為什么沒人喜歡學習高等數(shù)學.doc

為什么沒人喜歡學習高等數(shù)學木遙 發(fā)表于 2012-10-05 10:26這學期（本文發(fā)表于2011年/編輯注）我一直在教一門課，微積分 II。對象是非數(shù)學物理專業(yè)的大學生，大多數(shù)來自于 business / liberal art / economics 等專業(yè)。難度大致相當于國內(nèi)的高數(shù) B 或 C。所使用的教材是全美國都在廣泛使用的 Stewart Calculus。我目前所在的這所大學位于美國中部，這里畢業(yè)的學生一般都會進入白領(lǐng)階層，但是很難有機會成為美國最出色的精英。也就是說，他們基本上是美國中產(chǎn)階級的典型代表。讓我開宗明義地說：為什么說科學在美國衰??？從我的課堂就能看得出來。一個典型的未來美國中產(chǎn)階級學生，在他的大學科學課程里基本上什么也學不到。等他成為社會的棟梁之后，如何可能了解科學和尊重科學？這當然可能是一管窺豹，因為我畢竟沒有旁聽過別的科學門類的大學課程。但是連微積分這種所有理科學科都會賴以為基礎(chǔ)的課程尚且如此，其余的情況似乎也可以想象。為什么他們的微積分會學得這么糟糕呢？讓我來舉幾個例子。我接手這門課程之后的第一部分內(nèi)容是積分技巧。大部分時間，學生們都在練習這樣的題目：計算下述不定積分：然后是微分方程。在介紹完基本定義之后，學生們在考試里會遇到的是這樣的題目：試求解下列微分方程：再然后是級數(shù)。雖然并不要求學生掌握 - 語言，但是他們要學習各種各樣的判斷級數(shù)是否收斂的定理。作業(yè)和考試都是這樣的：判斷下列級數(shù)是否收斂：我完全不能理解，一個非數(shù)學或物理專業(yè)的學生怎么可能從這樣的教育中獲得一絲一毫的教益？他怎么可能不發(fā)自內(nèi)心地痛恨這門課程，然后在考完試之后的一個小時之內(nèi)把所有內(nèi)容忘得精光？象三角代換這類積分技巧，不要說一個普通的心理學或者經(jīng)濟學專業(yè)的學生一輩子都用不到，就連我也一輩子都用不到。就算在極其罕見的情形下需要求解這類問題，也完全可以求助于或者類似的工具。在我看來，在二十一世紀還要求一個普通學生手算積分，就像是要求一個汽車駕校學員一定要從騎馬學起一樣。實事求是地說，Stewart 這本教材并不壞，也盡力囊括了一些關(guān)于數(shù)學在別的領(lǐng)域中的應(yīng)用的內(nèi)容和大量頗有趣味的閱讀材料。但是問題在于，它仍然是一本基于數(shù)學家思維方式寫出來的教材，亦即在每一個課題上從最基本的定義和定理開始堆砌，直到超出教材所可能涵蓋的水平為止。例如，為什么學生需要學習變量分離的常微分方程的解法？因為這是最容易解的（也是這個水平的學生所唯一可能學會解法的）常微分方程。也就是說，學生學習這類方程（并且要做大量練習）不是因為它對學生來說重要，而是因為它是在數(shù)學大廈里一個學生所能爬到的最高位置，如此而已?？墒且粋€學生為什么要去爬這座大廈呢？或者換句話說，數(shù)學家憑什么要求所有普通人都按照數(shù)學家的方式來學數(shù)學呢？它除了把學生摔得鼻青臉腫之外，沒有任何用處。每個學生都不得不學會七八種判別一個級數(shù)是否收斂的技巧，但是他甚至沒有機會得到一個簡單問題的答案：我為什么要學習級數(shù)？對數(shù)學家來說這個問題沒有意義，數(shù)學家反正總是需要級數(shù)的。但是它對別人有意義。每次當我走進課堂，開始討論第一類反常積分和第二類反常積分或者絕對收斂和相對收斂的區(qū)別，我都忍不住設(shè)想臺下學生們的心情。他們會不會覺得我像是個傻瓜？反正我覺得自己很像。我常常碰到有人認真地問：數(shù)學到底有什么用處？這問題其實一點都不難回答，我可以隨口舉出無數(shù)個例子來說明為什么社會的每個角落都須臾不可缺少最現(xiàn)代的數(shù)學工具，但是我明白為什么別人會問這個問題。因為對于他們來說，數(shù)學就是他們在大學里學過的這些習題。而這些習題對 99% 的大學生來說確實一點用都沒有，甚至連鍛煉邏輯思維能力這種最虛幻的用處也談不上。如果是我來編寫大學數(shù)學教材，我會爭取讓每一個在大學里讀過數(shù)學課的人都能回答這樣的問題：為什么人們能精確預(yù)測幾十年后的日食，卻沒法精確預(yù)測明天的天氣；為什么人們可以通過 https 安全地瀏覽網(wǎng)頁而不會被監(jiān)聽；為什么全球變暖的速度超過一個界限就變得不可逆了；為什么把文本文件壓縮成 zip 體積會減少很多，而 mp3 文件壓縮成 zip 大小卻幾乎不變；民生統(tǒng)計指標到底應(yīng)該采用平均數(shù)還是中位數(shù)；當人們說兩種樂器聲音的音高相同而音色不同的時候到底是什么意思這不是什么趣味數(shù)學，這就是數(shù)學?；A(chǔ)、重要、深刻、美的數(shù)學。在我的設(shè)想里，這才是大學基礎(chǔ)數(shù)學教育所應(yīng)該達成的任務(wù)。不是培養(yǎng)一個非數(shù)學專業(yè)的現(xiàn)代人在數(shù)學領(lǐng)域的專業(yè)素質(zhì)（這是無論如何也不可能成功的），而是讓一個人能夠在非專業(yè)的前提下最大程度地掌握真正有用的現(xiàn)代數(shù)學知識，了解數(shù)學家們的工作怎樣在各個層面上和社會產(chǎn)生互動，以及社會在這個領(lǐng)域的投資得到了怎樣的回報。別的科學門類的基礎(chǔ)教育也應(yīng)當是這樣。更重要的是，任何一個接受過大學科學教育的人，無論他的職業(yè)是什么，他都應(yīng)當能夠明確理解下面這些事：為什么歷史上一次又一次有過處于少數(shù)地位的業(yè)余科學家在不被重視的情況下做出重大貢獻的事例，今天的科學界仍然在整體上排斥業(yè)余研究者的參與，并且反對社會資源被用來鼓勵業(yè)余研究；既然科學結(jié)論有可能并且也在事實上曾經(jīng)反復(fù)被推翻，連牛頓力學都會被愛因斯坦相對論所取代而相對論也可以繼續(xù)被修正，當代科學家做出的科學斷言到底在什么意義上值得相信（或者是不是根本就不值得相信）；科學問題是不是和政治問題一樣，并不存在所謂正確的答案，而每種立場其實都有其存在的意義和價值；當一個科學上的專業(yè)問題同時又具有政治上的巨大影響力的時候（比如全球變暖、干細胞研究或者轉(zhuǎn)基因作物推廣），不具有專業(yè)背景的公眾到底應(yīng)該具有怎樣的發(fā)言權(quán)。讓每個現(xiàn)代人在大學教育中聽到科學家對這些問題的回答，應(yīng)當是大學科學教育不可回避的任務(wù)。毫無疑問，現(xiàn)狀并不是這樣。我并沒有在中國大學里教數(shù)學基礎(chǔ)課的經(jīng)歷，但是就