天津市2019屆高三數(shù)學(xué)3月九校聯(lián)考試卷理（含解析）.docx

天津市2019屆高三數(shù)學(xué)3月九校聯(lián)考試卷 理（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合均為全集的子集，且,則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】,因?yàn)?，所以中必有元素，【考點(diǎn)定位】本題考查集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，考查推理判斷能力.對(duì)于，這兩個(gè)條件，可以判斷集合中的元素有三種情形，而指出中必有元素，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，使結(jié)果判斷更容易.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】2.【2018年天津卷文】設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先畫(huà)出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定函數(shù)取得最大值的點(diǎn)，最后求解最大值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線(xiàn)方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)zaxby(ab0)的最值，當(dāng)b0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)b0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為( )A. 3B. C. 10D. 【答案】C【解析】分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)特征，先判斷i為奇數(shù)還是偶數(shù)，代入不同的處理框，依次算出S的值，同時(shí)判斷是否繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，即可求得S的值【詳解】由程序框圖可知：第一次循環(huán)：i=1為奇數(shù)，第二次循環(huán)：i=2為偶數(shù)，第三次循環(huán)，i=3為奇數(shù)，第四次循環(huán)，i=4為偶數(shù)，此時(shí)不滿(mǎn)足，退出循環(huán)，輸出，結(jié)束，故選C?！军c(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，按照要求逐步計(jì)算即可，屬基礎(chǔ)題。4.設(shè)平面與平面相交于直線(xiàn)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，且，則“”是“”的( )A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)橹本€(xiàn)在平面內(nèi)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，且，若，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，一定有；反之，當(dāng)，若時(shí)，不一定成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選B.考點(diǎn)：1、充分條件與必要條件；2、面面垂直的判定與性質(zhì).5.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)是( )A. 奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B. 奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C. 偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D. 偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)三角函數(shù)式可得，據(jù)此考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可.【詳解】由題意可得：.故函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，其圖像不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，其圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)的周期性，三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6.已知函數(shù)的定義域是，當(dāng),時(shí)，若，則有的值( )A. 恒等于零B. 恒小于零C. 恒大于零D. 可能小于零，也可能大于零【答案】C【解析】【分析】由題意可得函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的解析式可得：在時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，進(jìn)而可得時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性確定的符號(hào)即可.【詳解】函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足，故函數(shù)為奇函數(shù)，又由，在時(shí)恒成立，故時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，進(jìn)而可得時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，若，則，則，從而：，據(jù)此可得：，即的值恒大于零.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7.已知雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線(xiàn)的焦距為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為（a，0），拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（，0），于是a4而拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為l:x，由l與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)為（2，1），可知2，于是a2，又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為yx，點(diǎn)（2，1）在漸近線(xiàn)上，得，故b1于是c，故焦距為2c2考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】8.設(shè)，若函數(shù)在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，據(jù)此可得：，據(jù)此可得函數(shù)與在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】很明顯不是函數(shù)的零點(diǎn)，令函數(shù)，則，則，令，則函數(shù)的圖象與在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可得：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的方法，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、填空題（將答案填在答題紙上）9.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是_【答案】1【解析】【分析】由題意可得：，據(jù)此結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算確定z的虛部即可.【詳解】由題意可得：，即,，則復(fù)數(shù)的虛部是1.【點(diǎn)睛】對(duì)于復(fù)數(shù)的乘法，類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，不含i的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，分別合并即可；對(duì)于復(fù)數(shù)的除法，關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式.10.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)_.【答案】1【解析】【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式通項(xiàng)公式可得：，令可得，據(jù)此結(jié)合題意求解a的值即可.【詳解】由題意結(jié)合二項(xiàng)式通項(xiàng)公式可得：，令可得，則展開(kāi)式中的系數(shù)為：，故.故答案為：【點(diǎn)睛】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理討論求解11.在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)被圓所截弦長(zhǎng)為，則_.【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合所給方程可得直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)為：，結(jié)合題中所給的弦長(zhǎng)確定的值即可.【詳解】很明顯，直線(xiàn)與圓均經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，將代入圓的方程可得：，據(jù)此可得直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)為：，結(jié)合題中所給的弦長(zhǎng)可得：.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)的幾何意義及其應(yīng)用，屬于中等題.12.已知三棱錐中，面，則三棱錐外接球的體積為_(kāi)【答案】【解析】【分析】三棱錐可補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接球相同，據(jù)此求得外接球的半徑，然后確定其體積即可.【詳解】如圖所示，三棱錐可補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接球相同，設(shè)外接球半徑為，則：，則，外接球的體積：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑.13.已知，且，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】由題意可得 ，結(jié)合和均值不等式可得的最小值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】由，且，可得： ，結(jié)合可得： ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤14.在直角三角形中，若，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最小值是_【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得 ，據(jù)此結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定的最小值即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意可得：，據(jù)此可得：，則：， ，其中，當(dāng)時(shí)，取到最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模的計(jì)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題（解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，角，且.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由正弦定理結(jié)合合分比的性質(zhì)可得，然后結(jié)合余弦定理求解的值即可.(2)由題意可得，利用余弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.【詳解】(1)由正弦定理結(jié)合合分比的性質(zhì)有：，則，由余弦定理有：，即，則：，據(jù)此可得：.(2)，.【點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍16. 某飲料公司招聘一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，以便確定工資級(jí)別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對(duì)，則月工資定為3500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2800元；否則月工資定為2100元.令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù).假設(shè)次人對(duì)A和B兩種飲料沒(méi)有鑒別能力.（1）求X的分布列；（2）求此員工月工資的期望.【答案】（1）01234 （2）【解析】解：(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4，則P(xi)(i0,1,2,3,4)，所以所求的分布列為X01234P(2)設(shè)Y表示該員工的月工資，則Y的所有可能取值為3500，2800,2100，相對(duì)的概率分別為，所以E(Y)3500280021002280(元)所以此員工工資的期望為2280元【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】17.在多面體中，四邊形是正方形，平面平面，.（1）求證：平面；（2）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)定理證明線(xiàn)面垂直即可；(2)在平面DAE內(nèi)，過(guò)D作AD的垂線(xiàn)DH，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DH所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面FAG的法向量和平面EAD的法向量求二面角的余弦值即可確定線(xiàn)段上是否存在點(diǎn).【詳解】(1)平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCD=AD，正方形中CDAD，CD平面ADE.(2)由（1）知平面ABCD平面AED.在平面DAE內(nèi)，過(guò)D作AD的垂線(xiàn)DH，則DH平面ABCD，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DH所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則設(shè)平面FAG的一個(gè)法向量，則，即，令可得：，易知平面EAD的一個(gè)法向量，由已如得.化簡(jiǎn)可得：，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且是與的等比中項(xiàng)，其前項(xiàng)和為；數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足(為常數(shù)，且).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及的值；(2)設(shè).求證：當(dāng)時(shí)，.【答案】()，；()證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】()由題意可得，據(jù)此可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步列方程組可得的值和的通項(xiàng)公式；()結(jié)合()的結(jié)果可知，裂項(xiàng)求和，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，然后分類(lèi)討論和證明題中的結(jié)論即可.【詳解】()由題意可得，即，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.()結(jié)合()的結(jié)果可知：，則， ，當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n1時(shí)，.故題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，裂項(xiàng)求和的方法，不等式的證明方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19.已知橢圓的離心率為，橢圓的左焦點(diǎn)為，橢圓上任意點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離是，過(guò)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)求證：、三點(diǎn)共線(xiàn)；(3)求面積的最大值.【答案】()；()證明見(jiàn)解析；().【解析】【分析】()由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b的值即可確定橢圓方程；()設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理證明即可證得題中的結(jié)論.()由題意可得的面積，結(jié)合均值不等式的結(jié)論確定面積的最大值即可.【詳解】()由題意可得：，解得：，故橢圓的離心率為：.()結(jié)合()中的橢圓方程可得：，故，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程：可得：.直線(xiàn)與橢圓相交，則：，解得：或.設(shè)，則：,故：將代入上式可得：，故三點(diǎn)共線(xiàn)；()結(jié)合()中的結(jié)論可得：的面積 .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】解決直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀(guān)察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題20.已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)若在處取得極值，判斷當(dāng)時(shí)，存在幾條切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.【答案】()；()答案見(jiàn)解析；()證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】()由題意可得恒成立 ，構(gòu)造函數(shù)，令,由導(dǎo)函數(shù)的解析式可知在遞增,在遞減, 據(jù)此計(jì)算可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.() 由在處取得極值可得.原問(wèn)題等價(jià)于求解在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)在特殊點(diǎn)處的函數(shù)值即可確定切線(xiàn)的條數(shù).而事實(shí)情況下檢驗(yàn)時(shí)函數(shù)不存在極值點(diǎn)，所以不存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)，也不存在滿(mǎn)足題意的切線(xiàn).()若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),不妨設(shè)，易知,結(jié)合函數(shù)的解析式和零點(diǎn)的性質(zhì)即可證得題中的不等式.【詳解】()由已知,恒成立 令,則, ,令,解得:,令,解得:, 故在遞增,在遞減, ，由恒成立可得.即當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí),的取值范圍是.()在處取得極值，則，可得.令，即 .設(shè)，則.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，注意到，則方程在內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即當(dāng)時(shí)，只有一條斜率為且與函數(shù)圖像相切的直線(xiàn).但事實(shí)