（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學第二部分專題七數(shù)學文化及數(shù)學思想第1講數(shù)學文化練習.docx

第1講數(shù)學文化函數(shù)中的數(shù)學文化題典型例題 在九章算術中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖所示，鱉臑ABCD中，AB平面BCD，且BDCD，ABBDCD，點P在棱AC上運動，設CP的長度為x，若PBD的面積為f(x)，則函數(shù)yf(x)的圖象大致是()【解析】如圖，作PQBC于Q，作QRBD于R，連接PR，則PQAB，QRCD.因為PQBD，又PQQRQ，所以BD平面PQR，所以BDPR，即PR為PBD中BD邊上的高設ABBDCD1，則，即PQ，又，所以QR，所以PR，所以f(x)，故選A.【答案】A中華太極圖，悠悠千古昭著于世，像朝日那樣輝煌宏麗，又像明月那樣清亮壯美它是我們?nèi)A夏先祖的智慧結晶，它是中國傳統(tǒng)文化的驕傲象征，它更是中華民族獻給人類文明的無價之寶試題通過太極圖展示了數(shù)學文化的民族性與世界性 對點訓練(2019福建泉州兩校聯(lián)考)我國古代數(shù)學著作九章算術中有如下問題：“今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一，并五關所稅，適重一斤”其意思為：“今有人持金出五關，第1關所收稅金為持金的，第2關所收稅金為剩余持金的，第3關所收稅金為剩余持金的，第4關所收稅金為剩余持金的，第5關所收稅金為剩余持金的，5關所收稅金之和恰好重1斤”則在此問題中，第5關所收稅金為()A斤B斤C斤D斤解析：選C.設此人持金x斤，根據(jù)題意知第1關所收稅金為斤；第2關所收稅金為斤；第3關所收稅金為斤；第4關所收稅金為斤；第5關所收稅金為斤易知1，解得x.則第5關所收稅金為斤故選C.數(shù)列中的數(shù)學文化題典型例題 (2019河北辛集中學期中)中國古代數(shù)學著作張丘建算經(jīng)中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里”其意思是：“現(xiàn)有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的里數(shù)是前一天的一半，連續(xù)行走7天，共走了700里”若該匹馬按此規(guī)律繼續(xù)行走7天，則它這14天內(nèi)所走的總路程為()A里B1 050里C里D2 100里【解析】由題意可知，馬每天行走的路程組成一個等比數(shù)列，設該數(shù)列為an，則該匹馬首日行走的路程為a1，公比為，則有700，則a1，則(里)故選C.【答案】C(1)數(shù)列中的數(shù)學文化題一般以我國古代數(shù)學名著中的等差數(shù)列和等比數(shù)列問題為背景，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式(2)解決這類問題的關鍵是將古代實際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學問題，掌握等比(差)數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式 對點訓練(一題多解)九章算術中有一題：今有牛、馬、羊食人苗苗主責之粟五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半?！苯裼斨?，問各出幾何其意思是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應賠償多少粟？在這個問題中，牛主人比羊主人多賠償()A斗粟B斗粟C斗粟D斗粟解：選C.法一：設羊、馬、牛主人賠償?shù)乃诘亩窋?shù)分別為a1，a2，a3，則這3個數(shù)依次成等比數(shù)列，公比q2，所以a12a14a15，解得a1，故a3，a3a1，故選C.法二：羊、馬、牛主人賠償?shù)谋壤?24，故牛主人應賠償5(斗)，羊主人應賠償5(斗)，故牛主人比羊主人多賠償了(斗)，故選C.三角函數(shù)中的數(shù)學文化題典型例題 數(shù)書九章中給出了“已知三角形三邊長求三角形面積的求法”，填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代人具有很高的數(shù)學水平，其求法是“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積”若把這段文字寫成公式，即S，現(xiàn)有周長為2的ABC滿足sin Asin Bsin C(1)(1)，用上面給出的公式求得ABC的面積為()ABCD【解析】由正弦定理得sin Asin Bsin Cabc(1)(1)，可設三角形的三邊分別為a(1)x，bx，c(1)x，由題意得(1)xx(1)x(2)x2，則x1，故由三角形的面積公式可得ABC的面積S，故選B.【答案】B我國南宋數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)的“三斜求積術”雖然與海倫公式(S，其中p(abc)在形式上不一樣，但兩者完全等價，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一項空白，從中可以看出我國古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學水平 對點訓練(2019濟南市學習質(zhì)量評估)我國物權法規(guī)定：建造建筑物，不得違反國家有關工程建設標準，妨礙相鄰建筑物的通風、采光和日照已知某小區(qū)的住宅樓的底部均在同一水平面上，且樓高均為45 m，依據(jù)規(guī)定，該小區(qū)內(nèi)住宅樓樓間距應不小于52 m若該小區(qū)內(nèi)某居民在距離樓底27 m高處的某陽臺觀測點，測得該小區(qū)內(nèi)正對面住宅樓樓頂?shù)难鼋桥c樓底的俯角之和為45，則該小區(qū)的住宅樓樓間距實際為_m.解析：設兩住宅樓樓間距實際為x m如圖，根據(jù)題意可得，tanDCA，tanDCB，又DCADCB45，所以tan(DCADCB)1，整理得x245x27180，解得x54或x9(舍去)所以該小區(qū)住宅樓樓間距實際為54 m.答案：54立體幾何中的數(shù)學文化題典型例題 九章算術中對一些特殊的幾何體有特定的稱謂，例如，將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵將一塹堵沿其一頂點與相對的棱所在平面切開，得到一個陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個鱉臑(四個面均為直角三角形的四面體)在如圖所示的塹堵ABCA1B1C1中，AA1AC5，AB3，BC4，則陽馬C1ABB1A1的外接球的表面積是()A25B50C100D200【解析】由題意得陽馬C1ABB1A1的外接球即為塹堵ABCA1B1C1的外接球，球心在正方形ACC1A1的中心，所以外接球的半徑R，表面積為4R250.故選B.【答案】B立體幾何中的數(shù)學文化題一般以我國古代發(fā)現(xiàn)的球的體積公式、圓柱的體積公式、圓錐的體積公式、圓臺的體積公式和“牟合方蓋”“陽馬”“鱉臑”“塹堵”“芻薨”等中國古代幾何名詞為背景考查空間幾何體的體積與表面積等 對點訓練九章算術中有這樣一個問題：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺問積幾何？術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”這里所說的圓堢壔就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圓柱體的體積為V底面圓的周長的平方高，由此可推得圓周率的取值為()A3B3.1C3.14D3.2解析：選A.設圓柱體的底面半徑為r，高為h，由圓柱的體積公式得體積為Vr2h.由題意知V(2r)2h，所以r2h(2r)2h，解得3.故選A.概率中的數(shù)學文化題典型例題 (1)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進行一場比賽，田忌獲勝的概率是()A BCD(2)太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖案，它形象化地表達了陰陽輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美按照太極圖的構圖方法，在平面直角坐標系中，圓O被函數(shù)y3sin x的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，如圖所示，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)從大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為()ABCD【解析】(1)從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進行一場比賽，對陣情況如下表：齊王的馬上上上中中中下下下田忌的馬上中下上中下上中下雙方馬的對陣中，有3種對抗情況田忌能贏，所以田忌獲勝的概率P.故選A.(2)函數(shù)y3sin x的圖象與x軸相交于點(6，0)和點(6，0)，則大圓的半徑為6，面積為36，而小圓的半徑為1，兩個小圓的面積和為2，所以所求的概率是.故選B.【答案】(1)A(2)B(1)本例(1)選取田忌賽馬這一為人熟知的故事作為背景，考查了古典概型，趣味性很強，利于緩解考生在考場的緊張心理，體現(xiàn)了對考生的人文關懷 (2)本例(2)以中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化太極圖為背景，考查幾何概型，角度新穎，所給圖形有利于考生分析問題和解決問題，給出了如何將抽象的數(shù)學問題形象化的范例對點訓練我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大貢獻哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)的和”，如321319.在不超過32的質(zhì)數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是()ABCD解析：選C.不超過32的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C55種不同的選法，因為7231119131730，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種選法，所以概率為，故選C.一、選擇題1我國古代數(shù)學著作九章算術中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣()A104人B108人C112人D120人解析：選B.由題設可知這是一個分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300300108.故選B.2“干支紀年法”是中國自古以來就一直使用的紀年方法干支是天干和地支的總稱天干、地支互相配合，配成六十組為一周，周而復始，依次循環(huán)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為地支如：公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年則2049年為農(nóng)歷()A己亥年B己巳年C己卯年D戊辰年解析：選B.法一：由公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年，可知以公元紀年的尾數(shù)在天干中找出對應該尾數(shù)的天干，再將公元紀年除以12，用除不盡的余數(shù)在地支中查出對應該余數(shù)的地支，這樣就得到了公元紀年的干支紀年.2049年對應的天干為“己”，因其除以12的余數(shù)為9，所以2049年對應的地支為“巳”，故2049年為農(nóng)歷己巳年故選B.法二：易知(年份3)除以10所得的余數(shù)對應天干，則2 04932 046，2 046除以10所得的余數(shù)是6，即對應的天干為“己”(年份3)除以12所得的余數(shù)對應地支，則2 04932 046，2 046除以12所得的余數(shù)是6，即對應的地支為“巳”，所以2049年為農(nóng)歷己巳年故選B.3(2019山東淄博模擬)我國古代數(shù)學著作九章算術有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”設該金箠由粗到細是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金箠截成長度相等的10段，記第i段的重量為ai(i1，2，10)，且a1a2，故C錯誤；在D中，a4a5a619242，故D正確13(多選)中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的“對稱美”如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美定義：圖象能夠?qū)AO的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，下列命題正確的是()A對于任意一個圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個B函數(shù)f(x)ln(x2)可以是某個圓的“太極函數(shù)”C正弦函數(shù)ysin x可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”D函數(shù)yf(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)yf(x)的圖象是中心對稱圖形解析：選AC.過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分，故對于任意一個圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個，故A正確；函數(shù)f(x)ln(x2)的圖象如圖1所示，故其不可能為圓的“太極函數(shù)”，故B錯誤；將圓的圓心放在正弦函數(shù)ysin x圖象的對稱中心上，則正弦函數(shù)ysin x是該圓的“太極函數(shù)”，從而正弦函數(shù)ysin x可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”，故C正確；函數(shù)yf(x)的圖象是中心對稱圖形，則yf(x)是“太極函數(shù)”，但函數(shù)yf(x)是“太極函數(shù)”時，圖象不一定是中心對稱圖形，如圖2所示，故D錯誤二、填空題14.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結構)嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為_(容器壁的厚度忽略不計)解析：表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球設其半徑為R，(2R)2622212，解得R2，所以該球形容器的表面積的最小值為4R241.答案：4115九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及一些應用直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”設F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，若線段PF2，PF1分別是RtF1PF2的“勾”“股”，則點P的橫坐標為_解析：由題意知半焦距c，又PF1PF2，故點P在圓x2y23上，設P(x，y)，聯(lián)立，得得P.故點P的橫坐標為.答案：16公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值約為0618，這一數(shù)值也可以表示為m2sin 18，若m2n4，則_解析：由題設n4m244sin2184(1sin218)4cos218，2.答案：217(2019高考全國卷)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體