湖南省長沙一中高三數學上學期第一次月考試卷 理（含解析）.doc

湖南省長沙一中2015屆高三上學期第一次月考數學試卷（理科） 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共5分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（5分）集合m=1，2，n=1，2，3，p=x|x=ab，am，bn，則集合p的元素個數為（）a3b4c5d62（5分）在索契冬奧會跳臺滑雪空中技巧比賽賽前訓練中，甲、乙兩位隊員各跳一次設命題p是“甲落地站穩(wěn)”，q是“乙落地站穩(wěn)”，則命題“至少有一位隊員落地沒有站穩(wěn)”可表示為（）apqbp（q）c（p）（q）d（p）（q）3（5分）如圖所示的方格紙中有定點o，p，q，e，f，g，h，則=（）abcd4（5分）復數m（3+i）（2+i）（mr，i為虛數單位）在復平面內對應的點不可能位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限5（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序若輸入某個正整數n后，輸出的s（31，72），則n的值為（）a5b6c7d86（5分）已知x0是的一個零點，x1（，x0），x2（x0，0），則（）af（x1）0，f（x2）0bf（x1）0，f（x2）0cf（x1）0，f（x2）0df（x1）0，f（x2）07（5分）若將函數f（x）=sin2x+cos2x的圖象向右平移個單位，所得圖象關于y軸對稱，則的最小正值是（）abcd8（5分）已知x，yr，且命題p：xy，命題q：xy+sin（xy）0，則p是q的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件9（5分）當實數x，y滿足時，1ax+y4恒成立，則實數a的取值范圍是（）abcd10（5分）已知a（1，0），點b在曲線g：y=ln（x+1）上，若線段ab與曲線m：y=相交且交點恰為線段ab的中點，則稱b為曲線g關于曲線m的一個關聯點記曲線g關于曲線m的關聯點的個數為a，則（）aa=0ba=1ca=2da2二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上）11（5分）已知角的終邊經過點（4，3），則sin（+）=12（5分）已知4a=，lgx=a，則x=13（5分）若f（x）=，則滿足f（x）0的x的取值范圍是14（5分）已知，均為單位向量，且滿足=0，則（+）（+）的最大值是15（5分）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現有這樣一組數：1，1，2，3，5，8，13，其中從第三個數起，每一個數都等于他前而兩個數的和該數列是一個非常美麗、和諧的數列，有很多奇妙的屬性比如：隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887人們稱該數列an為“斐波那契數列”若把該數列an的每一項除以4所得的余數按相對應的順序組成新數列bn，在數列bn中第2014項的值是；數列bn中，第2014個值為1的項的序號是三、解答題（本大題共6小題，共75分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16（12分）已知函數f（x）=2sinxcosx2sin2x+a，ar（）求函數f（x）的最小正周期；（）若函數f（x）有零點，求實數a的取值范圍17（12分）已知圓內接四邊形abcd的邊ab=1，bc=3，cd=da=2（）求角c的大小和bd的長；（）求四邊形abcd的面積及外接圓半徑18（12分）某工廠統(tǒng)計資料顯示，產品次品率p與日產量n （件）（nn+，且1n98）的關系表如下：n123498p1又知每生產一件正品盈利a元，每生產一件次品損失元（a0）（1）將該廠日盈利額t（元）表示為日產量n（件）的一種函數關系式；（2）為了獲得最大盈利，該廠的日產量應定為多少件？（1.73）19（13分）數列an滿足：a1=1，a2=2，an+2=（1+）an+sin2，nn+（）求數列an的通項公式；（）設bn=，sn=b1+b2+bn，證明：sn2（nn+）20（13分）如圖，橢圓=1（ab0）與一等軸雙曲線相交，m是其中一個交點，并且雙曲線的頂點是該橢圓的焦點f1，f2，雙曲線的焦點是橢圓的頂點a1，a2，mf1f2的周長為4（+1）設p為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線pf1和pf2與橢圓的交點分別為a、b和c、d（）求橢圓和雙曲線的標準方程；（）設直線pf1、pf2的斜率分別為k1、k2，證明k1k2=1；（）是否存在常數，使得|ab|+|cd|=|ab|cd|恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由21（13分）已知x=a、x=b是函數f（x）=lnx+（m+2）x（mr）的兩個極值點，若4（）求實數m的取值范圍；（）求f（b）f（a）的最大值湖南省長沙一中2015屆高三上學期第一次月考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共5分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（5分）集合m=1，2，n=1，2，3，p=x|x=ab，am，bn，則集合p的元素個數為（）a3b4c5d6考點：元素與集合關系的判斷 專題：集合分析：首先，根據am，bn，逐一對a，b的取值情形進行討論，然后，求解x=ab的取值情形解答：解：當a=1，b=1時，x=1；當a=1，b=2時，x=2；當a=1，b=3時，x=3；當a=2，b=1時，x=2；當a=2，b=2時，x=4；當a=2，b=3時，x=6；根據集合的元素滿足互異性，得p=1，2，3，4，6共5個元素故選c點評：本題重點考查集合中的元素性質，集合的列舉法表示等，屬于容易題2（5分）在索契冬奧會跳臺滑雪空中技巧比賽賽前訓練中，甲、乙兩位隊員各跳一次設命題p是“甲落地站穩(wěn)”，q是“乙落地站穩(wěn)”，則命題“至少有一位隊員落地沒有站穩(wěn)”可表示為（）apqbp（q）c（p）（q）d（p）（q）考點：復合命題 專題：簡易邏輯分析：命題“至少有一位隊員落地沒有站穩(wěn)”表示“甲落地沒有站穩(wěn)”與“乙落地沒有站穩(wěn)至少一個發(fā)生”解答：解：設命題p是“甲落地站穩(wěn)”，q是“乙落地站穩(wěn)”，則命題“至少有一位隊員落地沒有站穩(wěn)”表示p與q至少一個發(fā)生，即p與q至少一個發(fā)生，表示為（）p（q）故選：d點評：本題考查用簡單命題表示復合命題的非命題，屬于基礎題3（5分）如圖所示的方格紙中有定點o，p，q，e，f，g，h，則=（）abcd考點：向量的加法及其幾何意義 專題：計算題分析：利用平行四邊形法則做出向量，再進行平移，利用向量相等的條件，可得 解答：解：設，以op、oq為鄰邊作平行四邊形，則夾在op、oq之間的對角線對應的向量即為向量，由和長度相等，方向相同，故選 c點評：本題考查向量的加法及其幾何意義，向量相等的條件，利用向量相等的條件是解題的關鍵4（5分）復數m（3+i）（2+i）（mr，i為虛數單位）在復平面內對應的點不可能位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考點：復數的代數表示法及其幾何意義 專題：數系的擴充和復數分析：根據復數的幾何意義，即可得到結論解答：解：m（3+i）（2+i）=3m2+（m1）i，對應的坐標為（3m2，m1），當時，即，此時不等式無解，即復數在復平面內對應的點不可能位于第二象限，故選：b點評：本題主要考查復數的幾何意義，利用復數的基本運算即可得到結論，比較基礎5（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序若輸入某個正整數n后，輸出的s（31，72），則n的值為（）a5b6c7d8考點：程序框圖 專題：算法和程序框圖分析：根據框圖的流程依次計算程序運行的結果，直到輸出的s（31，72），確定跳出循環(huán)的k值，從而確定判斷框的條件，可得答案解答：解：由程序框圖知：第一次循環(huán)s=1+0=1，k=2；第二次循環(huán)s=1+21=3，k=3；第三次循環(huán)s=1+23=7，k=4；第四次循環(huán)s=1+27=15，k=5；第五次循環(huán)s=1+215=31k=6；第六次循環(huán)s=1+231=63，k=7；第七次循環(huán)s=1+263=127，k=8輸出的s（31，72），跳出循環(huán)的k值為7，判斷框的條件為k6故選：b點評：本題考查了循環(huán)結構的程序框圖，根據框圖的流程依次計算程序運行的結果是解答此類問題的常用方法6（5分）已知x0是的一個零點，x1（，x0），x2（x0，0），則（）af（x1）0，f（x2）0bf（x1）0，f（x2）0cf（x1）0，f（x2）0df（x1）0，f（x2）0考點：函數零點的判定定理 專題：計算題分析：已知x0是的一個零點，可令h（x）=，g（x）=，畫出h（x）與g（x）的圖象，判斷h（x）與g（x）的大小，從而進行求解；解答：解：已知x0是的一個零點，x1（，x0），x2（x0，0），可令h（x）=，g（x）=，如下圖：當0xx0，時g（x）h（x），h（x）g（x）=0；當xx0時，g（x）h（x），h（x）g（x）=0；x1（，x0），x2（x0，0），f（x1）0，f（x2）0，故選c；點評：此題主要考查指數函數的圖象及其性質，解題的過程中用到了分類討論的思想，這是2015屆高考的熱點問題，是一道基礎題；7（5分）若將函數f（x）=sin2x+cos2x的圖象向右平移個單位，所得圖象關于y軸對稱，則的最小正值是（）abcd考點：函數y=asin（x+）的圖象變換 專題：三角函數的求值分析：利用兩角和的正弦函數對解析式進行化簡，由所得到的圖象關于y軸對稱，根據對稱軸方程求出的最小值解答：解：函數f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的圖象向右平移的單位，所得圖象是函數y=sin（2x+2），圖象關于y軸對稱，可得2=k+，即=，當k=1時，的最小正值是故選：c點評：本題考查三角函數的圖象變換，考查正弦函數圖象的特點，屬于基礎題8（5分）已知x，yr，且命題p：xy，命題q：xy+sin（xy）0，則p是q的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷 專題：簡易邏輯分析：構造函數f（t）=t+sint，利用導數研究函數的單調性，結合充分條件和必要條件的定義即可得到結論解答：解：令t=xy，設f（t）=t+sint，則f（t）=1+cost0，于是函數f（t）在r上是單調遞增函數，若xy，即xy0時，因為函數f（t）在r上是單調遞增函，所以當t0，有f（t）f（0）成立，而f（0）=0+sin0=0，即有當xy0，有xy+sin（xy）0成立，即充分性成立；若xy+sin（xy）0時，即t+sint0，即是f（t）f（0）（因為f（0）=0，由函數f（t）在r上是單調遞增函，所以由f（t）f（0）得t0，即是xy0，即必要性成立，綜上所述：p是q的充要條件故選：c點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，構造函數，利用函數的單調性是解決本題的關鍵9（5分）當實數x，y滿足時，1ax+y4恒成立，則實數a的取值范圍是（）abcd考點：簡單線性規(guī)劃 專題：不等式的解法及應用分析：由約束條件作出可行域，再由1ax+y4恒成立，結合可行域內特殊點a，b，c的坐標滿足不等式列不等式組，求解不等式組得實數a的取值范圍解答：解：由約束條件作可行域如圖，聯立 ，解得c（1， ）聯立 ，解得b（2，1）在xy1=0中取y=0得a（1，0）要使1ax+y4恒成立，則，解得：1a實數a的取值范圍是故選：c點評：本題考查線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，考查了數學轉化思想方法，訓練了不等式組得解法，是中檔題10（5分）已知a（1，0），點b在曲線g：y=ln（x+1）上，若線段ab與曲線m：y=相交且交點恰為線段ab的中點，則稱b為曲線g關于曲線m的一個關聯點記曲線g關于曲線m的關聯點的個數為a，則（）aa=0ba=1ca=2da2考點：函數的圖象 專題：函數的性質及應用分析：由定義，可先設點b的坐標，再由點a，b的坐標表示出中點的坐標，由中點坐標在曲線m上，建立關于x的方程，研究此方程有幾個根，即可得出a的值解答：解：設點b（x，ln（x+1），則點a，b的中點的坐標是（，），由于此點在曲線m：y=上，故有=，即ln（x+1）=，此方程的根即兩函數y=ln（x+1）與y=的交點的橫坐標，由于此二函數一為增函數，一為減函數，故兩函數y=ln（x+1）與y=的交點個數為1，故符合條件的關聯點僅有一個，所以a=1故選：b點評：本題考查函數圖象的對稱性，方程的根與相應函數交點個數的關系，考查了轉化思想，數形結合的思想，解答本題的關鍵是如何入手，二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上）11（5分）已知角的終邊經過點（4，3），則sin（+）=考點：同角三角函數間的基本關系；任意角的三角函數的定義 專題：三角函數的求值分析：利用任意角的三角函數的定義可求得cos=，再利用誘導公式即可求得答案解答：解：角的終邊經過點（4，3），cos=，sin（+）=cos=，故答案為：點評：本題考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題12（5分）已知4a=，lgx=a，則x=考點：對數的運算性質 專題：函數的性質及應用分析：先對4a=兩邊取對數，求出a的值，再根據對數的運算性質計算即可，解答：解：4a=，a=log4=lgx=lg，x=故答案為：點評：本題主要考查對數運算性質，屬于基礎題13（5分）若f（x）=，則滿足f（x）0的x的取值范圍是（0，1）考點：指、對數不等式的解法；其他不等式的解法 專題：不等式的解法及應用分析：直接利用已知條件轉化不等式求解即可解答：解：f（x）=，若滿足f（x）0，即，y=是增函數，的解集為：（0，1）故答案為：（0，1）點評：本題考查指數不等式的解法，函數的單調性的應用，考查計算能力14（5分）已知，均為單位向量，且滿足=0，則（+）（+）的最大值是2+考點：平面向量數量積的運算 專題：平面向量及應用分析：首先將已知等式展開，得到（+）（+）=2+（2+），再利用向量的數量積轉為關于向量夾角的式子，求最值解答：解：，均為單位向量，且滿足=0，（+）（+）=2+2+2+=2+（2+）=2+|2+|cos，2+=2+cos，2+，當cos，2+=1時，（+）（+）的最大值是 2+故答案為：2+點評：本題考查了向量的數量積的定義以及運用，當向量的夾角為0時，數量積最大15（5分）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現有這樣一組數：1，1，2，3，5，8，13，其中從第三個數起，每一個數都等于他前而兩個數的和該數列是一個非常美麗、和諧的數列，有很多奇妙的屬性比如：隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887人們稱該數列an為“斐波那契數列”若把該數列an的每一項除以4所得的余數按相對應的順序組成新數列bn，在數列bn中第2014項的值是3；數列bn中，第2014個值為1的項的序號是4027考點：數列的概念及簡單表示法 專題：點列、遞歸數列與數學歸納法分析：根據數列，得到余數構成是數列是周期數列，即可得到結論解答：解：1，1，2，3，5，8，13，除以4所得的余數分別為1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0，即新數列bn是周期為6的周期數列，b2014=b2356+4=b4=3，在每一個周期內，含有3個1，2014=6713+1，第2014個值為1是項，位于第672個周期內的第一個1，則6716+1=4027，故答案為：3；4027點評：本題主要考查數列的應用，利用條件推導數列為周期數列是解決本題的關鍵三、解答題（本大題共6小題，共75分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16（12分）已知函數f（x）=2sinxcosx2sin2x+a，ar（）求函數f（x）的最小正周期；（）若函數f（x）有零點，求實數a的取值范圍考點：三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法 專題：三角函數的圖像與性質分析：（）首先，利用二倍角公式，化簡函數解析式，然后，利用周期公式確定該函數的最小正周期；（）令f（x）=0，然后，結合三角函數的圖象與性質進行求解解答：解：（）f（x）=sin2x+cos2x+a1=2sin（2x+）+a1，t=，函數f（x）的最小正周期為（）令f（x）=0，即2sin（2x+）+a1=0，則a=12sin（2x+），1sin（2x+）1，112sin（2x+）3，若f（x）有零點，則實數a的取值范圍是點評：本題重點考查了二倍角公式、三角恒等變換公式，三角函數的圖象與性質等知識，考查比較綜合，屬于中檔題17（12分）已知圓內接四邊形abcd的邊ab=1，bc=3，cd=da=2（）求角c的大小和bd的長；（）求四邊形abcd的面積及外接圓半徑考點：余弦定理 專題：計算題；解三角形分析：（）連結bd，由于a+c=180，則cosa=cosc，在bcd中，和在abd中分別應用余弦定理即可求得bd和角c；（）由于a+c=180，則sina=sinc，由四邊形abcd的面積為sabd+sbcd，應用面積公式，即可得到面積，再由正弦定理，得到比值為外接圓的直徑，即可得到半徑解答：解：（）連結bd，由于a+c=180，則cosa=cosc，由題設及余弦定理得，在bcd中，bd2=bc2+cd22bccdcosc=1312cosc，在abd中，bd2=ab2+da22abdacosa=5+4cosc，由得，故c=60，則（）由于a+c=180，則sina=sinc，由（）的結果及題設，可知四邊形abcd的面積= 由正弦定理，可得四邊形abcd的外接圓的半徑點評：本題考查余弦定理以及應用，三角形的面積公式及正弦定理中的比值為外接圓的直徑，考查運算能力，屬于中檔題18（12分）某工廠統(tǒng)計資料顯示，產品次品率p與日產量n （件）（nn+，且1n98）的關系表如下：n123498p1又知每生產一件正品盈利a元，每生產一件次品損失元（a0）（1）將該廠日盈利額t（元）表示為日產量n（件）的一種函數關系式；（2）為了獲得最大盈利，該廠的日產量應定為多少件？（1.73）考點：函數模型的選擇與應用 專題：應用題分析：（1）由題意可知p=（1n98，nn+）日產量n件中，正品（npn）件，從而可得日盈利額函數；（2）求出日產量函數，利用基本不等式，即可求得結論解答：解：（1）由題意可知p=（1n98，nn+）日產量n件中，正品（npn）件，日盈利額t（n）=a（npn）pn=a（n）（1n98，nn+）（2）=3+n（a0）=103103268.4，當且僅當100n=，即n=1001082.7，而nn+，且，故當n=83時，取得最大值，即t取得最大值點評：本題考查根據實際問題選擇函數類型，根據題意列出函數關系式，并考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題19（13分）數列an滿足：a1=1，a2=2，an+2=（1+）an+sin2，nn+（）求數列an的通項公式；（）設bn=，sn=b1+b2+bn，證明：sn2（nn+）考點：數列的求和 專題：等差數列與等比數列分析：（）由已知結合an+2=（1+）an+sin2，nn+，得到當n=2k1（kn+）時，a2k+1a2k1=1當n=2k（kn+）時，a2k+2=2a2k然后分別利用等差數列和等比數列的通項公式求得數列an的通項公式；（）把數列an的通項公式代入bn=，利用錯位相減法求出sn=b1+b2+bn，放縮證得sn2（nn+）解答：（）解：a1=1，a2=2，由題設遞推關系式有，一般地，當n=2k1（kn+）時，即a2k+1a2k1=1數列a2k1是首項為1公差為1的等差數列，因此a2k1=k當n=2k（kn+）時，數列a2k是首項為2公比為2的等比數列，因此故數列an的通項公式為；（）證明：由（）知，于是，從而，得=故有sn2點評：本題考查了等差關系和等比關系的確定，考查了錯位相減法去數列的和，體現了分類討論的數學思想方法，訓練了放縮法證明數列不等式，是中檔題20（13分）如圖，橢圓=1（ab0）與一等軸雙曲線相交，m是其中一個交點，并且雙曲線的頂點是該橢圓的焦點f1，f2，雙曲線的焦點是橢圓的頂點a1，a2，mf1f2的周長為4（+1）設p為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線pf1和pf2與橢圓的交點分別為a、b和c、d（）求橢圓和雙曲線的標準方程；（）設直線pf1、pf2的斜率分別為k1、k2，證明k1k2=1；（）是否存在常數，使得|ab|+|cd|=|ab|cd|恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由考點：圓錐曲線的綜合 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：（）由題意知，確定橢圓離心率，利用橢圓的定義得到又2a+2c=4（ +1），解方程組即可求得橢圓的方程，等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點可求得該雙曲線的方程；（）設點p（x0，y0），根據斜率公式求得k1、k2，把點p（x0，y0）在雙曲線上，即可證明結果；（）設直線ab的方程為y=k（x+2），則可求出直線cd的方程為y=（x2），聯立直線和橢圓方程，利用