巧借圖形特征妙解解析幾何.doc

巧借圖形特征，妙解解析幾何湖北襄陽五中 曹標(biāo)平 王洪濤 441057解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門學(xué)科.在這種研究方法的沖擊下，可能同學(xué)會產(chǎn)生一個誤區(qū)，現(xiàn)在只需要用代數(shù)方法解決幾何問題，我們在初中研究的平面幾何知識在此無用武之地了.這個誤區(qū)的形成，源于這些同學(xué)嘗到了解析法的甜頭.其實(shí)，解析法也不是“萬能”的，若能充分把握解析幾何學(xué)中形的幾何特征,注意挖掘隱蔽條件,靈活運(yùn)用平面幾何知識,對于拓寬解題思路,減少運(yùn)算量,將會起到非常重要的作用.幾何特征一：中點(diǎn)例1：已知橢圓的長軸為AB，過點(diǎn)B的直線與x軸垂直，設(shè)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn)，x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn).試判斷直線QN與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系.分析：注意到點(diǎn)P為HQ的中點(diǎn)，P的軌跡方程已知，很容易求出Q點(diǎn)的軌跡即是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，由此可分析知與全等，由此可求解.解：設(shè)，即點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，,而NO為中線，即,又,點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，故，,即.與以AB為直徑的圓相切.點(diǎn)評：本題考察了直線、與圓和橢圓的位置關(guān)系.充分利用點(diǎn)P為HQ的中點(diǎn)，通過求出Q點(diǎn)的軌跡，以此為出發(fā)點(diǎn)，利用三角形全等解題，大大簡化了計(jì)算.另外，中點(diǎn)可與中位線聯(lián)系在一起，有些題可以以中位線為突破口求解 .練習(xí)1：如圖2，設(shè)橢圓方程為，PQ是過左焦點(diǎn)F且與x軸不垂直的弦.若在左準(zhǔn)線上存在點(diǎn)R,使PQR為正三角形,則橢圓離心率e的取值范圍是 .幾何特征二：角平分線例2：（2010全國1）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線與相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D.（1） 證明點(diǎn)F在直線BD上;（2） 設(shè),求的內(nèi)切圓的方程.分析：第一問，注意到點(diǎn)K即是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，要證點(diǎn)F在直線BD上，只需證，結(jié)合拋物線定義和相似三角形可求解；第二問，注意到KF即是的平分線，所以的內(nèi)切圓的圓心一定在x軸上，利用角平分線定理可求解.解：（1）點(diǎn)K即是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，作拋物線的準(zhǔn)線于M，x軸于點(diǎn)E，連接AD交x軸于點(diǎn)H. 由拋物線定義知：AM=AF,BN=BF ,而和都是直角三角形，.又A、D關(guān)于x軸對稱，,，故點(diǎn) F在直線BD上.(2)設(shè)，,設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立，消去x得：,則有，不妨設(shè)，則,設(shè)I為的內(nèi)切圓的圓心，由于,則I一定在x軸上.由角平分線定理有，圓I的圓心為.的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的方程為.點(diǎn)評：此題第二問的幾何特征是KF始終是的平分線，利用角平分線定理可簡化計(jì)算.練習(xí)2：如圖4，給出定點(diǎn)A（a,0）(a0)和直線,B是直線上的動點(diǎn)，的平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a的關(guān)系.幾何特征三：特殊角例3：（2012江蘇一模）若實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)P(-1,0)在動直線上的射影為M，已知點(diǎn)N（3，3），則線段MN長度的最大值是 .分析：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，故動直線為，恒過定點(diǎn)，不管直線如何轉(zhuǎn)動，總有，所以點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓周上，由此可求解.解：點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓周上，所以圓心為，半徑為，所以線段MN長度的最大值為.點(diǎn)評: 若用傳統(tǒng)的解析法，計(jì)算量非常大.此題的幾何特征是始終保持著，直角對直徑，以此為突破口大大簡化了計(jì)算.練習(xí)3：如圖5，已知點(diǎn)A,B是單位圓O上的兩點(diǎn)，且滿足,點(diǎn)P是平面上的一動點(diǎn)，且滿足，則的最大值為 .幾何特征四：圓的切割線例4：已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1與F2,點(diǎn)P在直線上.當(dāng)取最大值時，的值為 .分析：依題意過、三點(diǎn)的圓的圓心在y軸上，直線與該圓相交或相切，直線與該圓相交比相切時，半徑應(yīng)偏大（可根據(jù)半徑、弦心距和半弦的關(guān)系論證），因而圓心的位置應(yīng)偏上，故相交時弧所對的圓心角比相切時它所對的圓心角小，因此，弧所對的圓周角即在直線與圓相切時取得最大值。確定了直線與圓的位置關(guān)系，即可利用三角形相似求的值.解：取最大值時，直線與過、三點(diǎn)的圓相切，如圖6所示，連接,設(shè)直線與x軸的交點(diǎn).（弦切角定理），相似于，又（切線長定理），又，.點(diǎn)評：由上述分析與解答過程，同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)，若不全面而準(zhǔn)確地利用平面幾何知識，本題斷是難題.練習(xí)4：已知y軸上兩個點(diǎn),試在x軸的正半軸上求一點(diǎn)P，使最大. 通過以上幾個例題，同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)并不是所有的解析幾何題都適合用代數(shù)的方法求解，如果在解題過程中發(fā)現(xiàn)利用常規(guī)的代數(shù)法來解題遇到困難時，不妨靜下心來充分挖掘題中隱含的幾何特征，結(jié)合平面幾何知識來求解解析幾何或許能收到意想不到的效果.練習(xí)題答案：練習(xí)1.提示：輔助線如圖2所示，為直角梯形的中位線，結(jié)合橢圓第二定義和可求解.練習(xí)2.所求的軌跡方程為當(dāng)時，軌跡方程為，方程表示橢圓的一個弧段；當(dāng)時，軌跡方程為，方程表示拋物線的一個弧段；當(dāng)時，軌跡方程為，方程表示雙曲線的一個弧段.練習(xí)3. 2.提示：點(diǎn)P,A,O,B四點(diǎn)共圓，的最大值即AOB外接圓的直徑，利用正弦定理可求解.練習(xí)4. 作者簡介：曹標(biāo)平：男，華中師范大學(xué)碩士研究生，現(xiàn)任湖北襄陽五中高三數(shù)學(xué)教