d s ( 2 3 8 ) 式中v 為晶體生長(zhǎng)速率。 應(yīng)用高斯定理將面積分化為體積分，有： p cp 百a t = v ( k n t p c t u + l p v ) ( 2 - 3 9 ) 若流體的熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度、定壓比熱為常數(shù)，且流體不可壓縮，則： 署+ ( u v ) 卜寺w + 珥儼r ( 2 - 4 0 ) 假定在固液界面處，枝晶是向前連續(xù)推進(jìn)的，相場(chǎng)變量也是隨時(shí)間連續(xù)變化的，則 可以建立枝晶生長(zhǎng)速率v 與相場(chǎng)變量的函數(shù)關(guān)系 第二章相場(chǎng)模型 vu ：絲 a t ( 2 - 4 1 ) 假定：固相流速為零，液相流速為u ，彌散界面處的流速根據(jù)值來(lái)確定。要滿 足該假定需在流速u 前加一耦合系數(shù)墮來(lái)描述固液界面的流動(dòng)，這種取法簡(jiǎn)單有效， 2 因?yàn)樵诠滔? = 1 ) ，：與1 3 = 0 ；在液相( 礦一1 ) ，：與l ，：j 。經(jīng)無(wú)量 綱轉(zhuǎn)化后，式( 2 4 0 ) 可簡(jiǎn)化為： 絲+坐vvu=d，v2u+三警(2-42)ot22西 此( 2 4 2 ) 為耦合流場(chǎng)的溫度場(chǎng)控制方程。 純金屬枝晶生長(zhǎng)過(guò)程不僅存在熱量傳輸，還存在動(dòng)量和質(zhì)量傳輸“”。從溫度場(chǎng)方 程( 2 4 2 ) 可以看出，欲確定溫度場(chǎng)o ，弘0 ，必須先確定流體的速度場(chǎng)d ( x ，乃f ) ，速 度場(chǎng)可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的n a v i e r - s t o k e s 方程和連續(xù)性方程進(jìn)行求解： 礦良v v ) p - v v 2 v - v p + 孵 t s ， v u =