（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 解析幾何初步 第57課 直線與圓的位置關(guān)系 文.doc

第57課 直線與圓的位置關(guān)系(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修2p113例2改編)圓(x-1)2+(y+2)2=6與直線2x+y-5=0的位置關(guān)系是.【答案】相交【解析】由題意知圓心(1，-2)到直線2x+y-5=0的距離d=，0d0，則它們相交；若=0，則它們相切；若0，則直線與圓相離.(2)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑的大小來判斷：當(dāng)dr時(shí)，直線與圓相離.3.圓的切線(1)若點(diǎn)p(x0，y0)在圓x2+y2=r2上時(shí)，則經(jīng)過點(diǎn)p(x0，y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2；若點(diǎn)p(x0，y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時(shí)，則經(jīng)過點(diǎn)p(x0，y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)當(dāng)點(diǎn)p(x0，y0)在圓外時(shí)，切線有兩條.求圓的切線方程時(shí)，常設(shè)出切線的點(diǎn)斜式方程，然后運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離求出斜率.如果只能解出斜率的一個(gè)值，要注意斜率不存在的情形.4.(直線與圓相交時(shí))圓的弦(1)當(dāng)直線與圓相交時(shí)，設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2.(2)若直線y=kx+b與曲線c相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點(diǎn)，則ab=|x1-x2|=|y1-y2|.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破直線與圓位置關(guān)系的判斷例1(1)過點(diǎn)p(-3，-4)作直線l，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線l與圓c：(x-1)2+(y+2)2=4有公共點(diǎn)?(2)已知圓c：(x-1)2+(y-2)2=25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mr)，求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn).【思維引導(dǎo)】(1)先設(shè)出直線方程，然后再用代數(shù)或幾何方法判斷.(2)若直線和圓相交，則圓心到直線的距離小于半徑；若直線過圓內(nèi)一點(diǎn)，則直線和圓相交.【解答】(1)方法一：設(shè)直線l的方程為y+4=k(x+3)，即kx-y+3k-4=0，圓心c(1，-2)到直線l的距離d=，由d2，即|k+2+3k-4|2，解得0k.方法二：設(shè)直線l的方程為y+4=k(x+3)，即y=kx+(3k-4)，代入圓c的方程得(1+k2)x2+2(3k2-2k-1)x+(9k2-12k+1)=0，由此方程的判別式0，得(3k2-2k-1)2-(1+k2)(9k2-12k+1)0，解得0k.(2)由題意，直線方程可變形為(2x+y-7)m+(x+y-4)=0.因?yàn)閙r，所以所以直線l必過定點(diǎn)a(3，1)，又因?yàn)?3-1)2+(1-2)2=51，解得-k25，故點(diǎn)(1，-7)在圓外，過圓外一點(diǎn)與圓相切的切線方程的求法有三種.【解答】(1)因?yàn)辄c(diǎn)p(1，-)在圓c：x2+y2=4上，所以切線方程為x-y=4，即x-y-4=0.(2)方法一：設(shè)切線的斜率為k，由點(diǎn)斜式有y+7=k(x-1)，即y=k(x-1)-7.將代入圓的方程x2+y2=25，得x2+k(x-1)-72=25，化簡(jiǎn)整理，得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0.所以=(2k2+14k)2-4(k2+1)(k2+14k+24)=0.由此解得k=或k=-，代入可得切線方程為4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.方法二：設(shè)所求切線的斜率為k，則所求直線方程為y+7=k(x-1)，整理成一般式得kx-y-k-7=0，由圓的切線性質(zhì)可得=5，化簡(jiǎn)得12k2-7k-12=0，所以k=或k=-.所以切線方程為4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.方法三：設(shè)所求切線方程為x0x+y0y=25，其中(x0，y0)是圓上的點(diǎn)，將坐標(biāo)(1，-7)代入后，得x0-7y0=25.由解得或故所求切線方程為4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.【精要點(diǎn)評(píng)】求切線一般有三種方法：設(shè)切點(diǎn)用切線公式法；設(shè)切線斜率用判別式法；設(shè)切線斜率，用圓心到切線距離等于圓半徑法.一般地，過圓外一點(diǎn)可向圓作兩條切線，在后兩種方法中，應(yīng)注意斜率不存在時(shí)的情況，三種方法中，最簡(jiǎn)捷最常用.變式過點(diǎn)p(2，)作圓x2+y2=10的切線l，則切線l的方程為.【答案】x+3y-5=0【解析】因?yàn)?2+()2=10，所以點(diǎn)p在圓上，因此切線只有一條，圓心為c(0，0)，所以kpc=.又因?yàn)閳A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，所以所求的切線的斜率為k=-=-，由點(diǎn)斜式可得切線方程為y-=-(x-2)，化簡(jiǎn)得x+3y-5=0.圓的弦長(zhǎng)問題微課12 典型示例例3已知直線l：y=x和圓c：(x-2)2+(y-4)2=10.(1)求直線l與圓c的交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線l被圓c所截得的弦長(zhǎng).【思維導(dǎo)圖】【規(guī)范解答】(1)由解得或即直線l和圓c的交點(diǎn)坐標(biāo)為a(1，1)和b(5，5).(2)方法一：由(1)知，直線l被圓c所截得的弦長(zhǎng)為ab=4.方法二：由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離d=.于是弦長(zhǎng)為2=2=4.【精要點(diǎn)評(píng)】求直線與圓的交點(diǎn)就是構(gòu)造方程組，繼而求解.求圓的弦長(zhǎng)可以先求出交點(diǎn)a，b的坐標(biāo)，再求線段ab的長(zhǎng)度，也可以通過由半弦、半徑和圓心到直線的距離構(gòu)成直角三角形來處理. 總結(jié)歸納求解關(guān)于圓的弦長(zhǎng)時(shí)，常用的方法有：(1)求弦長(zhǎng)對(duì)應(yīng)線段的端點(diǎn)坐標(biāo)，再求弦長(zhǎng)；(2)通過半弦、半徑和圓心到直線的距離構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理求解.此處，弦心距是解決問題的關(guān)鍵. 題組強(qiáng)化1.(2016蘇北四市期中)若直線ax+y+1=0被圓x2+y2-2ax+a=0截得的弦長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)a的值是.【答案】-2【解析】將圓x2+y2-2ax+a=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+y2=a2-a，圓心(a，0)，半徑(a1或a0)，由題意知，=，得a=-2，經(jīng)驗(yàn)證，滿足題意，故a=-2.2.若a，b，c是rtabc三邊的長(zhǎng)(c為斜邊)，則圓c：x2+y2=4被直線l：ax+by+c=0所截得的弦長(zhǎng)為.【答案】2【解析】由題意可知圓c：x2+y2=4被直線l：ax+by+c=0所截得的弦長(zhǎng)為2，又因?yàn)閍2+b2=c2，所以所求弦長(zhǎng)為2.3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.【答案】(-13，13)【解析】因?yàn)閳A半徑為2，由題意知圓心(0，0)到直線12x-5y+c=0的距離小于1，即0)與直線y=3x相交于p，q兩點(diǎn)，則當(dāng)cpq的面積最大時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為.【答案】【解析】因?yàn)閏pq的面積等于sin pcq，所以當(dāng)pcq=90時(shí)，cpq的面積最大，此時(shí)圓心到直線y=3x的距離為，因此=，解得a=.3.(2015江蘇卷改編)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以點(diǎn)(1，0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(mr)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】(x-1)2+y2=2【解析】由題意得，半徑等于=，所以最大半徑為，所以所求圓的方程為(x-1)2+y2=2.4.已知直線l：x-2y+m=0，將直線沿著x軸正方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著y軸負(fù)方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度所得的直線與圓(x-2)2+(y+1)=5相切，那么實(shí)數(shù)m的值為.【答案】-1或9【解析】由題意知，經(jīng)過兩次平移后，所得直線的方程為x-2y+m-8=0，因?yàn)榇酥本€與圓相切，所以d=r，解得m=-1或9.【融會(huì)貫通】融會(huì)貫通能力提升已知圓c：(x-1)2+(y-2)2=2及點(diǎn)p(2，-1)，過點(diǎn)p作圓的切線，切點(diǎn)分別為a，b.(1)求pa，pb所在直線的方程；(2)求過點(diǎn)p的切線的長(zhǎng)度.【思維引導(dǎo)】【規(guī)范解答】(1)由題可知圓的切線的斜率存在，設(shè)其為k，則切線的方程為y+1=k(x-2).2分因?yàn)閳A心到切線的距離d=，.5分所以可解得k=-1或76分所以所求切線為pa：x+y-1=0，pb：7x-y-15=08分(2)因?yàn)閜c=，11分所以切線長(zhǎng)pa=2.14分【精要點(diǎn)評(píng)】求圓的切線方程時(shí)應(yīng)先考慮所過點(diǎn)與圓的具體位置，這一點(diǎn)很重要，因?yàn)樵撐恢么_定了圓的切線條數(shù)與具體的求解方法.題中變化的條件改變了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，所以解決的方法不同.需要注意的是過圓外一點(diǎn)的切線有兩條，如果只解出一條，就要檢查是否有斜率不存在的情況.另外，在求切線長(zhǎng)時(shí)，要盡量利用圓的性質(zhì)，用幾何方法求解，以減少運(yùn)算.變式1已知圓d：(x-1)2+(y-2)2=1及點(diǎn)p(2，-1)，過點(diǎn)p作圓的切線，切點(diǎn)分別為a，b.(1)求pa，pb所在直線的方程；(2)求過點(diǎn)p的切線的長(zhǎng)度.【解答】(1)由題可知，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即直線x=2是圓的切線.當(dāng)圓的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則切線的方程為y+1=k(x-2).因?yàn)閳A心到切線的距離d=1，解得k=-，即切線方程為4x+3y-5=0.所以所求切線為pa：x-2=0，pb：4x+3y-5=0，(2)因?yàn)閜c=，所以切線長(zhǎng)pa=3.變式2已知圓c：(x-1)2+(y-2)2=2及點(diǎn)p(2，3)，過點(diǎn)p作圓的切線，則該切線的方程為.【答案】x+y-5=0【解析】由題可知，點(diǎn)p在圓c上，且直線pc的斜率為=1，所以過點(diǎn)p的圓c的切線的斜率為-1.又知點(diǎn)p(2，3)，所以切線的方程為y-3=-(x-2)，即x+y-5=0.所以所求切線方程為x+y-5=0.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成配套檢測(cè)與評(píng)估中的練習(xí)第113114頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第57課直線與圓的位置關(guān)系一、 填空題1.(2015廣東卷改編)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是.2.(2014淮安、宿遷摸底)已知過點(diǎn)(2，5)的直線l被圓c：x2+y2-2x-4y=0截得的弦長(zhǎng)為4，那么直線l的方程為.3.以點(diǎn)(2，-1)為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為.4.若pq是圓x2+y2=9的弦，pq的中點(diǎn)是(1，2)，則直線pq的方程是.5.(2014揚(yáng)州期末)若圓心在直線2x-y-7=0上的圓c與y軸交于點(diǎn)a(0，-4)和b(0，-2)，則圓c的方程為.6.(2015山東卷改編)已知一條光線從點(diǎn)(-2，3)射出，經(jīng)y軸反射與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切，則反射光線所在的直線的斜率為.7.(2014黃山三檢)若函數(shù)y=|x|-2的圖象與曲線c：x2+y2=恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.8.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)p為圓c：(x-1)2+y2=4上任意一點(diǎn)，點(diǎn)q(2a，a-3)(ar)，則線段pq長(zhǎng)度的最小值為.二、 解答題 9.已知圓x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(mr).(1)求證：不論m取什么值，圓心在同一條直線l上；(2)與l平行的直線中，哪些與圓相交，相切，相離.10.已知圓m：x2+(y-2)2=1，q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，qa，qb分別切圓m與a，b兩點(diǎn).(1)若ab=，求mq及直線mq的方程；(2)求證：直線ab過定點(diǎn).11.已知圓p滿足：截y軸所得弦長(zhǎng)為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為31；圓心到直線l：x-2y=0的距離為，求該圓的方程，并判斷該圓與直線x-y+2=0的位置關(guān)系.三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.如果圓(x-2a)2+(y-a-3)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.13.(2015南京三模)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓c的方程為(x-1)2+(y-1)2=9，直線l：y=kx+3與圓c相交于a，b兩點(diǎn)，m為弦ab上一動(dòng)點(diǎn)，以m為圓心、2為半徑的圓與圓c總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第57課直線與圓的位置關(guān)系1.2x+y+5=0或2x+y-5=0【解析】設(shè)所求切線方程為2x+y+c=0，依題有=，解得c=5，所以所求切線的直線方程為2x+y+5=0或2x+y-5=0.2.x-2=0或4x-3y+7=0【解析】圓c：x2+y2-2x-4y=0化成標(biāo)準(zhǔn)式為(x-1)2+(y-2)2=5.因?yàn)榻氐玫南议L(zhǎng)為4，小于直徑，故該直線必有兩條，且圓心到直線的距離為d=1.當(dāng)斜率不存在時(shí)，l：x=2，顯然符合要求.當(dāng)斜率存在時(shí)，l：y-5=k(x-2)，d=1，解得k=，故直線l的方程為4x-3y+7=0.3.(x-2)2+(y+1)2=9【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑，得r=3，所以圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=9.4.x+2y-5=0【解析】由圓的性質(zhì)知，圓心與pq中點(diǎn)的連線與pq垂直，所以pq的斜率為-.由直線的點(diǎn)斜式方程得y-2=-(x-1)，即x+2y-5=0.5.(x-2)2+(y+3)2=5【解析】因?yàn)閳A過a(0，-4)，b(0，-2)，所以圓心c的縱坐標(biāo)為-3.又圓心c在直線2x-y-7=0上，所以圓心c為(2，-3)，從而圓的半徑r=ac=，故圓c的方程為(x-2)2+(y+3)2=5.6.-或-【解析】點(diǎn)(-2，3)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，-3)，由題知反射光線的斜率一定存在，所以設(shè)反射光線所在直線為y+3=k(x-2)，即kx-y-2k-3=0，則d=1，|5k+5|=，解得k=-或-.7.2(4，+)【解析】作出函數(shù)y=|x|-2的圖象(如圖)，易觀察當(dāng)圓x2+y2=與函數(shù)圖象相切或2時(shí)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).當(dāng)相切時(shí)，=2；當(dāng)2時(shí)，4.故所求的取值范圍是2(4，+).(第7題)8. -2【解析】因?yàn)辄c(diǎn)q的坐標(biāo)滿足方程x-2y-6=0，故可轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到直線的距離.因?yàn)閳A心c到此直線距離d=，又知半徑為2，故所求最小值為-2.9. (1) 配方得(x-3m)2+y-(m-1)2=25.設(shè)圓心為(x，y)，則消去m，得x-3y-3=0.故不論m取什么值，圓心在同一條直線l：x-3y-3=0上.(2) 設(shè)與l平行的直線為n：x-3y+b=0，則圓心到直線l的距離d=，由于圓的半徑r=5，所以當(dāng)dr，即-5-3br，即b5-3時(shí)，直線與圓相離.10. (1)如圖，設(shè)