（物理電子學(xué)專業(yè)論文）脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究.pdf

摘要 摘要 本文以脊波變換為研究對(duì)象，論述了脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用。分別論 述了小波變換和脊波變換基本理論，基于脊波變換的圖像去噪以及圖像融合。首 先，在分析小波變換理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合小波變換的優(yōu)缺點(diǎn)，為了克服小波變換 在圖像處理中的不足，介紹了脊波變換的基本理論。其次，針對(duì)圖像去噪中常用 閾值方法的缺點(diǎn)和不足，提出了一種基于脊波變換的改進(jìn)的圖像去噪算法，該算 法采用指數(shù)型閾值函數(shù)，利用s u r e s 塒1 1 l 【自適應(yīng)閾值。最后，將脊波變換的思想 應(yīng)用于圖像融合，采用區(qū)域方差的融合規(guī)則，得到了一種基于有限脊波變換的圖 像融合算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于脊波變換的圖像去噪和融合方法具有比小波變 換更好的效果。 關(guān)鍵詞：脊波變換小波變換圖像去噪圖像融合 a b s 仃a c t h a b s t r a c t 1 1 1 i sp 印e rd e a l sw i m 鼬d g e l c tt r a n s f b 肌i ni m a g e r yp r o c e s s i n w 1 1 i c hi v o l v e s mb 勰i ct h e o r yo fw a v e l e tt r 姐s f o ma n d 礎(chǔ)d g e l e tt r 柚s f o 鋤，f h l i t em d g e l e t t r a n s f o mi ni m a g ed e l l o i s i n g 肌d 妯i l n a g e 向s i f i r s t l y d 印e i l d i n go n 觚a l y s i s w a v e l e t 仃a n s f b mt l l c 0 b i i l d i l l gm e r i t s 姐dd 鋤甜t so fw a v e l e tt r a n s f o n n ，蠡d r o v e r c o m i i l gt h ed e 丘c i e n c yo fw a v e l c t 仃a n s 向ma ti m a g ep m c e s s i n 呂w ei i 血o d u c e b 邪i ct l l e o r yo fm d g e l e t 仃a n s f o 姍s c c o n d l y ，ai n l p r o v 鋤饑to fi m a g ed e n o i s i l l g a l g o f i t l l mb 嬲e d 砘電e l e t 仃趾s f o n ni sp r e s e n t e dt oo v e f c o m et h ed i s a d v 柚t a g e 鋤d d e f i c i c n c yo fm ec o m m o nt l l f e s h o l dm e 也o da ti m a g ed 即【o i s i n g t h ea c p o i l e n t i a l t 1 1 r e s l l o l d 缸l c t i 鋤d 吐圮a d 印石v es i 玳s b r ! i n k 1 i s h o l dv a l u ea a p p h c dj n t o 廿1 i sa p l p r o a c h 刪r d l 弘砒起e l c t 虹a i l s f o mi s 印p l i e di ni i i l a g ef i l s i ，a d o p t e dm ef i l s i o nn 1 1 eo f r e 舀o n a lv a r i a n c e ，眥i i i l a g ef i l s i o na 1 9 0 r i t h l nb 鷦e d f i n i t cm d g e l e t 仃a l l s f o 肋h(yuǎn) 鶴 a p p e 缸e d t l l ef e s u l t so fe ) 【p 酬婦e m 砌i c a t ei m a g ed e i l o i s i n g 鋤df i l s i o na l g o r i t h n l b 髂e do ni u d g e l e tg a i l lb c n e re 仃b c t st l l a nw a v e l e t 觚f o m l k e yw o r d s ：i u d g e l e t1 t a n s f o r m w a v e l e t1 y a n s f o r m i m a g ed e n o i s i gi m a g e f u s i o n 獨(dú)創(chuàng)性( 或創(chuàng)新性) 聲明 本人聲明所呈交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研 究成果。盡我所知，除了文中特別標(biāo)注和致謝中所羅列的內(nèi)容以外，論文中不包 含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果；也不包含為獲得西安電子科技大學(xué)或其 他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的 任何貢獻(xiàn)均已在論文中做了明確的說明并表示了謝意。 申請(qǐng)學(xué)位論文與資料若有不實(shí)之處，本人承擔(dān)一切相關(guān)責(zé)任。 本人簽名：魚1 竺型本人簽名：爹i 彳 j 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 本人完全了解西安電子科技大學(xué)有關(guān)保留和使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：研究 生在校攻讀學(xué)位期間論文工作的知識(shí)產(chǎn)權(quán)單位屬西安電子科技大學(xué)。本人保證畢 業(yè)離校后，發(fā)表論文或使用論文成果時(shí)署名單位仍然為西安電子科技大學(xué)。學(xué)校 有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件，允許查閱和借閱論文：學(xué)校可以公布論文的全部或 部分內(nèi)容，可以允許采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文。 本人簽名：多1 縫剁 導(dǎo)師簽名：j 毳路導(dǎo)師簽名：以呔! 乏5 日期 籃：! ! i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。- _ 。j _ ：_ _ _ _ _ - _ - 。_ _ _ _ _ _ _ _ 。- 。_ 一 日期0 8 3 g 第一章緒論 第一章緒論 本章首先介紹了脊波變換的研究背景以及國(guó)內(nèi)外發(fā)展?fàn)顩r，提出本文的研究 對(duì)象、范圍和研究方向，并在此基礎(chǔ)上介紹了本文開展的工作 1 1 研究背景和研究意義 尋求客觀事物的“稀疏”表示方法，一直是計(jì)算機(jī)視覺、數(shù)學(xué)，數(shù)據(jù)壓縮等 領(lǐng)域的專家學(xué)者致力于的研究目標(biāo)。 1 9 8 4 年法國(guó)地球物理學(xué)家j m o r l e t 提出小波變換的概念后，小波分析因其超 越于傅立葉分析的眾多優(yōu)點(diǎn)，不僅以驚人的速度完成了理論構(gòu)建，而且迅速?gòu)臄?shù) 學(xué)、信號(hào)處理領(lǐng)域的應(yīng)用擴(kuò)展到物理、天文、生物、化學(xué)等各個(gè)學(xué)科。在圖像處 理領(lǐng)域，小波變換更被廣泛的應(yīng)用于圖像壓縮、去噪、增強(qiáng)、特征提取、數(shù)學(xué)水 印等幾乎所有的分支。1 9 9 9 年，新的靜止圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)j p e g - 2 0 0 0 的確立更是小 波分析發(fā)展史上的一座里程碑。 推動(dòng)小波分析發(fā)展的先驅(qū)者們h l 鰣dda _ u b e c l l i e s 、s t 印h 鋤em a l l a t 、舢b e n c o h e l l 、d a v i dd o n o h o 、m a r t i l lv e n e r l i 等對(duì)發(fā)展新的高維函數(shù)的最優(yōu)表示方法做 出了不懈的努力，他們提出了多尺度幾何分析( m g a ：m u l t i s c a l eg e o m e m c a n a l v s i s ) 的概念。即對(duì)于二維圖像信號(hào)，最優(yōu)表示這種信號(hào)的多尺度幾何分析方 法應(yīng)該具有以下特征： 1 ) 多分辨特征：能夠?qū)D像從粗分辨率到細(xì)分辨率進(jìn)行連續(xù)逼近，即“帶通” 性： 2 ) 局域性：在空域和頻域，這種表示方法的“基”應(yīng)該是“局部”的； 3 ) 方向性：其“基”應(yīng)該具有多“方向”性。支撐基應(yīng)具有長(zhǎng)條形結(jié)構(gòu)，達(dá) 到用最少的系數(shù)來逼近奇異曲線，基的長(zhǎng)條形結(jié)構(gòu)實(shí)際上是方向性的一種體現(xiàn)， 稱這種基具有各向異性。 事實(shí)上，具有線或面奇異的函數(shù)在高維空間中非常普遍，例如，自然物體光 滑邊界使得自然圖像的不連續(xù)性往往體現(xiàn)為光滑曲線上的奇異性，而并不僅僅是 點(diǎn)奇異。實(shí)現(xiàn)函數(shù)的稀疏表示是信號(hào)處理、計(jì)算機(jī)視覺等眾多領(lǐng)域中一個(gè)非常核 心的問題。 對(duì)于含“點(diǎn)奇異”的一維信號(hào)，小波能達(dá)到“最優(yōu)”的非線性逼近階。而在 處理二維或者更高維含“線奇異”的信號(hào)時(shí)，雖然由一維小波張成的高維小波基 在逼近性能上要優(yōu)于三角基，卻也不能達(dá)到理想的最優(yōu)逼近階。這是由于一維小 脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究 波張成的二維可分離小波基只具有有限方向，即水平、垂直和對(duì)角造成的，即多 方向的缺乏是其不能“最優(yōu)”表示具有線或者面奇異的高維函數(shù)的重要原因。 小波分析的不足，使人們開始從不同角度出發(fā)，試圖尋找比小波更好的“稀 疏”表示工具，脊波理論便是其中最有代表性、影響最深遠(yuǎn)的一種理論“。 1 2 國(guó)內(nèi)外發(fā)展?fàn)顩r 1 9 9 8 年e m m a n u e lj c a l l d e s 在其博士論文 3 及文獻(xiàn) 4 給出了脊波變換的基本 理論，該理論巧妙地將二維函數(shù)中的“直線奇異”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)奇異”，再用小波 進(jìn)行處理，能獲得對(duì)含“直線奇異”的二維或高維函數(shù)最優(yōu)的非線性逼近階。在 這之后的同一年，d o n o h o 就給出了一種正交脊波的構(gòu)造方法。該正交脊波延續(xù)了 脊波變換將“直線奇異”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)奇異”進(jìn)行處理的思想，并且構(gòu)成一組r 僅：) 上的標(biāo)準(zhǔn)正交基。1 9 9 9 年，在文獻(xiàn) 5 中，e m m a n u e ljc 鋤d e s 又提出了單尺度脊 波變換和c u r v e l c t 變換，它們都是由脊波變換發(fā)展而來，分別利用了函數(shù)局部化和 頻帶剖分的思想，將脊波理論發(fā)展到了一個(gè)更高的階段，這兩種變換都能“近似 最優(yōu)”的表示直線和曲線奇異。到了2 0 0 3 年，侯彪、劉芳和焦李成給出了脊波變 換的數(shù)字實(shí)現(xiàn)方法”1 ；2 0 0 5 年，由譚山等人又提出了脊波框架的理論。與正交脊波 不同的是，脊波框架的構(gòu)造條件更加寬松，不需要受小波基性質(zhì)的約束，幾乎各 種小波基都能被用來構(gòu)造此框架，而且脊波框架將正交脊波納入其構(gòu)架而又具更 廣外延。冗余性的存在，在某些實(shí)際工程應(yīng)用中使得框架往往比正交基具有更好 的性能，這也是脊波框架的優(yōu)勢(shì)之一。 本文主要介紹的是e m m 鋤l e ljc a n d e s 的脊波。它是以穩(wěn)定的和固定的方式用一 系列脊函數(shù)的疊加來表示相當(dāng)廣泛的函數(shù)類。同時(shí)，它也具有基于離散變換的“近 于正交”的脊波函數(shù)的框架。在這些新的廣泛的函數(shù)類上，利用各種特殊的高維 空間的不均勻性來模擬現(xiàn)實(shí)的信號(hào)。它應(yīng)用現(xiàn)代調(diào)和分析的概念和方法，并使用 在小波分析和群展開理論中發(fā)展的技術(shù)，可用來處理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造問題。同時(shí) 脊波具有具體的和穩(wěn)定的使用脊函數(shù)的疊加來表示一個(gè)多變量函數(shù)廠& ) 的形式， 而且對(duì)于相應(yīng)的脊波空間中的函數(shù)，我們可以使用脊波字典中的有限個(gè)元素的疊 加來逼近函數(shù)廠( x ) ，并使得這種逼近相對(duì)于f o u r i e r 變換、小波變換和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來 說能夠獲得較好的定量的逼近速率。脊波將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和調(diào)和分析等多門 學(xué)科的知識(shí)綜合起來并克服了這些學(xué)科涉及到的多變量函數(shù)逼近問題所遇到的難 題。 第一章緒論 1 3 1 研究?jī)?nèi)容 1 3 本文的研究?jī)?nèi)容 分析了小波變換和脊波變換的基本原理。小波變換的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在對(duì)一 維分段光滑或有界變差函數(shù)進(jìn)行分析和處理上，針對(duì)在圖像處理中的應(yīng)用 和小波變換的不足，m i l l hn d o 和m a n i nv c i n e r h 提出了一種適合分析一 維或更高維奇異性的有限脊波變換( f i i l i t e 鼬d g e l e tt r a l l s f 0 1 m ，f i u t ) 。 分析了閾值法小波去噪的基本方法，以此為基礎(chǔ)將小波閾值法應(yīng)用于脊波 域。分析了常用閡值函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)，給出一種指數(shù)型閾值函數(shù)法。分析了 常用的全局閾值確定的缺點(diǎn)，采用了s u r e s t l 血出自適應(yīng)方法確定閾值，進(jìn) 而實(shí)現(xiàn)圖像去噪。 分析了脊波變換應(yīng)用于圖像融合的優(yōu)越性，將有限脊波變換的思想應(yīng)用于 圖像融合，并采用了區(qū)域方差的融合規(guī)則。將該方法應(yīng)用于多聚焦和紅外 與可見光的圖像融合，與傳統(tǒng)的融合算法相比較取得了較好的融合效果。 1 3 2 章節(jié)安排 本文共分五章，其主要結(jié)構(gòu)安排和內(nèi)容如下： 第一章緒論。主要概述了脊波變換的研究背景、意義以及國(guó)內(nèi)外發(fā)展情況， 并在此基礎(chǔ)上介紹了本文開展的工作。 第二章小波變換和脊波變換。主要介紹了連續(xù)小波變換和離散小波變換的定 義、小波變換的性質(zhì)、小波變換的多分辨分析；介紹了r i d g e l e t 變換的基本原理 與概念。對(duì)于具有直線狀特征的模型，r i d g e l e t 方法比w a v e l e t 方法具有更高的比 較精度和更好的還原效果。 第三章基于脊波變換的圖像去噪。本章基于脊波變換設(shè)計(jì)了一種圖像去噪算 法，采用一種改進(jìn)的閾值函數(shù)指數(shù)型閾值函數(shù)，并且采用自適應(yīng)s u r e 閾值的 方法。和小波變換相比，脊波變換能夠有效地處理高維直線或超平面奇異性的問 題。提出的算法適用于處理以直線特征為主的圖像，試驗(yàn)證明了算法的有效性。 第四章基于脊波變換的圖像融合。本章先介紹圖像融合中的基本框架和基本 融合方法以及圖像融合質(zhì)量性能評(píng)估，使用有限脊波變換進(jìn)行圖像融合能夠充分 利用該變換的強(qiáng)大的信號(hào)表示能力，能更好地提取原始圖像的特征，為融合圖像 提供更多的信息。通過對(duì)多聚焦圖像融合，可見光和紅外圖像融合的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié) 果表明，基于有限脊波變換的圖像融合取得了比小波變換更好的視覺效果。 4 脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究 第五章結(jié)論。對(duì)本文完成的工作進(jìn)行總結(jié)和概括，并指出今后工作的重點(diǎn)和 內(nèi)容。 1 3 3 本文的特點(diǎn) 將小波閾值法去噪思想應(yīng)用于脊波域；鑒于常用閾值函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)，提出 了指數(shù)型閾值函數(shù)法；鑒于小波域常用的全局閡值有很嚴(yán)重的“過扼殺” 小波系數(shù)的傾向，本文采用s u r e s 城i l l 【自適應(yīng)方法確定閾值。 將有限脊波變換應(yīng)用于圖像融合，并采用局部方差的融合規(guī)則，取得了很 好的融合效果。 第二章小波變換與脊波變換基本理論 5 第二章小波變換與脊波變換基本理論 小波變換的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在對(duì)一維分段光滑或有界變差函數(shù)進(jìn)行分析和處理 上，針對(duì)在圖像處理中的應(yīng)用和小波變換的不足，m i n h n d o 和m a n i n v e n c r l i 提 出了一種適合分析一維或更高維奇異性的有限脊波變換( f i n i t em d g e l e tt m n s f o 珊， 腳t ) 。本章中主要介紹小波變換和脊波變換的基本理論 2 1 小波變換 經(jīng)典的傅立葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)域和頻域的分析。因?yàn)樾盘?hào)經(jīng)過傅立葉變換 后，時(shí)域的信息不存在，時(shí)間特性消失，只能進(jìn)行頻域信息的分析。為了克服經(jīng) 典傅立葉的缺陷，后來引入了小波分析。 小波變換克服了傅立葉變換的缺陷，具有時(shí)一頻二維分辨的特點(diǎn)，并且它具有 時(shí)域和頻域“變焦距”的特性，因此十分有利于對(duì)信號(hào)的精細(xì)分析。 第一個(gè)正交小波基是a h a a r 于1 9 1 0 年構(gòu)造的”1 ，a h a a r 提出了構(gòu)造正交小波基 的伸縮和平移思想。然而h a a r 小波是不連續(xù)的，不具有連續(xù)可導(dǎo)性，這限制了它 的應(yīng)用。1 9 8 1 年，s 仃o m b e r g 對(duì)h a a r 小波基進(jìn)行了改進(jìn)，證明了小波函數(shù)的存在性。 1 9 8 1 年，法國(guó)地質(zhì)物理學(xué)家m o r l e t 在分析地質(zhì)資料時(shí)創(chuàng)造性地提出了小波分析這 一概念( w a v e l e ta 1 1 a l y s i s ) ，但m o r l e t 最初提出的僅僅是形狀不變的小波。1 9 8 8 年法 國(guó)年輕女?dāng)?shù)學(xué)家d a u b e c h i e s 提出了具有緊支集的光滑正交小波基d a u b e c m e s 基， 這樣，小波分析的系統(tǒng)理論初步得到了建立。與此同時(shí)，信號(hào)分析專家m a l l a t 等人 在前人大量工作的基礎(chǔ)上提出了多尺度分析的概念和基于多尺度分析的小波基的 構(gòu)造方法，將小波正交基的構(gòu)造納入到統(tǒng)一的框架之中，使小波分析成為一種實(shí) 用的信號(hào)分析工具。將多尺度分析思想引入小波分析，提出了多分辨分析的概念， 統(tǒng)一了在此之前的所有具體小波基的構(gòu)造方法，并提出了相應(yīng)的分解與重構(gòu)快速 算法( 稱為m a l l a t 算法) ”1 ，有效的應(yīng)用于圖像的分析與重構(gòu)。 2 1 1 連續(xù)小波變換 設(shè)妒( f ) r 似) ( r 似) 表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空問) ，其 傅立葉變換為礦如) 。當(dāng)妒) 滿足容許性條件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) ： q = 腎 。 億t ， 6 脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究 時(shí)，我們稱( f ) 為一個(gè)基本的小波或母小波( m o m e rw a v e l e t ) 。將母小波函數(shù)妒( ，) 經(jīng) 過伸縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波序列為： 圳2 南攻等) 咖酗。 仁z ， 其中a 為伸縮因子，b 為平移因子。 對(duì)于任意的，o ) r 伍) 的連續(xù)小波變換( c o n t i i l u ew a v e l e tt r a l l s f o 肋) 簡(jiǎn)寫為 ( c w t ) 為： 哆g ，6 ) - - 阿；i 廠( f ) d 學(xué)p ( 2 3 ) 其重構(gòu)公式( 逆變換) 為： 州= ?？? i ，( 警卜如 要使( 2 3 ) 積分變換有意義，要求l 妒( f ) 1 2 出 o 。此性質(zhì)表明，當(dāng)信號(hào)廠( f ) 做某一倍數(shù)伸縮時(shí)，其小波變換 將在口，6 兩軸上做同一比例的伸縮，但是不發(fā)生失真變形。這是使小波變換稱為“數(shù) 學(xué)顯微鏡”的重要依據(jù)。 第二章小波變換與脊波變換基本理論 7 另外還有自相似性和冗余性，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映。 主要表現(xiàn)為： 由連續(xù)小波變換復(fù)原原始信號(hào)的重構(gòu)公式不是唯一的，即信號(hào)廠( f ) 的小波變 換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。 小波變換的核心函數(shù)即小波函數(shù)兒。( r ) 存在許多可能的選擇( 比如它們可能 是非正交小波，正交小波，雙正交小波等) 。 連續(xù)小波變換的系數(shù)具有很大的冗余量。在連續(xù)變換的尺度口和時(shí)間尺度6 下 的小波基函數(shù)虬。( r ) 具有很大的相關(guān)性，因此信號(hào)的小波變換系數(shù)盯( 4 ，6 ) 的信息 量是冗余的。大多數(shù)情況下人們希望在不丟失原始信號(hào)的情況下，盡量減少小波 變換系數(shù)的冗余度，從而提高壓縮率，因此引入了離散小波變換。 2 1 2 離散小波變換 我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中應(yīng)用的最多的是離散小波變換，而不是連續(xù)小波變換，這主 要是離散小波變換更容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。離散小波變換對(duì)應(yīng)與傅立葉級(jí)數(shù)，正 如連續(xù)小波變換對(duì)于與傅立葉變換。所謂的“離散”即尺度和位移的離散，而對(duì) 待分析信號(hào)和分析小波中的時(shí)間變量t 并沒有被離散化。 在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)： 。( f ) =咖( ( 2 6 ) 這里，6 r ，n r + ，且口o ，是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制 口只取正值，這樣容許性條件就變?yōu)椋?巳= r 昏黜 ( 2 ，) 通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)口和平移參數(shù)6 的離散化公式分別取作 d = 口。，6 = 勛。，這里，z 擴(kuò)展步長(zhǎng)4 。l 是固定值，為方便起見，總假定 口o 1 。因此對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù)y 小( f ) 即可寫作： 町y ( 半卜么g 。一紙) 則離散化小波變換系數(shù)可表示為： q ，。= e ，( ，p 小( ，脅= ( 2 9 ) 其重構(gòu)公式為 8 脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究 飩) = c q ，。緲肚( f ) c 是一個(gè)與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)。 2 1 3 二進(jìn)小波變換 ( 2 1 0 ) 為了使小波變換具有可變換的時(shí)間和頻率分辨率，適應(yīng)待分析信號(hào)的非平穩(wěn) 性，我們很自然地需要改變口和6 的大小，以使小波變換具有“變焦距”的功能。 換言之，在實(shí)際中采用的是動(dòng)態(tài)的采樣網(wǎng)格。最常用的是二進(jìn)制的動(dòng)態(tài)采樣網(wǎng)格， 即口。= 2 ，6 0 = 1 ，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的尺度為2 7 ，而平移為2 _ i 。由此得到的小波： 卅：2 一妒( 2 一，f 一七) j ，_ j z ( 2 1 1 ) 稱為二進(jìn)小波。 二進(jìn)小波對(duì)信號(hào)的分析具有變焦距的作用。假定有一放大倍數(shù)2 ，它對(duì)應(yīng)為 觀測(cè)到信號(hào)的某部分內(nèi)容。如果想進(jìn)一步觀看信號(hào)更小的細(xì)節(jié)，就需要增加放大 倍數(shù)即減小_ ，值；反之，若想了解信號(hào)更粗的內(nèi)容，則可以減小放大倍數(shù)，即加大 ，值。因此在這個(gè)意義上，小波變換被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡。 二進(jìn)小波不同于連續(xù)小波的離散形式，它只是對(duì)尺度參數(shù)進(jìn)行了離散化，而對(duì) 時(shí)間域上的平移參量保持連續(xù)變化，因此二進(jìn)小波不破壞信號(hào)在時(shí)間域上的平移 不變量，這也正是它同正交小波基相比所具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。 2 1 4 多分辨率分析 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na 眥l y s i s ) 又稱多尺度分析，是建立在函數(shù)空間概 念上的理論。它是m a l l a t 在8 0 年代提出的，可用于正交小波分解和重構(gòu)，也稱為金 字塔算法。多分辨分析的基本思路是將原始信號(hào)分成不同分辨率的幾個(gè)信號(hào)，然 后選擇合適的分辨率或者在各級(jí)分辨率上處理該信號(hào)。我們可以把尺度理解為照 相機(jī)的鏡頭，當(dāng)尺度由大變小時(shí)，就相當(dāng)于將照相機(jī)鏡頭由遠(yuǎn)及近的接近目標(biāo)。 在大尺度空間里，相當(dāng)于從遠(yuǎn)處觀察目標(biāo)，只能看到大致的概貌；在小尺度空間 里，相當(dāng)于從近處觀察目標(biāo)，可觀測(cè)到目標(biāo)的細(xì)節(jié)部分。因此，隨著尺度由大到 小的變換，在各尺度上可以由粗糙到精細(xì)地觀察目標(biāo)。這就是多尺度( 多分辨) 的 思想。多分辨分析從空間概念上形象地說明了小波的多分辨特性，將此之前的所 有正交小波基的構(gòu)造方法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的 快速算法，即m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換 在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。關(guān)于多分辨分析的理解，我們還可以用一個(gè)三層分 第二章小波變換與脊波變換基本理論9 解加以說明，其小波分解樹如圖2 1 所示。 圖2 1 三層多分辨分析的結(jié)構(gòu)圖 從圖可以明顯看出，多分辨分析中是對(duì)低頻部分進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予 考慮。分解式為：= s 3 + d l + d 2 + d 3 。 2 1 5 圖像的小波變換 圖像是二維信號(hào)，因此首先應(yīng)該將小波分解從一維推廣到二維。對(duì)于二維正交 小波，我們常用的是正方形二維正交小波基。 小波變換用于圖像分析的基本思想是把圖像進(jìn)行多分辨分解，將圖像分解成不 同空間、不同頻率的子圖像。圖像經(jīng)過小波變換后被分割成四個(gè)頻帶：水平、垂直、 對(duì)角線和低頻，低頻部分還可以進(jìn)一步分解。對(duì)于一幅圖像來說小波變換構(gòu)成了 對(duì)它的多尺度時(shí)頻分解。圖2 2 給出了圖像的三個(gè)尺度的分解。 1 0脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究 兒3吼3 m 2 工h 3h h3 m l l h 2h h t l h t h h l 圖2 2 一幅圖像的三層多分辨率分析小波分解 左上角( 上上2 ) 是最低頻段濾波后的低尺度逼近，同級(jí)分辨率下，m 3 塊包含了水 平方向高通、垂直方向低通濾波器后所保留的低頻信息。同樣的上日3 塊保留的是 水平方向低通、垂直方向高通濾波后的細(xì)節(jié)信息，點(diǎn)艘3 塊包含的是水平和垂直方 向都通過高通濾波后的細(xì)節(jié)信息。相同的處理過程在中分辨率層和高分辨率層重 復(fù)進(jìn)行。圖像經(jīng)過小波變換后生成的小波圖像的數(shù)據(jù)總量與原圖像的數(shù)據(jù)總量相 等，生成的小波圖像具有與原圖像不同的特性，表現(xiàn)在圖像的能量主要集中于中 低頻部分，水平、垂直和對(duì)角部分的能量則較少；水平、垂直和對(duì)角部分表征了 原圖像在水平、垂直和對(duì)角部分的邊緣信息，具有明顯的方向特性。低頻部分可 以稱作逼近圖像，水平、垂直和對(duì)角部分可稱作細(xì)節(jié)圖像。 2 2 脊波變換 脊波變換的基本理論框架是由e j c 孤d e s 在其博士學(xué)位論文中建立，并與 d l d o n o h o 等在其后續(xù)的一系列工作中逐步拓展和完善的【”塒。在引入脊波的定 義之前，我們先看一個(gè)與脊波思息相關(guān)的概念r a d o n 變換。然后再引入脊波 變換的概念。 2 2 1r a n d o n 變換 r a d o n 變換n 5 3 最初是由數(shù)學(xué)家r a d o n 在1 9 1 7 年提出的，但是當(dāng)時(shí)它只是具有 數(shù)學(xué)意義，表現(xiàn)在影像學(xué)上即為后來的投影變換( 投影算子) 。后來隨著x r a y 的研究深入，r a d o n 變換在實(shí)際應(yīng)用中終于變現(xiàn)出了它的重要意義，這就是x 射 第二章小波變換與脊波變換基本理論 l l 線斷層成像技術(shù)( c t ：c o m p u t e rt o m o 鯽h y ) 的實(shí)現(xiàn)。 實(shí)際上，當(dāng)人們?cè)谔幚矶S或三維投影數(shù)據(jù)時(shí)，真正有效的重要算法都是以 r a d o n 變換或r a d o n 逆變換作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。4 。醫(yī)此，對(duì)這種變換算法和快速算法 的研究在醫(yī)學(xué)影像中有著特殊意義。 對(duì)于二維信號(hào)，r a d o n 變換就是信號(hào)沿某一方向的投影： ， 、如少 溺，鄉(xiāng)7 g 一 述遴毪y 、 ， ( a ) i 硼變換投影 圖2 3r a d o i l 變換 ， 夕 、 ，7 ? 必 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn) b g ，伊) = p g ，y 切 ( 2 1 2 ) 其中的直線，的方程為： x c o s 妒+ ) ，s i n 伊= p( 2 1 3 ) 代入( 2 1 2 ) 式得： g p ，礦) = 少g ，y p g c 。s 伊一) ，s i i l 緲一p ) c “砂 ( 2 1 4 ) 月 定義圖像廠g ，_ y ) 在所有妒方向的積分投影g ，妒) 的集合為廠g ，y ) 的r a d o n 變 換，表示為髟，廠g ，j ，) 。r a d o n 變換的另一種表達(dá)為 9 0 ，緲) = 少p c 。s 妒一s s i n 伊，p s i n 伊+ j c o s p 協(xié) ( 2 1 5 ) 可以看成是廠g ，y ) 在新坐標(biāo)系仁，y ) 中的表達(dá)式 g c o s 妒一y s i n 妒，x s i n 伊+ y c o s 妒) 的簡(jiǎn)單積分。 脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究 由r a d o n 變換得到二維信號(hào)的重建，即從g ( 島妒) 到逆r a d o n 變換。逆r a d 蚰 變換的公式為： ，船，妒比 廠g ，y ) 2 贏r 昧面毒靜緲 ( 2 - t 6 ) 具體推導(dǎo)這里不做論述。 需要說明的是，重建公式已經(jīng)解決了近9 0 年。但是應(yīng)用到實(shí)際中，對(duì)于理想 化問題的數(shù)學(xué)求解還存在一些實(shí)際的困難： ( 1 ) r a d o n 公式是利用了圖像的所有線積分來決定這幅圖像的。在實(shí)際應(yīng)用中， 我們僅有有限組測(cè)量值，即使令這些值準(zhǔn)確的是沿許多直線的投影，但它們的有 限數(shù)目對(duì)唯一的甚至是精確的確定那幅圖像是不夠的，根據(jù)有限個(gè)數(shù)據(jù)，我們是 可以容易的產(chǎn)生物體的圖像，但這些圖像的重建是很不準(zhǔn)確的。 ( 2 ) 表達(dá)式中我們皆是用的連續(xù)函數(shù)的表達(dá)式，實(shí)際中由于用計(jì)算機(jī)求解我們 不得不將其作離散化處理，這就要牽扯到插值問題等等，這些估計(jì)值的不精確性 也對(duì)r a d o n 有著很敏感的影響。 ( 3 ) r a d o n 給出了一個(gè)數(shù)學(xué)公式，我們需要一個(gè)有效的算法去計(jì)算它，而得到 這種算法并不容易。所以，人們不得不以大量工作，來尋找計(jì)算機(jī)上能夠快速實(shí) 現(xiàn)的算法，以產(chǎn)生可以接受的重建圖像。而且這個(gè)問題現(xiàn)在人們還在不斷完善中。 2 2 2 連續(xù)脊波變換 數(shù) 定義2 1 ：設(shè)光滑函數(shù)：r 寸r ，滿足條件p o 協(xié)= o 及容許條件 瞥一 仁切 其中妒皓) 為妒o ) 的f o u r i e r 變換 對(duì)于參數(shù)集y ，定義r 2 斗r 函數(shù)，并稱，為滿足容許條件所生成的脊波函 爐口一；y ( 掣 仁 其中口為尺度因子，6 為位移因予，“為方向因子。 令“= ( c o s 口，s i n 口l z = “，t ) ，則脊波函數(shù)的形式可以表示為 第二章小波變換與脊波變換基本理論1 3 尸 妒( 型學(xué) 其中口 o ，6 ，玉，而r ，口【o ，7 r 】 定義2 2 ：定義變換： 時(shí)乃( 口，6 ，口) = 以 。g k 為廠g ) 函數(shù)在彤上的連續(xù)脊波變換啪n 6 巾”。對(duì)于廠g ) r 陋2 ) ， r a d 伽變換為： q p ，f ) = 少g p k c o s 口+ 而s i n 口一r 陋 若記廠g ) 在胄2 上的連續(xù)小波變換為： ( 2 1 9 ) 在胄2 上的連續(xù) ( 2 2 1 ) g ，6 ) = 阮。g 沙g 協(xié) p 其中。g ) = 口一j 妒f 蘭二旦1 ，y g ) 是一維小波函數(shù)。因此脊波變換可以表示為： 口。， r f 弓0 ，6 ，口) = j 以，。g 地p ，協(xié) ( 2 2 2 ) 一 由以上定義也可以看出脊波與小波可以用r a d o n 變換聯(lián)系起來，簡(jiǎn)言之就是 脊波變換就是在r a d o n 變換域中的小波變換?？梢钥闯觯共ê托〔ㄔ诒举|(zhì)上是 一樣的，但是脊波引入了表示方向的參數(shù)日。因此，原來小波可表示一個(gè)點(diǎn)的特 征，此時(shí)對(duì)于脊波變成了一條沿方向目的直線。在脊波函數(shù)的橫截面上是一條小 波曲線。在r 2 中，脊波沿脊線五c o s 占+ 而s i n 口= f 是常數(shù)，垂直脊線方向是小波。 綜上，脊波變換的主要思想就是用r a d o n 變換將不同方向的線奇異映射為點(diǎn) 奇異，然后用一維小波變換來刻畫點(diǎn)的奇異性，從而能有效地表示二維信號(hào)中的 線或曲線奇異性特征。 定義2 3 設(shè)函數(shù)滿足夕z 伍2 ) ，若礦滿足容許條件，則有： ，g ) = 勺肥護(hù)耽 。g ) 墮筍 ( 2 2 3 ) 為脊波變換的重構(gòu)公式，其中勺= ( 2 萬) - 2 巧1 。 2 2 3 離散脊波變換 針對(duì)二維離散數(shù)據(jù)擴(kuò)阮，如) ) ，2 如，如= o ，1 ，2 以) ，分別對(duì)三個(gè)參數(shù)口，6 ，口離散 脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究 化： 則 e f = 2 萬2 一f ，巳= 2 ，i = 2 疵2 一 j 瓴，島) = 毛2 c o s 已，+ 如2 7 s i n e 。， 墨，如b ，2 ，一1 j ，_ ，- ，f = o ，2 川一1 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 從而 ，瓴，屯) = 2 必( 2 ，也，瓴，島) 一6 j 。) ) ( 2 2 6 ) 令離散脊波變換系數(shù)為： 口卅，f = ( 舶力 ( 2 2 7 ) 則有離散重構(gòu)公式： 廠如，島) = 吩 ，嘸 。瓴，島) ( 2 2 8 ) ，i ，f 并且滿足r 模意義下的等式： l i 州2 = i q 。1 2 ( 2 2 9 ) t 1 對(duì)于小波變換的特性，當(dāng)口= 2 時(shí)，小波將頻域的劃分可以參看圖2 4 。同樣的對(duì) 于脊波變換，其頻域也將被劃分為2 7 段( _ ，為分解尺度) ，且其支撐區(qū)間是沿方向 且留：n ；蚓s “j 。 圖2 4 脊波變換的頻域劃分 隨著尺度的增加，脊波對(duì)頻域的劃分就越細(xì)，這就跟小波的多分辨一樣可以在不 同尺度上做相應(yīng)的時(shí)一頻分析。 第二章小波變換與脊波變換基本理論 1 5 2 2 4 脊波變換的實(shí)現(xiàn) r 硝o n 變換的實(shí)現(xiàn)： r a d o n 變換滔1 在科學(xué)計(jì)算和工程問題中的應(yīng)用非常普遍，傳統(tǒng)r a d o n 交換重 構(gòu)圖像得到的是一個(gè)近似的逼近圖像，其重構(gòu)圖像的質(zhì)量很大程度上受r a d o n 投 影個(gè)數(shù)的影響，因而會(huì)產(chǎn)生圖像r a d o n 分解的數(shù)據(jù)冗余性，也即較好的重構(gòu)圖像 需要更多的投影。過去幾十年內(nèi)對(duì)r a d o n 變換已有了相當(dāng)充分的認(rèn)識(shí)。一種較方 便的方法是在d f t 的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)r a d o n 變換?；诖死碚摰木唧w的實(shí)現(xiàn)過程為： ( 1 ) 2 d h 叩：首先對(duì)的離散點(diǎn)列廠g ，y ) 作二維快速f o i l r i e r 變換，將其變 換到頻域。 ( 2 ) 徑向劃分：以頻域的中心為原點(diǎn)，對(duì)得到的包含個(gè)點(diǎn)的頻域點(diǎn)列作徑 向劃分，把矩形陣列變換到徑向陣列。然后估計(jì)各個(gè)徑向直線方向上個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) 的值( 若恰為與原網(wǎng)絡(luò)的交點(diǎn)則取為原值，反之則根據(jù)不同方法來對(duì)待定點(diǎn)處進(jìn) 行插值等等) 。保證每個(gè)徑線方向都有個(gè)節(jié)點(diǎn)值。這一步是整個(gè)r a d o n 變換中 最難也是最重要的。 ( 3 ) d 。圈盯：對(duì)于每個(gè)徑向?qū)@個(gè)節(jié)點(diǎn)列再作一維逆f f t ，從而得到對(duì)應(yīng)于 圖像域的2 個(gè)點(diǎn)列。對(duì)這些點(diǎn)列作均勻化插值和重組就得到一次r a d o n 變換 的結(jié)果。 圖2 5 近似徑向變換網(wǎng)格 正交有限脊波變換的實(shí)現(xiàn)： 脊波變換的實(shí)質(zhì)，前面已經(jīng)講述過，其中小波變換我們都已經(jīng)很熟悉，因此 實(shí)現(xiàn)的主要任務(wù)是r a d o n 變換。實(shí)際上，其具體實(shí)現(xiàn)過程已經(jīng)在上面表述了，因 此脊波的實(shí)現(xiàn)過程就可以用如下的流程來表示： 脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究 i m d 船 f 別r z f r a td o r d i n 七 f r i td o m 口訊 七 1 d d r 圖2 6 脊波變換的實(shí)現(xiàn)過程 通過以上的砌d o n 變換，再對(duì)r a d o n 變換后的矩陣作一維小波變換( 即對(duì)極 坐標(biāo)的每條徑向的數(shù)據(jù)作一維變換) ，最終會(huì)得到脊波變換。這里的小波可以有多 種選擇，對(duì)于去噪、復(fù)原和奇異性檢測(cè)以及圖像融合等問題來說，最好采用冗余 小波變換，這種冗余對(duì)于變換的效果改善非常有利。 f r a t 是冗余非正交變換，在實(shí)際應(yīng)用中，最好能夠是非冗余正交變換，這樣 才是完美而且更實(shí)用的變換。文獻(xiàn) 2 8 中已證明，通過對(duì)f r 的投影片一維離 散小波變換，能去除冗余且獲得一個(gè)正交變換。 2 2 5 曲波變換 曲波變換由c a n d e s 和d o n o h o 在1 9 9 9 年提出，其實(shí)質(zhì)上是由脊波理論衍生得 到的。單尺度脊波變換的基本尺度口是固定不變的，而曲波變換則不然，其在所 有可能的尺度玎o 上進(jìn)行分解。c u r y e l e t 是由一種特殊的濾波器和多尺度脊波變 換( m u 城s c a l e 硒d g e l e tt r a n s f o n n ) 組合而成，它是一種多分辨、帶通、多方向的 函數(shù)分析方法符合審理學(xué)研究所提出的“最優(yōu)”圖像表示方法應(yīng)該有的三種特征。 這也是曲波變換“”之所以具有很好的非線性逼近能力的一個(gè)根本原因。 第二章小波變換與脊波變換基本理論 1 7 圖2 8c u n ，c l e t 的實(shí)現(xiàn)過程 2 3 小結(jié) 本章第一部分主要介紹了連續(xù)小波變換和離散小波變換的定義、小波變換的性 質(zhì)、小波變換的多分辨分析。 第二部分主要是介紹了鼬d g e l e t 變換的基本原理與概念。對(duì)于具有直線狀特 征的模型，鼬d g e l e t 方法比w a v e l e t 方法具有更高的比較精度和更好的還原效果， 然而對(duì)于曲線狀特征的圖像，m d g e l c t 變換則顯得力不從心，由此可以采用類似 積分運(yùn)算的思想一一以直代曲，由若干條較短直線來近似代替整條曲線，分別對(duì) 每條小直線進(jìn)行斑d g e l e t 變換，由此在此思想上，產(chǎn)生了c u r v e l e t 變換?！薄?脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究 本章理論主要為論文以后幾個(gè)章節(jié)做鋪墊，后續(xù)部分基于脊波變換的圖像去噪 問題和圖像融合進(jìn)行研究和探討。 第三章基于脊波變換的圖像去噪 1 9 第三章基于脊波變換的圖像去噪 小波闊值法的主要思想是：先對(duì)圖像進(jìn)行小波變換，得到圖像的小波系數(shù)， 再根據(jù)一定的規(guī)則找到一個(gè)合適的閾值，最后用閾值法來修改小波系數(shù)，從而迭 到消除噪聲的目的本章把小波閾值法去噪的思想應(yīng)用在脊波域，提出了一種指 數(shù)型函數(shù)閾值法的自適應(yīng)閾值去噪方法，取得了很好的去噪效果 3 1 1 小波圖像去噪機(jī)理 3 1 小波去噪綜述 從數(shù)學(xué)角度上看，小波去噪問題的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)逼近問題，即如何在由小波 母函數(shù)伸縮和平移版本所擴(kuò)展成的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，尋找對(duì)原 始信號(hào)的最佳逼近。以完成原始信號(hào)和噪聲信號(hào)的區(qū)分。因此，小波去噪方法就 是尋找從實(shí)際空間到小波函數(shù)空間的最佳映像，以便得到原始信號(hào)的最佳恢復(fù)。 從信號(hào)處理的角度看，小波去噪是一個(gè)信號(hào)濾波的問題，而且盡管在很大程度 上小波去噪可以看成是類似于低通濾波。但是由于在去噪后，還能成功地保留圖 像特征，即圖像系數(shù)不僅是低頻通過，高頻系數(shù)經(jīng)收縮后也保留，并和低頻信息 一起用于重構(gòu)。所以在這一點(diǎn)上又優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器。由此可見小波去噪實(shí) 際上是特征提取和低通濾波的綜合。其流程如圖3 1 所示。 圖3 1 小波去嗓框圖 圖像去噪問題一般采用模型： s ( f ) = ( f ) + r e ( f ) ，( i _ o ，1 ，i l 一1 ) ， 其中，廠( f ) 是原始無噪聲圖像，s ( f ) 是觀測(cè)的含噪圖像，p ( f ) 是噪聲：r 是噪 聲方差，去噪目的就是從含噪圖中恢復(fù)原始圖像的同時(shí)保持圖的特征，優(yōu)化均方 差，即在一組正交基口= & 。 ，( o s ，l ) 下通過分解： s ( f ) = ( f ) + 吒( f ) 脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用研究 得至0 = + 由于小波函數(shù)在時(shí)頻域都具有較好的局域性，其變尺度特性使小波變換對(duì)確定 信號(hào)具有一種“集中”的能力，且能較好地表示信號(hào)的局部結(jié)構(gòu)特征。所以小波 變換去噪主要是利用信號(hào)和噪聲的l i p s c l l i l z 指數(shù)在局部結(jié)構(gòu)特征下所表現(xiàn)的奇異 性對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理。 3 1 2 小波去噪方法 1 基于模極大值的圖像去噪法 1 9 9 2 年，m a l l a t 提出用奇異點(diǎn)一模極大值法檢測(cè)信號(hào)的奇異點(diǎn)，根據(jù)有用信號(hào) 和噪聲的小波變換在奇異點(diǎn)的模極大值的不同特性，采用多分辯理論，由粗到精 地跟蹤各尺度_ ，下的小波變換極大值來消除噪聲。其去噪算法是： 步驟1 ：對(duì)含噪圖像進(jìn)行小波變換。 步驟2 ：提取小波分解中第一層的低頻圖像，跟蹤該尺度下的小波變換極值點(diǎn)。 步驟3 ：令_ ，= l ，對(duì)第一層低頻圖像進(jìn)行小波變換，提取第二層低頻圖像信號(hào)且 以步驟2 中的小波變換極值點(diǎn)為參考，清除幅值減小的極值點(diǎn)，保留幅值增加的極 值點(diǎn)。 步驟4 ：令j = 2 ，3 ，重復(fù)步驟3 。 步驟5 ：重構(gòu)圖像，得到去噪后的圖像。 模極大值法主要適于圖像中混有白噪聲且圖像中含有較多奇異點(diǎn)的情況，去噪 后的圖像沒有多余振蕩，能獲得較高的信噪比，保持較高的時(shí)間分辨率。另外模 極大值法要利用復(fù)雜的交替投影法來進(jìn)行重構(gòu)小波系數(shù)，因而計(jì)算速度非常慢且 有時(shí)不穩(wěn)定。1 。 2 小波收縮法 a 閾值收縮法 閨值收縮法1 去噪的算法為： 步驟1 ：選擇合適的小波基并確定小波分解的層次n 對(duì)含噪圖像進(jìn)行小波變換， 得到小波分解系數(shù)。 步驟2 ：在小波變換域設(shè)定閾值對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，獲得新的小波系數(shù)。 步驟3 ：通過小波逆變換，重構(gòu)圖像，得到去噪圖像。 闕值法去噪的應(yīng)用具體有以下幾個(gè)方面： 通用閡值去噪法 這是應(yīng)用最廣泛的一種小波去噪方法， r = 盯2 l o g 【m ) 第三章基于脊波變換的圖像去噪 2 l 其中r 是噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差；m 為圖像尺寸，實(shí)際應(yīng)用時(shí)根據(jù)圖像的特點(diǎn)選取 硬、軟閡值等處理法進(jìn)行降噪。 自適應(yīng)閾值去噪法 閩值過大或過小都不能達(dá)到在去噪的同時(shí)保留圖像細(xì)節(jié)和邊緣信息。通過對(duì) 閾值函數(shù)進(jìn)行修改，m a a n e i lj 觚s c l l 等提出能提高去噪效率的不同閾值選取法，諸 如水平相關(guān)閾值去噪法，m 撕。嘲等提出基于貝葉斯估計(jì)的小波收縮閾值的圖像降 噪方法，m a r i o 和胡海平等通過最小b a y e s 風(fēng)險(xiǎn)的方法對(duì)圖像小波變換后的小波系 數(shù)進(jìn)行估計(jì)，尚曉清等“”提出基于子帶的自適應(yīng)閾值，h u 觚g x 等1 利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中 的畢達(dá)哥斯定理選取小波閾值進(jìn)行圖像去噪，g r a c ec h a i l g s 和d e t l e v m a r p e 等自適 應(yīng)小波閩值圖像去噪法，同時(shí)給出相應(yīng)閾值優(yōu)化的公式，通過選取最佳的閾值來 達(dá)到理想的效果。 小波包閾值去噪法 小波包分析能為信號(hào)提供一種更精細(xì)的分析方法，它將頻帶進(jìn)行多層次劃分， 對(duì)多分辨率沒有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，并能根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適 應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，提高時(shí)頻分辨率。基于小波包變換的閾值法去除圖像斑點(diǎn)噪 聲效果很好且保持了邊緣特征信息。在貝葉斯結(jié)構(gòu)中自動(dòng)估計(jì)閾值采用復(fù)小波包 來去噪，其實(shí)驗(yàn)表明，它比小波包變換具有計(jì)算速度快等特點(diǎn)。 平移不變小波去噪法 它在閾值法的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，其方法是：對(duì)含噪圖像進(jìn)行n 次循環(huán)平移，對(duì)平 移后的圖像進(jìn)行閾值法去噪處理，再對(duì)去噪的結(jié)果進(jìn)行平均。它不僅能有效的抑 制閾值去噪法產(chǎn)生的偽g j b b s 現(xiàn)象，而且能減小原始信號(hào)和估計(jì)信號(hào)之間的均方誤 差( m s e ) 和提高信噪比( s n r ) 。缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度太高。t i e l l 等人則進(jìn)一步利用平 移不變多小波變換進(jìn)行去噪，c o h e n 等人將小波包和平移不變法結(jié)合起來，避免了