巧證平行與垂直[文檔資料]

巧證平行與垂直 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 專題策劃：巧解立體幾何題得滿分 編者按：平時在與高三學(xué)生通過面對面、電話、網(wǎng)絡(luò)、信件交流時得知，立體幾何解答題在高考試卷中屬于中等難度的題目，平時練習(xí)的立體幾何解答題的難度稍高于高考中的立體幾何解答題的難度，因此高考中的立體幾何解答題很容易得滿分 .然而事實上，近兩年我們與高考閱卷老師交流后得知，學(xué)生在解答立體幾何解答題時丟分現(xiàn)象嚴(yán)重 .其實，高考立體幾何解答題考查的知識點就是有數(shù)的幾個 ，掌握了它們，不想得滿分都難，關(guān)鍵在于你是否真正掌握了它們 . 一、平行問題 1.直線與直線平行 策略：要證明直線 a 直線 c，只要先找到直線 b，證明 ab 且 bc 即可 . 例 1 如圖 1 所示，在三棱錐 P-ABQ 中， PB 平面ABQ， BA=BP=BQ， D， C， E， F 分別是 AQ， BQ， AP， BP的中點， AQ=2BD， PD與 EQ交于點 G， PC與 FQ交于點 H，連接 GH.求證： ABGH. 難度系數(shù) 0.60 分析 由 ABEF ， EFGH ，可知 ABGH. 證明 在 APQ 中， D， E 分別是 AQ， AP 的中點，則 G是 APQ 的重心，于是有 =2.同理有 =2.所以 = ，即 GHEF. 又 EF 是 PAB 的中位線，所以 ABEF. 綜上可知 ABGH. 小結(jié) 三角形的重心分中線為 21 兩部分 .三角形的中位線平行于底邊，且等于底邊的一半 . 2.直線與平面平行 策略：平面 外的一條直線 a，如果與平面 內(nèi)的一條直線 b 平行，那么 a. 例 2 如圖 2 所示，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， D 是 AB的中點， AA1=AC=CB= AB. 證明： BC1 平面 A1DC. 難度系數(shù) 0.65 分析 要證明直線與平面平行，只要證明直線與直線平行或者將其轉(zhuǎn)化為證明向量的數(shù)量積為零即可 . 證明 （證法 1）連接 AC1 交 A1C 于點 F，連接 DF. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，由 AA1=AC，可知四邊形ACC1A1 為正方形，故 F 為 AC1 的中點 .在 ABC1 中，由于 D為 AB的中點，所以 DFBC1. 由于 DF？奐平面 A1DC， BC1？埭平面 A1DC，所以BC1 平面 A1DC. （證法 2）設(shè)平面 A1DC 的法向量為 n=（ a， b， c），則有 n =0 ， n =0. 由于 =（ - ， 0， - ）， =（ ， ， 0），所以 - a- c=0， a+ b=0. 于是 b=c=-a. 取 n=（ 1， -1， -1），由于 =（ 0， - ， ）， n =0 ，所以 n ，從而有 BC1 平面 A1DC. 小結(jié) 用待定系數(shù)法確定平面的一個法向量 n，再證明n ，這是理科考生要掌握的方法 . 3.平面與平面平行 策略：要證明平面與平面平行，我們只要先證明其中一個平面 內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行即可 . 例 3 如圖 3 所示，在三棱錐 S-ABC 中，平面 SAB 平面 SBC， ABBC ， AS=AB.過 A 作 AFSB ，垂足為 F，點 E， G分別是棱 SA， SC的中點 . 求證：平面 EFG 平面 ABC. 難度系數(shù) 0.65 分析 欲證面面平行，先證線面平行，由中點找中點，用三角形中位線的性質(zhì)解答 . 證明 由于 AS=AB， AFSB ，所以點 F 為 SB 的中點 .由于 E， G 分別是 SA， SC的中點，所以 EFAB ， EGAC. 所以EF 平面 ABC， EG 平面 ABC. 又 EFEG=E ，所以平面 EFG 平面 ABC. 小結(jié) 將證明平面與平面平行轉(zhuǎn)化為證明直線與平面平行，將證明直線與平面平行轉(zhuǎn)化為證明直線與直線平行，這體現(xiàn)了立體幾何證明題的 “ 降維思想 ”. 二、垂直問題 1.直線與直線垂直 策略：由直線與平面垂直，可知直線與該平面內(nèi)的任意直線垂直 .另外，也可用向量的數(shù)量積為零來證明 . 例 4 如圖 4 所示，四棱錐 P-ABCD 的底面 ABCD 是邊長為 2 的菱形， BAD=60. 已知 PB=PD=2， PA= .證 明： BDPC. 難度系數(shù) 0.60 分析 要證明 BDPC ，可先證明 BD 平面 APC 或證明 =0. 證明 （證法 1）連接 AC 交 BD于點 O，連接 PO. 由于底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD ， BO=DO.由于PB=PD，所以 POBD. 又 POAC=O ，所以 BD 平面 APC，即 BDPC. （證法 2）連接 AC交 BD于點 O，連接 PO. 由于底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD. 由于 PB=PD， O 為BD的中點，所以 POBD. 由于 = （ + ） = + =0 ，所以 ，于是有 BDPC. （證法 3）連接 AC交 BD于點 O，連接 PO.以 O 為坐標(biāo)原點，以 OB所在的直線為 x 軸，以 OC所在的直線為 y 軸，以 OP所在的直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 . 由題設(shè)易知 PBD 和 BCD 是邊長為 2 的等邊三角形，于是可知 B（ 1， 0， 0）， D（ -1， 0， 0）， P（ 0， 0， ）， C（ 0， ， 0），從而有 =（ -2， 0， 0）， =（ 0， ， - ） . 由于 = -20+0 +0 （ - ） =0，所以 ，即BDPC. 小結(jié) 如果直線與平面垂直，那么直線與該平面內(nèi)的任意直線都垂直 . 2.直線與平面垂直 策略：要證明直線與平面垂直，只要先證明直線與該平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可 . 例 5 如圖 5 所示，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， O 為底面中心，A1O 平面 ABCD， AB =AA1= .證明： A1C 平面 BB1D1D. 難度系數(shù) 0.60 分析 找出線段 B1D1 的中點為 E1，先證明 A1CBD ，A1CE1O ，然后結(jié)論得證 . 證明 由于 A1O 平面 ABCD，且 BD？奐平面 ABCD，所以 A1OBD. 在正方形 ABCD 中，由于 ACBD ，且 A1OAC=O ，所以BD 平面 A1AC.又 A1C？奐平面 A1AC，所以 A1CBD. 在正方形 ABCD 中， AO=1； 在 RtA1OA 中， A1O=1. 設(shè) B1D1 的中點為 E1，則四邊形 A1OCE1 為正方形，所以 A1CE1O. 又 BD？奐平面 BB1D1D， E1O？奐平面 BB1D1D，且BDE1O=O ，所以 A1C 平面 BB1D1D. 小結(jié) 從圖 形里的 “ 中點 ” ，再找一個 “ 中點 ” ，作出輔助線，這是經(jīng)常采用的方法，值得琢磨、反思 . 3.平面與平面垂直 策略：要證明平面與平面垂直，只要證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線即可 . 例 6 如圖 6 所示， AB是圓的直徑， PA 垂直圓所在的平面， C 是圓上的點 .求證：平面 PAC 平面 PBC. 難度系數(shù) 0.65 分析 從半圓上的圓周角是直角入手，證明 BC 平面PAC. 證明 由 AB 是圓的直徑，可得 ACBC. 由 PA 平面 ABC， BC？奐平面 ABC， 可得 PABC. 又 PAAC=A ， PA？奐平面 PAC， AC？奐平面 PAC，所以BC 平面 PAC. 由于 BC？奐平面 PBC，所以平面 PAC 平面 PBC. 小結(jié) 本題是教材中的經(jīng)典題目，也是 1995 年全國高考考查過的題型 .看來，抓教材中的典型題目和往年的高考真題，對提高復(fù)習(xí)效率是很有益處的 . 安振平，陜西省特級教師，中國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽高級教練員 .先后