（物理海洋學(xué)專業(yè)論文）基于緩坡方程的港內(nèi)及多島嶼水域波浪場(chǎng)數(shù)值模擬.pdf

摘要 波浪是海岸及近海工程中最為活躍、最為重要的動(dòng)力要素，也是施加在 海岸及海洋建筑物上的重要環(huán)境荷載。研究近岸地區(qū)波浪的變化規(guī)律不僅具 有重大的現(xiàn)實(shí)意義，還具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值。在諸多研究方法中，波浪數(shù)學(xué) 模型成為解決大范圍波浪傳播變形的主要手段之一。為了模擬單點(diǎn)系泊、人 工島等離岸式建筑物周圍的波浪場(chǎng)，本文提出了一個(gè)考慮多島嶼作用反射繞 射聯(lián)合模擬的波浪數(shù)學(xué)模型。 本文以洪廣文( 1 9 9 5 ) 推導(dǎo)的非定常線性波緩坡方程為基礎(chǔ)，建立考慮 底摩阻項(xiàng)，非線性彌散關(guān)系，及多島嶼繞射反射作用的緩坡方程( 二維擴(kuò)散 型偏微分方程) 求解模式，采用經(jīng)典的a d i 法差分格式，結(jié)合物理和虛擬( 開) 邊界條件進(jìn)行求解。 通過對(duì)多個(gè)典型地形的驗(yàn)證計(jì)算，本文數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)值、 理論解或規(guī)范計(jì)算結(jié)果吻合較好，可以用于模擬各種復(fù)雜地形和邊界條件下 的波浪折射、繞射及反射。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用本文的數(shù)學(xué)模型嘗試計(jì)算了考 慮多島嶼繞射反射作用的波浪傳播變形，為離岸式建筑物設(shè)計(jì)波浪要素的確 定提供了參考。同時(shí)計(jì)算了某港大修工程中的港內(nèi)波高，以判斷其泊穩(wěn)條件， 充分發(fā)揮了本模型的工程實(shí)用性。 關(guān)鍵詞波浪緩坡方程多島嶼 a b s t r a c t w a v ei st h em o s ta c t i v ea n di m p o r t a n td y n a m i cf a c t o r si nc o s a ta n do f f s h o r e e n g i n e e r s ，a n db r i n g st h ei m p o r t a n te n v i r o n m e n t a ll o a dt ob e a ro nt h ec o a s ta n d m a r i n es t r u c t u r e s oi ti st h eg r e a ts c i e n c ev a l u ea n do p e r a t i o ns i g n i f i c a n c et o s t u d yt h er e g u l a r i t yo fw a v et r a n s f o r m i n g i nm a n yr e s e a r c hm e t h o d s ，t h e n u m e r i c a lm o d e li so n eo fm o s tw a y st os o l v et h ew a v et r a n s f o r m a t i o n t o s i m i l a t i n gt h ew a v ef i e l da r o u n do f f s h o r eb u i l d i n g s ，f o re x a m p l e ，s i n g l ep o i n t m o o r i n g s ，a r t i f i c i a li s l a n da n ds oo n ，an u m e r i c a lm o d e li sb r o u g h tf o r w a r d c o n s i d e r i n ga l l i e dr e f l e c t i o na n dd i f f r a c t i o no fs e v e r a li s l a n d s b a s i n go nt h en o n a t a t i o n a r yl i n e a rm i l d s l o p ee q u a t i o nd e v e l o p e db yh o n g g u a n g w e ni n1 9 9 5 ，ac o m p l e t ew a v em o d e li sb u i l tc o n s i d e r i n gt h eb o t t o m f r i c t i o n ，n o n l i n e a rd i s p e r s i o nr e l a t i o n ，a n da l l i e dr e f l e c t i o na n dd i f f r a c t i o no f s e v e r a li s l a n d s ，i n t e g r a t i n gw i t hc o r r e s p o n d i n gp h y s i c a la n di m a g i n a r y ( o p e n ) b o m d a r i e s ，i ti ss o l v e dt h r o u g ha h e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t0 如i ) d i f f e r e n c e m e t h o d s e v e r a lv e r i f i c a t i o n sa r ep e r f o r m e dt oe x a m i n et h ea c c u r a c yo ft h en u m e r i c a l m o d e la t s i m u l a t i n g w a v er e f r a c t i o n ，d i f f r a c t i o na n dr e f l e c t i o n0 ns o m e r e p r e s e n t a t i v et o p o g r a p h i e sa n dg o o da g r e e m e n th a sb e e na c h i e v e d t h e ns u c ha s u c c e s s f u lm o d e lh a sb e e n a p p l i e d t os i m u l a t et h ew a v et r a n s f o r m a t i o n c o n s i d e r i n ga l l i e dr e f l e c t i o na n dd i f f r a c t i o no fs e v e r a li s l a n d s ，w h i c hc a np r o v i d e c o n s u l tf o rd e s i g nw a v ep a r a m e t e r so fo f f s h o r eb u i l d i n g s i na d d i t i o n ，w a v eh e i g h t i sc o m p u t e di nah a r b o rt oj u d g ew h e t h e rt h eb e r t hc o n d i t i o ni ss a f ee n o u g h ， k e yw o r d ：w a v em i l d - s l o p ee q u a t i o n s e v e r a li s l a n d s 第一章緒論 1 1 問題的提出 波浪是海岸及近海工程中最為活躍、最為重要的動(dòng)力要素，也是施加在 海岸及海洋建筑物上的重要環(huán)境荷載。波浪還會(huì)與水流、泥沙共同作用影響 建筑物周圍環(huán)境的演變。外海波浪傳入近岸淺水地區(qū)時(shí)，受水深、地形、底摩 擦、障礙物( 如建筑物、島嶼、沙洲、岬角、岸壁) 、水流等因素的影響，會(huì) 發(fā)生變形、折射、繞射、反射和破碎等各種現(xiàn)象。研究近岸地區(qū)波浪的變化 規(guī)律不僅具有重大的現(xiàn)實(shí)意義，還具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值。 針對(duì)實(shí)際工程中的波浪傳播問題，般有理論分析，實(shí)驗(yàn)研究，現(xiàn)場(chǎng)觀 測(cè)以及數(shù)學(xué)模型等解決方法。理論分析是基于流體力學(xué)的基本控制方程，對(duì) 具體問題做一些相應(yīng)的簡(jiǎn)化和假定，因此具有很大的局限性；實(shí)驗(yàn)研究在波 浪研究中有很十分重要的地位，物理模型能較好地模擬波浪的折射、繞射以 及反射等現(xiàn)象，但往往受到場(chǎng)地和比尺的限制：而現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)則需要較大的人 力物力，費(fèi)用昂貴：隨著計(jì)算機(jī)軟、硬件以及數(shù)學(xué)計(jì)算方法的迅猛發(fā)展，使 用數(shù)學(xué)模型來模擬波浪的傳播變形變得簡(jiǎn)單有效。和物理模型相比，數(shù)學(xué)模 型經(jīng)濟(jì)、快捷，不受計(jì)算范圍和比尺效應(yīng)的影響，這些優(yōu)點(diǎn)都決定了波浪數(shù) 學(xué)模型不斷走向深入并且成為解決大范圍波浪傳播變形的主要手段之一。 近幾年來，國內(nèi)外關(guān)于波浪傳播變形的數(shù)學(xué)模型及其計(jì)算模式發(fā)展較快， 大范圍的波浪計(jì)算模型國外有s w a n 、w a v e w a t c h 等模型，國內(nèi)應(yīng)用較 廣且適用較強(qiáng)的有洪廣文提出的考慮底摩阻因子的緩變水流、緩變地形條件 下的波浪折射繞射聯(lián)合數(shù)學(xué)模型，而小區(qū)域( 港內(nèi)) 波浪模型有m i k e 2 1 ， b o u s s i n e s q 精細(xì)模型、以點(diǎn)源法為基礎(chǔ)可阻考慮任意邊界條件的港內(nèi)繞射數(shù) 學(xué)模型等。通過上述大范圍模型和小區(qū)域精細(xì)模型的配合，已能夠解決一般 的港口、海岸工程波浪問題。但隨著沿海經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展，特別是海上石油 資源的開發(fā)和利用，單點(diǎn)系泊、人工島等離岸式建筑物的建設(shè)方興未艾。而 對(duì)于這類特殊工程的設(shè)計(jì)波浪模型則相對(duì)滯后，因此，多島嶼復(fù)雜條件下的 工程波浪數(shù)學(xué)模型受到工程界的高度重視和關(guān)注。 1 2 方程簡(jiǎn)介 緩坡方程又稱聯(lián)合折射繞射方程，是用線性波理論研究近岸波浪傳播變 形的基礎(chǔ)方程。 b e r k h o g ( 1 9 7 2 ) 首先提出了緩變水深定常波傳播的線形模型波浪 緩坡方程： v 【c c g v 中) + 七2 c c j p = 0 ( 1 1 ) 其非定常形式可寫為( s m i t h 奄s p r i n k s , 1 9 7 5 ) 中。一v ( c c # v 中) + ( 2 - k 2 c c g ) 巾1 0 ( 1 2 ) 式中c ，c 。表示波速和波群速，中( x ，y t ) 表示波勢(shì)，k 為波數(shù)。 方程( 卜1 ) 、( 卜2 ) 成功的將折射數(shù)模和繞射數(shù)模統(tǒng)一起來，在忽略繞 射作用時(shí)可化為折射方程，在水深不變時(shí)可化為繞射方程，水深很淺時(shí)又與 淺水長(zhǎng)波方程一致，因此此方程適用于任意水深條件下小振幅波浪的折射繞 射聯(lián)合計(jì)算。緩坡方程的主要局限在于要求水底坡度較緩，一般可適用于坡 度緩于1 ：3 的地形。 緩坡方程自提出以來，由于形式簡(jiǎn)單、適用范圍廣引起了廣泛的關(guān)注， 許多學(xué)者都致力于方程的進(jìn)一步推廣和數(shù)值方法的研究。到目前，考慮底摩 擦的能量損失及破碎影響、考慮海底陡坡影響、考慮非線性影晌、考慮波浪 的不規(guī)則性、考慮波流相互作用等都可以通過對(duì)原始緩坡方程進(jìn)行修正和改 進(jìn)而得以實(shí)現(xiàn)。 在實(shí)際工程中大范圍水域的波浪傳播計(jì)算中，底摩擦損耗是不可忽視的。 g o o i j ( 1 9 8 1 ) 首先在緩坡方程中引入底摩擦項(xiàng)，d m r y m p l e ( 1 9 8 4 ) 給出了 一種計(jì)算底摩擦因子的方法，左其華等( 1 9 9 3 ) 從波能平衡方程出發(fā)，提出 了改進(jìn)的底摩擦因子計(jì)算公式，洪廣文( 1 9 9 4 ) 依據(jù)波能平衡方程推導(dǎo)出另 一種形式的底摩擦因子計(jì)算公式，因而使得緩坡方程可以應(yīng)用于帶摩阻的地 形上的波浪傳播計(jì)算。 水流對(duì)波浪的影響同樣很重要。b o o i j ( 1 9 8 1 ) 、l i u ( 1 9 8 3 ) 、k i r b y ( 1 9 8 4 ) 先后推出了緩變水流中的非定常緩坡方程。洪廣文( 1 9 9 5 ) 按照經(jīng)典線性波 理論和變分原理推導(dǎo)出非均勻流場(chǎng)中緩坡方程。到目前，非均勻流場(chǎng)中非定 常緩坡方程一般可表示為 2 警+ ( v 孑) 罟- v h ( c c g v h d p ) + ( g z _ k 2 c c 8 脅o m 3 ) 對(duì)于波浪的非線性效應(yīng)，很多學(xué)者都采用非線性彌散關(guān)系來近似。h e d g e s ( 1 9 7 6 ) 提出了一個(gè)改進(jìn)的彌散關(guān)系式盯2 = g k t a n h ( k h + e 1 。由于h e d g e s 的 關(guān)系式不適用于淺水區(qū)，k i r b y & d a i r y m i l e ( 1 9 8 6 ) 綜合了h e d g e s 的結(jié)果提 出了一個(gè)適用于任意水深的彌散關(guān)系式，此關(guān)系式在深水中趨近于s t o k e s 波理論的彌散關(guān)系，在淺水中趨近于孤立波的彌散關(guān)系。利用此彌散關(guān)系對(duì) 緩坡方程進(jìn)行非線性修正，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相當(dāng)符合。在此基礎(chǔ)上 h e d g e s ( 1 9 8 7 ) 和k i r b y & d a l r y m p l e ( 1 9 8 7 ) 相繼加以修正提出了更加合理 的彌散關(guān)系：李瑞杰( 2 0 0 1 ) 也提出了一個(gè)形式更為簡(jiǎn)單，便于計(jì)算的彌散 關(guān)系。 針對(duì)不規(guī)則波，在可以忽略波與波的非線性相互作用的情況下，按照線 性疊加法將緩坡方程應(yīng)用于不規(guī)則波的折射、繞射計(jì)算，即將波浪按頻率和 方向分解為多個(gè)組成波，再對(duì)每個(gè)組成波分別進(jìn)行計(jì)算，然后將計(jì)算的結(jié)果 采用能量疊加的方法來確定不規(guī)則波的有效波高。p z n c h a n ge f8 上( 1 9 9 0 ) 、 z h a o d n a s t a s y o n ( 1 9 9 3 ) 以及j 日 a 1 ( 1 9 9 3 ) 都進(jìn)行了這方面工作。 針對(duì)s t o k e s 非線性波傳播理論的研究成果至今仍很少見，k i r b y 等首先 采用w b k 雙重尺度攝動(dòng)法推導(dǎo)出弱非線性波傳播的拋物線型近似，隨后相繼 提出若干改進(jìn)模式，主要有； ( 1 ) k i r b y d a l r y m p l e 拋物線型近似 2 哦孑弓瓦+ 2 k ( k 一七。) c o g 瓦+ i ( k c q ) 。尺+ ( 。墨) ，一k c c s k i 再1 2 兵= o ( 1 - 4 ) 式中： k - k 3 d c c g d = ( c h ( 4 k h ) + 8 2 t h ( k h ) ) ( 8 s h 4 嘞) ) 上式中出現(xiàn)的最后一項(xiàng)非線性項(xiàng)可視為線性定常波“緩坡方程”中u 2 中項(xiàng)圓頻率改用非線性波圓頻率的一種公式代替，即： 歷2 = c 0 2 【1 + ) 2 d 也可采用其他非線性頻散公式。 g z f 。一v - ( c c 5 v 中) + ( 盯2 一k 2 c c g + “；k h i ) 中 ( 1 5 ) 翁群鬻m ) ”， 。辦- c 2 可2 q 一竺丟d v 2 鞏一c v 鴨) ( v 口) ：o ( 1 8 ) t 緩坡方程是橢圓型偏微分方程，具有不可分離的性質(zhì)，直接求解時(shí)每個(gè) 波長(zhǎng)離散至少需要8 個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，而實(shí)際工程中經(jīng)常需要計(jì)算很大的區(qū)域， 就要聯(lián)立求解大型線性方程組，因此將緩坡方程直接應(yīng)用于工程計(jì)算是不切 實(shí)際的。針對(duì)這種情況，在方程( i - i ) 的基礎(chǔ)上推出了一系列便于求解的緩 坡方程的變形形式和近似形式，并發(fā)展了相應(yīng)的數(shù)值解法。 g a d d e r ( 1 9 7 9 ) 將波浪場(chǎng)假定為入射波場(chǎng)和反射波場(chǎng)兩部分，并將反射波 和散射波略去，在方程( 卜1 ) 的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出拋物型近似方程，然后采用高 效的有限差分法( 如c r a n k - n i c o l s o n 格式) 進(jìn)行求解，使得計(jì)算速度大大提 高。拋物型方程的主要優(yōu)點(diǎn)是適用于大范圍的復(fù)雜地形上的波浪變形計(jì)算， 但忽略了正向反射波，而且波浪傳播方向變化較大時(shí)計(jì)算精度有所降低。 c o p e a n d ( 1 9 8 5 ) 假定波場(chǎng)為穩(wěn)態(tài)，在緩坡方程( 卜2 ) 的基礎(chǔ)上推導(dǎo) 出含時(shí)間變量的雙曲型方程，并且按照i t o 奄t a n i m o t o ( 1 9 7 2 ) 的方法將其表 示為一階線性雙曲型方程組，采用半隱半顯的有限差分法求解。 三j ( 1 9 9 4 ( 2 ) ) 采用多重尺度分析，令f - 矗，西缸，y ，f ) 一平扛，y ，d e “， 將其代入緩坡方程( 卜2 ) 并略去二階小量后，得到： 塒警噸( c c s v 朋搿c c g 掣( 1 - - 9 ) “采用a d i 法求解方程( 1 4 ) ，并證明了該差分格式是無條件穩(wěn)定的，對(duì) 邊界條件也無須做特殊處理。 洪廣文( 1 9 9 5 、1 9 9 6 ) 給出了考慮耗散作用的非定常波線性傳播模型， 采取與u 同樣的方法求解方程。 1 4 本文的研究?jī)?nèi)容 本文以洪廣文( 1 9 9 5 ) 推導(dǎo)的非定常線性波緩坡方程為基礎(chǔ)，建立考慮 底摩阻項(xiàng)，非線性彌散關(guān)系，及多島嶼繞射反射作用的緩坡方程( 二維擴(kuò)散 型偏微分方程) 求解模式采用經(jīng)典的a d i 法進(jìn)行求解，并對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn) 行驗(yàn)證，分析其可行性和精確程度，選擇工程實(shí)例進(jìn)行計(jì)算，檢驗(yàn)其實(shí)用性。 箢二章緩坡方程模型的建立 2 。l 基本控制方程 線性表面波的基本方程：以靜止水面為翮y 坐標(biāo)平面，z 坐標(biāo)垂直向上為 正的笛卡兒直角坐標(biāo)系中，無旋無粘不可壓的線性小振幅波動(dòng)的波浪速度勢(shì)函數(shù) 毒似只弓砂必須滿足下列方程和邊界條件： 連續(xù)性方程 v 2 中+ m 。一0一h ( x ，y ) sz 0(2-1) 自由表面運(yùn)動(dòng)一動(dòng)力邊界條件 中：+ 詈西。= 。 z = 。 水底邊界條件 中：+ 珊v 垂一0 z = 一h f x , y ) 式中v 為二維水平梯度算子：_ l 伍力為水深函數(shù)；g 為重力加速度。 2 2 緩坡方程的等價(jià)控制方程 緩坡方程的等價(jià)控制方程組： 1 波數(shù)守恒方程 a k + v 甜；o ，霞：v 掣 甜 或= c 0 l l s t ( 定常波情況) 2 波數(shù)矢無旋性方程 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) v k = 0 ( 2 一，j 3 波作用守恒方程 百a a + v 卜魯霞卜川，4 一簍一五a 2 2 ( z “) m l j 2 4 光程函數(shù)方程 如2 + 去卜唧，一躲h 1 礦2 r 】) c 2 1 ， 2 3 非定常波的“緩坡方程” b e r k h o f f ( 1 9 7 2 ) 首先基于方程式( 2 - - 1 ) ( 2 - - 3 ) 推導(dǎo)出緩變水深定常 波傳播的線性模型波浪緩坡方程( 1 1 ) 。s m i t h 印砌b ( 1 9 7 5 ) 提出非定常 波傳播的緩坡方程( 1 - - 2 ) 。 洪廣文( 1 9 9 5 ) 推出考慮了耗散作用的非定常波線性傳播模型： 中。+ + 中。一v ( e 己v m ) + ( 孑2 一k2 e t ) 中= j 中 ( 2 8 ) 其中： 中：( 一i g ) r ( x ，y ，t ) e x p q j ( x ，y ，f ) ( 2 9 ) w + 能耗系數(shù)，其因次與頻率相同，w ；町一暇； 暇為風(fēng)能輸入系數(shù)，畎；拍g c g r f 冬g n1 彤一1 ，n 。，6 ，c 外為給定參 數(shù)；町為底摩阻耗散系數(shù)，町一4 3 f 霹w h ( 磚k w 地i f 3 ，凡= o o 0 2 。 j 司、髓冉n f 2 4 非線性彌散關(guān)系 目前波浪的非線性彌散關(guān)系主要有以下幾種： 1 只適用于深水和中等水深的s t o k e s 二階波的非線性彌散關(guān)系歷豫i t h a m 盯2 = 拈( 1 + e2 d ) t a n h ( k h ) ( 2 1 0 ) 其中。= 型等鏟一啪i 。 在( 2 - 5 ) 中忽略了波浪在水槽中以及波浪近n - 運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的回流，上 式的適用條件是厄塞爾數(shù)u 。( 1 ) 的情況：us 舄籌 。 在淺水中，酆h - - , 0 ，i a l h 一小量時(shí)， 。詈( 觸) 一；k h - - ，0 ， c ，22 s 量2 一 - + 詈( 掣) 2c 地，一2 ；七n + 。 從上式可以看出淺水情況下，方程( 2 5 ) 不再適用。 2 為了彌補(bǔ)上式的缺陷，h e d g e s ( 1 9 7 6 ) 年提出了適用于淺水的彌散關(guān)系： a 2 。g k t a n h ( k h + 、 ( 2 一1 1 ) 7 3 k i r b y 詹d a l r y m p l e ( 1 9 8 6 ) 依據(jù)上兩式，提出了經(jīng)驗(yàn)的統(tǒng)一表達(dá)式，將二 階s t o k e s 彌散關(guān)系與h e d g e s 的經(jīng)驗(yàn)美系在中等水深區(qū)域進(jìn)行平滑銜接得到： 盯2 一酷( 1 + ( 硒) 2 d ) t a n h ( k h + ，2 ( 七h(yuǎn) ) ) ( 2 1 2 ) 其中：l ( k h ) = t a n h 5 ( 艦) ，a ( k h ) = 脅s i n h ( k h ) r 4 由于( 2 7 ) 中五，2 的任意性，在中等水深的部分區(qū)域波速有隨k h 增大 而遞增的趨勢(shì)。h e d g e s ( 1 9 8 7 ) 提出了以下表達(dá)式： 加2 ) l a n h ( 等) ( 2 - 1 3 ) 5 ，k i r b y 正o a l r y m p l e ( 1 9 8 7 ) 做了進(jìn)一步的修正，表達(dá)式如下： 艫2 肋) c a 血勃) 1 4 1 十c 、，1 上， 6 李( 2 0 0 1 ) 提出了一個(gè)形式更為簡(jiǎn)單，便于計(jì)算的彌散關(guān)系： 盯2 一班( 1 + p e2 ) t a n h ( k h + e ) ( 2 1 5 ) 式中p 一，1 3 “。 8 第二蘋緩坡方程數(shù)值解法 3 1 方程的離散 3 ，1 1 方程的轉(zhuǎn)化 在前文中已經(jīng)提到，在工程計(jì)算中直接求解緩坡方程是不易做到的，一般的 求解方法是將橢圓型方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的近似形式或者簡(jiǎn)化形式，從而得到緩坡方 程較好的近似解。本節(jié)選用洪廣文( 1 9 9 5 ) 推出的緩坡方程( 2 - - 8 ) 進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 考慮波浪的非線形彌散關(guān)系，選用h e d g e s ( 1 9 7 6 ) 模式 占2 一g k t a n h k h 0 + p j ) 代入方程( 2 - - 8 ) 可以得到以下方程式： 中。+ 中，一v ( c c 。v 中) + 悟2 一k2 c c 。沖= 0 ( 3 1 ) 假定：巾( 訓(xùn) f ) 刪o m 礦“，則詈= ( 警一f 棚p “， 害一降一夏鋤詈幽卜崛) 隨時(shí)問緩慢變化即害，。 將詈，鼉孚代入方程( 3 1 ) ，可得二維擴(kuò)散型( 拋物線型) 偏微分方程： 一五w ) 詈= v ( c c 。v 掣) + ( c c 。t 2 + 2 62 + r + 扣 ( 。一z ， 再令1 王，= 妻，代入( 3 _ 2 ) 式，得警警玎廬+ 霹廬 ( 3 吲 , i c e # c c g a r 。 撒劃一警+ 2 一占2 + f 緲+ ( 3 4 ) 3 1 2 經(jīng)典的a d i 法求解 a d i 法在理論上是無條件穩(wěn)定的，對(duì)復(fù)雜地形和邊界的適用性較好，用此方 法求解速度勢(shì)，可以很容易地給出物理意義明確地邊界條件。但是此方法計(jì)算時(shí) 收斂較慢。因此本文引入一個(gè)松弛因子a 來進(jìn)行改善( 0 sas 1 ) 。 將一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)r 分為兩步，差分格式如下： 9 ，監(jiān)；煎；+ 號(hào)船l ，蝣形+ 6 ；知，+ 丟話l ，螞 二址 z 。 九亟i , j r i 絲, j ；a ：蟛+ 吾妞l ，+ a ；爵- + 尋妊l ，穢 二f 蝣1 = 五，1 + ( i - a 覘 這里 ，= p ：，一a 腳 i c c 。l ，6 。2 竹n ， = 豎等監(jiān)。 ( 3 7 ) x 2 差分方程( 3 5 ) ，( 3 6 ) 與邊界條件構(gòu)成三對(duì)角矩陣，可分別采用追趕法 求解。收斂判別條件由前后兩次迭代的相對(duì)均方誤差6 確定， 扣、附i , j 一心1 2 盼l a y ， 1 ， 3 2 初始條件和邊界條件 3 2 1 初始條件 當(dāng)# o 時(shí)，在入射邊界：垂b ，y ，o ) = 中。i g 萬h o 、。e 忙s 口+ 馴 ( 3 8 ) 在其他水域：中0 ，y ，0 ) ；0 ( 3 9 ) 3 2 2 入射邊界條件 在入射邊界受反射邊界影響不大時(shí)，可給定邊界上的波浪勢(shì)函數(shù)： 巾= 中j i 9 2 h 盯。yc 及c ；- e 怖日+ ) ( 3 1 0 ) 式中中；為入射波勢(shì)，成為入射波高，0 為入射波與等深線的夾角。 或給定波浪勢(shì)函數(shù)的法向?qū)?shù)娑：陂c 。s p 一。 ( 3 一1 1 ) o n 式中a 為邊界外法向。 當(dāng)波浪正向入射且存在正向反射波從入射邊界傳出時(shí)，可由下式確定入射邊 1 0 界：絲：2 i k d p 。一矗中。 o n 3 2 3 反射邊界條件 ( 3 1 2 ) 假定反射系數(shù)，= r e “，斤為振幅衰減因子，s 為相位差，反射邊界條件可寫 絲+ 如：o( 卜1 3 ) o n 式中：y = y 1 + f y 2 ， r 。- 七c 。so - a ) i ：_ i ，r ：= t c 。s0 - a ) i j j i 。 式( 3 - - 1 3 ) 在y = 0 時(shí)，即化為全反射邊界。 娑一i k c o s p a 知。o ( 卜1 4 ) 礦。= w + 形+ 以方便設(shè)置消波層，其中暇可由下式確定： 町。言 r 可e x p ( s p ) - i ，震： js s o 喝 s 鶘c 。州， s ，= s s 。- 一s 甌o ，其中待定參數(shù)x 與消波層厚度s t s 。、計(jì)算周期、波長(zhǎng)及離散網(wǎng) 格尺寸缸，a y 有關(guān)，通過調(diào)試而定。此外在消波層邊界s = s 處采用全透射條件式 ( 3 1 4 ) ，此時(shí)可取0 一口k ；k 。 3 3 網(wǎng)格扁平率 為了避免曲線網(wǎng)格帶來的坐標(biāo)變換和方程的復(fù)雜性，本文仍采用矩形網(wǎng)格， 這就涉及到網(wǎng)格扁平率的問題，即計(jì)算網(wǎng)格在y 方向的步長(zhǎng)與z 方向的步長(zhǎng)之比 值與底坡坡度，入射角口之間存在一定的關(guān)系。 馮衛(wèi)兵( 1 9 9 9 ) 提出，在無水流情況下，當(dāng)?shù)灼缕露群苄? 如m ( 1 ：i 0 0 0 ) 時(shí)，網(wǎng)格扁平率只要大于入射角的正切，即譬z 培a 就能保證迭代格式穩(wěn)定并收 斂于真值。隨著底坡坡度增大，相應(yīng)的網(wǎng)格扁平率也相應(yīng)增大，當(dāng)?shù)灼缕露容^大 ( 如m ：1 ：1 0 ) 且入射角較大( 如口；7 5 ) 時(shí)，網(wǎng)格扁平率應(yīng)滿足壘，5 0 。 3 4 計(jì)算流程 ( i ) 剖分水域網(wǎng)格； ( 2 ) 輸入網(wǎng)格點(diǎn)水深、原始波要素及其他計(jì)算參數(shù)； ( 3 ) 求出網(wǎng)格點(diǎn)上的波數(shù)t u ； ( 4 ) n 一即+ ) 時(shí)步進(jìn)行x 方向上的迭代，應(yīng)用邊界條件與方程構(gòu)成三對(duì)角矩 陣，采用追趕法求出中? 弘； ( 5 ) o + ) 一o + 1 ) 時(shí)步進(jìn)行y 方向上的迭代，方法于( 4 ) 中相同，求出西孑； ( 6 ) 引入松弛因子亢對(duì)( 5 ) 中求出的中進(jìn)行修正； ( 7 ) 采用相對(duì)均方差6 = i 硝j 1 虻i 2 i 蟛1 進(jìn)行誤差判斷。如果滿足 yi ，j，l ，j 6te ( 為一個(gè)極小數(shù)) ，則計(jì)算停止；如不滿足，則以本次迭代得到的m 。n + i 作為下一次迭代的中? ，繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。 ( 8 ) 輸出計(jì)算結(jié)果。進(jìn)行后處理。 在實(shí)際計(jì)算中，通常采用誤差判斷和設(shè)定迭代步數(shù)兩種方法來控制計(jì)算步 數(shù)，以達(dá)到更加合理的計(jì)算結(jié)果。 第四章緩坡方程數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證 為了考察本文模型的適用性及其精度，本文將選擇以下五種地形進(jìn)行計(jì)算驗(yàn) 證： 1 ) 均勻斜坡加橢圓形淺灘地形( b e r k h o f f 試驗(yàn)地形) 上波浪折射繞射聯(lián)合 計(jì)算。 2 ) e d w a r d k n o d a 地形上波浪折射計(jì)算。 3 ) 半無限長(zhǎng)單突堤周圍的波浪繞射計(jì)算。 4 ) 雙突堤后的波浪繞射計(jì)算。 5 ) 島式防波堤后的繞射計(jì)算。 4 1b e r k h o f f 試驗(yàn)地形上波浪變形驗(yàn)證 為了驗(yàn)證前文介紹的緩坡方程模型的精度，本節(jié)將采用b e r k h o f 賦驗(yàn)地形 進(jìn)行驗(yàn)證。1 9 8 2 年b e r k h o f f 針對(duì)均勻斜坡上置一橢圓形淺灘的地形進(jìn)行了波浪物 理模型試驗(yàn)。并取得了8 個(gè)斷面的實(shí)測(cè)資料。在試驗(yàn)中采用波周期為t = i o s ，入 射波高為h 產(chǎn)0 0 4 6 4 m ，波浪沿一y 方向傳入。具體的水下地形如圖l 所示斜坡坡度為 l ：5 0 ，斜坡梯度方向與波浪入射邊界的法向夾角為2 0 。斜坡旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為 p 一0 - x o ) c o s 2 0 。+ ( y y o ) s i n 2 0 。 抄一( y y o ) c o s 2 0 一0 一x o ) s i n 2 0 。 ( j d ，y o ) 位于淺灘中心，水深為0 1 3 3 2 m 。淺灘的邊界為 2 僻c ， 斜坡水深如下： ，o 4 5 一o 0 2 ( 5 8 2 一y ：) y ： 、 - 5 1 0 ，1 5 一 0 505 x n 巾 c o m p u ta ti o n a l d o m a i no f b e r k h o f fe ta 1 ( 1 9 8 2 ) 一3 03 + y 幾m 圖1 b e r k h o f f 物理模型試驗(yàn)地形資料圖 圖2 b e r k h o f f 物理模型試驗(yàn)的相對(duì)波高等值線圖 圖3 b e r k h o 丘地形數(shù)值模擬的相對(duì)波高等值線圖 3 詈 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 o p l 、 一54321ol2345 圈4 數(shù)模計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較( 斷面1 # ) 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 o 2 0 0 8 1 5 0 1 0 0 至5 0 o kl 、 歲氣k 百 一5 4 3 - 2 1 o l 234 5 圖5 數(shù)模計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較( 斷面2 # ) j ? i 。f ， - _ 字l 卜j 濰：圳 一 一5 4 3 2 1 ol2345 圖6 數(shù)壤計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較( 斷砸3 # ) 、i 么文 、苫o | 、 卜 ，口 一 、 _ 5 4 3 2 一l o12345 圖7 數(shù)模計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較( 斷面4 # ) l 么 、 、7| n卜 t l v v 一5 4 3 2 1 ol2345 圖8 數(shù)模計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較( 斷面5 # ) 廠7 、麗 l 二二塾堡生蘭篁l ( ) h ()i ()+1i 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 o 2 5 0 2 0 0 琶1 5 0 專1 0 0 一_ 5 0 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 0 j- 文 、h 1 n 7 y ，一 0 l23456789l ol l 圖9 數(shù)模計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較( 斷面6 # ) ， o 蛩 h 一 1 1r 、一 1i i 0l234567891 0 l l 圖l o 數(shù)模計(jì)算值與試驗(yàn)的比較( 斷面7 # ) 卜 、 六 p h 、d l o 1234567891 01 l 圖1 1 數(shù)模計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較( 斷砸8 # ) 圖1 2 n o d a 對(duì)稱性正弦變化地形 一番一h = 一116一三z 圖1 3 n o d a 不對(duì)稱性正弦變化地形 圈1 4 n o d a 對(duì)稱性正弦變化地形下數(shù)模計(jì)算波高等值線圖 圖1 5 n o d a 不對(duì)稱性正弦變化地形下數(shù)模計(jì)算波高等值線圖 l * 茸式一a 苷缸n k * # a 式= 畦高* n 目 圖1 6 半無限長(zhǎng)單突堤波浪繞射數(shù)值解( 正向入射) 圈1 7 半無限長(zhǎng)單突堤波浪繞射s o m m e r f e l d 理論解( 正向入射) 圖1 8 半無限長(zhǎng)單突堤波 浪繞射規(guī)范解( 正向入射) 圖1 9 半無限長(zhǎng)單突堤波浪繞射系數(shù)等值線圖( 3 04 入射) 圖2 0 半無限長(zhǎng)單突堤渡浪繞射系數(shù)等值線圈( 4 5 4 入射) 圖2 l ，半無限長(zhǎng)單突堤波浪繞射系數(shù)等值線圖( 6 0 。入射) 圖2 2 半無限長(zhǎng)單突堤波浪繞射系數(shù)等值線圖( 1 2 0 。入射) 圖2 3 半無限長(zhǎng)單突堤波浪繞射系數(shù)等值線圖( 1 3 5 。入射) 圖2 4 半無限長(zhǎng)單突堤波浪繞射系數(shù)等值線圖( 1 5 0 。入射) 4 1 波向t x l c b l = 6 圖2 5 雙突堤后波浪繞射系數(shù)數(shù)值解( 正向入射) 、。 ? 歲 y 。 甌 弋 1 4 一e l 1 j ” ：八 i o f 孓(j ： i 1 生 描f - 翮“一 圖2 6 雙突堤后波浪繞射系數(shù)解析解( 正向入射) 圖2 7 雙突堤后波浪繞射系數(shù)規(guī)范解( 正向入射) 圖2 8 雙突堤后波浪繞射系數(shù)等值線圖( b l = 2 ，o o = 4 5 4 ) 圖2 9 雙突堤后波浪繞射系數(shù)等值線圈( b l = 2 ，懿= 6 0 ) 圖3 0 雙突堤后波浪繞射系數(shù)等值線圖( b l = 4 ，0 0 = 4 5 。) 圖3 1 雙突堤后波浪繞射系數(shù)等值線圖( b l = 4 ，o o = 6 0 。) b 規(guī)范解 圖3 2 雙突堤后波浪繞射系數(shù)等值線圖( b l = 6 ，吼= 4 56 ) 圖3 3 雙突堤后波浪繞射系數(shù)數(shù)值解等值線圈( b l = 6 ，吼= 6 0 。) 圖3 5 ，雙突堤后波浪繞射系數(shù)數(shù)值解等值線圖( b l = 8 ，8 。= 6 0 。) 口( 。) 盯。j 圖3 6 海港水文規(guī)范( 1 9 9 8 ) 雙突堤后規(guī)則波繞射系數(shù)計(jì)算用圖 l ，q | ，1 j 、 ，也，9 jl 。 “ 彳j“川 f1 | l7，f i。t | 。 jf ， i | 、 j l ll h1 。一 l ，l1m 0 ； 。 f 。l7 ，乙1 i | f1 0 1 0 ，瓢 。flt，。f fl 。1ff 。f f |ff?ff fff 4 |fm 。fl f “ i | 4 i f 7 v f f j f ffl 一f |l y 圖3 7 島式防波堤后波浪繞射系數(shù)等值線圖一( 1 l 。4 ，吼。9 0 。) 圖3 8 島式防波堤后波浪繞射系數(shù)等值線圖( ( 1 l = 4 ，8 0 = 4 59