（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）脈沖在動力系統(tǒng)中的應(yīng)用.pdf

摘要 脈沖微分方程可以描述某些運動狀態(tài)在某些時刻的快速變化或跳躍，能對自然 界發(fā)展過程中的瞬時突變做出更真實的反映在生物控制領(lǐng)域中，生物種群的脈沖 控制已成為一個饒有趣味并富有意義的課題，因此脈沖微分方程在種群動力學(xué)研究 方面顯示出了很好的應(yīng)用前景 本文首先介紹了脈沖微分系統(tǒng)在眾多領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，說明了研究該類問題 的理論意義與使用價值簡要地介紹了脈沖微分系統(tǒng)理論的發(fā)展，以及與脈沖微分 系統(tǒng)解的穩(wěn)定性相關(guān)的一些結(jié)果 其次，根據(jù)l y a p u n o v 函數(shù)的方法，利用s c h a e f e r 不動點定理和a r z e l a - 舡c o l i 定理 研究了幾類三階時滯微分系統(tǒng)解的局部存在性，以及脈沖指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件 最后建立了具有脈沖效應(yīng)的種群動力系統(tǒng)把脈沖引入具有階段結(jié)構(gòu)的兩種群 捕食系統(tǒng)中，建立了一類具有時滯和m o n o d - h a l d a n e 功能反應(yīng)函數(shù)的脈沖收獲和放 養(yǎng)問題的捕食一食餌模型，得到了捕食者滅絕周期解的全局吸引性和系統(tǒng)持久生存的 充分條件 關(guān)鍵詞：脈沖微分系統(tǒng)；脈沖控制；穩(wěn)定性；食餌一捕食系統(tǒng) a b s t r a c t i m i ) u l s i v ed i h b r e l l t i a lt ! ( 1 u a t i o np r e s t ：n t st h eq u i c kc h a n g eo rj u m p ( ) fs o r n e s t a t e s o fm o t i o na 土t h ef i x e do rv a r i e dt i m e i tr e f l e c t s 七h ed e v e l o p i n gp r o c e s so fn a t u r e m o r ea c t u a l l y i m p u l s i v ec o n t r o lo fb i o l o g i c a lp o p u l a t i o nb e c o m e sa ni n t e r e s t i n g a n dc h a l l e n g i n gr e s e a r c ht a s ki nt h e6 e l d so fb i o l o g i c a lc o n t r 0 1 ，s o ，i m p u l s i v ed i 玨e r - e n t i a le q u a t i o nh a ss h o w na l l - r i g h ta p p l i c a t i v ep r o s p e c ti nt h es t u d yo fp o p u l a t i o n d y n a 】= i l i c s f i r s t ，t h ew i d ea p p l i c a t i o n so fi m p u l s i v ed i 舶r e n t i a ls y s t e m s a r ei n t r o d u c e d ， w h i c hs h o w st h et h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c 七i c a lv a l u eo f 乞h er e s e a r c h ，i n - t r o d u c e ss o m er e l a t e dr e s u l t st ot h es t a b i l i t yo fs 0 1 u t i o n so fi m p u l s i v ed i 艉r e n t i a l s y s t e m s s e c o n d ，b ym e a n so fl y a p u n o vm e t h o d s ，r ea p p l ys c h a e f e r6 x e dp o i n tt h e o r e m t op r o v et h el o c a le x i s t e n c eo ft h es 0 1 u t i o n ，a n do b t a i nt h es u 街c i e n tc o n d i t i o n so f e x p o n e n t i a l l ys t a b i l i t y f i n a l l y ac l a s sp o p u l a t i o nd y n a m i c a lw i t ht h ei m p u l s i v ec o n t r o lw a 8i n v e s t i g a t e d 、ei n v e s t i g a t ead e l a y e ds t a g e s t r u e t u r e dm o n o d h a l d a n ep r e d a t o r p r e y m o d e lw i t hi m p u l s i v es t o c l ( i n go np r e ya n dc o n t i n u o u sh a r v e s t i n go np r e d a t o r s u l f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h e9 1 0 b a la t t r a c t i v i t yo fp r e d a t o r e x t i n c t i o np e r i o d i cs o l u t i o n a n dt h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e ma r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i 懿r e n t i a ls y s t e m ；i m p u l s i v ec o n t r o l ；s t a b i l i t y ；p r e d a t o r p r e ys y s t e m 蘭州理工大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨立進行研究所取得的研 究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體 已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文 中以明確方式標(biāo)明本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān) 作者簽名： 島；人 日期： o 弓年 t 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 月日 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán) 保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱 本人授權(quán)蘭州理工大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行 檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文同時授權(quán)中 國科學(xué)技術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫，并通過 網(wǎng)絡(luò)向社會公眾提供信息服務(wù) 日期：節(jié)年6 月雪日 日期： 口羅年r 月弓1 日 第一章緒論 1 1 課題研究背景 脈沖微分方程理論是在1 9 6 0 年由m i l m a n 和m y s h k i s f l l 在他們合作的論文o n t h es t a b i l i t yo fm o t i o ni nt h ep r e s e n e eo fi m p u l s e s 中開創(chuàng)性的提出，為數(shù)學(xué)界增添 了一個新的數(shù)學(xué)分支時至今日，經(jīng)過四十多年來的研究，關(guān)于脈沖微分方程解的 存在性，唯一性，解對初值的連續(xù)依賴性，解的穩(wěn)定性，l y a p u n o v 方法，邊值問題解 的存在性，唯一性，周期解以及解的動力學(xué)系統(tǒng)性質(zhì)，分歧理論，時滯脈沖微分方程， 泛函脈沖微分方程等等，已經(jīng)有一個比較完整的雛形 脈沖微分系統(tǒng)主要是在一般的微分系統(tǒng)上建立起來的，更加完善了微分系統(tǒng)研 究領(lǐng)域的一些問題在自然界及科學(xué)技術(shù)中的許多發(fā)展過程具有這樣的特點：在發(fā) 展的某些階段，由于某些干擾，會出現(xiàn)快速的變化，并且干擾及突變過程同整個發(fā)展 過程相比是非常短暫的，可認(rèn)為是瞬間發(fā)生的這類問題在數(shù)學(xué)模擬中，為了方便， 常常忽略快速變化持續(xù)的時間而假設(shè)這個過程是瞬間完成的，這種突變現(xiàn)象通常稱 為脈沖現(xiàn)象因此，像這樣存在脈沖現(xiàn)象的發(fā)展過程其數(shù)學(xué)模型往往可歸結(jié)為脈沖 徽分系統(tǒng)，即需要用脈沖微分系統(tǒng)來描述和研究 脈沖微分系統(tǒng)最突出的特點是能夠充分考慮到瞬時突變現(xiàn)象對狀態(tài)的影響，能 夠更深刻、更精確地反映事物的變化規(guī)律因此，隨著科學(xué)技術(shù)的突飛猛進，人們越 來越認(rèn)識到脈沖微分方程的重要性以及在實踐中的應(yīng)用價值脈沖微分方程不但深 入到自然科學(xué)當(dāng)中，如航天技術(shù)、信息科學(xué)、控制系統(tǒng)、通訊、網(wǎng)絡(luò)問題、生態(tài)平衡、 遺傳、流行病等，而且也涉及到社會科學(xué)，如利率控制問題、商業(yè)銷售問題、資本主 義經(jīng)濟的周期性危機以及工業(yè)生產(chǎn)管理等總之，科學(xué)和技術(shù)的許多領(lǐng)域的變化規(guī) 律都可以通過脈沖微分方程來刻畫或描述 與一般無脈沖的微分方程相比較，脈沖微分方程理論研究的內(nèi)容極為豐富例 如，即使給定的方程是充分光滑的，如果加上脈沖之后，它的初值問題的解也可能 是不存在的；對于徽分方程成立的解的一些基本性質(zhì)如解對初值的連續(xù)依賴性等可 能也不再成立；解的穩(wěn)定性等的定性性質(zhì)也需要重新建立除此之外，脈沖微分方 程的解還可能產(chǎn)生一些新的現(xiàn)象，如解的脈搏現(xiàn)象、解的合并、解的不可延拓性等 等近年來，脈沖控制在生物模型上的應(yīng)用引起了人們的極大興趣利用脈沖微分 方程控制種群動態(tài)系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，使得種群最終能夠持續(xù)生存，從而保持生 態(tài)平衡，實現(xiàn)種群資源的可持續(xù)發(fā)展利用脈沖控制策略來研究多種群系統(tǒng)的穩(wěn)定 1 脈沖侄動力系統(tǒng)中的應(yīng)用 性、持續(xù)性以及對種群資源的開發(fā)與合理利用仍然是一項非常有意義的工作 1 2 研究概況 9 0 年代初，關(guān)于依賴于狀態(tài)的脈沖微分系統(tǒng)解的基本理論已建立，關(guān)于脈沖微 分不等式的一些重要結(jié)果己出現(xiàn)，關(guān)于脈沖微分系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的基本定理已得到 等這些結(jié)果己被v l a k s h i m i k a n t h a m 等進行了系統(tǒng)總結(jié)，其特點是所考慮的系統(tǒng) 只含脈沖而不含時滯 而自9 0 年代以來對于脈沖微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究就日趨活躍，已經(jīng)逐漸形成非 線性微分系統(tǒng)研究領(lǐng)域的國際熱點眾所周知，l y a p u n o v 第二方法是整個穩(wěn)定性理 論的核心方法，l y a p u n o v 于1 8 9 2 年所提出的穩(wěn)定性定理、漸近穩(wěn)定性定理及兩個不 穩(wěn)定性定理，奠定了運動穩(wěn)定性的基礎(chǔ)，被稱為基本定理 在以往研究常微分方程穩(wěn)定性時，常用到的方法是l y a p u n o v 第二方法而對于 脈沖微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同樣可以借助l y a p u n o v 第二方法的思想進行研究由于脈 沖的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)解的不連續(xù)性，從而相應(yīng)的l y a p u n o v 函數(shù)也是不連續(xù)的，并出 現(xiàn)了與不含脈沖情形的一些本質(zhì)區(qū)別譬如，并不一定需要一個沿軌線的導(dǎo)數(shù)常負(fù) 或定負(fù)的l y a p u n o v 函數(shù)，允許l y a p u n o v 函數(shù)沿軌線的連續(xù)部分遞增，而在脈沖時刻 跳躍后變小，但必須有條件使其不能增長太快，又如可以不對系統(tǒng)的連續(xù)部分或離 散部分分別限制條件，而是對它們設(shè)置混合條件，仍然可以得到脈沖微分系統(tǒng)的穩(wěn) 定性結(jié)果 l y a p u n o v 函數(shù)與脈沖種群系統(tǒng)l y a p u n o v 函數(shù)在解決種群動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、持 續(xù)性等方面起著重要的作用，特別對于v 6 l t e r r a 種群系統(tǒng)，已構(gòu)造出非常成熟的l y a p _ u n o v 函數(shù)，但對具有脈沖的種群模型，特別是v o l t e r r a 系統(tǒng)，到目前為止，還未見到非 常好的l y 印u n o v 函數(shù)，盡管在脈沖微分方程的理論研究中，通過構(gòu)造l y a p u n o v 函數(shù) 來研究穩(wěn)定性已有許多理論成果所以，尋找非常成熟的l y a p u n o v 函數(shù)( 泛函) 來研 究脈沖微分種群系統(tǒng)的穩(wěn)定性、持續(xù)性仍然是一項非常有意義的工作目前關(guān)于脈 沖微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論成果已相當(dāng)成熟，許多生物數(shù)學(xué)工作者利用這些理論和方 法在生研究物種群方面也做了很多有意義的工作【2 ，3 1 例如，在脈沖控制下對種群資 源的合理開發(fā)與利用，通過周期性脈沖控制釋放天敵和化學(xué)控制達到對害蟲的綜合 管理，對種群的持續(xù)發(fā)展控制以及種群的最優(yōu)捕獲等 在文f 4 】中，作者l i 和、e n g 研究了兩類二階線性時滯微分方程的脈沖穩(wěn)定性，方 2 蘭州理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 程如f ， ! z ”( 亡) + 。( t ) z 一7 - ) = o ， t 如， ( 1 1 ) i z ) = 妒( 亡) ， 1 0 一丁亡亡o ， z ( t o ) = 珈， 、7 和 ， j z ”( t ) + 丘r6 ( 亡一讓) z ( u ) 砒= o ， 亡， ( 1 2 ) lz ( t ) = 妒( 亡) ，亡。一下t t o ， z 7 ( 芒o ) = 珈， 、7 其中 ( 日j )7 - o ，z ( t ) ：弘。一7 ，+ ) 啼r ； ( 日j ) z 7 ( 亡) 表示z ( t ) 的右導(dǎo)數(shù)，即 z 7 = 恕型掣且z ，( 亡) 壘 ； ( 現(xiàn)) 妒：一7 ，如】_ r ，妒( 亡) 最多有有限個第一類間斷點，且在這些間斷 點處右連續(xù)： ( 上玩) p 1 ( t ) ，p 2 ( t ) ，9 1 ( 亡) ，口2 ( t ) 在，+ 0 0 ) 上是連續(xù)的； ( 日5 )o t 1 t 2 如 o ，存在6 ( e ) 0 ，使得對任意的z ( 芒) a 及任 意的t 1 ，t 2 【a ，b 】，只要l t l 一t 2 l o ，都存在6 = 6 ( ，如) ，使得當(dāng)l lz z + l i o ，滿足( 風(fēng)) 的點列 “】：，及滿足( 風(fēng)) 的函數(shù)列厶，以， 七= l ，2 ，使得對任意的g o 總能找到6 o ，只要式( 1 1 或1 2 ) 的解z ( 亡；亡o ，妒，珈) 滿足 ，。一 、| i 妒l l 乞+ 編6 則有 、z 2 ( 亡) + z 屹( 亡) e x p ( 一q 一) ) ， t 如 其中i i t 全s u p 。一下s 。 則稱系統(tǒng)( 1 1 或1 2 ) 是可脈沖指數(shù)穩(wěn)定 的 6 第二章三階時滯微分方程解的存在性和脈沖指數(shù)穩(wěn)定性 2 1 模型、假設(shè)和定義 脈沖微分方程已成為動力系統(tǒng)領(lǐng)域非常重要的一個分支， 脈沖的控制作用已 廣泛的應(yīng)用于物理、化學(xué)技術(shù)、藥物動力學(xué)、生物學(xué)、種群動力學(xué)、經(jīng)濟等許多領(lǐng) 域，關(guān)于脈沖控制和脈沖時滯微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性已有很多的結(jié)果【2 3 “2 9 j 受脈沖效 應(yīng)的影響，可使一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)變成穩(wěn)定的系統(tǒng)，也可以使要滅絕的種群持續(xù)生 存洶“3 4 一，因此研究脈沖的控制作用相當(dāng)重要 我們主要考慮以下的三階時滯微分方程及相關(guān)的脈沖微分方程： jz + 壹郇) 邛一死) + 作) _ 0 ，t 托， ( 2 1 ) = l i z 1 ， iz ( 亡) = 妒( t ) ，一啊亡，z 7 ( ) = 珈，z ”( t o ) = 劬， 和 j 以舌) + 三正氣玩( 卜鏈) z ( u ) 魂+ 確( t ) ，( t ) ，( t ) ) = o ，丟亡o ，( 2 2 )、 l = ：1 - _ ， iz ( t ) = 妒( t ) ，一伽t ，z ( t o ) = 珈，z ”( t o ) = 劬d o 下面我們給出與本文有關(guān)的定義和假設(shè) 給定一個連續(xù)函數(shù)z ( t ) ：冗_ 冗，設(shè)z 7 ( t ) 表示它的右導(dǎo)數(shù)且有z ”( t ) = ( z 7 ( 亡) ) ， z ( ) = ( 名”( 亡) ) 。如果2 ( 亡) 是分段連續(xù)的，那么名( s 一) 和名( s + ) 則分別表示當(dāng)t s 時的左極限和右極限 設(shè)陋，6 jcr ，且kc ( 口，6 ) ，k 為有限集c ( 【口，6 】，兄) 表示定義在【o ，6 】上的所 有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的巴拿赫空間，賦予其最大值范數(shù)名：【o ，翻_ r ，記d 1 ( 【o ，6 】，r ) 表 示定義在陋，6 】上所有可微函數(shù)構(gòu)成的巴拿赫空間，其范數(shù)名：陋，6 】一冗 = 黜似s ) l + k s ) l + h s ) i ， o h 6 j oili7 同時，我們用曝( 【口，翻，r ) 表示定義在z ：陋，翻一r 上的可微，且對任意的c k ， 在亡= c 點處存在單側(cè)極限且右連續(xù) 設(shè)對于z 島r 有t t o 成立我們考慮如下系統(tǒng)的初值問題 m ) + 耋呻) 邛一兀) + 作 ，z m ) ，z ) ) _ 0 ，t 獨， ( 2 3 ) j ”( 亡) + 吼( t ) z 一兀) + ，( z ( t ) ，z ( t ) ，z ”( 亡) ) = o ， t ， ，o 口、 氣i = 1l 二o ， 【z ) = 妒 ) ， 如一伽亡， ( 鈿) = 珈，( 亡o ) = 螄， 脈沖在動力系統(tǒng)中的應(yīng)用 這里o 7 1 死 伽，1 且 “) 墨。是單調(diào)增無界實數(shù)序列我們假設(shè)以 下條件成立 ( 凰) 妒( ) 和妒( 亡) 在一研，糾上是連續(xù)的，但不包括圣的有限集點，其中妒( 亡一) ， 妒( 礦) ，妒7 一) ，妒( 亡+ ) ，0 一) ，和妒”( t + ) 單側(cè)極限存在，且妒和，在這些點是 右連續(xù)的 ( 奶) ，：r r r _ 冗是連續(xù)的，( o ，o ，o ) = o 且存在正常數(shù)f 1 使得 有l(wèi) ，( 仳，鈔，叫) l f ，帆，口，叫兄成立 ( 日3 ) a p 一亡o ) 2 o ，序列 “) 知滿足 如 t 1 如 o ，這樣如 8 蘭州理：r ：大學(xué)碩1 二學(xué)位論文 果( 2 3 ) ( 或( 2 4 ) ) 的一個解z ( t ；托，妒，珈，珈o ) 滿足 、| l 妒i i 乙+ 垢+ 編正 ( 2 5 ) 然后 z 2 ( ) + z 2 ( ) + z ”2 ( 亡) ee x p ( 一q ( 亡一t o ) ) ， t 芝t o ，( 2 6 ) 這罩憶全s u p 。一r 。 o ，序列 亡憊) 知滿足 亡o 亡1 亡2 o ，函數(shù)序列 厶) ， 以) ，和 最) ，滿足( 風(fēng)) 和 厶( 亂) = = 厶( 釓) = ，忌= 1 ，2 ，訛冗， 以( u ) = = 以( 亂) = ，忌= 1 ，2 訛r ， p 1 ( 亂) = = r ( u ) = ，七= 1 ，2 ，v 饑冗 對于所有的 0 ，6 o 成立，那么如果( 2 3 ) ( 或( 2 4 ) ) 的解z ( t ；t o ，妒，珈，咖) 滿 足( 2 5 ) ，且有( 2 6 ) 成立，則問題( 2 3 ) 在，卅上滿足，( o ，o ，o ) = o 的平凡解，可以通 過周期脈沖控制達到指數(shù)穩(wěn)定 下面我們考慮初值問題 z ( 亡) + 量丘矗玩( 亡一“) z ( 讓) 砒+ ，( z ( 璣z m ) ，z ”( 踟= 。， 亡 ( 2 7 ) jz ”m ) + 三丘矗玩( 亡一“) z ( 讓) 砒+ ，( z ( ) ，z m ) ，z ”( t ) ) = o ，亡亡o ，f 2 7 1 iz ( 亡) = 妒( 亡) ，一研亡， z 7 ( 幻) = 珈， z ”( 亡o ) = 蜘o ， 如前所述，這里o 7 1 見 我們同樣假設(shè)( 日1 ) 和( 凰) ，且下面的假設(shè)取代( 凰) ， ( 磁) b ( t t o ) 2 1 ，這里b = m a x l s 臂1 6 i ( s ) l d s 在脈沖時刻亡知，尼= 0 ，1 ，2 ，有 z ( 亡知) = 厶( z ( 石) ) ，z ( 如) = 以( z 飛i ) ) ，z ”( t 鳧) = r ( z ”( 壇) ) ( 2 8 ) 同時也滿足條件( 凰) 和( 風(fēng)) 對于問題( 2 7 ) ，( 2 8 ) 的解的定義和定義2 1 1 是一樣的同樣地，對于利用定 義2 1 2 和2 1 3 通過脈沖或者是周期脈沖控制使得系統(tǒng)達到指數(shù)穩(wěn)定的方法在( 2 3 ) ， ( 2 7 ) 中是一樣的 脈沖在動力系統(tǒng)中的應(yīng)用 2 2 系統(tǒng)解的存在性 在文 3 5 】，作者研究了一類n - 階脈沖時滯微分方程，利用s c h a e f e r 不動點定理證 明了解的存在性結(jié)果這里我們借助 3 5 】的思想，證明問題( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) 解 的存在性 首先，介紹問題( 2 3 ) ，( 2 4 ) 在一啊，卅上解的存在性結(jié)果為了利用s c h a e f e r 不動點定理，如果在每一個一研，t 1 ) 和陬，如+ 1 ) ，七上存在解，那么證明的思 想就是把問題( 2 3 ) ，( 2 4 ) 轉(zhuǎn)化為找不動點問題 值得一提的是，在文 3 5 】里作者考慮了脈沖微分方程里的連續(xù)空間里的算子，但 是由于脈沖的影響這些算子顯然是分段連續(xù)函數(shù)事實上，作者利用a r z e l a - a s c o l i 定理對這些在每一個未受脈沖影響的區(qū)間罩的算子進行了限制，但是在文 3 5 】里沒 有提出這一點我們在下面的定理中很清楚的說明了這個問題 定理2 2 1 假設(shè)( 凰) 一( 風(fēng)) 成立，那么問題( 2 3 ) ，( 2 4 ) 在陋。一丁，卅上存在一個 解 證明考慮算子 給定 o ( z ) ( t ) o ：四( 一丁，習(xí)，r ) _ 四( 亡。一研，卅，r ) 妒( 亡) ，亡。一附亡z o ， 妒( t o ) + 可o 一t o ) + 蜘o ( t e ( 亡一s ) 廠( z ( s ) ，z ，( s ) ，z ”( t ) ) 壇( t 一8 ) o i ( s ) z ( s 一兀) d s t = 1 d s ，亡o 亡 這里垂是函數(shù)妒的不連續(xù)點的有限集 我們證明0 有一個不動點這里的妒( ) 是0 限制在【亡。一研，亡o 】，o l 【t 0 一r ，明上 的一個不動點，因此接下來需證明在o ，t 】存在一個不動點 我們記0 = o ，刀，那么新的算子o ， o ：c 1 ( 陋o ，習(xí)，兄) 一c 1 ( 幻，丁】，r ) ， 給定 o ( z ) ) = 妒( 藝o ) + 珈( 亡一鈿) + 珈o 一) 一z ( 亡一s ) 劬( s ) z ( s 一) 如 ，0 i 一1 一( h ) 心( s ) ( s ) 幣歸 蘭州理下大學(xué)碩十學(xué)位論文 下面我們證明關(guān)于0 的幾個論斷 1 o 是連續(xù)的 設(shè) z 佗) 是g 1 ( ，卵，r ) 中的一個序列，且z n _ z 則z ：一z 7 ，z ：一z ”，一致收 斂于c 1 ( o ，邪，r ) 且有 l o ( z n ) ( ) 一o ( z ) ( 亡) l ( t 一幻) 忙一z n i i i n t ( s ) l d s 柙山) l 心小) 纛( s ) ，呶t ) ) 一心( s ) ( s ) ，( s ) ) l d s ( t 一o ) 2a i | z z 扎i i 們“) r l 心小) ，z 二( s ) ，z ：) 一心( s ) ，z 7 ( s ) 7 ( s ) ) | d s 由廠是連續(xù)的，可得當(dāng)釓一+ ，上式趨近于o 也即是 0 ( z n ) 一o ( z ) l | 一o ，禮_ o 。 2 o 是從有界集到有界集的算子 我們證明給定的p o ，存在z 0 使得 z 日0 = 可c 1 ( 陸o ，明，r ) ；l i l i p ) 這里| i 0 ( z ) 0 z 給定t 【藝o ，t 】則有 i 0 ( 茁) ( 亡) l i l 妒i | + i 珈i ( t 一亡o ) + i 勁l ( t 一亡o ) 以 + ( t 一亡o ) m s ) s 一億) 陋 。o t = 1 + ( t 一) ：1 廠( z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z ”( s ) ) l d s i l 妒l i + l 珈l ( t 一) + a ( 丁一o ) 2l l z l i + ( t 一o ) z 只 這里我仃 取2 = 0 妒i f + l 珈i ( t 一亡o ) + i 如i ( t t o ) + a ( t 一托) 2p + ( t 一亡o ) 2f 3 o 在c 1 ( ，卅，冗) 上是從有界集到等度連續(xù)集的算子 取f 1 ，f 2 o ，卅，且有f 1 f 2 ，z 屏則有 i o ( z ) ( f 2 ) 一0 ( z ) ( z ，) l l 珈( z 2 一z 1 ) i + l 姍( f 2 一z 1 ) l 1 1 脈沖在動力系統(tǒng)中的應(yīng)用 + 協(xié)咐s ) ，z ，( s ” l 暑f o l ( f 2 2 1 ) + 3 o o l ( z 2 一f 1 ) + ( f 2 塾咖卜圳s l 鋤( s ) z ( s 一億) d s l i = li s ) 廠( z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z ”( s ) ) d s l s ) ，( z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z ”( s ) ) d s ( s ) ll z ( s 一死) l 如 + ( f 2 “) 2i 心( s ) 小m ，( s ) ) i d s 當(dāng)f 2 _ f 1 ，上式趨近于0 對于z 1 0 ，0 ( 躑) 是有界且等度連續(xù)，因此通過 利用a r z e l a 廣a s c o l i 定理，0 ( b p ) 是相對緊的且算子0 是緊的我們接著證明下面的 論斷 4 集合 人( 、k ) = z c 1 ( 陸o ，卅，r ) ：z = 入j ( z ) 其中o a 1 ) 有界的 設(shè)z a ( o ) ，對于某個o 入 1 ，有z = a o ( z ) ，則對于每個亡肛o ，卅， 邢) = 入0 邢) = 入 邢。) + 郇山) 一 ( z - s ) 心( s ) ，z ，( s ) ，z ，( s ) ) d s 怕c 川滬 c ，糞州咖c s 刊蚺洲。) )協(xié)“o ) 一小叫) ；( s ( s1 ) d s + 如 “。， 由上面的論斷2 和這里的o a 1 ，我們可以得到 l z ( 芒) l l l 妒| i + i 珈i ( t 了亡。) + l 珈。i ( t 一亡。) + a ( t 一) 2i l z i | + ( t 一) 2 f 因此 z l l 劌倒堡苧2 韭螋生掣叢業(yè) ”一 1 一a ( t t o ) 1 2 曲 一 一 h ，r 1u 也 。山。i 廠， 一 一 如 s 、一 岔 0 o p 曲 z ， ) z s ， ，k ) 吼 澍巾 曲 曲 d r zm 斟 一 廠厶 + d r 一 、， ， d z 一 0 如 吼 州科 h 一 一 川 一 如 舷 n 如 2 2 1 ：il廠厶廠厶他廠厶 + + 阿 + 如 m k v 一 一d廣k：l 1 以 沁 弘， d ) 哆“ ， 一 蘭州理工人學(xué)碩士學(xué)位論文 所以a ( o ) 是有界的 結(jié)合論斷1 4 和s c h a e f e r 不動點定理，則o 有一個不動點，設(shè)為可1 ( t ) ，則有 。= 黧盛卜 它是( 2 3 ) 在 o 一丁，刀上的一個解 下面我們接著考慮問題 l z ) + 鋤( t ) z ( 亡一死) + 廠( z ( ) ，z ( 亡) ，z ”( 亡) ) = o ， 亡1 u 圣的某個子集 再則，我們指出z 1 ( t ) 是1 限制在 亡1 一哪，亡1 ) ，1 b 一哪血) 上的一個不動點，因 此我們接下來需證明在m i 恥，司上存在一個不動點，我們通過1 令其為1 ，習(xí)表示 這個算子，也即是 1 ：c 1 ( 陋1 ，卅，兄) 一c 1 ( 陋1 ，卅，咒) 給定 h ( z ) ( 亡) = z ( 亡1 ) + z 7 ( 亡1 ) ( 亡一1 ) + ?！? 亡1 ) ( 亡 一石卜s ) 洳加( s 刊d s 重復(fù)上面的論斷1 4 和條件( 風(fēng)) ，則可以得 表示，那么有 z 2 ( ) ：i 【 1 3 一亡1 ) 一 ( h ) 心( s ) ，z ，( s ) ，z ，( s ) ) 如 到1 有一個不動點，我們用可2 ( t ) 來 妒( 亡) ，亡【亡。一研，亡o 】， 秒1 ( 亡) ，亡心o ，t 1 ) ， 拋( t ) ，亡肛1 ，卵， 一 百 一 r 旭 、， s ； 如 一 喲。茁以力，z g 陌凈 亡，z 0 程炒擎似 似呱：l八 “力一 一 d z 吁h 咕h0層層 ，_-i-，、-i_， i i 一卵 ， 0 l “r 卜 觀 拋 脈沖在動力系統(tǒng)中的應(yīng)川 它是( 2 9 ) 在一丁，卅上的一個解 類似地，對于亡= 亡南，殆，我們考慮問題 算子 下面給定 帆( z ) ( ) 帆：( 鞏一研，卅，r ) _ ( 【氣一哪，卅，冗) z 知( t ) ，t 忌一研t 亡七， ( z ( 亡i ) ) + ( z 70 i ) ) ( 亡一亡) + r ( z ”g i ) ) ( t 一如) n 一疋0 一s ) 吼( s ) z ( s 一死) d s 0 = 上 一疋( 亡一s ) ，( z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z ”( s ) ) d s ，t k 亡e ( 2 1 0 ) 其中凰是 1 ，亡2 ，亡七) u 垂的一個子集這里的t 蠡，但是否對于t t k ， 窖= 1 ，2 七一1 ，都依賴于啊因此我們接著考慮眠，習(xí) 這里的釓( 亡) 是肌限制在一似，七) ，帆憶一憎，t 。) 上的一個不動點，接下來需 證明在肌，司上存在一個不動點，我們令其為肌= 帆，叫則有 給定 帆：c 1 ( ，卅，r ) 一c 1 ( 口奄，卅，r ) 肌( z ) ( 芒) = z ( 亡知) + z 7 ( 亡忌) ( 亡一如) + z ”( 扎) ( 亡一如) 由論斷1 4 和( 凰) ，則帆存在一個不動點，我們用紈( 亡) 來表示，那么有 州歸默甚一， 1 4 ，i k紙咄 兒g 卜 、， 一，i 喲區(qū)以 吖 啊 z 曲羽馴 + q f 1 雌鬻 ，nj j l 研m 砒 一 吖 忠 山 小 幻 l 川蚍拋 一 瓠 ，、l 蘭州理上大學(xué)碩十學(xué)位論文 它是( 2 1 0 ) 在伽，邪上的一個解如果我們重復(fù)這個過程則可得到， 妒( ) ，亡磚。一哪，芒o 】， 1 ( z ) ，亡 o ，t 1 ) ， 阮( ) ，舌e o ，2 ) ， 如( ) ，t 陬一1 ，如) ， + 1 ( 亡) ，古【，刁， ( 2 1 1 ) 這里m = m a x 庇k ：芒南r ) ，則z ( 亡) 是問題( 2 3 ) ，( 2 4 ) 在一研，引上的一個解 證畢 接下來我們證明問題( 2 7 ) ，( 2 8 ) 存在個解證明的思想是利用本章定理2 。2 。l 和文 1 】 定理2 2 2 假設(shè)( 凰) ，( 礬) ，( 磁) ，( 凰) ，( 風(fēng)) 成立那么問題( 2 7 ) ，( 2 8 ) 在 南一研，邪上存在一個解 證明考慮算子 0 ：礎(chǔ)( 亡。一m ，邪，r ) _ 四( 一唧，刁，冗) 壚( 古) ，亡。一丁芒o ， 妒( 亡o ) + 珈( 亡一亡o ) + 珈o ( 亡一亡o ) 一球_ s ) 薹佇馴川妯 幽 一芘( t s ) ，( z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z ”( s ) ) d s ，z o 亡t ， 我們將證明0 有一個不動點， 和定理2 2 1 一樣，這星的妒( ) 是0 限制在 亡。一r ，糾，o i 辟。一聊，t 】上的一個不動 點，因此接下來需證明在0 ，研存在一個不動點我們記0 = 0 ，卅，那么新的 算子o ， 0 ：e 1 ( ，邪，冗) _ g 1 ( p o ，刁，冗) 給定 0 ( z ) ( 亡) = 妒( 亡o ) + 珈0 一t o ) + 移0 0 ( 亡一藝o ) 1 5 | f m 閉 一 o 陋 亡 ，幻引蜥 、-l l 【 | | z il_i-iii，(1liliiili、 l f z 定 給 脈沖在動力系統(tǒng)中的應(yīng)用 一s c t s ，耋 r 6 tc s u ，z c 亂，d q d s r ( 亡- s ) 心( s ) ( s ) ，z ，( s ) ) 叔 下面我們證明關(guān)于0 的幾個論斷 1 o 是連續(xù)的 設(shè) z n ) 是一個在c 1 ( ，卅，r ) 上的序列，且有z n _ z 則對于所有的亡 o ，明， z 二_ z 7 ，z ：_ z ”，一致收斂于c 1 ( t o ，刃，r ) 且有 i o ( z n ) ( 亡) 一o ( z ) ( 芒) i ( t 一訓(xùn)z z n i l ( i 玩( s 一釓) l d s jt0i 一1 + ( t “) ( 1 小巾) ，引s ) ，呶s ) ) 一心( s ) ，z ，( s ) ，( s ) ) l 如 ( 丁一亡o ) 2b i l z z 他l l + ( t “) ( 1 心小) 厄( s ) ，呶s ) ) 一心( s ) ，z ，( s ) ，z ，( s ) ) 卜 由廠的連續(xù)性，因此當(dāng)n _ + o 。時，上式趨近于0 也即是 l i 0 ( z 他) 一0 ( z ) i l _ o ，釓_ o o 2 0 是從有界集到有界集的算子 我們證明給定的p 0 ，存在z 0 使得 z 屏= c 1 ( 陋o ，卅，冗) ；i l 可l | p 這里l i j ( z ) i i z 對于亡，卅，則有 o ( z ) ( 亡) l i i 妒i l + l 跏i ( t 一如) + l 可0 0 l ( t 一o ) p t jn_ l + ( t t o ) ( l 軌( s 一 ) 讓) i 捌s + ( t 一亡。) ：l - 廠( z ( s ) ，z ( s ) ，z ”( s ) ) l d s l l 妒| l + l 珈l ( t 一o ) + l 咖l ( t 一幻) + b ( t t o ) 20 z l l + ( t t o ) 2 f 這里我們?nèi) = i | + l 珈i ( t 一亡o ) + l 如i ( 丁一) + b ( t 一) 2p + ( t 一如) 2f 3 o 在c 1 ( 亡o ，卅，r ) 上是從有界集到等度連續(xù)集的算子 1 6 蘭州理工人學(xué)碩士學(xué)位論文 取f 1 ，f 2 t o ，卅，且有f 1 f 2 ，z 島則有 i o ( z ) ( 2 2 ) l 加( f 2 一f 1 ) + 阱屯 一訃， 一o ( z ) ( f ) i l + i 蜘o ( f 2 一f ) i 叫婁 矗吣刊嘶脅 d s s ) 玩( s 一饑) z ( “) 叫d s t = 1 j s 一矗 j 叫婁 n 刊小，d 州 一s ) 玩( s u ) z ( 讓) d 釓h 扛1os n j + 1 2 ( f 2 一s ) ，( z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z ”( s ) ) d s 一小，叫心( s ) ( s ) ，( s 州 = l 珈( f 2 一f 1 ) i + l 勁( f 2 2 1 ) i + 1 c z 2 一z ，婁 億玩c s u ，zc 釓，矗 d s 糞 凡婚刊嘶，d 小 f 。一s ) 玩( s u ) z ( “) 叫d s 惦1t ，s 一下j ( f z l ，) ，( z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z ”( s ) ) d s + z 如( 2 2 一s ) ，( z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z ”( s ) ) d s l l 珈l ( z 2 一z 1 ) + i 踟o i ( 1 2 一c ) + ( f 2 一z 1 ) 乏二i 吼( s ) l i z ( s 一九) i d s ，z 2 + ( f 2 “) 2 ( s ) 小m ，( s 卅 當(dāng)f 2 _ f 1 時，上式趨近于0 對于z l o ，_ 0 ( b p ) 是有界且等度連續(xù)因此通 過利用a r z e l a - a s c o l i 定理，- 0 ( b p ) 是相對緊的且算子o 是緊的我們接著證明下面 的論斷 4 下而的焦合縣有界的 a ( a r 0 ) = z c 1 ( 陋o ，刀，r ) ：z = 入 k ( z ) 其中o 入 1 ) 設(shè)z a ( o ) 對于某個o 入 1 ，有z = 入0 ( z ) ，則對于每個t f t o ，列， z ( )= 入 r o z ( 亡) = 入 妒( ) + 珈( 亡一1 o ) + 姍( 亡一t o ) ) 1 7 rl堪 0 2 ， 吖1 l ， 卜 脈沖在動力系統(tǒng)中的應(yīng)j j a 協(xié)叫缸咖卜帕”町( ，( s m ，( s 嘲 由上面的論斷2 和這里的0 a 1 ，可得 i z ( t ) i l l 妒l i + i 蜘i ( t 一亡o ) + l 蜘o i ( t t o ) + b (