閱讀與思考笛卡兒與解析幾何

笛卡爾的生平簡介及主要成就一、生平簡介1、笛卡爾是法國偉大的數(shù)學家、哲學家和物理學家。他的研究涉及多個領域。 1596年3月31日他出生在法國都蘭的貴族家庭，自幼喪母，體弱多病，8歲入拉弗來什公學讀書。教師考慮到他的特殊情況，允許他每天早上晚起多睡。但笛卡爾利用這段時間進行晨讀，并養(yǎng)成善于思考的習慣。傳說笛卡爾是躺在床上觀察蟲子在天花板上爬行的位置，激發(fā)了靈感，使他產(chǎn)生了坐標的概念。2、1612年他入普瓦界大學攻讀法學，四年后獲博士學位，后去巴黎當律師。1618年參軍，部隊到荷蘭南部的小城布勒達時，一次巧遇街頭小報上在征解數(shù)學難題，笛卡爾成功的應解，這使他對數(shù)學發(fā)生興趣，并堅定他終身研究數(shù)學的決心。1619年11月部隊到達多瑙河上的一個小鎮(zhèn)時，他不斷思考怎樣把代數(shù)應用到幾何中去。他曾說：“我想去尋求一種新的，包含兩門學科的好處，而又沒有它們?nèi)秉c的方法?！彼谥铝ρ芯繑?shù)學中一門完全嶄新的領域，這個領域后來被牛頓稱之為解析幾何。二、主要貢獻 1、法國數(shù)學家、物理學家、哲學家笛卡爾，生前因懷疑教會信條受到迫害，長年在國外避難。他的著作在他生前或被禁止出版或被燒毀，他死后多年還被列入“禁書目錄”。但在今天，法國首都巴黎安葬民族先賢的圣日耳曼圣心堂中，莊重的大理石墓碑上鐫刻著“笛卡爾，歐洲文藝復興以來，第一個為人類爭取并保證理性權利的人”。2、笛卡爾的著作，無論是數(shù)學、自然科學，還是哲學，都開創(chuàng)了這些學科的嶄新時代。幾何學是他公開發(fā)表的唯一數(shù)學著作，雖則只有117頁，但它標志著代數(shù)與幾何的第一次完美結合，使形形色色的代數(shù)方程表現(xiàn)為不同的幾何圖形，許多相當難解的幾何題轉化為代數(shù)題后能輕而易舉地找到答案. 。在幾何學中，笛卡爾分析了幾何學與代數(shù)學的優(yōu)缺點，指出：希臘人的幾何過于抽象，而且過多的依賴于圖形，總是要尋求一些奇妙的想法。代數(shù)卻完全受法則和公式的控制，而且還阻礙了自由的思想和創(chuàng)造力的發(fā)展。他同時看到了幾何的直觀與推理的優(yōu)勢和代數(shù)機械化運算的力量。于是笛卡爾著手解決這個問題，并由此創(chuàng)立了解析幾何。所以說笛卡爾是解析幾何的創(chuàng)始人。 3、笛卡爾一生為人類作了多方面的貢獻，他在1634年寫的宇宙學，包含當時被教會視為“異端”的觀點：他提出地球自轉和宇宙無限；他提的漩渦說是當時最具權威的太陽起源理論；他還提出了光的本性是粒子流的假說，并認為在廣袤無垠的太空中存在著極其精細的以太。他還是西方現(xiàn)代哲學思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者，提出了“普遍懷疑”的主張。他的“二元論”哲學思想，我思故我在，深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學。直到二三百年以后，笛卡爾的這些觀點仍具有很高的研究價值。三、傳奇故事 1、 1647年深秋的一個夜晚，在巴黎近郊，兩輛馬車疾馳而過。馬車在教堂的門前停下。身佩利劍的士兵押著一個瘦小的老頭兒走進教堂。他就是近代數(shù)學的奠基人、偉大的哲學家和數(shù)學家笛卡爾。由于他在著作中宣傳科學，觸犯了所謂的神權，因而遭到了當時教會的殘酷迫害。宏偉的教堂里，燭光照射在圣母瑪麗亞的塑像上。塑像前是審判席。被告席上的笛卡爾開始接受天主教會法庭對他的宣判：“笛卡爾散布異端邪說，違背教規(guī)，褻瀆上帝。為純潔教義，蕩滌謬誤，本庭宣判笛卡爾所著之書全為禁書，并由本人當庭焚毀?！钡芽栂肷贽q，但士兵立即把他從被告席上拉下來，推到火盆旁，笛卡爾用顫抖的手拿起一本本凝結了他畢生心血的著作，無可奈何地投入火中。 2、說起笛卡爾投身數(shù)學，多少有一些偶然性。有一次部隊開進荷蘭南部的一個城市，笛卡爾在街上散步，看見當?shù)氐慕稚嫌梅饋砻渍Z書寫的公開征解的幾道數(shù)學難題招貼。許多人在此招貼前議論紛紛，他旁邊的一位中年人用法語替他翻譯了這幾道數(shù)學難題的內(nèi)容。第二天，聰明的笛卡爾興沖沖地把解答交給了那位中年人。中年人看了笛卡爾的解答十分驚訝。巧妙的解題方法，準確無誤的計算，充分顯露了他的數(shù)學才華。原來這位中年人就是當時有名的數(shù)學家貝克曼教授。笛卡爾以前讀過他的著作，但是一直沒有機會認識他。從此，笛卡爾就在貝克曼的指導下開始了對數(shù)學的深入研究。所以有人說，貝克曼“把一個業(yè)已離開科學的心靈，帶回到正確、完美的成功之路”。1621年笛卡爾離開軍營遍游歐洲各國。1625年回到巴黎從事科學工作。為綜合知識、深入研究，1628年變賣家產(chǎn)，定居荷蘭潛心著述達20年。 3、1619年在多瑙河的軍營里，笛卡爾用大部分時間思考著他在數(shù)學中的新想法：能不能用代數(shù)中的計算過程來代替幾何中的證明呢？要這樣做就必須找到一座能連接（或說融合）幾何與代數(shù)的橋梁，使幾何圖形數(shù)值化。笛卡爾用兩條互相垂直且交于原點的數(shù)軸作為基準，將平面上的點的位置確定下來，這就是后人所說的笛卡爾坐標系。笛卡爾坐標系的建立，為用代數(shù)方法研究幾何架設了橋梁。笛卡爾坐標系的建立，把過去并列的兩個數(shù)學研究對象“形”和“數(shù)”統(tǒng)一起來，把幾何方法和代數(shù)方法統(tǒng)一起來，從而使傳統(tǒng)的數(shù)學有了一個新的突破。關于笛卡爾的這一發(fā)現(xiàn)，有些史料曾有這樣一段記述：由于對科學目的和科學方法的狂熱追求，新幾何的影子不時縈繞腦際。1619年11月10日這一天，笛卡爾做了一個觸發(fā)靈感的夢。他夢見一只蒼蠅，飛動時劃出一條美妙的曲線，然后一個黑點停在有方格的窗紙上，黑點到窗欞的距離確定了它的位置，夢醒后，笛卡爾異常興奮，理性主義的理性追求竟由此頓悟而生！笛卡爾后來曾說，他的夢像一把打開寶庫的鑰匙，這把鑰匙就是坐標幾何，由于教會勢力的控制，笛卡爾的坐標幾何的思想未能及時公諸于世。解析幾何創(chuàng)立的背景及過程一、解析幾何的創(chuàng)立源于數(shù)學研究外部內(nèi)部的雙重需要，具體分析如下：1、 外部條件：十六世紀以后，由于生產(chǎn)和科學技術的發(fā)展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利科學家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗時，物體是沿著拋物線運動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線（我們后面即將學習的內(nèi)容），要研究這些復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應了，這就從外部條件方面導致了解析幾何的出現(xiàn)。2、 內(nèi)部條件笛卡爾對當時的幾何方法和代數(shù)方法進行比較，分析了它們各自的優(yōu)缺點。他認為，沒有任何東西比幾何圖形更容易印入人腦，用圖形表達事物非常有益。但他對歐幾里得幾何中許多定理的證明需要奇巧的想法深感不安，他還批評希臘人的幾何過多依賴圖形。他看到了代數(shù)的力量，認為代數(shù)在提供廣泛的方法論發(fā)面高于歐幾里得的幾何學。即，歐氏幾何刻意追求抽象和技巧，而代數(shù)在提供廣泛的方法論方面高于歐氏幾何，于是夢寐以求用代數(shù)改造幾何，他曾計劃寫一本書思想的指導法則，書中提出一個大膽的方案：一切問題都可以化為數(shù)學問題，一切數(shù)學問題都可以化為代數(shù)問題，一切代數(shù)問題都可以化為含有一個未知數(shù)的方程問題。為了實現(xiàn)上述的設想，笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對（x, y）的對應關系。（x, y）的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。雖然這個方案最終以失敗告終，但笛卡爾把方程用于幾何的想法就從內(nèi)部條件方面導致了解析幾何的產(chǎn)生。二、與坐標系產(chǎn)生有關的兩個傳說1、笛卡爾用大部分時間思考著他在數(shù)學中的新想法：能不能用代數(shù)中的計算過程來代替幾何中的證明呢？要這樣做就必須找到一座能連接（或說融合）幾何與代數(shù)的橋梁，使幾何圖形數(shù)值化。笛卡爾用兩條互相垂直且交于原點的數(shù)軸作為基準，將平面上的點的位置確定下來，這就是后人所說的笛卡爾坐標系。關于笛卡爾的這一發(fā)現(xiàn)，有些史料曾有這樣一段記述：由于對科學目的和科學方法的狂熱追求，新幾何的影子不時縈繞腦際。1619年11月10日這一天，笛卡爾做了一個觸發(fā)靈感的夢。他夢見一只蒼蠅，飛動時劃出一條美妙的曲線，然后一個黑點停在有方格的窗紙上，黑點到窗欞的距離確定了它的位置，夢醒后，笛卡爾異常興奮，理性主義的理性追求竟由此頓悟而生！笛卡爾后來曾說，他的夢像一把打開寶庫的鑰匙，這把鑰匙就是坐標幾何。2、另一個版本是，據(jù)說有一天，法國哲學家、數(shù)學家笛卡爾生病臥床，病情很重，盡管如此他還反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數(shù)方程結合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨，通過什么樣的方法，才能把“點”和“數(shù)”聯(lián)系起來。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會功夫，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子里可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數(shù)確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線，如果把地面上的墻角作為起點，把交出來的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點的位置就可以用這三根數(shù)軸上找到有順序的三個數(shù)。反過來，任意給一組三個有順序的數(shù)也可以在空間中找出一點P與之對應，同樣道理，用一組數(shù)（x、y）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以有用一組兩個有順序的數(shù)來表示，這就是坐標系的雛形。 笛卡爾最初使用的坐標系中，兩個坐標軸的夾角不要求一定是直角，而且y軸并沒有明顯的出現(xiàn)。至于“坐標”“坐標系”“橫坐標”“縱坐標”等名詞，也都是后來人們逐漸使用的，雖然笛卡爾當初的坐標系還不夠完善，但是笛卡爾當初邁出的第一步具有決定意義，所以人們?nèi)匀话押髞淼闹苯亲鴺讼到凶鞯芽栔苯亲鴺讼?。笛卡爾在他唯一所寫的一本?shù)學書幾何學中引入了坐標方法和用方程表示曲線的思想，于是后人就把這本幾何學的發(fā)表作為解析幾何創(chuàng)立的標志。幾乎與他同時，另一位法國數(shù)學家費馬也在自己的研究中獨立得到了用方程表示曲線的思想，因此，費馬和笛卡爾同為解析幾何的創(chuàng)始人。（有關費馬的生平及主要成就有興趣的同學可以網(wǎng)上查閱）解析幾何創(chuàng)立的意義及影響1、解析幾何出現(xiàn)以前，代數(shù)已有了相當大的進展，因此解析幾何不是一個巨大的成就，但在方法論上卻是一個了不起的創(chuàng)建。解析幾何把代數(shù)和幾何結合起來，把數(shù)學構造成一個具有兩種作用的工具。一方面，幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目的通過代數(shù)來達到。反過來，另一方面，給代數(shù)概念以幾何解釋，可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啟發(fā)去提出新的結論。2、 解析幾何的顯著優(yōu)點在于它是數(shù)量工具。這個數(shù)量工具是科學的發(fā)展久已迫切需要的。十七世紀一直公開要求的，例如當開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞著太陽運動，伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的石子沿著拋物線的軌道飛出去時就必須計算這些橢圓和炮彈飛時所畫的拋物線了。這些都需要提供數(shù)量的工具，研究物理世界，似乎首先需求幾何。物體基本上是幾何的形象，運動物體的路線是曲線，研究它們都需要數(shù)量知識。而解析幾何能使人把形象和路線表示為代數(shù)形式，從而導出數(shù)量知識。3、解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對立著的“數(shù)” 與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結合。笛卡爾的這一天才創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎，從而開拓了變量數(shù)學的廣闊領域。最為可貴的是，笛卡爾用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌跡，不僅建立了點與實數(shù)的對應關系，而且把形（包括點、線、面）和“數(shù)”兩個對立的對象統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對應關系。這種對應關系的建立，不僅標志著函數(shù)概念的萌芽，而且標明變數(shù)進入了數(shù)學，使數(shù)學在思想方法上發(fā)生了偉大的轉折-由常量數(shù)學進入變量數(shù)學的時期。正如恩格斯所說：“數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辨證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。笛卡爾的這些成就，為后來牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分，為一大批數(shù)學家的新發(fā)現(xiàn)開辟了道路。為什么恩格斯對解析幾何有如此高的評價？（開放性問題，學生回答，言之有理即可）1.坐標法的使用，為數(shù)學中平面到空間、一維到多維提供了一般的研究方法。2.解析幾何的建立使得數(shù)學從常量研究進入了變量數(shù)學。3.解析幾何的建立為后面的微積分產(chǎn)生奠定了基礎。4. 解析幾何的建立為數(shù)學問題機械化解決提供了先決條件，最突出的是我國數(shù)學家吳文俊的的機器證明。（課本124125頁閱讀與思考）百歲山廣告背后的故事一直沒看懂百歲山的廣告，眾人都紛紛表示：廣告畫面唯美、格調(diào)雅致，但是看不懂廣告講述的故事情節(jié)。沒想到廣告里講訴的是一個凄美浪漫的愛情故事。1650年，斯德哥爾摩的街頭，52歲的笛卡爾邂逅了18歲的瑞典公主克里斯汀。那時，落魄、一文不名的笛卡爾過著乞討的生活，全部的財產(chǎn)只有身上穿的破破爛爛的衣服和隨身所帶的幾本數(shù)學書籍。生性清高的笛卡爾從不開口請求路人施舍，他只是默默地低頭在紙上寫寫畫畫，潛心于他的數(shù)學世界。一個寧靜的午后，笛卡爾照例坐在街頭，沐浴在陽光中研究數(shù)學問題，突然，有人來到他身旁，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭過頭，笛卡爾看到一張年輕秀麗的臉龐，一雙清澈的眼睛如湛藍的湖水，楚楚動人，長長的睫毛一眨一眨的，她就是瑞典的小公主，國王最寵愛的女兒克里斯汀。她蹲下身，拿過笛卡爾的數(shù)學書和草稿紙，和他交談起來。言談中，他發(fā)現(xiàn)這個小女孩思維敏捷，對數(shù)學有著濃厚的興趣。和女孩道別后，笛卡爾漸漸忘卻了這件事，依舊每天坐在街頭寫寫畫畫。幾天后，他意外地接到通知，國王聘請他做小公主的數(shù)學老師，滿心疑惑的笛卡爾跟隨前來通知的侍衛(wèi)一起來到皇宮，在會客廳等候的時候，他聽到了從遠處傳來銀鈴般的笑聲。轉過身，他看到了前幾天在街頭偶遇的女孩子，慌忙中，他趕緊低頭行禮。從此，他便當上了公主的數(shù)學老師。公主的數(shù)學在笛卡爾的悉心指導下突飛猛進，他們之間也開始變得親密起來。笛卡爾向她介紹了他研究的新領域直角坐標系。通過它，代數(shù)和幾何可以結合起來，也就是日后笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何的雛形。在笛卡爾的帶領下，克里斯汀走進了奇妙的坐標世界，她對曲線著了迷。每天的形影不離也使他們彼