重慶市開縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 三視圖1.doc

第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式4.會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等沒有嚴格要求)1.對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的考查，很少單獨命題，多與命題真假判斷相結(jié)合，在考查線面位置關(guān)系時，常以幾何體為載體2.對三視圖的考查一直是高考的考查重點，且有以下特點：(1)多以選擇題或填空題的形式考查(2)單獨考查三視圖問題，如2012年湖南t4，陜西t8等(3)與空間幾何體的體積、表面積的求法相結(jié)合，考查三視圖的還原問題，如2012年新課標全國t7，浙江t3，廣東t7，北京t7，江西t7，天津t10等3.直觀圖的畫法作為一種圖技畫法融合于三視圖的還原問題中，高考幾乎不單獨命題.歸納知識整合1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體棱柱的側(cè)棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多邊形棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相互平行且相似的多邊形旋轉(zhuǎn)體圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到探究1.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？提示：不一定如圖所示，盡管幾何體滿足了兩個平面平行且其余各面都是平行四邊形，但不能保證每相鄰兩個側(cè)面的公共邊互相平行2中心投影與平行投影平行投影的投影線是平行的，而中心投影的投影線相交于一點在平行投影中投影線垂直于投影面的投影稱為正投影3三視圖與直觀圖三視圖空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，其畫法規(guī)則是：長對正，高平齊，寬相等直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法規(guī)則來畫，基本步驟是：畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點o，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x軸、y軸，兩軸相交于點o，且使xoy45(或135)，已知圖形中平行x軸、y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸的線段已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话氘嫀缀误w的高在已知圖形中過o點作z軸垂直于xoy平面，在直觀圖中對應(yīng)的z軸，也垂直于xoy平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z軸且長度不變探究2.正方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖一定相同嗎？提示：由于正視圖的方向沒確定，因此正視圖、側(cè)視圖、俯視圖不一定相同自測牛刀小試1用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是()a圓柱b圓錐c球體d圓柱，圓錐，球體的組合體解析：選c由球的性質(zhì)可知，用平面截球所得的截面都是圓面2(教材習(xí)題改編)如圖所示的幾何體是棱柱的有()abc d解析：選c根據(jù)棱柱結(jié)構(gòu)特征可知是棱柱3(教材習(xí)題改編)已知一個幾何體的三視圖如圖所示，分析此幾何體的組成為()a上面為棱臺，下面為棱柱b上面為圓臺，下面為棱柱c上面為圓臺，下面為圓柱d上面為棱臺，下面為圓柱解析：選c由三視圖可知，此幾何體由上面的圓臺和下面的圓柱組合而成的4關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法正確的是()a直角三角形的直觀圖仍是直角三角形b梯形的直觀圖是平行四邊形c正方形的直觀圖是菱形d平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形解析：選d由斜二測畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長度減半，直角坐標系變成了斜坐標系，而平行性沒有改變，因此，只有d正確5一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的_(填入所有可能的幾何體前的編號)三棱錐四棱錐三棱柱四棱柱圓錐圓柱解析：只要判斷正視圖是不是三角形就行了，畫出圖形容易知道三棱錐、四棱錐、圓錐一定可以，對于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以均符合題目要求答案：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1下列結(jié)論中正確的是()a各個面都是三角形的幾何體是三棱錐b以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐c棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐d圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線自主解答a錯誤如圖，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐b錯誤如下圖，若abc不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐。c錯誤若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六形但由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長答案d求解空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法，即嚴格按照空間幾何體的有關(guān)定義判斷(2)反例法，即通過舉反例來說明一個命題是錯誤的1下列命題中，正確的是()a有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱b側(cè)面都是等腰三角形的棱柱是正棱錐c側(cè)面都是矩形的四棱柱是長方體d底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱解析：選d對于a，兩個側(cè)面是矩形并不能保證側(cè)棱與底面垂直，故a錯誤；對于b，側(cè)面都是等腰三角形，不能確保此棱錐頂點在底面在底面的射影在底面正多邊形的中心上，且也不能保證底面是正多邊形，故b錯誤；對于c，側(cè)面是矩形不能保證底面也是矩形，因而c錯誤空間幾何體的三視圖例2(1)(2012湖南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()(2)(2012廈門質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是()a三棱錐b四棱錐c四棱臺 d三棱臺自主解答(1)a圖是兩個圓柱的組合體的俯視圖；b圖是一個四棱柱與一個圓柱的組合體的俯視圖；c圖是一個底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個四棱柱的組合體的俯視圖，采用排除法，故選d.(2)由三視圖可知，該幾何體是四棱錐(如圖所示)，且其中一條棱與底面垂直答案(1)d(2)b由三視圖還原實物圖應(yīng)明確的兩個方面(1)首先要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，較復(fù)雜的幾何體也是由這些簡單幾何體組合而成的(2)要明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖2已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中abac，四邊形bcde為矩形)，則該組合體的俯視圖可以是_(把你認為正確的圖的序號都填上)解析：幾何體是四棱錐與四棱柱組成時，得正確幾何體由四棱錐與圓柱組成時，得正確幾何體由圓錐與圓柱組成時，得正確幾何體由圓錐與四棱柱組成時，得正確故填.答案：空間幾何體的直觀圖例3如圖所示，abc是abc的直觀圖，且abc是邊長為a的正三角形，求abc的面積自主解答建立如圖所示的坐標系xoy，abc的頂點c在y軸上，ab邊在x軸上，把y軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45得y軸，在y軸上取點c使oc2oc，a、b點即為a、b點，長度不變已知abaca，在oac中，由正弦定理得，所以ocaa，所以原三角形abc的高oca，所以sabcaaa2.本例若改為“已知abc是邊長為a的正三角形，求其直觀圖abc的面積，”應(yīng)如何求？解：由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖abc一底邊上的高為aa，故其面積sabcaaa2. 平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個關(guān)系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：s直觀圖s原圖形，s原圖形2s直觀圖記住上述關(guān)系，解題時能起到事半功倍的作用3如圖，矩形oabc是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中oa6 cm，oc2 cm，則原圖形是()a正方形b矩形c菱形 d一般的平行四邊形解析：選c將直觀圖還原得oabc，則odoc2(cm)，od2od4(cm)，cdoc2(cm)，cd2 (cm)，oc6 (cm)，oaoa6(cm)oc，故原圖形為菱形1種數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化與化歸思想利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決棱臺、圓臺的有關(guān)問題由棱臺和圓臺的定義可知棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺和圓臺的相關(guān)問題時，常“還臺為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想1個疑難點三視圖的還原問題由三視圖還原幾何體是解答三視圖問題的重要手段和方法，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決：3個注意事項畫三視圖應(yīng)注意的三個問題(1)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法(2)確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同(3)觀察簡單組合體是由哪幾個簡單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置3個“變”與“不變”斜二測畫法的要求“三變”“三不變”易誤警示三視圖識圖中的易誤辨析典例(2012陜西高考)將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析側(cè)視圖中能夠看到線段ad1，應(yīng)為實線，而看不到b1c，應(yīng)畫為虛線由于ad1與b1c不平行，投影為相交線，故應(yīng)選b.答案b1因?qū)θ晥D的原理認識不到位，區(qū)分不清選項a和b，而易誤選a.2因?qū)θ晥D的畫法要求不明而誤選c或d.在畫三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫，被遮住的部分的輪廓線為虛線3解答此類問題時，還易出現(xiàn)畫三視圖時對個別視圖表達不準而不能畫出所要求的視圖在復(fù)習(xí)時要明確三視圖的含義，掌握“長對正、高平齊、寬相等”的要求若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是()解析：選b由正視圖與俯視圖可以將選項a、c排除；根據(jù)側(cè)視圖，可以將d排除，注意正視圖與俯視圖中的實線一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2012福建高考)一個幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個幾何體不可以是()a球b三棱錐c正方體 d圓柱解析：選d圓柱的三視圖，分別是矩形，圓，不可能三個視圖都一樣，而球的三視圖可以都是圓，三棱錐的三視圖可以都是三角形，正方體的三視圖可以都是正方形2(2013西城模擬)有一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體應(yīng)是一個()a棱臺 b棱錐c棱柱 d都不對解析：選a從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但大小不一樣，可以判斷是棱臺3一梯形的直觀圖是一個如右圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為，則原梯形的面積為()a2 b.c2 d4解析：選d直觀圖為等腰梯形，若上底設(shè)為x，高設(shè)為y，則s直觀圖y(x2yx)，而原梯形為直角梯形，其面積s2y(x2yx)24.4一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()解析：選c由正視圖和側(cè)視圖可知，該長方體挖掉一個小長方體后，相應(yīng)位置在俯視圖中應(yīng)為左下角位置，且可看見輪廓線，故選c.5一個錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是()解析：選c若俯視圖是等邊三角形且為圖中的位置，則正視圖是等腰三角形，且高線是實線，故選c.6一個幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖的面積等于8，俯視圖是一個面積為4的正三角形，則其側(cè)視圖的面積為()a4b8c8 d4解析：選a由三視圖知該幾何體是正三棱柱，設(shè)其底面邊長為a，高為h，則其正視圖為矩形，矩形的面積s1ah8，俯視圖為邊長為a的正三角形，三角形的面積s2a24，則a4，h2，而側(cè)視圖為矩形，底邊為a，高為h，故側(cè)視圖的面積為sah4.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7以下四個命題：正棱錐的所有側(cè)棱相等；直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形；圓柱的母線垂直于底面；用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角形其中，真命題的序號為_解析：均正確，對，直棱柱的側(cè)面都是矩形而不一定全等，錯誤答案：8一個幾何體是由若干個相同的小正方體組成的，其正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個幾何體最多可由_個這樣的小正方體組成解析：依題意可知這個幾何體最多可由92213個這樣的小正方體組成答案：139正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長均為，其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則正視圖的周長為_解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面pef，其中e、f分別是ad、bc的中點，連接ao，易得ao，而pa，于是解得po1，所以pe，故其正視圖的周長為22.答案：22三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為116，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺的母線長解：抓住軸截面，利用相似比，由底面積之比為116，設(shè)半徑分別為r、4r.設(shè)圓臺的母線長為l，截得圓臺的上、下底面半徑分別為r、4r.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，解得l9.所以，圓臺的母線長為9 cm.11已知：圖是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖是某幾何體的三視圖，試說明該幾何體的構(gòu)成解：圖幾何體的三視圖為：圖所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體12如圖所示的三幅圖中，圖(1)所示的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖如圖(2)(3)所示(單位：cm)(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的數(shù)據(jù)，求該多面體的體積解：(1)如圖(2)所求多面體的體積vv長方體v正三棱錐4462(cm3)1給出下列命題：在正方體上任意選擇