（電磁場與微波技術專業(yè)論文）卷積窗和譜泄漏對消算法及其在準周期信號分析中的應用.pdf

摘要 摘要 在以f f t 為基礎的周期信號分析當中，為了得到高精度的諧波參數(shù)估計，我 們必須面對兩類效應：第一類，由于f f t 只是在一組等間隔離散頻率上求值，因 此有可能出現(xiàn)頻率誤差，這種效應稱為柵欄效應( 也稱為短程譜泄漏效應) ，該效應 一般可以通過象f f t 插值一類的方法加以解決。第二類是由于諧波分量之間的干 涉所引起，稱為長程譜泄漏。該效應可以通過加窗加以抑制而無法完全消除。 來自大幅諧波分量的長程譜泄漏可能會嚴重到足以將其附近的小幅諧波分量 完全淹沒。這也許是最常見、最重要的數(shù)字信號處理誤差。為了盡可能減小長程 譜泄漏引起的測量誤差，我們在本文中提出了一類新的窗函數(shù)和兩種新的算法。 所提出的新窗函數(shù)通過若干等寬度的矩形窗的卷積運算而構造出來，稱其為 卷積窗；推導出了第2 至第8 階卷積窗的時、頻域表達式；研究了卷積窗在周期 信號諧波分析中的應用，結果表明：與具有相同主瓣寬度的其他著名窗函數(shù)相比， 當采樣同步誤差較小時，卷積窗具有最小的頻譜泄漏效應，因此特別適合于周期 信號的高精度諧波分析和參量估計。 誤差分析和數(shù)值模擬結果均表明：當使用p 階卷積窗對大約p 個周期的采樣 信號加窗時，各階諧波的頻率誤差、振幅誤差及相位誤差均與相對頻偏的p 次方 成正比。由于該方法能夠通過實時改變采樣間隔來進行頻率跟蹤，從而保證采樣 同步誤差較小。該加窗算法的特點是測量精度高，算法高效、簡單且適用于頻率 緩變的準周期信號的諧波分析和參量估計。 本文還提出了一種能有效減小因譜泄漏引起的諧波參量測量誤差的新算法，稱 為譜泄漏對消算法。該算法利用兩個采樣起點前后錯開半個額定周期或1 4 個額定 周期的采樣序列的加窗傅里葉變換在特定諧波頻率上的譜泄漏的相干相消特性，將 譜泄漏對消，從而能顯著地改善諧波分析的精度。所提出的方法適用于任何形式的 對稱窗函數(shù)，但卷積窗的對消效果最為顯著。研究了譜泄漏對消算法在高精度諧波 分析、頻率估計、介質(zhì)損耗因數(shù)、有效值、有功功率與功率因數(shù)測量中的應用。理 論分析與數(shù)值模擬結果均表明：該算法可顯著提高容易被強諧波所掩蔽的弱諧波的 諧波分析精度。 最后提出了基于頻率校準的d f t 算法。該法利用高精度的頻率估計，將窗譜頂 部對準各階諧波頻率，這樣一方面可以消除短程譜泄漏的影響，另一方面還可進一 步地減小各諧波間的長程譜泄漏，從而顯著改善諧波分析的精度。 關鍵詞：諧波分析頻譜泄漏窗函數(shù)卷積窗譜泄漏對消算法電氣參量估計 論文類型：應用基礎研究 摘要 a b s t r a c t i nf f t b a s e da n a l y s i so fap e r i o d i cs i g n a l ，t oo b t a i nh i g h a c c u r a c ye s t i m a t e so f h a r m o n i cp a r a m e t e r sw eh a v et od e a lw i t l lt w ok i n d so fe f f e c t s ：f i r s t s i n c et h ef f ti s e v a l u a t e di nag r i do fd i s c r e t ef r e q u e n c i e s ( f f tb i n s ) ，i ti n t r o d u c e sab i a s i nt h e f r e q u e n c ye s t i m a t e s t h i se f f e c ti s c a l l e dp i c k e tf e n c ee f f e c t ( a l s or e f e r r e dt oa s s h o r t - r a n g es p e c t r a ll e a k a g e ) a n dc a ng e n e r a l l yb eo v e r c o m eb ys o m em e t h o d sa s i n t e r p o l a t e df f t ( i f f t ) s e c o n d ，i ti st h ee f f e c to fs p e c t r a ll e a k a g ed u et oi n t e r f e r e n c e a m o n gt h eh a r m o n i cc o m p o n e n t s w h i c hi sd e n o t e da sl o n g r a n g es p e c t r a ll e a k a g e n l e e f f e c tc a l lb er e d u c e db yw i n d o w i n gd a t ar e c o r d s ，b u tc a l ln o tb ee l i m i n a t e d t h el o n g r a n g es p e c t r a ll e a k a g ef r o mal a r g eh a r m o n i cc o m p o n e n tm a yb es e v e r e e n o u g ht om a s ko t h e rs m a l l e ra d j a c e n th a r m o n i c s i ti sp r o b a b l yt h em o s tc o m m o na n d m o s ts e r i o u sd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n ge r r o r t om i n i m i z et h ee f f e c t ，w ep r o p o s ean e w f a m i l yo f w i n d o w sa n dt w on e wa l g o r i t h m si nt h i sp a p e r t h ep r o p o s e dn e wf a m i l yo fw i n d o w si sc o n s t r u c t e db yc o n v o l u t i o n sv i aaf e w r e c t a n g u l a rw i n d o w sw i t hs a m et i m ew i d t ha n di s t h u sr e f e r r e dt oa sc o n v o l u t i o n w i n d o w s t h ee x p r e s s i o n so ft h es e c o n d o r d e ru pt ot h e e i g h t h o r d e rc o n v o l u t i o n w i n d o w si nb o t ht h et i m ea n df r e q u e n c yd o m a i n sa r ed e r i v e d t h e i ra p p l i c a t i o n st o h a r m o n i ca n a l y s i so fp e r i o d i cs i g n a l sa r ei n v e s t i g a t e d t h ec o m p a r i s o no ft h ep r o p o s e d w i n d o w sw i t l ls o m ek n o w nw i n d o w sw i mt h es a m em a i n - l o b ew i d t hs h o w st h a t w h e n t h es y n c h r o n o u sd e v i a t i o no fd a t as a m p l i n gi ss l i g h t , t h ep r o p o s e do n e sh a v et h el e a s t s p e c t r a ll e a k a g e t h e r e f o r e ，t h en e ww i n d o w sa r ew e l ls u i t e df o rh i g ha c c u r a c y h a r m o n i ca n a l y s i sa n dp a r a m e t e re s t i m a t i o nf o rp e r i o d i cs i g n a l s t h er e s u l t so fe r r o ra n a l y s i sa n dc o m p u t e rs i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h ee s t i m a t i o n e r r o r s ，c o r r e s p o n d i n gt of r e q u e n c y , a m p l i t u d ea n dp h a s ea n g l eo fe v e r yh a r m o n i c c o m p o n e n t o f p e r i o d i cs i g n a l ，a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e p t h p o w e r o f t h er e l a t i v e f r e q u e n c y d e v i a t i o ni ft h ep t h - o r d e rc o n v o l u t i o nw i n d o wi s a p p l i e dt os i g n a ls a m p l e so f a p p r o x i m a t e l ypc y c l e s b yi n t r o d u c i n gr e a lt i m ea d j u s t m e n ti ns a m p l i n gi n t e r v a l ，t h e p r o p o s e da l g o r i t h mc a na d a p t i v e l yt r a c es i g n a lf r e q u e n c ya n dl e a dt ol e s ss a m p l i n g s y n c h r o n o u s d e v i a t i o n t h e p r o p o s e da p p r o a c h h a st h e a d v a n t a g e s o f e a s y i m p l e m e n t a t i o na n dh i g hm e a s u r ep r e c i s i o na n dc a nb eu s e di nh a r m o n i ca n a l y s i so f q u a s i p e r i o d i cs i g n a l sw h o s ef u n d a m e n t a lf r e q u e n c yd r i f t ss l o w l yw i t ht i m eo rw h o s e h a r m o n i ca m p l i t u d e sv a r ys l o w l yw i t ht i m e 卷積窗和譜泄漏對消算法及其在準周期信號分析中的應用 w ep r o p o s ean o v e la l g o r i t h m ，s p e c t r a ll e a k a g ec a n c e l l a t i o na l g o r i t h m ( s l c a ) ， w h i c hc a nv e r ye f f e c t i v e l yr e d u c et h ee r r o r so fh a r m o n i cp a r a m e t e r se s t i m a t i o no f p e r i o d i cs i g n a l c a u s e db ys p e c i a ll e a k a g e i nt h ea l g o r i t h mw em a k e su s eo ft h e d e s t r u c t i v ei n t e r f e r e n c eo ft h es p e c t r a ll e a k a g eo ft h ew i n d o w i n gf f l bo ft w os a m p l i n g s e q u e n c e s ，w i t ht h es a m el e n g t h ，w h o s es a m p l i n gs t a r t i n gt i m e ss t a g g e rh a l fo raq u a r t e r o ft h en o m i n a lp e r i o d t h ea l g o r i t h mc a l lb ea p p l i e dt oa n yw i n d o wf u n c t i o nw i t h c e n t r a ls y m m e t r y t h ea p p l i c a t i o no ft h ea l g o r i t h mi nh a r m o n i ca n a l y s i s ，f r e q u e n c y e s t i m a t i o n ，t h em e a s u r e m e n to fd i e l e c t r i cl o s sf a c t o r , r m sa n da c t i v ep o w e li s i n v e s t i g a t e d t h e o r ya n a l y s i sa n ds i m u l a t i o nr e s u l ts h o wt h a tt h ea l g o r i t h mc a ng r e a t l y i m p r o v et h ea c c u r a c yo ft h ep a r a m e t e re s t i m a t e so ft h ew e a k e rh a r m o n i cc o m p o n e n t s n e a r e s ts t r o n go n e ，t h u si m p r o v eo v e r a l le s t i m a t i o na c c u r a c y w ea l s op r o p o s e dad f ta l g o r i t h mf o rh a r m o n i ca n a l y s i sb a s e do nf r e q u e n c y a d j u s t m e n t i nt h ea l g o r i t h m ，t h ef r e q u e n c y s a m p l e so fd f ta r ea i m e da te a c ho f h a r m o n i cf r e q u e n c yo b t a i n e db yt h es p e c t r a ll e a k a g ec a n c e l l a t i o na l g o r i t h m b yt h i s w a y , n o to n l yc a nt h ep i c k e tf e n c ee f f e c tb ea v o i d e d ，b u tt h el o n g r a n g el e a k a g e i n t e r f e r e n c eb e t w e e nh a r m o n i c sc a nb es i g n i f i c a n t l yr e d u c e d t h u st h ea c c u r a c yo f h a r m o n i ca n a l y s i sc a nb em a r k e d l yi m p r o v e d k e y w o r d s ：h a r m o n i ca n a l y s i s ，s p e c t r a ll e a k a g e ，w i n d o wf u n c t i o n ，c o n v o l u t i o n w i n d o w s ，s p e c t r a ll e a k a g ec a n c e l l a t i o na l g o r i t h m ，e l e c t r i c a lp a r a m e t e re s t i m a t i o n p a p e rt y p e ：a p p l i c a t i o nb a s i s 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及取得的研究 成果。盡我所知，除了文中特另, j j m 以標注和致謝中所羅列的內(nèi)容以外，論文中不 包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果；也不包含為獲得西安電子科技大學或 其它教育機構的學位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做 的任何貢獻均已在論文中做了明確的說明并表示了謝意。 申請學位論文與資料若有不實之處，本人承擔一切相關責任。 本人簽名 日期 關于論文使用授權的說明 本人完全了解西安電子科技大學有關保留和使用學位論文的規(guī)定，即：研究 生在校攻讀學位期間論文工作的知識產(chǎn)權單位屬西安電子科技大學。本人保證畢 業(yè)離校后，發(fā)表論文或使用論文( 與學位論文相關) 工作成果時署名單位仍然為 西安電子科技大學。學校有權保留送交論文的復印件，允許查閱和借閱論文；學 ?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以允許采用影印、縮印或其它復制手段保 存論文。 本人簽名： 導師簽名：黝黃 日期 日期! ! 笪：! 壘 第一章緒論 第一章緒論 1 1 研究背景和問題的提出 隨著半導體電子器件和其他非線性元件的廣泛應用，電壓、電流信號中的諧 波含量越來越高，從而導致基于正弦波假設的傳統(tǒng)測量儀表誤差增大、甚至控制 裝置無法正常工作等等，我們在給陜西某移動通信公司研制基站電源控制模塊時， 便碰到這個問題，從而促使我們對其進行深入研究。在周期或準周期信號的諧波 分析及參量估計中，由于信號的周期值不能預先知道，因此必然會出現(xiàn)采樣序列 中包含的周期數(shù)為非整數(shù)的情況，從而會導致出現(xiàn)所謂“頻譜泄漏”現(xiàn)象，引起 諧波估計出現(xiàn)較大誤差，當采樣序列較短時，這種誤差是最重要的誤差源之一。 諧波分析方法大體上可以分為兩大類【l 。4 1 ：一類是參量法( 也稱高分辨率法) 。 另一類是非參量法( 也稱周期圖基法) 。參量法的優(yōu)點是能夠分辨比f f t 頻率間隔更 小的頻譜分量，主要缺點是需要預先知道信號的大致頻譜結構( 比如頻譜分量的個 數(shù)) ，且計算量也要比f f t 基的算法大得到”，p i s a r e n k o 法、m u s i c ( m u l t i p l es i g n a l c l a s s i f i c a t i o n ) 、r o o t - m u s i c ，m i n - n o r mm e t h o d 、e s p r i t 法5 ( e s t i m a t i o no fs i g n a l p a r a m e t e r sv i ar o t a t i o n a li n v a r i a n e et e c h n i q u e s ) 、p r o n y 法i “”均屬于這一類。非參 量法直接利用快速傅里葉變換( f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ，f f d ，其優(yōu)點是直觀、計算 量小，當用以分析的采樣序列中剛好包含了整數(shù)個信號周期時( 這稱為同步采樣) ， 貝i j f f t 算法的結果是完全精確的；若信號中包含有高斯白噪聲，其結果也可達到 c r a m e r - r a o l 氐界【8 1 的無偏估計，因此這種方法是目前普遍使用的諧波估計方法。然 而在采樣過程中，由于頻率漂移或信號不是嚴格周期的，因此采樣過程很難做到 精確同步。若采樣不同步，該方法會因所謂頻譜泄漏效應而產(chǎn)生顯著的測量誤差。 頻譜泄漏效應分為長程譜泄漏( 1 0 n g r a n g es p e c t r a ll e a k a g e ) 和短程譜泄漏 ( s h o r t r a n g es p e c t r a ll e a k a g e ) 。在以周期信號為工作信號的儀器儀表中也會碰到因譜 泄漏而引起測量誤差的問題，如科里奧利流量計i 吼1 0 j 、基于傅里葉變換輪廓術的 三維面形高精度測量【l ”。 短程譜泄漏有時也稱柵欄效應( p i c k e t f e n c e e f f e c t ) ，它是由于f f t 的有限頻率 分辨率引起的，補零法( z e r op a d d i n gm e t h o d ) 1 1 2 1 和c h i 幣乏變換i l 叫可以減輕這種效 應，但它們是以計算量的增加為代價的。現(xiàn)已提出了一些克服短程譜泄漏影響的 有效方法，一類是用譜峰附近的若干格點譜值來估計真正的頻率分量，如最大似 然估計( m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n ，m l e ) 列和f f t 插值法( i n t e r p o l a t e df f t 。 i f f n 【1 5 ，陬2 2 。3 0 l ；另一類是用采樣起點間隔一定時間的兩個f f t 的比值來進行估計， 如w p a ( w e i g h t e dp h a s ea v e r a g e r ，也稱為比值法) 1 1 7 - 2 1 1 。這些方法的共同特點是計 2卷積窗和譜泄漏對消算法及其在準周期信號分析中的應用 算量小，比較適合于實時計算。但如果相鄰頻率分量的間隔較小，則譜分析的最 終精度還是主要受制于不同諧波分量問的長程譜泄漏。 在短時平穩(wěn)的準周期信號的高精度諧波分析中，由于實時性的需要或者信號 周期( 基頻) 的隨機漂移，采樣序列的時窗寬度通常只有幾個基周期，而且采樣通 常都是不同步的。短時窗及不同步采樣必然導致各諧波問出現(xiàn)顯著的長程譜泄漏 現(xiàn)象，以至于較弱的諧波分量很容易受到近鄰的強諧波分量的掩蔽而無法測量。 減小長程譜泄漏的最有效方法是在做f f t 之前選擇適當?shù)拇昂瘮?shù)對采樣數(shù)據(jù)加窗 2 2 - 3 0 】，如i j n h a n n 窗瞄+ 2 6 1 、r i f e v i n c e n t 窗【2 3 】、b l a c k m a n h a r r i s 窗【2 6 之8 1 等。衡量窗函 數(shù)好壞的主要標準應是：在窗長及同步誤差均一定( 即完全相同的采樣數(shù)據(jù)) 的前 提下，長程頻譜泄漏效應是否小以及插值公式是否計算簡單。 因此對于短時平穩(wěn)的準周期信號的諧波分析和參量估計來說，提高測量精度 和可測量的動態(tài)范圍的關鍵是減小諧波間的長程譜泄漏；這包括針對信號特點， 選擇具有最小長程譜泄漏的窗函數(shù)，以及在已有譜泄漏的情況下尋找如何進一步 減少其對諧波參量反演影響的方法。本文所提出的卷積窗正是這樣一種窗函數(shù)， 而譜泄漏對消算法正是這樣一種減小已有譜泄漏對諧波參量估計影響的新算法， 而本文第六章中所提出的基于頻率校準的高精度諧波分析方法則是利用了譜泄漏 對消算法能夠提供高精度基頻估計以及卷積窗具有抑制諧波間長程譜泄漏的良好 性能而提出的一種新的諧波分析方法。 1 2 論文研究工作概述 各諧波的頻率、振幅隨時間緩變的準周期信號的參數(shù)估計和諧波分析是數(shù)字 信號處理領域的基本課題?；殳B效應、柵欄效應和頻譜泄漏效應是一切以快速傅 里葉變換f f t 為基礎的數(shù)字信號處理方法必須面對的三大效應?；殳B效應可通過在 模數(shù)轉(zhuǎn)換器( a d c ) 前加裝抗混疊濾波器( a n t i a l i a s i n gf i l t e r ) 加以解決；柵欄效應也可 通過頻域插值等方法加以解決：長程譜泄漏效應是一種難以徹底消除的效應，只 能通過適當?shù)姆椒ㄊ蛊錅p弱，對采樣數(shù)據(jù)加窗就是最常用、最有效的方法。在第 二章中，主要介紹了傅里葉變換及其快速算法，與f f t 相關的上述三大效應，重點 對現(xiàn)有的各種窗函數(shù)進行了梳理、歸類、分析和比較。 在第三章中，主要從電壓有效值、電流有效值、有功功率、功率因數(shù)等電氣 參量的傳統(tǒng)算法入手，分析并發(fā)現(xiàn)當采樣不同步時，這些均值型參量( 分別是電壓 的方均值、電流的方均值、瞬時功率的均值) 在一個額定周期上的平均值( 即測量 值) 也是一個周期函數(shù)，且周期與原信號相同，只是在大的均值上疊加了一個小幅 度的波動，在數(shù)字儀表上的特征是后幾位數(shù)字不停地跳動。因此首先提出對這些 測量值再進行一個周期上的平均。這就導出了所謂三角窗加權算法1 28 2 9 】。這樣得 第一章緒論 3 到的結果仍然是周期函數(shù)，只不過波動幅度更小了，因此若想進一步提高測量的 精度，則可以繼續(xù)做測量值的平均【3 3 j 。這就是我們在研制某高精度儀表時所碰到 的問題并加以成功解決的過程。因三角窗實際上是兩個矩形窗的卷積，= i y j p 次平均 實際上就是p 個矩形窗的卷積運算得到的窗函數(shù)對采樣數(shù)據(jù)加窗。后來我們試圖在 頻域上加以解釋，并對測量誤差做了詳細分析p 4 1 ，結果表明：當相對頻偏為x x = f f s o ) f o 時，p 階卷積窗加權算法的測量誤差正比于x p ，即便是頻率偏差 o ，5 h z ，只需用三階卷積窗便能保證因不同步采樣引起的測量相對誤差不大于1 0 。 在第四章中，提出以矩形窗的卷積運算構造一類新的窗函數(shù)，并推導出2 8 階 卷積窗的時、頻域表達式；將其與具有相同時域?qū)挾鹊钠渌黝惔昂瘮?shù)進行比較， 結果表明：在相對頻偏較小時，卷積窗的譜泄漏效應最小，因此最適合用于準周 期信號的加窗諧波分析 3 5 , 3 6 。重點對周期、準周期信號的卷積窗加窗諧波分析進 行了嚴格的數(shù)學推導和數(shù)值模擬1 3 7 , 3 8 】，結果同樣表明：當采樣p 個額定周期的信號， 并用p 階卷積窗加窗時，各階諧波因譜泄漏引起的測量誤差均與工9 成正比，不過比 例系數(shù)與諧波階數(shù)有關，通常隨諧波次數(shù)的增大而較迅速增大。在電力系統(tǒng)中，x 通常不超過1 ，二至四階卷積窗便可保證足夠精度，況且采樣間隔還可以通過上 一幀測得的頻率做自適應調(diào)整以保證相對頻偏足夠小。研究了卷積窗在介質(zhì)損耗 因數(shù)測量方面的應用 3 9 j 。 在第五章中，我們提出一種在既有譜泄漏基礎上進一步減小其對諧波分析和 參量估計影響的全新算法，稱之為譜泄漏對消算法。該算法的實質(zhì)是利用采樣起 點錯開一定時間間隔( 比如半個額定周期) 的兩個采樣序列的加窗傅里葉譜中，某 些強諧波分量在所要分析的諧波分量上的長程譜泄漏幾乎反相而將它們對消，從 而減小它們對諧波分析和參量估計的影響【4 0 1 。在電力系統(tǒng)中，由于偶次諧波的含 量比奇次諧波小得多，因此它們極易被相鄰的奇次諧波的譜泄漏所淹沒或干擾， 利用該算法可以大大減輕奇次諧波譜泄漏對其參量反演的影響，顯著提高這些弱 諧波的分析精度。某些故障會呈現(xiàn)出一定的特征諧波，但早期特征諧波很弱，不 容易發(fā)現(xiàn)，該算法可以被用于這些領域的早期故障診斷。在本章中，還研究了該 算法在高精度頻率估計【4 i 】、高壓設備的介質(zhì)損耗因數(shù)測量【4 2 j 、以及有效值、有功 功率等電氣參量估計中的應用。 在第六章中，提出基于高精度頻率估計的d f t 諧波分析新算法。該法利用譜泄 漏對消算法可以獲得高精度的頻率估計的特點，讓窗譜頂部剛好對準各階諧波頻 率，這可以徹底消除短程譜泄漏的影響，更重要的是能進一步減小長程譜泄漏。 盡管該法可適用于任何對稱窗函數(shù)，但如果使用卷積窗，則加窗周期信號在各諧 波頻率處的譜泄漏僅依賴于采樣起點的信號值，從而可通過采樣起點的選擇或用 采樣起點的信號值進行扣除的方法將長程譜泄漏幾乎完全消除，顯著提高小幅諧 波和高階諧波的精度。該法可克服第四章中諧波分析誤差隨諧波階數(shù)增加而增加 4 卷積窗和譜泄漏對消算法及其在準周期信號分析中的應用 的缺點，若所要分析的最高諧波次數(shù)和相對頻偏的乘積小于1 ，則諧波分析的復振 幅絕對誤差幾乎與諧波次數(shù)無關，因此可實現(xiàn)等精度的諧波分析。 1 3 論文的主要創(chuàng)新點 1 提出利用多個矩形窗的卷積運算構造一類新的窗函數(shù)，稱之為卷積窗；首 次導出2 8 階卷積窗的時、頻域解析表達式；將卷積窗與具有相同主瓣寬度的其他 窗函數(shù)進行了全面比較【3 5 3 ，結果發(fā)現(xiàn)：盡管卷積窗的旁瓣電平通常要高于余弦 組合窗和其他著名窗函數(shù)，但在窗譜的零點附近，窗譜趨于零的速度快于其他類 型的窗函數(shù)。這意味著當用卷積密對周期或準周期信號加窗時，任一階次諧波在 其他階次諧波所在頻率處的譜泄漏小于用其他現(xiàn)有窗函數(shù)加窗時的相應譜泄漏。 作者第一次比較明確地提出：對于頻率變動較小的準周期信號，在它們的諧波分 析和參量估計中，影響估計精度的不是旁瓣頂?shù)母叨?、而是旁瓣底趨于零的速度?2 研究了卷積窗在周期信號諧波分析和參量估計中的應用3 8 i ，結果表明： 若采樣p 個額定周期的信號，用p 階卷積窗對采樣數(shù)據(jù)加窗，在相對頻偏x 較小情況 下，諧波分析誤差大約正比于妒。若用上一幀測得的周期值代替額定周期值，并自 適應地改變采樣間隔，則可保證x 足夠小，從而保證測量誤差足夠小。我們還研究 了卷積窗在信號參量估計n3 4 1 、有效值3 1 1 、有功功率與功率因數(shù)測量口2 1 、介質(zhì)損 耗因數(shù)測量1 3 9 以及非正弦調(diào)頻、調(diào)幅信號的參量估計 待發(fā)表 中的應用，研究了 高斯白噪聲和量化噪聲對電氣參量測量精度的影響1 4 ”。所有結果都表明：對予準 周期信號的諧波分析和參量估計，卷積窗是最佳的選擇。 3 提出譜泄漏對消的概念、導出了譜泄漏對消算法。將譜泄漏對消算法應用 于諧波分析d o 、高精度頻率估計【4 1 】、介質(zhì)損耗因數(shù)測量【4 2 】和電氣參量估計待發(fā) 表1 。雖然該算法可適用于任何對稱窗函數(shù)，但卷積窗的對消效果最好。理論分析 與數(shù)值模擬結果均表明：該算法可顯著提高那些容易被強諧波所掩蔽的弱諧波分 量的譜分析精度從而提高譜分析的整體精度。 4 提出基于高精度頻率估計的d f t i 皆波分析新算法【待發(fā)表】。利用譜泄漏對 消算法可以求得高精度頻率估計的特點，直接將窗譜頂部對準各諧波頻率。這樣 鄰近諧波的譜泄漏剛好處在窗譜的節(jié)點附近，譜泄漏強度會大大減輕。嚴格的推 導還意外發(fā)現(xiàn)：若使用卷積窗，任一階諧波所受到的其他所有諧波的總譜泄漏僅 依賴于采樣起點的信號值，這意味著可以通過選擇過零的采樣起點而消除譜泄漏， 或利用第一個樣點值而將已經(jīng)存在的譜泄漏予以扣除。數(shù)值模擬結果不僅驗證上 述結論，還表明：對于電力信號的正常頻率波動范圍( 4 9 5 5 0 5 h z ) 內(nèi)，即便采用基 于額定頻率的固定窗長，只需用二階卷積窗對兩個周期的信號加窗，即可將譜泄 漏的影響抑制到低于l o o d b 信噪比噪聲的c r a m e r - r a o t 氏界的水平。 第二章頻譜分析基礎 5 第二章頻譜分析基礎 2 1 引言 對信號的處理常常涉及到檢測與估計，所謂“檢測”是指確定所分析的信號 中是否存在某些特定信號的過程；而“估計”就是獲得這些特定信號參數(shù)的過程。 為了便于信號的檢測和估計，通常用一組信號空間的完備正交基來對信號進行分 解。由于在大多數(shù)實際工程領域中，所獲得的信號通常是周期性的信號，因此很 自然地就想到用簡單的周期函數(shù)正弦與余弦所組成的正交函數(shù)組來分解 信號，這就是傅里葉級數(shù)，其推廣形式就是傅里葉變換。 誠然，在實際的數(shù)字信號處理當中，我們必須用有限個數(shù)的離散樣點來表示 所處理的模擬信號，這就涉及到信號的采樣( s a m p l i n g ) ；我們也只能用有限位數(shù)的 數(shù)字來表示采樣得到的每一個樣點，這就涉及到信號的量化( q u a n t i z a t i o n ) ；而且我 們也只能處理有限時間長度的信號，這就涉及到對信號的加窗( w i n d o w i n g ) 。與這 些問題相對應，會出現(xiàn)一些與信號的離散傅里葉變換表示有關的問題，如混疊現(xiàn) 象( a l i a s i n g ) 、頻譜泄漏( s p e c t r a ll e a k a g e ) 和因頻率離散所造成的柵欄效應( p i c k e t f e n c ee f f e c t ) 。本章主要介紹與此有關的一些概念，以及解決這些問題的辦法。 2 2 傅里葉變換 2 2 1 傅里葉級數(shù)( f o u r i e rs e r i e s ) 如果一個周期信號甙力具有周期z 即g o + r ) = g o ) ，若信號不連續(xù)，則應滿 足下列的狄里赫利條件：g ( f ) 應絕對可積fi g ( t 枷 o o ；且在任一有限的區(qū)間內(nèi) 反f ) 的極大值和極小值的個數(shù)有限，g ( f ) 的不連續(xù)點的個數(shù)有限，且不連續(xù)點的函 數(shù)值有限。則g ( f ) 可以展開為下列的復指數(shù)級數(shù)的線性組合： g o ) = g 女p 0 2 刪7 ( 2 - 1 ) i 一田 這就稱為周期函數(shù)g ( t ) 的傅里葉級數(shù)表示。其中的傅里葉系數(shù)g 為： g i = i 1fg ( f 2 俐7 a r t ( 2 2 ) 式( 2 1 ) 稱為傅里葉綜合公式；式( 2 - 2 ) 稱為傅里葉分析公式。當周期丁jc o ，式( 2 1 ) 中的求和將變?yōu)榉e分，這就是傅里葉變換。 2 2 2 傅里葉變換( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 6 卷積窗和譜泄漏對消算法及其在準周期信號分析中的應用 對于任一連續(xù)信號a t ) ( 若不連續(xù)，則應滿足狄里赫利條件) ，則其傅里葉變換 f 6 9 定義為： g = 括( r k - j 2 n f t d l 相應的逆變換為： g o ) = j g 驢p 2 矽d f ( 2 3 ) ( 2 4 ) 傅里葉級數(shù)可以看作是傅里葉變換在g u ) = g 6 ( 廠一t 丁) 時的特殊情況。 t = 2 2 3 離散時間傅里葉變換( d i s c r e t et i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ，d t f t ) 離散時間傅里葉變換( d t f t ) 主要用于非周期信號、離散時間信號或數(shù)字信號。 若烈f ) 為某連續(xù)信號 ( f ) 與沖擊序列的乘積，即： g o ) = h ( t ) x j ( f - n a t ) + c o4 - 0 0 = h ( n a t ) 8 ( t n a t ) - ；z g 。6 0 n a t ) ( 2 5 ) 月= h 一 其中g 。= 廳g 出) ，將式( 2 3 ) 代入式( 2 1 ) 得： 4-4-00 g 杪) = 五o r 2 舢= g 。p ?？? 正 ( 2 6 ) t l = - - o a 其中正= 1 f 為向( 力的采樣頻率。顯然g 6 9 是周期為五的周期函數(shù)，即對于任意整 數(shù)k 均有：g t j 4 - 機) = g t y ) 。由于g 是周期函數(shù)，因此，只需知道其在閉區(qū)間 【o ，五 上的值，可在該區(qū)間上連續(xù)取值。若廠以五為單位，則式( 2 6 ) 可以進一步寫 為： g = g 8 一。2 “ ( 2 7 ) 與式( 2 5 ) 相應的逆變換可以寫為： l g 。= f c u ) e 伽礦d f ( 2 - 8 ) 0 2 2 4 離散傅里葉變換( d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ，d f t ) 離散傅里葉變換( d f t ) 主要用于周期信號、離散時間信號或數(shù)字信號。在式 ( 2 7 ) 、( 2 8 ) 中，若令f = 七( 毗為單位，k = o ，1 ，2 ，3 ，n 一1 ) ，則這兩式將變?yōu)椋?第二章頻譜分析基礎 7 _ 一l g t = g 。9 1 2 協(xié)州 n = 0 鏟告蘭g m v k = 0 ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) 其中g t = g 驢一) 6 ( 廠一三一k u ) ，l 為整數(shù)。 l “ 式( 2 9 ) 、( 2 - 1 0 ) 分別稱為信號 踟jn = 0 ，1 ，2 ，3 ，n 1 ) 的離散傅里葉變換( d f t ) 和離散傅里逆變換( i d f t ) 。若樣點島的時域間隔為出，則g t 的頻域間隔為1 ( n a t ) 。 助和g t 均為周期函數(shù)，周期分別為n a t 和1 f 。若g 驢) 的底座寬度( 帶寬) 大于 g t 的周期( 丘= 1 a t ) ，則會產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。為避免出現(xiàn)混疊，應使采樣頻率工大 于信號帶寬；對于實信號來說，由于頻譜的對稱性，應使采樣頻率大于信號最高 頻率的兩倍，這就是香農(nóng)采樣定理。 2 2 5 快速傅里葉變換( f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ，f f t ) 對于n 點的復序列 g n in = 0 ，l ，2 3 ，n 一1 ) ，若按式( 2 9 ) 求其離散傅里葉變換， 需要n 2 次復數(shù)乘法運算。隨著n 的增大，運算量將迅速上升。1 9 6 5 年c o o l e y 和 t u k e y 2 1 提出了一種高效的快速算法( 該算法最早曾在1 9 世紀被g a u s s 和r u n g e 3 】使 用過) 。對于n 點的復序列，這種算法的復乘運算量僅為n l 0 9 2 n ，比直接的d f t 算 法要快得多?，F(xiàn)在把這種快速算法稱為f f t 。 有多種離散傅里葉交換的快速算法。我們這里主要討論c o o l e y 手 1 t u k e y 所提出 的快速算法，該算法的中心思想是將n 點離散傅里葉變換轉(zhuǎn)化為n 2 點離散傅里葉 變換。因此，若n 為2 的整數(shù)次冪，就可以不斷重復使用這一分解過程，直到分解 為單點的離散傅里葉變換為止?？紤]式( 2 - 9 ) 的n 點離散傅里葉變換f d g i = g 。b ( 2 1 1 ) n = 0 其中= e x p ( j 2 7 t n ) 。可以將求和號中的奇、偶項分開而得到： n 2 一ln 2 - 1 q = 9 2 。2 h + 9 2 州陳( 2 腫1 ( 2 - 1 2 ) 由于嚼= ，2 ，所以上式可以進一步寫為： n 2 - 1n 2 1 g t = 9 2 。陳舞+ 9 2 n + l 陳宅= a t + b i ( 2 一1 3 ) n = 0n = 0 其o a k 為g 的所有偶數(shù)項的n 2 點的傅里葉變換，曰i 為g 的所有奇數(shù)項的n 2 點的傅里 葉變換。當= 0 ，1 ，2 ，n 2 1 時式( 2 1 1 ) 均成立。 當2 k n l 時有 8 卷積窗和譜泄漏對消算法及其在準周期信號分析中的應用 ( 2 1 4 ) 式( 2 一1 3 ) 、( 2 1 4 ) 表明n 點f f t 可以用兩個長度為n 2 的f f t 力w 以表示。有時這 兩式也被稱為d a n i e l s o n l a n c z o s 一引理。 以n = 8 為例，考察其計算過程。圖2 1 因數(shù)據(jù)流的的流動過程的形狀類似蝴蝶 而被稱為“蝶形圖”。從右邊開始，該圖顯示了如何由a t 、b 通過式( 2 1 3 ) 求得g o g 3 以及通過式( 2 1 4 ) 求得g 4 g 7 的過程。也是骱的偶數(shù)項：a 。= 9 0 ，9 2 ，9 4 ，9 6 ) 的傅里葉 變換；而b t 是骱的奇數(shù)項：b k = g 】，9 3 ，g s ，9 7 的傅里葉變換。同樣道理，我們也可 以用長度為2 的f f t 來表示爿t 和b k 。用來計算爿女的2 點傅里葉變換用q 和d 女表示，可 以看到：q 恰好是a 。的偶數(shù)點( a o = g o ，a 2 = 9 4 ，即幽序列的偶數(shù)點中的偶數(shù)點) 的傅 里葉變換；而協(xié)為的奇數(shù)點( 露l = 覡，a 3 = 9 6 ，即島序列的偶數(shù)點中的奇數(shù)點) 的傅里 葉變換。而這些2 點傅里葉變換最終可以用原數(shù)據(jù)序列的和或差來表示。 要是原數(shù)據(jù)序列一開始以適當?shù)捻樞蛑匦屡帕?，則這些計算可以按順序進行。 從圖2 1 中可以清楚地看到：正確的排列順序是將原數(shù)據(jù)序列按其二進制序號的位 0 0 0g o 1 0 09 4 0 l o9 2 1 1 09 6 0 0 l9 1 1 0 l 9 5 0 1 1g s i 1 19 7 j p 2 d，l(i)蔓s西05n p否；，西。舌n p 兀。 上炳。 = o w 莖三童塑墮坌塑墨些旦 可以證明，該類窗的系數(shù)滿足下列關系： 。= i u - , ，：摯擴2 一 利用系數(shù)問的關系，該類窗的傅里葉變換也可以寫為更為簡潔的形式： 吲= 幫垂而扔 ( 2 - 3 1 ) 利用上式不難證明，當0 九；刀瓦 0 5 ，有： w ( - z ) ：旦二苧( 2 3 2 ) 礦( 1 一九) p 一1 + 九 這一關系使得該類窗在插值法中的插值公式變得十分簡單，文獻【2 0 ，2 1 】的方 法實際上就是用這類窗對數(shù)據(jù)加窗。 三窗函數(shù)的前2 m - i 階導數(shù)連續(xù)，而2 m 階導數(shù)不連續(xù) 當組合余弦窗的各項系數(shù)滿足： 窆卜l h ：) ：o j 2 0 1 ，”m p 一1 ( 2