解決與導數(shù)有關(guān)問題的三個策略[文檔資料]

解決與導數(shù)有關(guān)問題的三個策略 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 例 1 設點 P 在曲線 y= ex 上，點 Q 在曲線 y=ln 2x上，則 |PQ|的最小值為 A.1-ln 2 B. （ 1-ln 2） C.1+ln 2 D. （ 1+ln 2） 分析 由題意知，兩條曲線關(guān)于直線 y=x 對稱，求出其中一條曲線到直線 y=x 的距離的最小值的 2 倍即可 .要求曲線y= ex 上的點 P 到直線 y=x 的距離的最小值，可以先設出點 P的坐標，運用點到直線 的距離公式求解 .這種方法雖然可行，但是運算量較大 .我們可以利用曲線的切線幫助求解 . 解 由題意知，曲線 y= ex 與 y=ln 2x 關(guān)于直線 y=x 對稱，且 y = ex 在 R 上單調(diào)遞增，所以曲線 y= ex 上的點與曲線 y =ln 2x 上的點的最短距離為曲線 y= ex 上的點到直線y=x 的最短距離的 2 倍 .當過點 P 的切線與直線 y=x 平行時，點 P 到直線 y=x 的距離最短 .設點 P 的坐標為（ x0， y0），由y= ex ，得 e =1，即 x0 =ln 2，則點 P 的坐標為（ ln 2，1） . 所以 |PQ|min=2 = （ 1-ln 2） .選 B. 小結(jié) 這道設計新穎的試題，主要考查同學們靈活運用數(shù)學知識的能力 .靈活轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵 . 例 2 已知函數(shù) f（ x）滿足： f（ x） = f （ 1） ex-1- f（ 0） x+ . （ 1）求 f（ x）的解析式及單調(diào)區(qū)間 . （ 2）如果 f（ x） x2+ax+b ，求（ a+1） b 的最大值 . 分析 要求出 f （ 1）， f（ 0），求導、賦值是必然的 .令 h（ x） = f（ x） -（ x2+ax+b），由 h （ x） =ex-（ a+1）的符號確 定函數(shù) h（ x）的單調(diào)區(qū)間 .a+1 的符號影響了 h（ x）的單調(diào)性，故對 a+1 的范圍進行篩選，選出適合條件的范圍，找到極值點，得出 h（ x）的最小值 .由 h（ x）的最小值大于等于 0，得到 a， b 的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于a+1 的函數(shù)的最大值 . 解 （ 1）由 f（ x） = f （ 1） ex-1- f（ 0） x+ ，得 f （ x） = f （ 1） ex-1- f（ 0） +x.令 x=1，將其代入f （ x） = f （ 1） ex-1- f（ 0） +x，可得 f（ 0） =1，則 f（ 0） = f （ 1） e-1=1，得 f （ 1） =e. 所以， f（ x）的解析式為 f（ x） =ex-x+ . 令 g（ x） = f （ x） =ex-1+x，則 g （ x）=ex+10，可知 g（ x） =ex-1+x 在 R 上單調(diào)遞增 . 于是由 f （ x） f （ 0），得 x0 ；由 f （ x） f （ 0），得 x0，則 h（ x） =ex-（ a+1） x-b在 R 上單調(diào)遞增 .當 x - 時， h（ x） - ，與 h（ x） 0矛盾 . 當 a+10 時，由 h （ x） 0，可得 xln（ a+1），由h （ x） 0，可得 x0），則 F （ u） =u（ 1-2ln u） . 由 F （ u） 0，可得 0 . 當 u= 時， Fmax（ u） = . 所以，當 a= -1， b= 時，（ a+1） b 取得最大值為 . 小結(jié) 篩選法是對某個參數(shù)的所有取值范圍作一個甄別，篩選出適合題設的范圍，進而解決問題，其關(guān)鍵是如何篩選 . 例 3 已知函數(shù) f（ x） =ln（ 1+x） -x， g（ x） =xln x. （ 1）求函數(shù) f（ x）的最大值 . （ 2）設 0 分析 本題主要考查函數(shù)最值的求法和利用導數(shù)證明不等式 .解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，用函數(shù)求導的知識，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解 . （ 1）解：由已知得，函數(shù) f（ x）的定義域為（ -1，+ ）， f （ x） = -1. 令 f （ x） =0，解得 x=0，則當 -1 0 時， f （ x）a，所以 F（ b） 0，即 g（ a） +g（ b） -2g（ ） 0. 設 G（ x） =F（ x） -（ x-a） ln 2，則 G （ x） =ln x-ln -ln 2=ln x-ln（ a+x） . 當 x0 時， G （ x） 0，則 G（ x）在（ 0， + ）上為減函數(shù) .由于 G（ a） =0， ab，所以 G（ b） 0，即 g（ a） +g（ b） -2g（ ） （ b-a） ln 2. 綜上可得， 0 g（ a） +g（ b） -2g（ ） （ b-a） ln 2. 小結(jié) 構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式是近幾年高考的熱點