結(jié)構(gòu)動力學(xué)復(fù)習(xí)題1.pdf

結(jié)構(gòu)動力學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué) 本章討論結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的反應(yīng) 學(xué)習(xí)本章注重動力學(xué)的特征 慣性力慣性力 結(jié)構(gòu)動力計算的目的在于確定結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的位移 內(nèi)力等量值隨時間變化 的規(guī)律 從而找出其最大值作為設(shè)計的依據(jù) 動力學(xué)研究的問題 動態(tài)作用下結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的強度 剛度及穩(wěn)定性分析 一 本章重點 1 振動方程的建立 2 振動頻率和振型的計算 3 振型分解法求解多自由度體系 4 最大動位移及最大動應(yīng)力 二 基礎(chǔ)知識 1 高等數(shù)學(xué) 2 線性代數(shù) 3 結(jié)構(gòu)力學(xué) 三 動力荷載的特征 1 大小和方向是時間 t 的函數(shù) 例如 地震作用 波浪對船體的作用 風(fēng)荷載 機械振動等 2 具有加速度 因而產(chǎn)生慣性力 四 動力荷載的分類 1 周期性動力荷載 例如 機械運轉(zhuǎn)產(chǎn)生的動力荷載 打樁時的錘擊荷載 P t P t t t 機械運轉(zhuǎn)荷載 打樁荷載 2 沖擊荷載 例如 爆炸力產(chǎn)生的動力荷載 車輪對軌道連接處的沖擊 P t P t P t t t t 爆炸力動力荷載 吊車起吊鋼索的受力 隨機動力荷載 3 突加常量荷載 例如 吊車起吊重物時鋼索的受力 4 隨機動力荷載 前 3 類荷在是時間 t 的確定函數(shù) 稱為確定性動力荷載 而地震作用 波浪對船體的作 用 風(fēng)荷載等其作用大小只能用統(tǒng)計的方法獲得 五 動力荷載的計算方法 1 原理 達朗貝爾原理 動靜法建立方程 2 計算工具 微分方程 線性代數(shù) 結(jié)構(gòu)力學(xué) 六 體系振動的自由度 動力自由度 結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量 有質(zhì)量在運動時就有慣性力 在進行動力計算時 一般把結(jié)構(gòu)的質(zhì)量簡 化為若干質(zhì)點的質(zhì)量 整個結(jié)構(gòu)的慣性力就成為各質(zhì)點的慣性力問題 1 質(zhì)點簡化的一般要求 簡單 能反映主要的振動特性 例如 樓房 質(zhì)量集中在各層樓板平面內(nèi) 水塔 質(zhì)量集中在水箱部分 梁 無限自由度 集中質(zhì)量 mdx 無限自由度 有限自由度 樓房質(zhì)量集中 水塔質(zhì)量集中 梁的質(zhì)量集中 2 位移 y t 即指質(zhì)點的位移 y t 其加速度為 y t 3 動力自由度的確定 即質(zhì)點位移數(shù)量的確定 方法 附加鏈桿法 即附加鏈桿的最少的鏈桿數(shù) 獨立個數(shù) 使所有質(zhì)點不能發(fā)生位移 從以上確定動力自由度的例題中可以看出 質(zhì)點的個數(shù)與自由度的數(shù)目不一定相同 與結(jié)構(gòu)是靜定的還是超靜定的沒有確定的關(guān)系 4 從數(shù)學(xué)方面考慮振動位移 以 y x t n k kk tx 1 代表結(jié)構(gòu)中位置 x 處在時刻 t 時的位移反應(yīng) 式中 tx k 為滿足邊界條件的一組正交函數(shù) k 為待定系數(shù) 稱為廣義坐標(biāo) 振型分解法的思想即源出于此 一 單自由度體系的振動方程 本節(jié)概述單自由度體系振動方程的建立過程 基本原理是達朗貝爾原理 按動靜法建立 振動方程 考慮圖示單質(zhì)點的振動過程 桿件的剛度為 EI 質(zhì)點的質(zhì)量為m 時刻 t 質(zhì)點的位移 y t y t 1 阻尼力 P t FD C t y 稱為粘滯阻尼力 阻尼力與運動方向相反 一切引起振動衰減的因素均稱為阻尼 包括 EI 材料的內(nèi)摩擦引起的機械能轉(zhuǎn)化為熱能消失 周圍介質(zhì)對結(jié)構(gòu)的阻尼 如 空氣的紫力 節(jié)點 構(gòu)件與支座連接之間的摩擦阻力 通過基礎(chǔ)散失的能量 2 彈性恢復(fù)力 FE K y t K 為側(cè)移剛度系數(shù) 彈性恢復(fù)力與運動方向相反 3 慣性力 FI ty m t y 為質(zhì)點運動加速度 慣性力與運動方向相反 4 動力荷載 P t 直接作用在質(zhì)點上 它與質(zhì)點運動方向相同 5 振動方程的建立 根據(jù)質(zhì)點的受力平衡 寫出平衡方程如下 FD FE FI P t FD FE FI P t 0 即 m t y C t y K y t P t 1 此方程為二階常系數(shù)非齊次微分方程 二 建立單自由度體系的振動方程舉例 本節(jié)主要學(xué)習(xí)微分方程的建立方法 各系數(shù)的求法 例題 1 建立下列結(jié)構(gòu)振動體系的振動方程 橫梁具有無限剛性 EI 已知 3 1 12 L EI K L EI K 4 2 阻尼系數(shù)為 C 橫梁具有分布質(zhì)量 L m m K2 A B EI D E F G EI C K1 K1 L L L L L 解 1 動力自由度為 1 設(shè) E 處的豎向位移是 y t x x E dxm G A dxm E y t y t R K1y t 2 R C t y 3 2K1y t 3 圖 a 圖 b 2 考慮 EFG 部分的受力 取研究對象如圖 a 所示 由 MG 0 得 R 2L K1L ty 2 x L txy dxm L 2 2 0 0 a 3 考慮 ABDE 部分的受力 取研究對象如圖 b 所示 由 MA 0 得 R 3L K1L L ty 2 2 CLty 3 1 K2 L ty 3 xx L ty dxm L 3 3 0 0 b 由 a b 兩式消去 R 后整理得 15L 4 ty m CL 3 t y 79EI ty 0 注意 振動方程中的 ty僅僅是動力作用下產(chǎn)生的 不包括靜位移 可人為 ty是從靜平 衡位置算起的 以后 我們也只計算動位移 如下圖所示的振動 m ys yd y t 則 質(zhì)點m 上 1 重力 W 2 彈性力 K y t k ys yd 3 慣性力 m t y m ds yy 平衡方程 m ds yy k ys yd W 注意到 ys為靜位移 則 W kys 及 s y 0 上式為m d y kyd 0 這表明 以靜平衡位置作為計算位移的起點 所得的方程與重力無關(guān) 對有阻尼振動及強迫 振動也適用 例題 2 試建立圖示結(jié)構(gòu)的振動方程 質(zhì)點的質(zhì)量都是m y y Psin t EI 常數(shù) L L 解 1 動力自由度為 1 即質(zhì)點 兩個 的水平位移 忽略轉(zhuǎn)動慣量及桿件的軸向變形 2 慣性力 2 m t y 彈性力 K ty 3 側(cè)移剛度 K 的求法 用位移法計算質(zhì)點有側(cè)移為 1 時的力 K 取半結(jié)構(gòu)如圖示 用剪力靜定桿辦法求解 1 K 2 6i L i r11 RP 6i 如圖 RP L i 6 r11 7i 位移法方程 r11 RP 0 解得 L7 6 作出彎矩圖如下 B K 2 36i 7L 2 VBA 48i 7L 2 A 取橫梁為研究對象 X 0 得 K 3 24 L EI 4 振動方程 2 m t y K ty Psin t 0 即 2 m t y 3 24 L EI ty Psin t 一 無阻尼的自由振動 振動方程 ty m K ty 0 寫作 t y m K ty 0 記 2 m K 又可寫作 t y 2 ty 0 1 方程的解的形式為 ty Acos t Bsin t 2 初始條件為 0 0 yty t 0 0 vty t 代入方程的解 2 中 得 ty 0 ycos t 0 v sin t 3 二 有阻尼的自由振動 振動方程 ty m C t y K ty 0 寫作 t y m C t y m K ty 0 記 2 m K 2n m C 又可寫作 t y 2n t y 2 ty 0 4 利用常數(shù)變易法 令 ty tSe nt 代入方程 4 中 得 tS 2 n2 S t 0 5 1 當(dāng) n 時 強阻尼 方程 5 的解為 S t A1shtn 22 A2chtn 22 從而 方程 4 的解為 ty tSe nt nt e A1shtn 22 A2chtn 22 6 2 n 時 稱為臨界阻尼 由 5 式得 tS 0 S t B1 B2t ty tSe nt nt e B1 B2t 7 此時 令 nc r m Ccr 2 Cc r 2m 此式為確定臨界阻尼的公式 當(dāng)為一般情況時 n m C 2 m C C C cr cr 2 式中 cr C C 稱為阻尼比 對鋼筋混凝土結(jié)構(gòu) 5 一般取 3 對鋼結(jié)構(gòu) 1 2 3 當(dāng) n 時 弱阻尼 此時 記 2 d 22 n 則 5 式可寫成 tS 2 d S t 0 則 其解可仿 1 2 式的形式 得 S t Acos dt Bsin dt 從而 ty nt e Acos dt Bsin dt ty t e Acos dt Bsin dt 8 初始條件 0 0 yty t 0 0 vty t 代入方程的解 8 中 寫成簡潔的形式 ty A t e sin dt 三 無阻尼的強迫振動 振動方程 ty m K ty P t 1 瞬時沖擊荷載作用時的強迫振動 特點 作用時間與系統(tǒng)的自振周期相比很小 P t t 時間內(nèi) P t 可視為常數(shù) 設(shè)干擾力 P t 作用于系統(tǒng)的時間為 t t 由動量定理 t m v v0 P t t0 若 t0 0 時 v0 0 則 v m pt 于是 在 0 t 時間內(nèi)系統(tǒng)產(chǎn)生的位移反應(yīng) ty為 ty dt m pt t 0 m pt 2 2 由假設(shè) 干擾力作用的時間為 t 則 t 時間內(nèi)系統(tǒng)產(chǎn)生的速度反應(yīng)和位移反應(yīng)分別為 tv m tp ty m tp 2 2 ty和 tv比較是高階無窮小量 故可認(rèn)為 t 時間內(nèi) 干擾力的作用近似的看作是初速度為 tv m tp 初位移為 ty m tp 2 2 0 的自由振動 由 3 式可知 ty 0 ycos t 0 v sin t m tp sin t 9 若時間 t 不是從 0 開始 而是從 開始的 則 9 式寫為 ty m tp sin t 10 2 一般性動力荷載 P t 作用于系統(tǒng)時 考慮 P t 在 0 t 時間內(nèi)作用于系統(tǒng) P t 認(rèn)為是由無數(shù)個瞬時沖擊荷載的疊加 如圖 考慮由時刻 開始 在 d 時間內(nèi)的位移反應(yīng) 由 10 式可得 0 d t d ty m dp sin t 則 在 0 t 時間內(nèi)作用于系統(tǒng) 系統(tǒng)所產(chǎn)生的位移反應(yīng)為 ty t m dp 0 sin t 11 此式稱為杜哈美積分 卷積 褶積 如果疊加自由振動部分 可得位移反應(yīng) ty 0 ycos t 0 v sin t t m dp 0 sin t 12 但 通常情況下 自由振動部分由于阻尼的存在 一段時間后會消失而僅剩下特解部分 3 突加長期常量荷載 以 P t P 代入 11 式可得 ty 2 m p 1 cos t K p 1 cos t P t P p 1 cos t s y 1 cos t 13 t 式中 s y p 為靜位移 顯然 max y 2 s y 定義 s y ymax 為動力系數(shù) 故 突加長期常量荷載的動力系數(shù)為 2 4 突加短期常量荷載 P t t1 t 10 當(dāng) 0 t t1時 由 13 式得 ty s y 1 cos t 14 20 當(dāng) t1 t 時 可看作是一個疊加的過程 由 13 式得 ty s y 1 cos t s y 1 cos t t1 2 s ysin 2 1 t sin 2 1 t t 15 討論 當(dāng) max y發(fā)生時 sin 2 1 t 1 得 t1 2 T T 為系統(tǒng)的自振周期 故 當(dāng) t1 2 T 時 最 大位移 此時 t1 2 T max y 2 s y 當(dāng) t1 2 T 時 最大位移 max y 2 s y sin 2 1 t 5 簡諧動力荷載 以 P t Psin t 代入 11 得 ty m 1 t dtP 0 cossin 2 m P 2 1 1 sin t sin t tys sin t sin t 16 式中 tys 2 m P 為靜位移 2 1 1 為動力系數(shù) 16 式由兩部分組成 tys sin t 由 P t 引起 由振動系統(tǒng)產(chǎn)生 稱為生態(tài)振動 tys sin t 由 P t 自身產(chǎn)生 稱為穩(wěn)態(tài)振動 生態(tài)振動由于阻尼的影響 較長時間后振動會消失 故 16 式的穩(wěn)態(tài)解為 ty tys sin t 17 顯然 最大位移反應(yīng)仍然為動力系數(shù)與靜位移的乘積 如果把 當(dāng)作橫坐標(biāo) 當(dāng)作豎坐標(biāo) 可畫出動力系數(shù)譜曲線如下 3 2 1 1 稱為共振后區(qū) 為減小動力系數(shù) 可采取減小 的方法 柔性方案 工程中 把 0 75 1 25 的區(qū)域稱為共振區(qū) 設(shè)計時應(yīng)避開 四 有阻尼的強迫振動 弱阻尼 振動方程 t y 2 t y 2 y t m tp 與前節(jié)的討論類似 也考慮如下的問題 1 瞬時沖擊荷載作用下的位移反應(yīng) 在有阻尼的自由振動中我們得到其位移反應(yīng) 即 8 式 ty t e Acos dt Bsin dt 對作用時間為 t 的瞬時沖擊荷載作用下的位移反應(yīng)可認(rèn)為是初速度為 m tp 初位移為 0 的 自由振動 以此初始條件代入 8 式 上式 得 ty d m ttp t e sin dt 若 t 從 開始 則上式寫成 ty d m tp t esin d t 18 2 任意動力荷載 p t 作用時的位移反應(yīng) 考慮從 時刻開始 作用時間為 d 的瞬時沖擊荷載產(chǎn)生的位移反應(yīng) 由 18 式 d ty d m dp t esin d t 任意動力荷載 p t 在 0 t 時間上作用時的位移反應(yīng)可看作是上式的疊加 ty d m 1 t d t dtpe 0 sin 19 3 有初速度 初位移的強迫振動 自由振動的位移反應(yīng)疊加 19 式即可 ty t e Acos dt Bsin dt d m 1 t d t dtpe 0 sin 4 特例 10 突加長期常量荷載 以 p t P 代入 19 式得 ty tys 式中 tys 2 m P 1 t e cos dt d sin dt 當(dāng) t d 時 max 1 d e 1 e 20 簡諧動力荷載 Psin t 以 p t Psin t 代入 19 式 或直接解下面的方程 t y 2 t y 2y t m P sin t 齊次解 ty t e Acos dt Bsin dt 特解 穩(wěn)態(tài)解 y t B1cos t B2 sin t 把特解代入 19 式 得系數(shù) B1及 B2 B1 m P 222222 4 2 B2 m P 22222 22 4 現(xiàn)討論其穩(wěn)態(tài)振動 令 B1 Csin B2 Ccos 則 ty Csin t 式中 C 為振幅 為相位角 tg 1 22 2 C tys 即 ty tyssin t 式中 tys 2 m P 2 2 2 2 41 1 f 給出不同的阻尼比 畫出位移反應(yīng)譜示意圖如下 5 4 3 0 05 2 0 2 1 0 25 0 5 1 0 1 5 2 0 由示意圖可見 隨阻尼比 的增大而下降較快 特別是在 1 附近 共振時 1 此時 2 1 不是最大值 max 2 12 1 在 1 的左側(cè) 當(dāng) 時 2 式可寫成共振時的位移反應(yīng) ty tyscos t 此時 慣性力 FI ty m m 2 tys cos t m 2 tys cos t 以 換 11 K tys cos t 彈性力 FE 11 K ty K11 tys cos t 阻尼力 FD C t y C tyssin t C tyssin t 2 m tyssin t 2 m 2 1 tyssin t m 2 tyssin t m 2 2 m P sin t P sin t 可見 共振時慣性力與彈性力平衡 阻尼力與外力 干擾力 平衡 若無阻尼 則無任何力 與外力 干擾力 平衡 以致出現(xiàn) y t 趨于 產(chǎn)生共振 30 地震地面運動 如圖 質(zhì)點的絕對位移為 yg t y t 則 y t 慣性力 FI m tytyg 彈性力 FE K11 y t 阻尼力 FD C t y 振動方程 m tytyg C t y K11 y t 0 yg t 整理 m t y C t y K11 y t tym g 或?qū)懗?t y 2 t y 2 y t tyg 此式的解的形式為 19 式 例題 1 圖示體系 不計梁重 彈簧的剛度 KN 3 12 L EI 梁的抗彎剛度為 EI 求自振頻率 EI KN m L 2 L 2 解 這是無阻尼的自由振動 P 1 振動方程 t y 2 ty 0 其中 m K m 1 就是所求的頻率 因而 只要求出質(zhì)點振動的剛度 K 或柔度 即可 本題求 是方便的 在質(zhì)點處作用單位力 P 1 慣性力為 1 則質(zhì)點產(chǎn)生的豎向位移 N K 1 EI L 48 3 即 EI L 48 5 3 從而 m 1 3 5 48 mL EI 例題 2 圖示結(jié)構(gòu) 梁的剛度為 EI 彈簧的剛度 KN 3 6 L EI 不計梁的自重 求自振頻率 m KN L 3 2L 3 解 本題與例題 1 不同的是 質(zhì)點作用單位力時不易求出位移 因為不易確定梁和彈簧各 自的受力 故 本題采用剛度法求解 在質(zhì)點施加力 K 使質(zhì)點有單位位移 求出 K 即可 梁有單位位移時需施加的力 K1 用位移法求解 A C R B 27EI 4L 2 K1 27EI L 2 變形圖 M 圖 豎向位移為 1 計算出 R 2 27 L EI 2 4 27 L EI 2 4 81 L EI 9EI L r11 A B C 9EI 2L 27EI 2L2 m圖 轉(zhuǎn)角為 1 時 M 圖 計算得 r11 L EI9 L EI 2 9 L EI 2 27 位移法方程 r11 R 0 解得 L2 3 作出 M 圖如圖 取圖示研究對象 算得 K1 3 4 243 L EI VBA VB C 單位位移時彈簧的反力 K2 KN 3 6 L EI K1 K K1 K2 3 4 267 L EI 圓頻率 m K 3 4 267 mL EI 例題 3 圖示結(jié)構(gòu) AB 和 DE 桿的剛度均為 EI 而 BD 桿的剛度為無限剛性 B 和 D 處各有集中 質(zhì)量 m 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率 A B D E C 3L 4 L 4 L 4 3L 4 解 1 動力自由度為 1 畫出振動變形圖如下 以剛性桿 BD 的轉(zhuǎn)角 t 為變量建立振動方程 質(zhì)點位移 ty 4 tL 2 求轉(zhuǎn)角 t 時需在 C 處施加的力矩 AB 桿的桿端彎矩和桿端剪力 MBA 4i t 4 3 6 L i 4 tL L EI 3 16 t L EI 3 8 t L EI8 t VBA 2 9 160 L EI t DE 桿的桿端彎矩和桿端剪力 MDE 3i t 4 3 3 L i 4 tL L EI 3 16 t VDE 3 9 64 L EI t VBA C VDE 3 取 BD 為研究對象 如圖 MBA MDE MC 0 K MBA MDE VBA 4 L VDE 4 L 0 解得 K L EI 36 704 t 這便是彈性恢復(fù)力 4 振動方程 2m 4 tL 4 L L EI 36 704 t 0 整理得 FI FI t 3 9 1408 mL EI t 0 5 由振動方程知 3 9 1408 mL EI L3 8 mL EI22 例題 4 如圖 不計桿的自重 求自振頻率 L EI 常數(shù) m L L 變形圖 解 1 動力自由度為 1 質(zhì)點的水平振動 2 結(jié)構(gòu)為超靜定結(jié)構(gòu) 求剛度宜用位移法 即求質(zhì)點的側(cè)移剛度 3 方法是先作出彎矩圖 R 3i L i 3EI 7L r11 7i K 3i L 3i 9EI 7L 12EI 7L 3i M 圖 M圖 M 圖 4 解位移法方程可得 L7 3 作出 M 圖如圖 取水平梁的水平受力分析 0 K V 12EI 7L3 得 K 3 7 12 L EI 從而 3 7 12 mL EI 例題 5 已知 K1 3 6 L EI K2 L EI3 EI 常數(shù) 求自振頻率 K1 L K2 m L MP圖 P 1 解 1 是超靜定結(jié)構(gòu) 本題用力法較簡單 作 MP圖如圖示 4L 7 X 1 1 3L 7 4 7 M1圖 M 圖 2 11 EI L 3 2 LLEI L11 6 3 11 3 EI L EI L 6 7 1P EI L 3 2 1 3 L EI L EI L 3 2 2 解力法方程得 X 7 4L 畫出 M 圖如圖示 3 用 M 圖與 MP兩圖圖乘 或 M 圖自己與自己圖乘 可得 EI L 7 2 3 從而 m 1 3 2 7 mL EI 例題 6 圖示簡支梁跨中有質(zhì)量 m 支座 A 受動力矩 Msin t 作用 不計梁的質(zhì)量 求質(zhì)點的動位 移和支座 A 處的動轉(zhuǎn)角 A Msin t m B C L 2 L 2 解 動荷載不作用在質(zhì)點上 不能直接用公式 需建立振動方程 建立方程的依據(jù) 質(zhì)點的位移由動力矩 Msin t 和慣性力 ty m 共同產(chǎn)生 A 端的轉(zhuǎn)角也由動力矩 Msin t 和慣性力 ty m 共同產(chǎn)生 為此 求出動力矩為 1 及慣性力為 1 時在質(zhì)點及 A 端處產(chǎn)生的位移及轉(zhuǎn)角 P 1 M 1 L 4 1 M1圖 M2圖 11 EI L 48 3 12 21 EI L 16 2 22 EI L 3 由疊加原理可得振動方程 ty 11 ty m 12 Msin t 1 t A 21 ty m 22 Msin t 2 由 1 式得 t y 2 ty m P sin t 式中 2 3 48 mL EI P L M3 其穩(wěn)態(tài)解 ty 2 m P 2 1 1 sin t S y sin t 3 式中 2 1 1 為動力系數(shù) S y EI ML 16 2 為由 M 引起的質(zhì)點靜位移 把 3 式代入 2 中 得 t A EI ML 3 sin t S sin t 4 式中 2 2 1 16 7 1 S EI ML 3 為由 M 引起的 A 端靜轉(zhuǎn)角 例題 7 圖示結(jié)構(gòu) 梁的剛度為 EI 彈簧的剛度 KN 3 6 L EI 不計梁的自重 3 4 89 mL EI 求 B 點的最大動力位移反應(yīng) P sin t A B C D KN L 3 L 3 L 3 解 在例 2 中 我們用剛度法求得 B 處的豎向剛度 這里再用力法求其柔度 并求動力荷 載為 1 時在 B 處產(chǎn)生的豎向位移 1 求 B 處的柔度 P 1 2L 9 2L 9 X 1 MP圖 M圖 切斷 彈簧后的結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu) 畫出 MP圖及M圖 則 11 EI L 486 89 3 1P EI L 243 4 3 解力法方程的 X 89 8 作出 M 圖如下 P 1 18L 89 M 圖 M 圖與 MP圖圖乘即為所求的柔度 11 EI L 267 4 3 2 求動力荷載為 1 時在質(zhì)點出產(chǎn)生的位移 即求解如下問題 P 1 2L 9 X 1 2L 9 MP圖 M圖 11 EI L 486 89 3 1P EI L 1458 21 3 解力法方程得 X 89 7 得 M 圖如下 75L 801 171L 801 2L 9 M 圖 M圖 上 M 圖與其右側(cè)的M圖圖乘即得求動力荷載為 1 時在質(zhì)點出產(chǎn)生的位移 21 EI L 534 7 3 3 振動方程 ty m t y 11 21 P sin t 代入 11 21 得 t y 2 ty m P sin t 式中 2 3 4 267 mL EI P 8 7P 方程的解 ty S y sin t 式中 2 1 1 2 3 為動力系數(shù) S y 2 m P EI PL 534 7 3 max ty S y EI PL 356 7 3 多自由度體系的自由振動 本節(jié)討論多自由度體系的自由振動 主要討論其振動方程 振型方程 頻率方程及振型 圖的畫法 一 柔度法建立振動方程 m2 y2 t 一 兩個質(zhì)點的振動 考慮圖示兩自由度體系的自由振動 設(shè)時刻 t 質(zhì)點 m1與質(zhì)點 m2的位移 m1 y1 t 反應(yīng)分別為 1 ty與 2 ty 則它們 都是由質(zhì)點 1 與質(zhì)點 2 的慣性力共同產(chǎn)生 依此建立柔度法方程如下 1 ty m1 1 t y 11 m2 2 t y 12 1 2 ty m1 1 t y 21 m2 2 t y 22 2 式中 i j 為 j 質(zhì)點的慣性力為 1 時在 i 質(zhì)點處產(chǎn)生的位移 i j 1 2 設(shè)方程 1 2 的解的形式為 1 ty A1sin t 3 2 ty A2sin t 4 把 3 4 代入 1 2 式中 并記 2 1 得 0 0 22221211 21221111 AmAm AmAm 5 5 式稱為振型方程 考慮 5 式有非零解 否則 體系不振動 則需使 0 222211 122111 mm mm 6 6 式稱為頻率方程 方程 6 有兩個不同實數(shù)根 1與 2 記 1 1 1 2 2 1 則 1稱為第一頻率或基本頻率 則 2稱為第二頻率 T1 1 2 T2 2 2 則 T1稱為第一周期或基本周期 T2稱為第二周期 將 1 代入方程 5 中的任意一個方程 得到由于 1而得的 A2與 A1的比值 記為 11 21 A A 222 111 m m 相應(yīng)與 1 或 1 的解可寫作 1 ty A11sin 1t 2 ty A21sin 1t 顯然 1 2 ty ty 11 21 A A 222 111 m m 常數(shù) 這表示 1 ty與 2 ty是相關(guān)的 故把 1 A T AA 2111 稱為第一振型 或主振型 同理 把 2 代入方程 5 中的任意一個方程 得到由于 2而得的 A2與 A1的比值 記為 12 22 A A 222 1112 m m 相應(yīng)與 2 或 2 的解可寫作 1 ty A12sin 2t 2 ty A22sin 2t 顯然 1 2 ty ty 12 22 A A 222 1112 m m 常數(shù) 同樣 稱 2 A T AA 2212 為第二振型 從數(shù)學(xué)上講 兩個不同實數(shù)根 特征根 1與 2對應(yīng)的兩個振型 特征向量 1 A與 2 A是線性無關(guān)的 故 體系自由振動在任意時刻 t 的位移反應(yīng)可寫作兩個振型的線性組 合 亦即方程 1 與 2 的一般解 1 ty A11sin 1t A12sin 2t 2 ty A21sin 1t A22sin 2t 二 n 個自由度體系的振動及其矩陣表示 振動方程可表示為 tyi n j ijjj tym 1 i 1 2 n 即 第 i 質(zhì)點的位移是由所有質(zhì)點的慣性力在第 i 質(zhì)點產(chǎn)生位移的疊加 寫成矩陣的形式為 2 1 ty ty ty n nnnn n n 21 22221 11211 n m m m 0 0 2 1 2 1 ty ty ty n 7 1 簡寫為 ty M t y 7 2 稱為柔度矩陣 M稱為質(zhì)量矩陣 ty稱為位移列向量 t y 稱為加速度列向量 方程 7 的解設(shè)為 ty A sin t 8 式中 A T n AAA 21 把 8 式代入 7 式 得 A 2 M A 9 或?qū)懗?2 1 A M A 記 2 1 得 EM A 0 10 式中 E 為單位矩陣 0為零列向量 10 式稱為振型方程 同樣 10 式有非零解 否則將不產(chǎn)生振動 的條件是 EM 0 11 11 式稱為頻率方程 頻率方程有 n 個互不相同的實數(shù)根 1 2 n 對應(yīng)著 n 個互不相同的圓頻率 代入 10 式可得到 n 個線性無關(guān)的振型 記 j A T njjj AAA 21 稱為第 j 振型 計算舉例 圖示體系 EI 常數(shù) 質(zhì)點的質(zhì)量為 m 各桿的長度都是 L 求各頻率和振型 畫振型圖 解 1 2 個動力自由度 質(zhì)點的水平位移和豎向位移 2 求柔度系數(shù) P 1 P 1 L 4 L 4 L L 2 L 4 L 4 L 4 M1圖 M2圖 分別作出慣性力在兩個方向為 1 時的 M1圖與 M2圖 求得 11 EI L 24 11 3 12 21 0 22 EI L 12 3 3 求解頻率方程 記 2 1 由 6 式得頻率方程 EI mL EI mL 12 0 0 24 11 3 3 0 解得 1 EI mL 24 11 3 2 EI mL 12 3 從而 1 3 11 24 mL EI 2 3 12 mL EI 4 求振型 把 1 或 1 代入振型方程 5 中的任意一個得 1 A T0 00 1 把 2 或 2 代入振型方程 5 中的任意一個得 2 A T 0 10 0 5 畫振型圖 二 剛度法建立振動方程 一 兩個質(zhì)點的振動 圖示簡支梁 質(zhì)量集中在跨中兩個質(zhì)點 如圖 具有兩個動力自由度 用剛度法建立振動方 程時 考慮每個質(zhì)點的受力平衡 m1 m2 1 2 質(zhì)點 1 的受力平衡方程 1 m 1 t y 0 1 EK F 1 質(zhì)點 2 的受力平衡方程 22 tym 0 2 EK F 2 式中 1EK F 及 2EK F 分別是質(zhì)點 1 和質(zhì)點 2 的彈性恢復(fù)力 其求法如下 1 2 1 2 K11 K21 K12 K22 在質(zhì)點 2 處附加支桿 使質(zhì)點 1 有單位豎向位移 則在質(zhì)點 1 和質(zhì)點 2 分別有力 K11和 K21 在質(zhì)點 1 處附加支桿 使質(zhì)點 2 有單位豎向位移 則在質(zhì)點 1 和質(zhì)點 2 分別有力 K12和 K22 當(dāng)上述兩個質(zhì)點同時產(chǎn)生位移 1 ty及 2 ty時 依疊加法可得 1EK F K11 1 ty K12 2 ty 3 2EK F K12 1 ty K22 2 ty 4 由式 1 2 3 4 可得兩自由度體系的振動方程 0 0 22212122 21211111 tyKtyKtym tyKtyKtym 5 二 n 個質(zhì)點的振動及其矩陣表示 一般方程可寫為 0 1 n j jijii tyKtym i 1 2 n 寫成矩陣的形式為 tyM tyK 0 6 式中 M n m m m 0 0 2 1 為質(zhì)量矩陣 K nnnn n n KKK KKK KKK 21 22221 11211 為剛度矩陣 t y T n tytyty 21 ty T n tytyty 21 設(shè)方程的解的形式為 ty A sin t 7 式中 A T n AAA 21 代入 6 式可得 0 2 AMK 8 此式就是剛度法的振型方程 8 式有非零解的條件是其系數(shù)行列式等于零 否則 體系不振動 即 0 2 21 2 2 22221 112 2 111 nnnnn n n mKKK KmKK KKmK 9 9 式便是剛度法的頻率方程 實際上 在 6 式 tyM tyK 0的兩邊左稱 1 K 并注意到 1 K 就得到柔度法方程 ty M t y 計算舉例 圖示結(jié)構(gòu)彈簧的剛度 KN 3 2 13 L EI 桿長都是 L 求振動頻率和振型 作出振型圖 EI m 1 2 EI EI1 KN 圖 1 圖 2 解 1 2 個動力自由度 質(zhì)點的水平位移和豎向位移 如圖 2 求剛度系數(shù) 求圖 2 所示結(jié)構(gòu)在支桿 1 有單位豎向位移時的 K11及 K21 畫出變形圖如圖 3 所示 求 K11及 K21就要作出其彎矩圖 K11 6EI L 2 B K21 R 6EI L 2 A 圖 3 圖 4 位移法變量為 B 作出 M 圖如圖 4 所示 再作出M圖如圖 5 所示 K11 r11 2i 3i L 4i K21 4i 9i 2L 2i 3i 2L 圖 5 圖 6 r11 8i R L i 6 得 B L4 3 作出 M 圖如圖 6 所示 為求 K11及 K21 作圖示研究對象 K11 K21 VCB VBA VCD KN 由 Y 0 得 K11 2 14 L i 由 X 0 得 K21 2 9 L i 類似的方法求圖 2 所示結(jié)構(gòu)支桿 2 有水平側(cè)移 1 時的 K12及 K22 K12 K22 3 求頻率和振型 振型方程寫為 0 0 2 2 22121 2121 2 11 AmKAK AKAmK 頻率方程寫為 0 2 2221 12 2 11 mKK KmK 記 EI Lm 32 由頻率方程可得 08114 2 解得 1 5 2 23 從而 1 3 236 2 mL EI 2 3 796 4 mL EI 把 1 5 2 23 分別代入振型方程可得兩個振型為 T A0 10 1 1 T A0 10 1 2 4 振型圖 1 1 1 1 第一振型 第二振型 主振型的正交性 在剛度法表示的振型方程 0 2 AMK 中 考慮第 j 振型方程 0 2 jj AMK 即 j AK 2 j M j A 0 在上式中左乘 T i A T i A j AK 2 j T i A M j A 0 1 再考慮第 i 振型 i j K i A ii AM 2 0 求此式的轉(zhuǎn)置 得 T i A K 2 i T i A M 0 在上式中右乘 j A 得 T i A j AK 2 i T i A M j A 0 2 由 1 2 兩式相減 得 2 i 2 j T i A M j A 0 由于 i j 所以有 T i A M j A 0 3 此式稱為振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性 又稱為第一正交性 由 1 或 2 式 顯然有 T i A j AK 0 4 此式稱為振型關(guān)于剛度矩陣的正交性 又稱為第二正交性 強迫振動 振型疊加法 一 振動方程 一 柔度法 由動靜法 考慮第 i 質(zhì)點的位移是由各質(zhì)點的慣性力及各干擾力共同引起 寫出振動方 程如下 pn t yn t pi t yi t p2 t y2 t p1 t y1 t tyi n j jjij tym 1 n j jij tp 1 n j jjij tym 1 t ip 式中 ij 為第 j 質(zhì)點有力 1 時在第 i 質(zhì)點產(chǎn)生的位移 t ip n j jij tp 1 i 1 2 n 寫成矩陣的形式為 tyM ty t ip 1 二 剛度法 由動靜法 考慮第 i 質(zhì)點的受力平衡 n j jij tyK 1 iiy m pi t 寫成矩陣的形式為 tyM tyK tp 2 三 振動方程的解 非齊次方程的解 1 或 2 的特解是穩(wěn)態(tài)振動解 亦即動力位移反應(yīng) 其形式為 ty Asin t 3 二 振型疊加法 n 個質(zhì)點的振動具有 n 個振型 這 n 個振型是線性無關(guān)的 在數(shù)學(xué)上構(gòu)成 n 維空間的一 組基底 故 n 個質(zhì)點的振動的位移反應(yīng)可寫作 ty A tq 4 式中 A nnnn n n AAA AAA AAA 21 22221 11211 n AAA 21 稱為振型矩陣 tq T n tqtqtq 21 稱為廣義坐標(biāo) 即 4 式又可寫作 ty n j jj Atq 1 5 現(xiàn)考慮有阻尼的強迫振動 其振動方程為 tyM tyC tyK tp 6 式中 C nnnn n n CCC CCC CCC 21 22221 11211 稱為阻尼矩陣 其意義如下 FD i n j jij tyC 1 i 1 2 n 為 它是由各質(zhì)點的速度引起的在 i 質(zhì)點的阻尼 力的疊加 方程 6 是藕合的 為了解藕 令 C M K 7 式中 為兩個常數(shù) 可由前兩個振型獲得 依上述各項 方程 6 可寫為 tyM M K t y tyK tp 8 把 4 式代入 8 式 得 M A t q M K A t q K A tq tp 9 以 i A T 左乘 9 式 先考慮其第一項的系數(shù) i A T M A i A M n AAA 21 i A T nji AMAMAMAMAM 21 n T ii T ii T i TT i T i AMAAMAAMAAMAAMA 21 00000 i T i AMA 同理 方程 9 左邊第三項的系數(shù)變成 0000 i T i AKA 記 i M i T i AMA i K i T i AKA i C ii KM 則 方程 9 左邊第二項的系數(shù)變成 0000 ii KM 記 tPA T i tPi 則 9 式就解藕成為 i M tqi i C tqi i K tqi tPi 兩邊同除以 i M 并記 2 i i i M K i i M C ii 2 則方程 9 變?yōu)?tqi ii 2 tqi 2 i tqi i i M tp 10 方程 10 可由杜哈美積分求得其解 這在單自由度體系中已討論過 tqi idi M 1 dtep id t t i ii sin 0 若 tPi是簡諧荷載 則 tqi idi M 1 P 2 22 2 2 41 1 i ii i sin t i 依 10 式求的 tqi i 1 2 n 后 可由 4 式確定任意時刻 t 的位移反 應(yīng) 計算舉例 1 求圖示結(jié)構(gòu)的最大動位移反應(yīng) 并作最大動力彎矩圖 已知 各桿長 L 3 9 mL EI 不計阻尼 1 EI Psin t EI1 2 EI EI 圖 1 圖 2 解 1 兩個動力自由度 2 求剛度系數(shù) 用剛度法建立振動方程 求圖 2 所示支座 1 有側(cè)移 1 時在支桿 1 處的力 K11 及在支桿 2 處的力 K21 和 圖 2 所示支座 2 有側(cè)移 1 時在支桿 1 處的力 K12 及在支桿 2 處的力 K22 1 K11 K12 2 K21 K22 M1圖 M2圖 K11 2 3 L i K12 K21 2 3 L i K22 2 27 L i 3 振動方程 tyM tyK tp 其解的形式為 ty Asin t m m 0 0 2 2 1 2 A A 22 22 273 33 L i L i L i L i 2 1 A A P 0 解得 2 1 A A i PL i PL 39 2 39 2 2 此解就是最大動力位移 4 最大動力彎矩圖 最大彎矩圖看作是兩個最大位移彎矩圖的疊加 即 M M1A1 M2A2 4PL 13 PL 13 4PL 13 4PL 13 4PL 13 Mmax圖 注意 此圖為相應(yīng)與簡諧荷載方向向右時的情況 若簡諧荷載方向向左時 彎矩圖的受拉側(cè) 相反 例 2 求圖示結(jié)構(gòu) B 點的最大豎向位移 BV 并繪最大動力彎矩圖 已知 EI 常數(shù) 不計阻尼 3 mL EI 彈簧的剛度 KN 3 L EI qsin t C L A D m B qL2 2 L L MP圖 qL 4 解 1 動力自由度 1 D 點的豎向位移 ty 2 B 點的最大位移應(yīng)由靜位移 動位移組成 用柔度法建立振動方程 求動力荷載幅值在 B 和 D 處產(chǎn)生的位移 BP 及 DP及 慣性力為 1 時在 B 和 D 處產(chǎn)生的位移 B DD P 1 p 1 L 2 M1圖 1 2 M圖 1 2 BP EI L3 1 4 qL EI qL 4 4 DP EI qL 4 4 B EI L3 1 2 1 EI L 2 3 DD EI L 12 5 3 3 振動方程 ttymty ttymty DPDDDD BPBDB sin sin 1 先解第二個方程 以tAty sin 代入方程 得 DPDD Am 2 1 A DD DP m 2 1 EI qL 7 3 4 以 ty EI qL 7 3 4 t sin代入第一個方程 解得 tyB EI qL 28 13 4 t sin tyB mzx EI qL 28 13 4 4 質(zhì)點慣性力幅值 I m 2A 7 3qL 以 M MP IM 2 得最大動力彎矩圖如下 qL2 2 D B 13qL2 28 例如 MD 2 1 2 2 qL 7 3 2 qLL 28 13 2 qL 多自由度振動習(xí)題課 例題 1 求圖示結(jié)構(gòu)體系的自振頻率和振型 已知 K 3 L EI EI 常數(shù) m K m L L L L 解 1 兩個動力自由度 2 柔度法求解 求單位力作用于質(zhì)點時在質(zhì)點處產(chǎn)生的位移 ij 作出 1 M圖及 2 M圖 P 1 L L P 1 1 M圖 2 M圖 L 2 11 EI L3 12 21 EI L 12 5 3 22 EI L 12 13 3 3 振動方程 1 ty m 1 t y 11 m 2 t y 12 1 2 ty m 1 t y 21 m 2 t y 22 2 設(shè)方程 1 2 的解的形式為 1 ty A1sin t 3 2 ty A2sin t 4 把 3 4 代入 1 2 式中 并記 2 1 得振型方程 0 0 222121 212111 AmmA mAAm 5 頻率方程 0 2221 1211 mm mm 代入 ij 得 05117 2 解得 1 13 11 2 3 89 從而 3 1 96 0 mL EI 3 2 76 1 mL EI 把 1代入振型方程得第一振型 T A11 90 1 1 把 2代入振型方程得第二振型 T A11 00 1 2 4 振型圖 1 0 1 0 0 11 9 11 第一振型 第二振型 例題 2 求圖示結(jié)構(gòu)的頻率和振型 已知 K1 3 12 L EI K2 3 6 L EI 無窮剛性桿具有分布質(zhì)量m m EI1 L K1 EI EI K2 L L 圖 1 圖 2 解 1 兩個動力自由度 無窮剛性桿質(zhì)心的豎向位移和轉(zhuǎn)動 變形圖如圖 2 所示 2 柔度法求解 求單位力作用于質(zhì)點時在質(zhì)點處產(chǎn)生的位移 ij 作出 1 M圖及 2 M圖 P 1 1 M 1 1 2 L 2 1 2 1 2 1 M圖 1 2 1 2L 2 M圖 1 2L EI L 48 11 3 11 EI L 48 11 22 EI L 96 2 2112 3 振動方程及其解 2221 1211 tJtymt tJtymty 式中 J 12 2 mL 設(shè)方程的特解為 sin sin tt tAty 代入振動方程中 整理得振型方程 011 6 0 2 132 A L L A 式中 32 576 Lm EI 解頻率方程 2 143 1449 0 得 1 132 2 11 從而 1 2 09 3 mL EI 2 7 24 3 mL EI 4 振型 T A0 00 1 1 T A0 10 0 2 例題 3 求圖示結(jié)構(gòu)的頻率和振型 已知 K 3 2 L EI m EI1 2m EI K EI L L L 2 解 1 兩個動力自由度 兩質(zhì)點的共同水平位移及 2m 質(zhì)點的豎向位移 2 柔度法求解 求單位力作用于質(zhì)點時在質(zhì)點處產(chǎn)生的位移 ij 作出 1 M圖及 2 M圖 L L 2 P 1 P 1 1 M圖 2 M圖 11 EI L 6 7 3 22 EI L 24 5 3 12 21 EI L 12 5 3 記 32 24 Lm EI 可得頻率方程 06001084 解得 1 91 375 2 2 625 從而 1 0 5125 3 mL EI 2 3 024 3 mL EI 3 振型 TA712 20 1 1 TA2458 00 1 2 4 振型圖 1 1 0 246 2 712 第一振型 第二振型 例題 4 求圖示結(jié)構(gòu)的頻率和振型 EI 常數(shù) L 2 m 2 m m 2 L 2 L L 解 1 兩個動力自由度 三個質(zhì)點的共同水平位移 1 ty和質(zhì)點 m 的豎向位移 2 ty 2 用剛度法 1 K11 K12 1 K21 K22 由對稱性 K11 3 48 L EI K22 3 6 L EI K12 K21 0 3 振動方程 0 0 22212122 21211111 tyKtyKtym tyKtyKtym 式中 m1 m m m m 2 22 m2 m 設(shè)其解的形式為 1 ty A1sin t 2 ty A2sin t 得頻率方程 0 2 2 2221 12 2 11 mKK KmK 解得 1 2 45 3 mL EI 2 4 90 3 mL EI 4 振型 TA0 00 1 1 T A0 10 0 2 例題 5 求圖示結(jié)構(gòu)的頻率和振型 K 3 L EI 桿長 L EI 常數(shù) m K m 解 1 兩個動力自由度 兩個質(zhì)點的豎向位移 1 ty和 2 ty 2 用剛度法 K21 K22 1 3i L 3i L 1 K11 K12 K11 3 3 L EI 3 L EI 3 4 L EI K12 K21 3 L EI 由對稱性 K22 3 3 L EI 3 L EI 3 4 L EI 3 頻率方程 0 2 2221 12 2 11 mKK KmK 記 EI L3 2 得 014 2 得 1 1 732 3 mL EI 2 2 236 3 mL EI 4 振型 T A0 10 1 1 T A0 10 1 2 即 發(fā)生對稱振動及反對稱振動 振型圖如下 1 1 1 1 正對稱振動 第一振型 反對稱振動 第二振型 例題 6 求圖示結(jié)構(gòu)的