高考數(shù)學(xué) 專題2 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 2.2.2 換底公式學(xué)案 湘教版必修1.doc

2.2.2換底公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能記住換底公式，并會(huì)證明換底公式.2.會(huì)利用換底公式解決一些對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、證明問(wèn)題.3.能綜合利用對(duì)數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題預(yù)習(xí)導(dǎo)引1對(duì)數(shù)的換底公式換底公式：logan(a0，a1，c0，c1，n0)最常用的換底公式是logan和logan.2換底公式的兩個(gè)重要推論(1)logambnlogab.(2)logab.解決學(xué)生疑難點(diǎn)_要點(diǎn)一利用換底公式求值或化簡(jiǎn)例1求解下列各題：(1)化簡(jiǎn)(log43log83)；(2)已知log1227a，求log616的值解(1)方法一原式.方法二原式(log223log233)log32log32log23log32.(2)方法一由log1227a，得a，lg 2lg 3.log616.方法二由于log1227log12333log123a，log123.于是log312，即12log32.因此log32.而log6164log62.故log616.規(guī)律方法1.利用對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算化簡(jiǎn)時(shí)，通常有以下幾種思路：一是先依照運(yùn)算性質(zhì)：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算，最后再換成同一底二是一次性地統(tǒng)一換為常用對(duì)數(shù)，再化簡(jiǎn)、通分、求值三是將式子中的對(duì)數(shù)的底數(shù)及真數(shù)改寫(xiě)為冪的形式，然后利用變形logambnlogab.對(duì)出現(xiàn)的對(duì)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)都較小時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，然后再借助對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求值2對(duì)于換底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及變形應(yīng)用跟蹤演練1(1)求值：log89log2732.(2)已知log23a，log37b，試用a，b表示log1456.解(1)方法一log89log2732.方法二log89log2732log2332log3325log23log32.(2)log23a，log37b.log27ab.log1456.要點(diǎn)二利用對(duì)數(shù)的換底公式證明等式例2已知a，b，c均為正數(shù)，3a4b6c，求證：.證明不妨設(shè)3a4b6cm，則m0且m1，于是alog3m，blog4m，clog6m.則由換底公式可得logm3，logm4，logm6，于是2logm3logm4logm(324)logm362logm6.因此等式成立規(guī)律方法1.在已知條件中出現(xiàn)冪值相等的形式時(shí)，通常可以設(shè)出冪值的結(jié)果，然后將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式、運(yùn)算法則等進(jìn)行化簡(jiǎn)和變形2由于對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則都是針對(duì)同底數(shù)的對(duì)數(shù)才能成立的，因此變換底數(shù)是解決對(duì)數(shù)式證明問(wèn)題的重要環(huán)節(jié)，當(dāng)出現(xiàn)的對(duì)數(shù)的底數(shù)不同，但真數(shù)相同時(shí)，可利用性質(zhì)logab進(jìn)行變換跟蹤演練2已知2m5n10，求證：mnmn.證明由已知可得mlog210，nlog510，因此lg2，lg5，于是lg2lg5lg101，即1，故mnmn.要點(diǎn)三對(duì)數(shù)換底公式的綜合應(yīng)用例3(1)已知11.2a1000,0.0112b1000，求的值；(2)設(shè)logac，logbc是方程x23x10的兩根，求的值解(1)11.2a1000，lg11.2alg1000，即alg11.23，于是lg11.2.同理可得lg0.0112.于是lg11.2lg0.0112lglg100031.(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得由換底公式可知因此所以.規(guī)律方法對(duì)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用是本節(jié)的重點(diǎn)，它可能用到定義，對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，也可能用到換底公式或?qū)?shù)運(yùn)算的法則，還可能用到其他知識(shí)(如一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系)解題時(shí)應(yīng)該全方位、多角度地思考，甚至用不同的幾種方法去解同一題，然后分析、比較，從而掌握鞏固所學(xué)的知識(shí)跟蹤演練32比lg大()a3b4c5d6答案b解析2lg2lga(lgalg100)4.故選b.1下列各式中錯(cuò)誤的是()alogablogba1blogcdclogcdlogdflogcfdlogab答案d2若2.5x1000,0.25y1000，則等于()a.b3cd3答案a解析由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式：xlog2.51000，ylog0.251000，則log10002.5log10000.25log100010.3log25125等于()a.b.c2d3答案a解析log25125.4已知log630.6131，log6x0.3869，則x_.答案2解析由log63log6x0.61310.38691.得log6(3x)1，故3x6，x2.5.的值是_答案解析.1.對(duì)數(shù)換底公式可以把不同底數(shù)的對(duì)數(shù)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)，它在與指數(shù)式、對(duì)數(shù)式有關(guān)的計(jì)算、化簡(jiǎn)和證明中將起到重要作用2在什么情況下選用換底公式？(1)在運(yùn)算過(guò)程中，出現(xiàn)不能直接用計(jì)算器或查表獲得對(duì)數(shù)值時(shí)，可化成以10為底的常用對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算；(2)在化簡(jiǎn)求值過(guò)程中，出現(xiàn)不同底數(shù)的對(duì)數(shù)不能運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，可統(tǒng)一化成以同一個(gè)實(shí)數(shù)為底的對(duì)數(shù)，再根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1(log29)(log34)等于()a.b.c2d4答案d解析原式(log232)(log322)4(log23)(log32)44.2化簡(jiǎn)的結(jié)果為()alog38blog83clog36dlog63答案a解析原式log32log34log38，故選a.3已知ln2a，ln3b，那么log32用含a，b的代數(shù)式表示為()aabb.cabdab答案b解析log32，故選b.4若lga，lgb是方程2x24x10的兩個(gè)根，則2的值等于()a2b.c4d.答案a解析由根與系數(shù)的關(guān)系，得lgalgb2，lgalgb，2(lgalgb)2(lgalgb)24lgalgb2242.5(log43log83)(log32log98)_.答案解析原式()()()().6已知lg9a,10b5，用a，b表示log3645為_(kāi)答案解析lg9a,10b5，lg5b，log3645.7計(jì)算：(1)lg5lg8000(lg2)2lg0.06lg6；(2).解(1)原式lg5(3lg23)3(lg2)2lg62lg63lg5lg23lg53(lg2)223lg2(lg5lg2)3lg523lg23lg521.(2)原式.二、能力提升8若a1，b1，且lg(ab)lgalgb，則lg(a1)lg(b1)的值為()alg2b1c0d不確定答案c解析lg(ab)lgalgblg(ab)abab，lg(a1)lg(b1)lgab(ab)1lg10.9若log37log29log49alog4，則a_.答案解析log37log29log49alog4.，a2.10若logax2，logbx3，logcx6，則logabcx的值為_(kāi)答案1解析logabcx，logax2，logbx3，logcx6，logxa，logxb，logxc，logabcx1.11若26a33b62c，求證：.證明設(shè)26a33b62ck (k0)，那么6logk223logk3logk(2636)6logk632logk6，即.12設(shè)a1，若對(duì)于任意的xa,2a，都有ya，a2滿足方程logaxlogay3，求a的取值范圍解logaxlogay3，logaxy3，xya3，y.函數(shù)y(a1)在a,2a上為減函數(shù)，又當(dāng)xa時(shí)，ya2，當(dāng)x2a時(shí)，y，a，a2，a，又a1，a2，a的取值范圍為a2.三、探究與創(chuàng)新13設(shè)x，y，z均為正數(shù)，且3x4y6z.(1)試求x，y，z之間的關(guān)系；(2)求使2xpy成立，且與p最接近的正整數(shù)(即求與p的差的絕對(duì)值最小的整數(shù))；(3)比較3x,4y,6z的大小解(1)設(shè)3x4y6zt，由x0，知t1，故取以t為底的對(duì)數(shù)，得xlogt3ylogt4zlogt61，x，y，z，logt6logt3logt2logt4，x，y，z之間的關(guān)系為.(2)plogt42log34log316.由91627，得log39log316log327，從而2p3.而p2log316log39log3，3pl