（江蘇專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第57課 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系要點(diǎn)導(dǎo)學(xué).doc

【南方鳳凰臺(tái)】（江蘇專(zhuān)用）2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第57課 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系(2014重慶七校聯(lián)考)已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,直線(xiàn)l的方程為3x+4y+m=0.若圓與直線(xiàn)相切,則實(shí)數(shù)m=.答案2或-8解析因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切,所以=1m=-8或2.精要點(diǎn)評(píng)圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系的判定方法主要兩種:(1) 利用圓心到直線(xiàn)的距離d與圓的半徑r的關(guān)系;(2) 利用一元二次方程根的判別式的符號(hào).(2014重慶卷)已知直線(xiàn)ax+y-2=0與圓c:(x-1)2+(y-a)2=4相交于a,b兩點(diǎn),且abc為等邊三角形,那么實(shí)數(shù)a=.答案4解析由題設(shè)知圓心c到直線(xiàn)ax+y-2=0的距離為,所以=,解得a=4.圓的切線(xiàn)問(wèn)題(2014張家港模擬)已知圓c:(x-2)2+y2=1.(1) 求過(guò)點(diǎn)p(3,m)與圓c相切的切線(xiàn)方程;(2) 若點(diǎn)q是直線(xiàn)x+y-6=0上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)q作圓c的切線(xiàn)qa,qb,其中a,b為切點(diǎn),求四邊形qacb面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)q的坐標(biāo).解答(1) 當(dāng)m=0時(shí),切線(xiàn)方程為x=3.當(dāng)m0時(shí),設(shè)切線(xiàn)方程為y-m=k(x-3),所以=1,k=.故切線(xiàn)方程為x=3或y-m=(x-3).(2) s四邊形qacb=2sqac=acaq=,故當(dāng)cq最小即cq垂直于直線(xiàn)x+y-6=0時(shí),四邊形qacb的面積最小,cqmin=2,所以s四邊形qacb的最小值為,此時(shí)cq的方程為y=x-2,故q(4,2).若過(guò)點(diǎn)p(3,1)作圓c:(x-1)2+y2=1的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為點(diǎn)a,b,則直線(xiàn)ab的方程為.答案2x+y-3=0解析方法一:由點(diǎn)p(3,1),圓心c(1,0)可設(shè)過(guò)點(diǎn)p的圓c的切線(xiàn)方程為y-1=k(x-3),由題意得=1,解得k=0或,即切線(xiàn)方程為y=1或4x-3y-9=0.聯(lián)立得一切點(diǎn)為(1,1),又因?yàn)閗pc=,所以kab=-=-2,即直線(xiàn)ab的方程為y-1=-2(x-1),整理得2x+y-3=0.方法二:點(diǎn)p(3,1),圓心c(1,0),則以pc為直徑的圓的方程為(x-3)(x-1)+y(y-1)=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0,聯(lián)立-得ab的方程為2x+y-3=0.圓的弦長(zhǎng)、弦心距和半徑關(guān)系問(wèn)題(2014衡水中學(xué)模擬)已知圓m:x2+y2-2x-4y-11=0被過(guò)點(diǎn)n(-1,1)的直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為4,求該直線(xiàn)的方程.解答圓m方程轉(zhuǎn)化為(x-1)2+(y-2)2=16,則m(1,2),r=4.設(shè)過(guò)點(diǎn)n(-1,1)的所求直線(xiàn)為l.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率k不存在時(shí),l為x=-1,則交點(diǎn)a(-1,2-2),b(-1,2+2),滿(mǎn)足ab=4.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率k存在時(shí),設(shè)l的方程為y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,則d=,則d2+=16,即d2=16-12=4,則k=-,此時(shí),直線(xiàn)l的方程為y-1=-(x+1),即3x+4y-1=0.綜上所述,直線(xiàn)l的方程為x=-1或3x+4y-1=0.【題組強(qiáng)化重點(diǎn)突破】1. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線(xiàn)3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于a,b兩點(diǎn),則弦ab的長(zhǎng)為.答案2解析圓心到直線(xiàn)的距離d=1,所以r2-d2=,即ab2=4(r2-d2)=12,所以ab=2.2. 已知圓(x-4)2+(y-1)2=5內(nèi)一點(diǎn)p(3,0),那么過(guò)點(diǎn)p的最短弦所在直線(xiàn)的方程為.答案x+y-3=0解析設(shè)圓心為c,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)p(3,0)的最短弦垂直于pc,直線(xiàn)pc的斜率k=1,所以所求直線(xiàn)的斜率為-1,從而直線(xiàn)方程為x+y-3=0.3. (2014安徽示范高中聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,圓c的方程為x2+y2=-2y+3,直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線(xiàn)x-y+1=0垂直.若直線(xiàn)l與圓c交于a,b兩點(diǎn),則oab的面積為.答案1解析圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+1)2=4,圓心c為(0,-1),半徑為2,直線(xiàn)l的斜率為-1,則方程為x+y-1=0,圓心c到直線(xiàn)l的距離d=,弦長(zhǎng)ab=2=2,又坐標(biāo)原點(diǎn)o到弦長(zhǎng)ab的距離為,所以oab的面積為2=1.4. 設(shè)點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)c為圓(x-2)2+y2=3的圓心,且圓上有一點(diǎn)m(x,y)滿(mǎn)足=0,則=.答案解析因?yàn)?0,所以omcm,所以om是圓的切線(xiàn),設(shè)om的方程為y=kx,由=,得k=,即=.含參數(shù)的圓的問(wèn)題已知以點(diǎn)c(tr,t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)o,a,與y軸交于點(diǎn)o,b,其中o為坐標(biāo)原點(diǎn).(1) 求證:aob的面積為定值;(2) 設(shè)直線(xiàn)2x+y-4=0與圓c交于點(diǎn)m,n,若om=on,求圓c的方程.思維引導(dǎo)(1) 將aob的面積表示為t的函數(shù)即可;(2) 將om=on轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)o在mn的中垂線(xiàn)上,即設(shè)mn的中點(diǎn)為h,則chmn,然后求出t,再求出圓c的方程.解答(1) 由題設(shè)知,圓c的方程為(x-t)2+=t2+,化簡(jiǎn)得x2-2tx+y2-y=0,當(dāng)y=0時(shí),x=0或2t,則點(diǎn)a(2t,0).當(dāng)x=0時(shí),y=0或,則點(diǎn)b.所以saob=oaob=|2t|=4為定值.(2) 因?yàn)閛m=on,所以原點(diǎn)o在mn的中垂線(xiàn)上.設(shè)mn的中點(diǎn)為h,則chmn,所以c,h,o三點(diǎn)共線(xiàn),則直線(xiàn)oc的斜率k=,所以t=2或t=-2,則圓心c(2,1)或c(-2,-1),所以圓c的方程為(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于當(dāng)圓c的方程為(x+2)2+(y+1)2=5時(shí),直線(xiàn)2x+y-4=0到圓心的距離dr,此時(shí)不滿(mǎn)足直線(xiàn)與圓相交,故舍去.所以圓c的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.已知圓m的圓心m在y軸上,半徑為1,直線(xiàn)l:y=2x+2被圓m所截得的弦長(zhǎng)為,且圓心m在直線(xiàn)l的下方.(1) 求圓m的方程;(2) 設(shè)點(diǎn)a(t,0),b(t+5,0)(-4t-1).若ac,bc是圓m的切線(xiàn),求abc面積的最小值.規(guī)范答題(1) 設(shè)m(0,b),由題設(shè)知,點(diǎn)m到直線(xiàn)l的距離是 =. (2分)所以=,解得b=1或b=3. (4分)因?yàn)閳A心m在直線(xiàn)l的下方,所以b=1,即所求圓m的方程為x2+(y-1)2=1.(6分)(2) 當(dāng)直線(xiàn)ac,bc的斜率都存在,即-4t-1時(shí),直線(xiàn)ac的斜率kac=tan(2mao)=.同理,直線(xiàn)bc的斜率kbc=. (8分)所以直線(xiàn)ac的方程為y=(x-t),直線(xiàn)bc的方程為y=(x-t-5). (10分)聯(lián)立方程組得x=,y=. (12分)所以yc=2-.因?yàn)?4t-1,所以-t2+5t+1-3,所以yc0,b0)過(guò)圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,那么ab的最大值為.答案4. (2014浙江六校聯(lián)考)若直線(xiàn)y=kx與圓(