勒讓德多項(xiàng)式及性質(zhì)課件.ppt

第三篇 特殊函數(shù) 第二章勒讓德多項(xiàng)式 主要內(nèi)容 勒讓德多項(xiàng)式 軸對稱問題 及性質(zhì)連帶勒讓德函數(shù) 轉(zhuǎn)動(dòng)對稱問題 球函數(shù) 一般問題 在分離變量法一章中 我們已經(jīng)知道拉普拉斯方程 在球坐標(biāo)系下分離變量后得到歐拉型常微分方程 和球諧函數(shù)方程 同樣若記 則上述方程也可寫為下列形式的 階勒讓德方程 2 1勒讓德多項(xiàng)式 勒讓德方程的求解勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì) 母函數(shù)和遞推公式勒讓德多項(xiàng)式的應(yīng)用 一 勒讓德方程的解 我們知道 在自然邊界條件下 勒讓德方程的解 為 式中 上式具有多項(xiàng)式的形式 故稱 為 階勒讓德多項(xiàng)式 勒讓德多項(xiàng)式也稱為第一類勒讓德函數(shù) 二 勒讓德多項(xiàng)式 注意到 1 前幾個(gè)勒讓德多項(xiàng)式 勒讓德多項(xiàng)式的圖形可通過計(jì)算機(jī)仿真 如MATLAB仿真 得到 2 勒讓德多項(xiàng)式的微分表示 上式通常又稱為勒讓德多項(xiàng)式的羅德里格斯 Rodrigues 表示式 3 勒讓德多項(xiàng)式的積分表示 根據(jù)柯西積分公式的高階導(dǎo)數(shù) 并取正方向積分有 容易證明微分表示也可表示為環(huán)路積分形式 為 平面上圍繞 并取正方向 這叫作勒讓德多項(xiàng)式的施列夫利積分表示式 點(diǎn)的任一閉合回路 還可以進(jìn)一步表為下述拉普拉斯積分 2 2勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì) 奇偶性 根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式的定義式 作代換 容易得到 即當(dāng) 為偶數(shù)時(shí) 勒讓德多項(xiàng)式 為偶函數(shù) 為奇數(shù)時(shí) 為奇函數(shù) 式中記號(hào) 而 因此 一 勒讓德多項(xiàng)式的正交關(guān)系 兩式稱為正交性 代入 的微分式得 模為 二 勒讓德多項(xiàng)式的模 三 廣義傅立葉級(jí)數(shù) 由前面的分析可以看出 勒讓德多項(xiàng)式 為本征函數(shù)族 可以作為廣義傅立葉級(jí)數(shù)的基 若函數(shù) 定義在區(qū)間 上 或 定義在區(qū)間 上 則 或 是正交的 完備的 其中系數(shù) 或 例題一 以勒讓德多項(xiàng)式為基本函數(shù)族 將函數(shù) 在區(qū)間 1 1 上進(jìn)行廣義傅立葉展開 另一解法 推廣 例題2 以勒讓德多項(xiàng)式為基本函數(shù)族 將函數(shù) 在區(qū)間 1 1 上進(jìn)行廣義傅立葉展開 4 四 解方程 要選取對稱軸為球坐標(biāo)的極軸 例題3 在球 的內(nèi)部 求解 u 0 使得滿足邊界條件 解 m 0通解為 有限值 通解為 例題4 半徑為 的半球 其球面上溫度為 底面絕熱 試求這個(gè)半球里的穩(wěn)定溫度分布 選取球心為極點(diǎn) Z軸為極軸 Z軸為對稱軸 無關(guān) Z X Y O 2019 12 19 27 可編輯 對定解問題解析延拓到整個(gè)球形區(qū)域 x 0上滿足第二類邊界條件 是關(guān)于Z軸對稱的 所以邊界條件應(yīng)進(jìn)行偶延拓 或 通解為 對于球的內(nèi)部 代入邊界條件得 展開 為廣義傅立葉級(jí)數(shù) 可以導(dǎo)出 比較系數(shù)得 例題5 在勻強(qiáng)電場中 放入一均勻介質(zhì)球 原來不帶電 場強(qiáng)為 球的半徑為 介電常數(shù)為 試求解介質(zhì)球內(nèi)外的場強(qiáng) 解 選取球心為極點(diǎn) 極點(diǎn) 平行于 即 Z軸為對稱軸 由于介質(zhì)球的極化 球面上產(chǎn)生了束縛電荷 的直線為Z軸 無關(guān) 場強(qiáng) 在球面上不連續(xù) 在球面上無意義 所以 球內(nèi)外電勢要通過銜接條件連接 1 設(shè)球內(nèi)電勢為 滿足 2 設(shè)球外電勢為 滿足 比較系數(shù)得 3 銜接條件 電勢在球面上連續(xù) 電位移矢量 的法向分量在球面上連續(xù) 4 解方程 代入銜接條件 比較系數(shù)得 解出 其中 與零電勢的選取有關(guān) 5 求場強(qiáng) 球內(nèi)場強(qiáng) 可以看出 球內(nèi)場強(qiáng)沿原方向也是勻強(qiáng)電場 只是場強(qiáng)削弱了 一般情況 球內(nèi)極化強(qiáng)度 為常數(shù) 所以 球的極化是均勻的 球外場強(qiáng) 為勻強(qiáng)電場 五 母函數(shù) 1 定義 設(shè)在單位球北極放置正電荷 求球內(nèi)外任意點(diǎn) 解 取球心為極點(diǎn) Z軸為極軸 球內(nèi)外任一點(diǎn)的電勢關(guān)于Z軸對稱 球內(nèi)外電勢滿足 無源場 無關(guān) 的電勢 x y z 通解為 球內(nèi)電勢 取球內(nèi)任一點(diǎn) 則M點(diǎn)的電勢為 它到電荷的距離為d 其中 叫 的母函數(shù) 球外電勢 對于任一點(diǎn) 母函數(shù) 對于半徑為R的球 母函數(shù)為 2 應(yīng)用 在點(diǎn)正電荷 放置接地的導(dǎo)體球 球的半徑為a 球心與電荷相距為 求解靜電場 的電場中 解 取球心O為極點(diǎn) 極軸通過點(diǎn)電荷 電勢滿足 無源場 無關(guān) 通解為 無導(dǎo)體球時(shí) 任一點(diǎn)電勢為 由于導(dǎo)體的存在 導(dǎo)體球上產(chǎn)生靜電感應(yīng)電荷 它引起的電勢變化為 對于定解問題 代入邊界 引入母函數(shù) 時(shí) 比較系數(shù)得 其中 按照母函數(shù)的定義 物理意義 相當(dāng)于某個(gè)點(diǎn)電荷 電場中的靜電勢 位置在極軸上 距球心的距離為 因?yàn)?所以 即 點(diǎn)電荷在球內(nèi) 結(jié)論 導(dǎo)體球外的靜電場 好像似存在一個(gè)點(diǎn)電荷 叫原來那個(gè)點(diǎn)電荷的電像 利用