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解決與導(dǎo)數(shù)有關(guān)問(wèn)題的三個(gè)策略 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 例 1 設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y= ex 上,點(diǎn) Q 在曲線 y=ln 2x上,則 |PQ|的最小值為 A.1-ln 2 B. ( 1-ln 2) C.1+ln 2 D. ( 1+ln 2) 分析 由題意知,兩條曲線關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱,求出其中一條曲線到直線 y=x 的距離的最小值的 2 倍即可 .要求曲線y= ex 上的點(diǎn) P 到直線 y=x 的距離的最小值,可以先設(shè)出點(diǎn) P的坐標(biāo),運(yùn)用點(diǎn)到直線 的距離公式求解 .這種方法雖然可行,但是運(yùn)算量較大 .我們可以利用曲線的切線幫助求解 . 解 由題意知,曲線 y= ex 與 y=ln 2x 關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱,且 y = ex 在 R 上單調(diào)遞增,所以曲線 y= ex 上的點(diǎn)與曲線 y =ln 2x 上的點(diǎn)的最短距離為曲線 y= ex 上的點(diǎn)到直線y=x 的最短距離的 2 倍 .當(dāng)過(guò)點(diǎn) P 的切線與直線 y=x 平行時(shí),點(diǎn) P 到直線 y=x 的距離最短 .設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( x0, y0),由y= ex ,得 e =1,即 x0 =ln 2,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( ln 2,1) . 所以 |PQ|min=2 = ( 1-ln 2) .選 B. 小結(jié) 這道設(shè)計(jì)新穎的試題,主要考查同學(xué)們靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力 .靈活轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵 . 例 2 已知函數(shù) f( x)滿足: f( x) = f ( 1) ex-1- f( 0) x+ . ( 1)求 f( x)的解析式及單調(diào)區(qū)間 . ( 2)如果 f( x) x2+ax+b ,求( a+1) b 的最大值 . 分析 要求出 f ( 1), f( 0),求導(dǎo)、賦值是必然的 .令 h( x) = f( x) -( x2+ax+b),由 h ( x) =ex-( a+1)的符號(hào)確 定函數(shù) h( x)的單調(diào)區(qū)間 .a+1 的符號(hào)影響了 h( x)的單調(diào)性,故對(duì) a+1 的范圍進(jìn)行篩選,選出適合條件的范圍,找到極值點(diǎn),得出 h( x)的最小值 .由 h( x)的最小值大于等于 0,得到 a, b 的關(guān)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于a+1 的函數(shù)的最大值 . 解 ( 1)由 f( x) = f ( 1) ex-1- f( 0) x+ ,得 f ( x) = f ( 1) ex-1- f( 0) +x.令 x=1,將其代入f ( x) = f ( 1) ex-1- f( 0) +x,可得 f( 0) =1,則 f( 0) = f ( 1) e-1=1,得 f ( 1) =e. 所以, f( x)的解析式為 f( x) =ex-x+ . 令 g( x) = f ( x) =ex-1+x,則 g ( x)=ex+10,可知 g( x) =ex-1+x 在 R 上單調(diào)遞增 . 于是由 f ( x) f ( 0),得 x0 ;由 f ( x) f ( 0),得 x0,則 h( x) =ex-( a+1) x-b在 R 上單調(diào)遞增 .當(dāng) x - 時(shí), h( x) - ,與 h( x) 0矛盾 . 當(dāng) a+10 時(shí),由 h ( x) 0,可得 xln( a+1),由h ( x) 0,可得 x0),則 F ( u) =u( 1-2ln u) . 由 F ( u) 0,可得 0 . 當(dāng) u= 時(shí), Fmax( u) = . 所以,當(dāng) a= -1, b= 時(shí),( a+1) b 取得最大值為 . 小結(jié) 篩選法是對(duì)某個(gè)參數(shù)的所有取值范圍作一個(gè)甄別,篩選出適合題設(shè)的范圍,進(jìn)而解決問(wèn)題,其關(guān)鍵是如何篩選 . 例 3 已知函數(shù) f( x) =ln( 1+x) -x, g( x) =xln x. ( 1)求函數(shù) f( x)的最大值 . ( 2)設(shè) 0 分析 本題主要考查函數(shù)最值的求法和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 .解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),用函數(shù)求導(dǎo)的知識(shí),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解 . ( 1)解:由已知得,函數(shù) f( x)的定義域?yàn)椋?-1,+ ), f ( x) = -1. 令 f ( x) =0,解得 x=0,則當(dāng) -1 0 時(shí), f ( x)a,所以 F( b) 0,即 g( a) +g( b) -2g( ) 0. 設(shè) G( x) =F( x) -( x-a) ln 2,則 G ( x) =ln x-ln -ln 2=ln x-ln( a+x) . 當(dāng) x0 時(shí), G ( x) 0,則 G( x)在( 0, + )上為減函數(shù) .由于 G( a) =0, ab,所以 G( b) 0,即 g( a) +g( b) -2g( ) ( b-a) ln 2. 綜上可得, 0 g( a) +g( b) -2g( ) ( b-a) ln 2. 小結(jié) 構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式是近幾年高考的熱點(diǎn)
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