（典型題）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 知識點總結(jié) 空間中的平行與垂直.doc

空間中的平行與垂直高考對本節(jié)知識的考查主要是以下兩種形式：1.以選擇、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題真假進(jìn)行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中等1線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理線面平行的判定定理a線面平行的性質(zhì)定理ab線面垂直的判定定理l線面垂直的性質(zhì)定理ab2 面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理面面垂直的判定定理面面垂直的性質(zhì)定理a面面平行的判定定理面面平行的性質(zhì)定理ab提醒使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時，要注意其具備的條件，缺一不可3 平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖考點一空間線面位置關(guān)系的判斷例1(1)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1，l2，l3共面dl1，l2，l3共點l1，l2，l3共面(2)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是()a若lm，m，則l b若l，lm，則mc若l，m，則lm d若l，m，則lm答案(1)b(2)b解析(1)對于a，直線l1與l3可能異面、相交；對于c，直線l1、l2、l3可能構(gòu)成三棱柱的三條棱而不共面；對于d，直線l1、l2、l3相交于同一個點時不一定共面，如正方體一個頂點的三條棱所以選b.(2)a中直線l可能在平面內(nèi)；c與d中直線l，m可能異面；事實上由直線與平面垂直的判定定理可得b正確解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全移植到立體幾何中(1)(2013廣東)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()a若，m，n，則mn b若，m，n，則mnc若mn，m，n，則 d若m，mn，n，則(2)平面平面的一個充分條件是()a存在一條直線a，a，ab存在一條直線a，a，ac存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bd存在兩條異面直線a，b，a，b，a，b答案(1)d(2)d解析(1)a中，m與n可垂直、可異面、可平行；b中m與n可平行、可異面；c中若，仍然滿足mn，m，n，故c錯誤；故d正確(2)若l，al，a，a，則a，a，故排除a.若l，a，al，則a，故排除b.若l，a，al，b，bl，則a，b，故排除c.故選d.考點二線線、線面的位置關(guān)系例2如圖，在四棱錐pabcd中，abcacd90，baccad60，pa平面abcd，e為pd的中點，pa2ab.(1)若f為pc的中點，求證：pc平面aef；(2)求證：ec平面pab.證明(1)由題意得paca，f為pc的中點，afpc.pa平面abcd，pacd.accd，paaca，cd平面pac，cdpc.e為pd的中點，f為pc的中點，efcd，efpc.afeff，pc平面aef.(2)方法一如圖，取ad的中點m，連接em，cm.則empa.em平面pab，pa平面pab，em平面pab.在rtacd中，cad60，mcam，acm60.而bac60，mcab.mc平面pab，ab平面pab，mc平面pab.emmcm，平面emc平面pab.ec平面emc，ec平面pab.方法二如圖，延長dc、ab，設(shè)它們交于點n，連接pn.nacdac60，accd，c為nd的中點e為pd的中點，ecpn.ec平面pab，pn平面pab，ec平面pab. (1)立體幾何中，要證線垂直于線，常常先證線垂直于面，再用線垂直于面的性質(zhì)易得線垂直于線要證線平行于面，只需先證線平行于線，再用線平行于面的判定定理易得(2)證明立體幾何問題，要緊密結(jié)合圖形，有時要利用平面幾何的相關(guān)知識，因此需要多畫出一些圖形輔助使用 如圖所示，在直三棱柱abca1b1c1中，abbcbb1，d為ac的中點(1)求證：b1c平面a1bd；(2)若ac1平面a1bd，求證：b1c1平面abb1a1；(3)在(2)的條件下，設(shè)ab1，求三棱錐ba1c1d的體積(1)證明如圖所示，連接ab1交a1b于e，連接ed.abca1b1c1是直三棱柱，且abbb1，側(cè)面abb1a1是正方形，e是ab1的中點，又已知d為ac的中點，在ab1c中，ed是中位線，b1ced，b1c平面a1bd.(2)證明ac1平面a1bd，ac1a1b.側(cè)面abb1a1是正方形，a1bab1.又ac1ab1a，a1b平面ab1c1，a1bb1c1.又abca1b1c1是直三棱柱，bb1b1c1，b1c1平面abb1a1.(3)解abbc，d為ac的中點，bdac，bd平面dc1a1.bd是三棱錐ba1c1d的高由(2)知b1c1平面abb1a1，bc平面abb1a1.bcab，abc是等腰直角三角形又abbc1，bd，aca1c1.三棱錐ba1c1d的體積vbdsa1c1da1c1aa11.考點三面面的位置關(guān)系例3如圖，在幾何體abcde中，abad2，abad，ae平面abd.m為線段bd的中點，mcae，aemc.(1)求證：平面bcd平面cde；(2)若n為線段de的中點，求證：平面amn平面bec.證明(1)abad2，abad，m為線段bd的中點，ambd，ambd.aemc，aemcbd，bccd.ae平面abd，mcae，mc平面abd.平面abd平面cbd，am平面cbd.又mc綊ae，四邊形amce為平行四邊形，ecam，ec平面cbd，bcec，eccdc，bc平面cde，平面bcd平面cde.(2)m為bd中點，n為ed中點，mnbe且beece，由(1)知ecam且ammnm，平面amn平面bec. (1)證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行(2)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決 如圖所示，已知ab平面acd，de平面acd，acd為等邊三角形，adde2ab，f為cd的中點求證：(1)af平面bce；(2)平面bce平面cde.證明(1)如圖，取ce的中點g，連接fg，bg.f為cd的中點，gfde且gfde.ab平面acd，de平面acd，abde，gfab.又abde，gfab.四邊形gfab為平行四邊形，則afbg.af平面bce，bg平面bce，af平面bce.(2)acd為等邊三角形，f為cd的中點，afcd.de平面acd，af平面acd，deaf.又cdded，故af平面cde.bgaf，bg平面cde.bg平面bce，平面bce平面cde.考點四圖形的折疊問題例4(2012北京)如圖(1)，在rtabc中，c90，d，e分別為ac，ab的中點，點f為線段cd上的一點，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如圖(2)(1)求證：de平面a1cb；(2)求證：a1fbe；(3)線段a1b上是否存在點q，使a1c平面deq？說明理由折疊問題要注意在折疊過程中，哪些量變化了，哪些量沒有變化第(1)問證明線面平行，可以證明debc；第(2)問證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明a1f平面bcde；第(3)問取a1b的中點q，再證明a1c平面deq.(1)證明因為d，e分別為ac，ab的中點，所以debc.又因為de平面a1cb，bc平面a1cb，所以de平面a1cb.(2)證明由已知得acbc且debc，所以deac.所以dea1d，decd.所以de平面a1dc.而a1f平面a1dc，所以dea1f.又因為a1fcd，所以a1f平面bcde，所以a1fbe.(3)解線段a1b上存在點q，使a1c平面deq.理由如下：如圖，分別取a1c，a1b的中點p，q，則pqbc.又因為debc，所以depq.所以平面deq即為平面dep.由(2)知，de平面a1dc，所以dea1c.又因為p是等腰三角形da1c底邊a1c的中點，所以a1cdp.所以a1c平面dep.從而a1c平面deq.故線段a1b上存在點q，使得a1c平面deq. (1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形 (2013廣東)如圖(1)，在邊長為1的等邊三角形abc中，d，e分別是ab，ac上的點，adae，f是bc的中點，af與de交于點g.將abf沿af折起，得到如圖(2)所示的三棱錐abcf，其中bc.(1)證明：de平面bcf；(2)證明：cf平面abf；(3)當(dāng)ad時，求三棱錐fdeg的體積vfdeg.(1)證明在等邊abc中，adae，在折疊后的三棱錐abcf中也成立debc，又de平面bcf，bc平面bcf，de平面bcf.(2)證明在等邊abc中，f是bc的中點，afcf.在三棱錐abcf中，bc，bc2bf2cf2，cfbf.又bfaff，cf平面abf.(3)解vfdegvedfgdgfgge.1 證明線線平行的常用方法(1)利用平行公理，即證明兩直線同時和第三條直線平行；(2)利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換；(3)利用三角形中位線定理證明；(4)利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明2 證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；(2)利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行3 證明面面平行的方法證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證面面平行轉(zhuǎn)化為證線面平行，再轉(zhuǎn)化為證線線平行4 證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可5 證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證面面垂直；(3)利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面等6 證明面面垂直的方法證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線或添加輔助線解決1 如圖，正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，線段b1d1上有兩個動點e，f，且ef，則下列結(jié)論中錯誤的是 ()aacbebef平面abcdc三棱錐abef的體積為定值daef的距離與bef的面積相等答案d解析ac平面bb1d1d，又be平面bb1d1d，acbe，故a正確b1d1平面abcd，又e、f在線段b1d1上運動，故ef平面abcd.故b正確c中由于點b到直線ef的距離是定值，故bef的面積為定值，又點a到平面bef的距離為定值，故vabef不變故c正確由于點a到b1d1的距離與點b到b1d1的距離不相等，因此aef與bef的面積不相等，故d錯誤2 如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e是棱dd1的中點(1)證明：平面adc1b1平面a1be；(2)在棱c1d1上是否存在一點f，使b1f平面a1be？證明你的結(jié)論(1)證明如圖，因為abcda1b1c1d1為正方體，所以b1c1面abb1a1.因為a1b面abb1a1，所以b1c1a1b.又因為a1bab1，b1c1ab1b1，所以a1b面adc1b1.因為a1b面a1be，所以平面adc1b1平面a1be.(2)解當(dāng)點f為c1d1中點時，可使b1f平面a1be.證明如下：易知：efc1d，且efc1d.設(shè)ab1a1bo，則b1oc1d且b1oc1d，所以efb1o且efb1o，所以四邊形b1oef為平行四邊形所以b1foe.又因為b1f面a1be，oe面a1be.所以b1f面a1be.(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1 已知，是三個互不重合的平面，l是一條直線，下列命題中正確的是()a若，l，則lb若l上有兩個點到的距離相等，則lc若l，l，則d若，則答案c解析當(dāng)，l時，l可以在內(nèi)，選項a不正確；如果過l上兩點a，b的中點，則a，b到的距離相等，選項b不正確；當(dāng)，時，可以有，選項d不正確，正確選項為c.2 已知直線m，n和平面，則mn的必要不充分條件是()am且n bm且ncm且n dm，n與成等角答案d解析mn不能推出m且n，m，n時，m，n可能相交或異面，為即不充分也不必要條件，a不正確；m，n時，mn，為充分條件，但mn不能推出m，n，故b不正確；mn不能推出m且n，m，且n時，m和n可能異面，為即不充分也不必要條件，故c不正確；mn時，m，n與成等角，必要性成立，但充分性不成立，故選d.3 如圖，四邊形abcd中，adbc，adab，bcd45，bad90，將adb沿bd折起，使平面abd平面bcd，構(gòu)成三棱錐abcd.則在三棱錐abcd中，下列命題正確的是()a平面abd平面abc b平面adc平面bdcc平面abc平面bdc d平面adc平面abc答案d解析在四邊形abcd中，adbc，adab，bcd45，bad90，bdcd，又平面abd平面bcd，且平面abd平面bcdbd，所以cd平面abd，則cdab，又adab，adcdd，所以ab平面adc，又ab平面abc，所以平面abc平面adc，故選d.4 下列命題中，m、n表示兩條不同的直線，、表示三個不同的平面若m，n，則mn；若，則；若m，n，則mn；若，m，則m.正確的命題是()a b c d答案c解析平面與可能相交，中m與n可以是相交直線或異面直線故錯，選c.5 一正四面體木塊如圖所示，點p是棱va的中點，過點p將木塊鋸開，使截面平行于棱vb和ac，若木塊的棱長為a，則截面面積為()a. b.c. d.答案c解析如圖，在面vac內(nèi)過點p作ac的平行線pd交vc于點d，在面vab內(nèi)作vb的平行線交ab于點f，過點d作vb的平行線交bc于點e.連接ef，易知pfde，故p，d，e，f共面，且面pdef與vb和ac都平行，易知四邊形pdef是邊長為的正方形，故其面積為，故選c.6 在正三棱錐sabc中，m，n分別是sc，bc的中點，且mnam，若側(cè)棱sa2，則正三棱錐sabc外接球的表面積是 ()a12 b32c36 d48答案c解析由mnam且mn是bsc的中位線得bsam，又由正三棱錐的性質(zhì)得bsac，所以bs面asc.即正三棱錐sabc的三側(cè)棱sa、sb、sc兩兩垂直，外接球直徑為sa6.球的表面積s4r243236.選c.二、填空題7 設(shè)x，y，z是空間中的不同直線或不同平面，下列條件中能保證“若xz，且yz，則xy”為真命題的是_(填出所有正確條件的代號)x為直線，y，z為平面；x，y，z為平面；x，y為直線，z為平面；x，y為平面，z為直線；x，y，z為直線答案 解析因為垂直于同一個平面的兩條直線平行，所以正確；因為垂直于同一條直線的兩個平面平行，所以正確；若直線x平面z，平面y平面z，則可能有直線x在平面y內(nèi)的情況，所以不正確；若平面x平面z，平面y平面z，則平面x與平面y可能相交，所以不正確；若直線x直線z，直線y直線z，則直線x與直線y可能相交、異面、平行，所以不正確8 如圖，在三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱aa1底面abc，底面是以abc為直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d是a1c1的中點，點f在線段aa1上，當(dāng)af_時，cf平面b1df.答案a或2a解析由題意易知，b1d平面acc1a1，所以b1dcf.要使cf平面b1df，只需cfdf即可令cfdf，設(shè)afx，則a1f3ax.易知rtcafrtfa1d，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.9 如圖，ab為圓o的直徑，點c在圓周上(異于點a，b)，直線pa垂直于圓o所在的平面，點m為線段pb的中點有以下四個命題：pa平面mob；mo平面pac；oc平面pac；平面pac平面pbc.其中正確的命題是_(填上所有正確命題的序號)答案解析錯誤，pa平面mob；正確；錯誤，否則，有ocac，這與bcac矛盾；正確，因為bc平面pac.三、解答題10(2013重慶)如圖，四棱錐pabcd中，pa底面abcd，pa2，bccd2，acbacd.(1)求證：bd平面pac；(2)若側(cè)棱pc上的點f滿足pf7fc，求三棱錐pbdf的體積(1)證明因為bccd，所以bcd為等腰三角形，又acbacd，故bdac.因為pa底面abcd，所以pabd.從而bd與平面pac內(nèi)兩條相交直線pa，ac都垂直，所以bd平面pac.(2)解三棱錐pbcd的底面bcd的面積sbcdbccdsinbcd22sin .由pa底面abcd，得vpbcdsbcdpa22.由pf7fc，得三棱錐fbcd的高為pa，故vfbcdsbcdpa2，所以vpbdfvpbcdvfbcd2.11(2012廣東)如圖所示，在四棱錐pabcd中，ab平面pad，abcd，pdad，e是pb的中點，f是dc上的點且dfab，ph為pad中ad邊上的高(1)證明：ph平面abcd；(2)若ph1，ad，fc1，求三棱錐ebcf的體積；(3)證明