滾動問題中弧長的計算.doc

滾動問題中弧長的計算湖北省黃石市下陸中學陳勇以幾何圖形的滾動為載體，求幾何圖形在滾動過程中某點所經(jīng)過的路線長度的中考試題大量出現(xiàn)，成為中考試題的一大亮點，解答這類試題關鍵是搞清圖形在滾動過程中某點所經(jīng)過的各段路徑，然后逐段求出各段路徑的長度，再求出總的路線長度，現(xiàn)對其進行分類解析，供大家參考。一、三角形在桌面上滾動例1（河南省中考題）如圖，一塊含有30的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉到ABC的位置，若BC的長為15cm，那么頂點A從開始到結束所經(jīng)過的路徑長為（）A.12cm B.10cm C. 15cm D.20cmx解析：三角板在旋轉過程中點A從開始到結束所經(jīng)過的路徑是以點C為圓心，以AC長為半徑的圓上的一段弧，這段弧所對的圓心角是120，由BC=15 cm，A=30,可知AC=30 cm，所以可求得這段路徑的長為：=30=20。答案選D。二、正方形在直線上滾動例2.(黃岡市中考題)將邊長為8cm的正方形ABCD的四邊沿直線向右滾動(不滑動)，當正方形滾動兩周時,正方形的頂點A所經(jīng)過的路線的長是cm.解析：當正方形ABCD滾動一周時，所經(jīng)過的路徑是由三段圓弧組成。第一段是以第一個點C（即第一次滾動時點C的位置）為圓心，以AC長為半徑的一段弧，第二段是以第二個D點為圓心，以AD長為半徑的一段弧，第三段是以第四個點B為圓心，以AB長為半徑的一段弧，因為每次滾過的角度均為90，所以其弧長均為弧所在的相應的圓的周長的，所以當正方形滾動兩周時,正方形的頂點A所經(jīng)過的路線的長是：2（28+28+28）=16+8.三、矩形在直線上滾動例3（濟南市中考題）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，將矩形ABCD在直線上按順時針方向不滑動的每秒轉動90，轉動3秒后停止，則頂點A經(jīng)過的路線長為。解析：矩形ABCD在滾動過程中，頂點A經(jīng)過的路線由三段圓弧組成，第一段是以點B為圓心，以AB長為半徑的一段弧，第二段是以點C為圓心，以AC長為半徑的一段弧，第三段是以點D為圓心，以AD長為半徑的一段弧，因為每秒轉動的角度均為90，所以其弧長均為弧所在的相應圓的周長的，所以當滾動3秒后頂點A經(jīng)過的路線長為：（28+2+26）=7+5=12。四、圓在折線上滾動例4(蕪湖市中考題)一個小朋友在粗糙不滑動的“Z”字型平面軌道上滾動一個半徑為10cm的圓盤，如圖所示，AB與CD是水平的，BC與水平面的夾角為60，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，請你作出該小朋友將圓盤從A點滾動到D點其圓心所經(jīng)過的路線的示意圖，并求出此路線的長度。解析：如圖所示，圓盤在滾動過程中圓心經(jīng)過的路線由四段組成，第一段：線段OO，第二段：線段OO，第三段：O到O的一段圓弧，第四段：線段OO。由點O分別作OEAB，OFBC，可得OBE=OBF=60，在RtOBE中，由BE=OEcot60=（cm），所以，OO=AB-BE =60-（cm）；由BE = BF得，OO=BC-BF=40-（cm）；由OCO=360-120-290=60，可求得圓弧OO的長=（c