02_控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.pdf

第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 基本概念基本概念 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程 時(shí)域時(shí)域 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程 時(shí)域時(shí)域 微分方程的建立微分方程的建立 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 復(fù)域 復(fù)域 控制系統(tǒng)的方框圖控制系統(tǒng)的方框圖 方框圖及其等效變換方框圖及其等效變換方框圖及其等效變換方框圖及其等效變換 信號(hào)流圖的繪制和化簡(jiǎn)信號(hào)流圖的繪制和化簡(jiǎn) 閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) Matlab簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 本章小結(jié)本章小結(jié) 自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院 1 本章小結(jié)本章小結(jié) 基本概念基本概念 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 是描述系統(tǒng) 是描述系統(tǒng) 或環(huán)節(jié)或環(huán)節(jié) 的輸出變量與輸入變量的輸出變量與輸入變量 或內(nèi) 部變量 或內(nèi) 部變量 之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 以便定量地給出系統(tǒng)中一些變量之間的相互關(guān)系以便定量地給出系統(tǒng)中一些變量之間的相互關(guān)系 從而對(duì)系統(tǒng)從而對(duì)系統(tǒng)以便定量地給出系統(tǒng)中一些變量之間的相互關(guān)系以便定量地給出系統(tǒng)中一些變量之間的相互關(guān)系 從而對(duì)系統(tǒng)從而對(duì)系統(tǒng) 進(jìn)行各種分析和設(shè)計(jì) 包括穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的性能分析 進(jìn)行各種分析和設(shè)計(jì) 包括穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的性能分析 對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)而言對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)而言 根據(jù)不同的需要和系統(tǒng)不同的特點(diǎn)根據(jù)不同的需要和系統(tǒng)不同的特點(diǎn) 對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)而言對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)而言 根據(jù)不同的需要和系統(tǒng)不同的特點(diǎn)根據(jù)不同的需要和系統(tǒng)不同的特點(diǎn) 數(shù)學(xué)模型不是唯一的 數(shù)學(xué)模型不是唯一的 數(shù)學(xué)模型的形式數(shù)學(xué)模型的形式 數(shù)學(xué)模型的形式數(shù)學(xué)模型的形式 如果只需要反映系統(tǒng)靜態(tài)關(guān)系如果只需要反映系統(tǒng)靜態(tài)關(guān)系 就可以用代數(shù)方程 就可以用代數(shù)方程 如果要表示系統(tǒng)輸入和輸出之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系如果要表示系統(tǒng)輸入和輸出之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系 就可以用微 就可以用微 分方程分方程 偏微分方程或差分方程偏微分方程或差分方程 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 2 分方程分方程 偏微分方程或差分方程偏微分方程或差分方程 基本概念基本概念 建立模型的方法 機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模 建立模型的方法 機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模 機(jī)理建模機(jī)理建模 根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)或動(dòng)力學(xué)的規(guī)律和機(jī)理根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)或動(dòng)力學(xué)的規(guī)律和機(jī)理 如機(jī)如機(jī) 機(jī)理建模機(jī)理建模 根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)或動(dòng)力學(xué)的規(guī)律和機(jī)理根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)或動(dòng)力學(xué)的規(guī)律和機(jī)理 如機(jī)如機(jī) 械系統(tǒng)中的牛頓定律 電系統(tǒng)中的克希霍夫定律等 建立系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)表達(dá)式 械系統(tǒng)中的牛頓定律 電系統(tǒng)中的克?；舴蚨傻?建立系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)表達(dá)式 要求已知所有元部件的結(jié)構(gòu)及對(duì)應(yīng)的物理機(jī)理 要求已知所有元部件的結(jié)構(gòu)及對(duì)應(yīng)的物理機(jī)理 實(shí)驗(yàn)建模實(shí)驗(yàn)建模 人為地給系統(tǒng)施加某種典型的輸入信號(hào)人為地給系統(tǒng)施加某種典型的輸入信號(hào) 記錄下記錄下 實(shí)驗(yàn)建模實(shí)驗(yàn)建模 人為地給系統(tǒng)施加某種典型的輸入信號(hào)人為地給系統(tǒng)施加某種典型的輸入信號(hào) 記錄下記錄下 對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)數(shù)據(jù) 通過(guò)辨識(shí)的方法采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)數(shù)據(jù) 通過(guò)辨識(shí)的方法采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去 模擬逼近該過(guò)程模擬逼近該過(guò)程 所獲得的數(shù)學(xué)模型稱為辨識(shí)模型所獲得的數(shù)學(xué)模型稱為辨識(shí)模型 模擬逼近該過(guò)程模擬逼近該過(guò)程 所獲得的數(shù)學(xué)模型稱為辨識(shí)模型所獲得的數(shù)學(xué)模型稱為辨識(shí)模型 不需要了解系統(tǒng)內(nèi)部情況 但不精確 不需要了解系統(tǒng)內(nèi)部情況 但不精確 建立模型的基本原則 建立模型的基本原則 準(zhǔn)確性準(zhǔn)確性 簡(jiǎn)化性簡(jiǎn)化性 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 3 準(zhǔn)確性準(zhǔn)確性 簡(jiǎn)化性簡(jiǎn)化性 基本概念基本概念 系統(tǒng)系統(tǒng) 多個(gè)元部件通過(guò)某種方式組合在一起所構(gòu)成的整體 系 統(tǒng)可以分為 多個(gè)元部件通過(guò)某種方式組合在一起所構(gòu)成的整體 系 統(tǒng)可以分為 1 集中參數(shù)系統(tǒng)集中參數(shù)系統(tǒng) 變量?jī)H僅是時(shí)間的函數(shù) 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常 是微分方程 變量?jī)H僅是時(shí)間的函數(shù) 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常 是微分方程 分布參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng) 變量不僅是時(shí)間函數(shù) 而且還是空間的函數(shù) 變量不僅是時(shí)間函數(shù) 而且還是空間的函數(shù) 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是偏微分方程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是偏微分方程 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是偏微分方程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是偏微分方程 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 4 系統(tǒng)的基本概念系統(tǒng)的基本概念 2 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 滿足滿足疊加原理疊加原理 加和性加和性f 1 2 f 1 f 2 與齊次性與齊次性2 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 滿足滿足疊加原理疊加原理 加和性加和性f x1 x2 f x1 f x2 與齊次性與齊次性 f kx kf x 的系統(tǒng) 的系統(tǒng) 疊加原理說(shuō)明兩個(gè)不同的疊加原理說(shuō)明兩個(gè)不同的作用函數(shù)作用函數(shù)同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng) 等于等于疊加原理說(shuō)明兩個(gè)不同的疊加原理說(shuō)明兩個(gè)不同的作用函數(shù)作用函數(shù)同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng) 等于等于 兩個(gè)作用函數(shù)兩個(gè)作用函數(shù)單獨(dú)作用的響應(yīng)之和 單獨(dú)作用的響應(yīng)之和 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 不滿足疊加原理的系統(tǒng)不滿足疊加原理的系統(tǒng) 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 不滿足疊加原理的系統(tǒng)不滿足疊加原理的系統(tǒng) 非線性系統(tǒng)對(duì)兩個(gè)輸入量的響應(yīng)不能單獨(dú)進(jìn)行計(jì)算 因此系統(tǒng)分非線性系統(tǒng)對(duì)兩個(gè)輸入量的響應(yīng)不能單獨(dú)進(jìn)行計(jì)算 因此系統(tǒng)分 析將比較困難析將比較困難 很難找到一般通用方法很難找到一般通用方法 但在實(shí)際系統(tǒng)中但在實(shí)際系統(tǒng)中 絕對(duì)絕對(duì)析將比較困難析將比較困難 很難找到一般通用方法很難找到一般通用方法 但在實(shí)際系統(tǒng)中但在實(shí)際系統(tǒng)中 絕對(duì)絕對(duì) 線性的系統(tǒng)是不存在的 通常所謂的線性系統(tǒng)也是在一定的工作線性的系統(tǒng)是不存在的 通常所謂的線性系統(tǒng)也是在一定的工作 范圍內(nèi)才保證線性的范圍內(nèi)才保證線性的 范圍內(nèi)才保證線性的范圍內(nèi)才保證線性的 判斷下面系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng) 判斷下面系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng) a和和b為常數(shù) 為常數(shù) btartc 考察是否符合疊加原理考察是否符合疊加原理 令令f x ax b 考察是否符合疊加原理考察是否符合疊加原理 令令f x ax b 對(duì)于對(duì)于x3 k1 x1 k2 x2 f x3 a k1 x1 k2 x2 b k1 f x1 k2 f x2 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 5 3 1122 1 1 2 2 不符合疊加原理 因此不是線性系統(tǒng) 不符合疊加原理 因此不是線性系統(tǒng) 系統(tǒng)的基本概念系統(tǒng)的基本概念 3 定常系統(tǒng)定常系統(tǒng) 微分方程的各項(xiàng)系數(shù)為常數(shù) 微分方程的各項(xiàng)系數(shù)為常數(shù) 時(shí)變系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng) 系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為時(shí)間的函數(shù)系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為時(shí)間的函數(shù) 時(shí)變系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng) 系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為時(shí)間的函數(shù)系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為時(shí)間的函數(shù) 本章討論的系統(tǒng) 本章討論的系統(tǒng) 單輸入單輸出集中參數(shù)線性定常系統(tǒng) 單輸入單輸出集中參數(shù)線性定常系統(tǒng) 可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數(shù)定常系統(tǒng)可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數(shù)定常系統(tǒng) 可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數(shù)定常系統(tǒng)可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數(shù)定常系統(tǒng) 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 6 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程 建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟 建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟 系統(tǒng)原理系統(tǒng)原理 線路圖線路圖 確定輸入確定輸入 輸出量輸出量 各元件的各元件的 微分方程微分方程 線路圖線路圖輸出量輸出量 微分方程微分方程 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)I O之間的之間的 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 整理整理 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn) 形式形式 消去中 間變量 消去中 間變量 之間的之間的 微分方程微分方程 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 在建立系統(tǒng)微分方程模型時(shí) 應(yīng)注意在建立系統(tǒng)微分方程模型時(shí) 應(yīng)注意 各元件的信號(hào)傳送的單向性各元件的信號(hào)傳送的單向性 即前一個(gè)元件的輸出是后一個(gè)即前一個(gè)元件的輸出是后一個(gè)各元件的信號(hào)傳送的單向性各元件的信號(hào)傳送的單向性 即前一個(gè)元件的輸出是后一個(gè)即前一個(gè)元件的輸出是后一個(gè) 元件的輸入 一級(jí)一級(jí)的單向傳送 元件的輸入 一級(jí)一級(jí)的單向傳送 前后連接的兩個(gè)元件中前后連接的兩個(gè)元件中 后級(jí)對(duì)前級(jí)的負(fù)載效應(yīng)后級(jí)對(duì)前級(jí)的負(fù)載效應(yīng) 前后連接的兩個(gè)元件中前后連接的兩個(gè)元件中 后級(jí)對(duì)前級(jí)的負(fù)載效應(yīng)后級(jí)對(duì)前級(jí)的負(fù)載效應(yīng) 最后化成標(biāo)準(zhǔn)形式 與輸入量相關(guān)的寫(xiě)在方程右邊 與輸出最后化成標(biāo)準(zhǔn)形式 與輸入量相關(guān)的寫(xiě)在方程右邊 與輸出 量相關(guān)的寫(xiě)在方程左邊量相關(guān)的寫(xiě)在方程左邊 兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 7 量相關(guān)的寫(xiě)在方程左邊量相關(guān)的寫(xiě)在方程左邊 兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程 對(duì)任何線性定常系統(tǒng) 假如它的輸出為對(duì)任何線性定常系統(tǒng) 假如它的輸出為c t 輸入為 輸入為r t 則系統(tǒng)微分方程模型的一般形式如下 則系統(tǒng)微分方程模型的一般形式如下 01 1 1 1 tca dt tdc a dt tcd a dt tcd a n n n n n n 01 1 1 1 trb dt tdr b dt trd b dt trd b dtdtdt m m m m m m 有時(shí)將輸出的有時(shí)將輸出的0階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)化為階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)化為1 dtdtdt 對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng) 對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng) n m 而且大多數(shù)系統(tǒng) 而且大多數(shù)系統(tǒng)n m 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 8 微分方程的建立 例微分方程的建立 例1 機(jī)械位移系統(tǒng) 設(shè)一彈簧 質(zhì)量塊 阻尼 器組成的系統(tǒng)如圖所示 當(dāng)外力 機(jī)械位移系統(tǒng) 設(shè)一彈簧 質(zhì)量塊 阻尼 器組成的系統(tǒng)如圖所示 當(dāng)外力F t 作用于作用于 系統(tǒng)時(shí)系統(tǒng)時(shí) 系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng) k F t 系統(tǒng)時(shí)系統(tǒng)時(shí) 系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng) 假設(shè)假設(shè) 忽略彈簧和阻尼器的質(zhì)量 并認(rèn)為 忽略彈簧和阻尼器的質(zhì)量 并認(rèn)為 連接是剛性的連接是剛性的 這樣各處才能同時(shí)運(yùn)動(dòng)這樣各處才能同時(shí)運(yùn)動(dòng) m 連接是剛性的連接是剛性的 這樣各處才能同時(shí)運(yùn)動(dòng)這樣各處才能同時(shí)運(yùn)動(dòng) 試寫(xiě)出外力試寫(xiě)出外力F t 與質(zhì)量塊的位移與質(zhì)量塊的位移y t 之間的之間的 微分方程微分方程 f y t 微分方程微分方程 機(jī)理建模 機(jī)理建模 阻尼器的作用方式是產(chǎn)生摩擦力 大小與 速度成正比 方向與運(yùn)動(dòng)方向相反 阻尼器的作用方式是產(chǎn)生摩擦力 大小與 速度成正比 方向與運(yùn)動(dòng)方向相反 彈簧的作用力大小與位移成正比 方向與 運(yùn)動(dòng)方向相反 彈簧的作用力大小與位移成正比 方向與 運(yùn)動(dòng)方向相反 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 9 微分方程的建立 例微分方程的建立 例1 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 與與 k F t 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 F t 與與y t 然后根據(jù)物理定律列寫(xiě)方程然后根據(jù)物理定律列寫(xiě)方程 tdy mdt tdy ftF 1 阻尼器的阻力阻尼器的阻力 彈簧的恢復(fù)力彈簧的恢復(fù)力 F2 t F t ky t 重力重力 f y t 2 2 21 dt tyd mtFtFtF 質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng) 彈簧的恢復(fù)力彈簧的恢復(fù)力 消去中間變量消去中間變量 化為標(biāo)準(zhǔn)形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式 F2 t ky t F1 t 消去中間變量消去中間變量 化為標(biāo)準(zhǔn)形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式 f阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 則令則令 k K mk f k m T 1 2 f 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) k 彈性系數(shù) 系數(shù)為 彈性系數(shù) 系數(shù)為1 kmkk2 2 2 2 2 tKFty dt tdy T dt tyd T 靜態(tài)時(shí)系統(tǒng)的輸入與 輸出之比 稱為 靜態(tài)時(shí)系統(tǒng)的輸入與 輸出之比 稱為比例比例 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 10 dtdt 式中 式中 T為時(shí)間常數(shù) 為阻尼比 為時(shí)間常數(shù) 為阻尼比 系數(shù)系數(shù)或傳遞系數(shù)或傳遞系數(shù) 微分方程的建立 例微分方程的建立 例2 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 設(shè)回路電流為設(shè)回路電流為i t 由克希霍夫定由克?；舴蚨?律寫(xiě)出回路方程為律寫(xiě)出回路方程為 RL Curuc 律寫(xiě)出回路方程為律寫(xiě)出回路方程為 R L C電路電路 cr u dt di LRiu C i dt duc 消去中間變量得到描述電路輸入輸出關(guān)系的微分方程為消去中間變量得到描述電路輸入輸出關(guān)系的微分方程為 i t tuu tdu RC tud LC cc 2 tuu dt RC dt LC rc 2 令令RC T2 L R T1 則 則 tuu d tdu T d tud TT rc cc 2 2 2 21 與前面建立的彈簧與前面建立的彈簧 質(zhì)量質(zhì)量 阻尼器系統(tǒng)的微分方程比較 阻尼器系統(tǒng)的微分方程比較 2 2 tdytyd dtdt rc2 2 21 二者的結(jié)構(gòu)相似 若選擇適當(dāng)?shù)膮?shù) 則當(dāng)輸入相同時(shí) 兩個(gè)二者的結(jié)構(gòu)相似 若選擇適當(dāng)?shù)膮?shù) 則當(dāng)輸入相同時(shí) 兩個(gè) 2 2 2 tKFty dt tdy T dt tyd T 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 11 系統(tǒng)的輸出會(huì)具有相同的響應(yīng)曲線 因此稱二者為系統(tǒng)的輸出會(huì)具有相同的響應(yīng)曲線 因此稱二者為相似系統(tǒng)相似系統(tǒng) 微分方程的建立 例微分方程的建立 例3 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 R R 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 設(shè)回路電流為設(shè)回路電流為i1 t i2 t 由克 由克 希霍夫定律寫(xiě)出回路方程為?；舴蚨蓪?xiě)出回路方程為 R1 R2 i1 i ?；舴蚨蓪?xiě)出回路方程為希霍夫定律寫(xiě)出回路方程為 uruc C2 i2 C1 cc uiRu 221111cr uiRu 1 21 1 1 ii Cdt duc 2 2 1 i Cdt duc 負(fù)載效應(yīng)負(fù)載效應(yīng) 12 消去中間變量消去中間變量i1 t i2 t uc1 得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系 得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系 的微分方程為的微分方程為的微分方程為的微分方程為 rc cc uu dt du CRCRCR dt ud CRCR 212211 2 2 2211 cc du TTT ud TT 2 令令T1 R1C1 T2 R2C2 T3 R1C2則有則有 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 12 rc cc uu dt TTT dt TT 321 2 21 微分方程的建立 例微分方程的建立 例4 L if Ra f E ia La 設(shè)電樞控制的它激直流電 動(dòng)機(jī)如圖示 若以電樞電 設(shè)電樞控制的它激直流電 動(dòng)機(jī)如圖示 若以電樞電 壓壓為輸入量為輸入量 以電動(dòng)機(jī)以電動(dòng)機(jī) if Eb m ua 壓壓ua為輸入量為輸入量 以電動(dòng)機(jī)以電動(dòng)機(jī) 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 m為輸出量 寫(xiě)出為輸出量 寫(xiě)出 該電動(dòng)機(jī)的微分方程該電動(dòng)機(jī)的微分方程 ML 該電動(dòng)機(jī)的微分方程該電動(dòng)機(jī)的微分方程 直流電動(dòng)機(jī)直流電動(dòng)機(jī)是將直流電做功轉(zhuǎn)化為機(jī)械功的一個(gè)裝置 其是將直流電做功轉(zhuǎn)化為機(jī)械功的一個(gè)裝置 其原理原理 是電樞回路產(chǎn)生電樞電流與電機(jī)的勵(lì)磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁 轉(zhuǎn)矩 是電樞回路產(chǎn)生電樞電流與電機(jī)的勵(lì)磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁 轉(zhuǎn)矩Md從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng) 同時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)反電勢(shì)作從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng) 同時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)反電勢(shì)作 用于電樞回路用于電樞回路 用于電樞回路用于電樞回路 在建立方程時(shí) 作一些在建立方程時(shí) 作一些近似近似 不計(jì)電樞反應(yīng) 渦流效應(yīng)和磁滯 不計(jì)電樞反應(yīng) 渦流效應(yīng)和磁滯 影響影響 且電機(jī)繞組溫度在瞬變過(guò)程中不變且電機(jī)繞組溫度在瞬變過(guò)程中不變 影響影響 且電機(jī)繞組溫度在瞬變過(guò)程中不變且電機(jī)繞組溫度在瞬變過(guò)程中不變 電動(dòng)機(jī)既有力學(xué)作用 有轉(zhuǎn)矩 同時(shí)又有電學(xué)作用 會(huì)產(chǎn)生反電動(dòng)機(jī)既有力學(xué)作用 有轉(zhuǎn)矩 同時(shí)又有電學(xué)作用 會(huì)產(chǎn)生反 電勢(shì)電勢(shì) 即由于電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的電力即由于電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的電力 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 13 電勢(shì)電勢(shì) 即由于電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的電力即由于電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的電力 微分方程的建立 例微分方程的建立 例4 L if Ra f E ia La 電樞電壓電樞電壓ua為輸入量 電 動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角 為輸入量 電 動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角 m為輸出量 為輸出量 if Eb m ua 圖中 圖中 if為固定的激磁電流 為固定的激磁電流 端電壓端電壓ua ML為負(fù)載轉(zhuǎn)矩為負(fù)載轉(zhuǎn)矩 ML 端電壓端電壓 a L為負(fù)載轉(zhuǎn)矩 為負(fù)載轉(zhuǎn)矩 Ra La分別為電樞電阻和 電感 分別為電樞電阻和 電感 已知已知Kb為電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)系數(shù) 為電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)系數(shù) Cm為電動(dòng)機(jī)力矩系數(shù) 為電動(dòng)機(jī)力矩系數(shù) f為電機(jī)為電機(jī) 上的粘性摩擦系數(shù)上的粘性摩擦系數(shù) J為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)設(shè)電磁轉(zhuǎn)矩電磁轉(zhuǎn)矩Mm 電電上的粘性摩擦系數(shù)上的粘性摩擦系數(shù) J為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)設(shè)電磁轉(zhuǎn)矩電磁轉(zhuǎn)矩 m 電電 樞反電勢(shì)樞反電勢(shì)Eb 電樞電流 電樞電流ia 解 解 由輸入端開(kāi)始由輸入端開(kāi)始 按照信號(hào)傳遞順序列寫(xiě)方程按照信號(hào)傳遞順序列寫(xiě)方程 由輸入端開(kāi)始由輸入端開(kāi)始 按照信號(hào)傳遞順序列寫(xiě)方程按照信號(hào)傳遞順序列寫(xiě)方程 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 14 微分方程的建立 例微分方程的建立 例4 L 解解 if Ra f E ia La 解解 由輸入端開(kāi)始 按照信由輸入端開(kāi)始 按照信 號(hào)傳遞順序列寫(xiě)方程號(hào)傳遞順序列寫(xiě)方程 if Eb m ua 號(hào)傳遞順序列寫(xiě)方程號(hào)傳遞順序列寫(xiě)方程 1 電樞回路電壓平衡方程電樞回路電壓平衡方程 di ML b a aaaa E dt di LiRu 2電樞的反電動(dòng)勢(shì)電樞的反電動(dòng)勢(shì) 大小與角速度成正比大小與角速度成正比 方向與電樞電壓方向與電樞電壓 dt d KE m bb 2 電樞的反電動(dòng)勢(shì)電樞的反電動(dòng)勢(shì) 大小與角速度成正比大小與角速度成正比 方向與電樞電壓方向與電樞電壓 相反 電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)系數(shù)已知 為相反 電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)系數(shù)已知 為Kb dt amm iCM 3 電磁轉(zhuǎn)矩方程 電力驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng) 電動(dòng)機(jī)力矩系數(shù)已知 為 電磁轉(zhuǎn)矩方程 電力驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng) 電動(dòng)機(jī)力矩系數(shù)已知 為Cm dd 2 4 電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程 電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)要克服慣性 摩擦以 及負(fù)載 電機(jī)上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程 電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)要克服慣性 摩擦以 及負(fù)載 電機(jī)上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 粘性摩擦系數(shù)為 粘性摩擦系數(shù)為f 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 15 L mm m M dt d f dt d JM 2 2 微分方程的建立 例微分方程的建立 例4 did 擾動(dòng) 是擾動(dòng) 是 一種輸入一種輸入 擾動(dòng) 是擾動(dòng) 是 一種輸入一種輸入 b a aaaa E dt di LiRu dt d KE m bb iCM dd 2 一種輸入一種輸入一種輸入一種輸入 消去中間變量消去中間變量i E M 可得到表示電樞電壓可得到表示電樞電壓u 電動(dòng)機(jī) 電動(dòng)機(jī) amm iCM L mm m M dt d f dt d JM 2 消去中間變量消去中間變量ia Eb Mm 可得到表示電樞電壓可得到表示電樞電壓ua 電動(dòng)機(jī) 電動(dòng)機(jī) 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 m及負(fù)載轉(zhuǎn)矩及負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML之間關(guān)系的微分方程 之間關(guān)系的微分方程 mmm d KCfR d fLJR d JL 23 L m bma m aa m a MR dM LuC dt KCfR dt fLJR dt JL 23 La L aam MR dt LuC dt d m 若以電機(jī)轉(zhuǎn)速為輸出量 則上式可改寫(xiě)為若以電機(jī)轉(zhuǎn)速為輸出量 則上式可改寫(xiě)為 dt La L aambmaaaa MR dt dM LuCKCfR dt d fLJR dt d JL 2 2 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 16 dtdtdt 微分方程的建立 例微分方程的建立 例4 2 La L aambmaaaa MR dt dM LuCKCfR dt d fLJR dt d JL 2 2 TMTTddd 2 若令若令Tm JRa fRa CmKb Ta La Ra Tb fLa fRa CmKb Km Cm fRa CmKb 上式可簡(jiǎn)化為 上式可簡(jiǎn)化為 L mLma ambmma M J T t M J TT uK t TT t TT d d d d d d 2 2 考慮到電樞回路中的考慮到電樞回路中的La一般較小 可以忽略不計(jì) 上式可簡(jiǎn) 化為 一般較小 可以忽略不計(jì) 上式可簡(jiǎn) 化為 Lb MRuCKCfR d JR 若負(fù)載轉(zhuǎn)矩若負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML 0 則 則 Laambmaa MRuCKCfR dt JR amm uK d T amm dt 若電樞電阻若電樞電阻Ra很小可以忽略 則有很小可以忽略 則有Kb ua 即電樞電壓與 即電樞電壓與 電機(jī)轉(zhuǎn)速成正比電機(jī)轉(zhuǎn)速成正比 此時(shí)稱為此時(shí)稱為測(cè)速發(fā)電機(jī)測(cè)速發(fā)電機(jī) 為線性元件為線性元件 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 17 電機(jī)轉(zhuǎn)速成正比電機(jī)轉(zhuǎn)速成正比 此時(shí)稱為此時(shí)稱為測(cè)速發(fā)電機(jī)測(cè)速發(fā)電機(jī) 為線性元件為線性元件 微分方程的建立 例微分方程的建立 例5 直流電機(jī)反饋系統(tǒng) 直流電機(jī)反饋系統(tǒng) 解解 解解 與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不同之處為 與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不同之處為 系統(tǒng)輸入為系統(tǒng)輸入為ur 而不是而不是ua 系統(tǒng)輸入為系統(tǒng)輸入為 r 而不是而不是 a L mLma ambmma M J T t M J TT uK t TT t TT d d d d d d 2 2 eKu aa tr uue 設(shè)放大器沒(méi)有慣性 輸出與輸入成正比設(shè)放大器沒(méi)有慣性 輸出與輸入成正比 測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出為測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出為ut 輸入為 輸入為 tt Ku 消去中間變量得消去中間變量得 d d2 消去中間變量得消去中間變量得 mLma mtabmma M TMTT KK KKK t TT t TT d 1 d d d d 2 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 18 L mLma rma M JtJ uKK d 微分方程的建立 例微分方程的建立 例6 齒輪系運(yùn)動(dòng)齒輪系運(yùn)動(dòng) 分別用下標(biāo)分別用下標(biāo)1和和2代表代表齒輪系運(yùn)動(dòng)齒輪系運(yùn)動(dòng) 分別用下標(biāo)分別用下標(biāo)1和和2代表代表 第一 二級(jí)齒輪的參數(shù) 參數(shù)第一 二級(jí)齒輪的參數(shù) 參數(shù)z為為 齒數(shù)齒數(shù) r為半徑為半徑 J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 f齒數(shù)齒數(shù) r為半徑為半徑 J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 f 為阻尼系數(shù) 并設(shè) 為阻尼系數(shù) 并設(shè) 為角速度 為角速度 M為轉(zhuǎn)矩 為轉(zhuǎn)矩 Mm Mc分別代表原動(dòng)力轉(zhuǎn)矩和負(fù)分別代表原動(dòng)力轉(zhuǎn)矩和負(fù) 載轉(zhuǎn)矩 以載轉(zhuǎn)矩 以 1為輸出列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程 為輸出列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程 解 解 兩個(gè)嚙合的齒輪線速度相等 功率相等 兩個(gè)嚙合的齒輪線速度相等 功率相等 2211 MM 2211 rr 又因?yàn)辇X數(shù)與半徑成正比又因?yàn)辇X數(shù)與半徑成正比 2 1 2 1 Z Z r r 22 根據(jù)力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)靜法 分別寫(xiě)出齒輪根據(jù)力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)靜法 分別寫(xiě)出齒輪1和齒輪和齒輪2的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程 m MMf d J 111 1 1 222 2 2 MMf d J c m f dt J 1111 2222 f dt c 消去中間變量得消去中間變量得 ZZdZ 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 19 2 1 12 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 Z Z MMf Z Z f dt d J Z Z J cm 液位流體過(guò)程液位流體過(guò)程 如圖如圖 Q為流入量為流入量 微分方程的建立 例微分方程的建立 例7 液位流體過(guò)程液位流體過(guò)程 如圖如圖 Q1為流入量為流入量 也是輸入量 也是輸入量 Q2為流出量 為流出量 h為液為液 位高度位高度 為系統(tǒng)輸出為系統(tǒng)輸出 C為水箱的為水箱的位高度位高度 為系統(tǒng)輸出為系統(tǒng)輸出 C為水箱的為水箱的 截面積 截面積 解解 根據(jù)物質(zhì)守恒定律根據(jù)物質(zhì)守恒定律 dt dh CQQ 21 hk gh Q 2 解解 根據(jù)物質(zhì)守恒定律根據(jù)物質(zhì)守恒定律 因?yàn)榱黧w不可壓縮 有因?yàn)榱黧w不可壓縮 有 由于通過(guò)節(jié)流閥的流體是紊流由于通過(guò)節(jié)流閥的流體是紊流 由流量公式得由流量公式得 hk gh Q 2 2 其中其中g(shù)為重力加速度 為重力加速度 為液體密度 為液體密度 為流體系數(shù) 為流體系數(shù) 由于通過(guò)節(jié)流閥的流體是紊流由于通過(guò)節(jié)流閥的流體是紊流 由流量公式得由流量公式得 設(shè)節(jié)流閥開(kāi)度固定 則設(shè)節(jié)流閥開(kāi)度固定 則 g k 2 為常數(shù) 為常數(shù) 消去中間變量消去中間變量Q2 則有 則有 1 Qhk dt dh C 這是一個(gè)一階非線性微分方程這是一個(gè)一階非線性微分方程 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 20 這是一個(gè)一階非線性微分方程這是一個(gè)一階非線性微分方程 微分方程的建立微分方程的建立 列寫(xiě)微分方程要注意列寫(xiě)微分方程要注意 列寫(xiě)微分方程要注意列寫(xiě)微分方程要注意 確切反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 遵循物理定律 確切反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 遵循物理定律 忽略次要因素忽略次要因素 簡(jiǎn)化分析計(jì)算簡(jiǎn)化分析計(jì)算 忽略次要因素忽略次要因素 簡(jiǎn)化分析計(jì)算簡(jiǎn)化分析計(jì)算 系統(tǒng)有幾個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件就是幾階微分方程 系統(tǒng)有幾個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件就是幾階微分方程 由微分方程模型可以直接求出系統(tǒng)在一定初始條件和特定輸入由微分方程模型可以直接求出系統(tǒng)在一定初始條件和特定輸入 由微分方程模型可以直接求出系統(tǒng)在一定初始條件和特定輸入由微分方程模型可以直接求出系統(tǒng)在一定初始條件和特定輸入 下的輸出響應(yīng) 從而可以分析系統(tǒng)的性能 下的輸出響應(yīng) 從而可以分析系統(tǒng)的性能 求解方法之一求解方法之一 拉氏變換與反變換拉氏變換與反變換 求解方法之一求解方法之一 拉氏變換與反變換拉氏變換與反變換 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 21 用拉氏變換求解微分方程用拉氏變換求解微分方程 用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟是 用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟是 對(duì)線性微分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換對(duì)線性微分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換 使微分方程變成使微分方程變成 對(duì)線性微分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換對(duì)線性微分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換 使微分方程變成使微分方程變成 以以s為變量的代數(shù)方程 注意為變量的代數(shù)方程 注意初始條件初始條件的處理 的處理 求解代數(shù)方程求解代數(shù)方程 得到輸出變量得到輸出變量象函數(shù)象函數(shù)的表達(dá)式的表達(dá)式 求解代數(shù)方程求解代數(shù)方程 得到輸出變量得到輸出變量象函數(shù)象函數(shù)的表達(dá)式的表達(dá)式 將象函數(shù)展開(kāi)成部分分式 將象函數(shù)展開(kāi)成部分分式 對(duì)部分分式進(jìn)行拉氏反變換 得到微分方程的解 對(duì)部分分式進(jìn)行拉氏反變換 得到微分方程的解 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 22 拉氏變換 復(fù)習(xí)拉氏變換 復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 0 fssFtf d 0 0 2 2 2 fsfsFstf d d ff dt 2 fff dt 拉普拉斯反變換 拉普拉斯反變換 通常首先進(jìn)行部分分式展開(kāi) 然后查表求拉氏反變換通常首先進(jìn)行部分分式展開(kāi) 然后查表求拉氏反變換 11111 s t 1 1 as e at 1 2 1 s t 3 2 1 2 1 s t 22 sin bs b bt 22 cos bs s bt bs bs 2 2 cos b as bte at 2 sin b bte at 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 23 2 2 bas 2 2 s bas bte 微分方程的求解 例微分方程的求解 例1 dd 2 已知系統(tǒng)的微分方程為已知系統(tǒng)的微分方程為 xy dt dy dt yd 23 2 2 初始條件初始條件為輸入變量為輸入變量設(shè)設(shè)為系統(tǒng)的輸出變量為系統(tǒng)的輸出變量式中式中 120t 求系統(tǒng)的輸出 為 求系統(tǒng)的輸出 為 初始條件初始條件為輸入變量為輸入變量 設(shè)設(shè)為系統(tǒng)的輸出變量為系統(tǒng)的輸出變量 式中式中 15 0 5 0 120 tyyy txxy 解解 對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換得對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換得 解解 對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換得對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換得 s sYyssYysysYs 20 2 0 3 3 0 0 2 s 統(tǒng)輸出的拉氏反變換為將初始條件代入可得系統(tǒng)輸出的拉氏反變換為將初始條件代入可得系 2030520305 22 ssss sY 2 1 23 2 ssssss sY 10510 Y將上式展開(kāi)成部分分式將上式展開(kāi)成部分分式 21 sss sY將上式展開(kāi)成部分分式將上式展開(kāi)成部分分式 tt eety 2 10510 進(jìn)行拉氏反變換得進(jìn)行拉氏反變換得 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 24 y 微分方程的求解 例微分方程的求解 例2 1 00 dy Tyrrt dt 用拉氏變換解微分方程用拉氏變換解微分方程 00 y 解 解 方程兩邊進(jìn)行拉氏變換得方程兩邊進(jìn)行拉氏變換得 sRsYsTsY 整理得整理得 TsssTsTs sR sY 1 111 1 1 1 方程兩邊進(jìn)行拉氏反變換得方程兩邊進(jìn)行拉氏反變換得 T t tt 1 1 T etty 1 r tt 若若 T t e T ty 1 1 T 則則 TsTTs sY 1 11 1 1 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 25 零初始條件下單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù) 零初始條件下單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù) 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 嚴(yán)格的說(shuō) 幾乎所有元件或系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程都是非線性方程 嚴(yán)格的說(shuō) 幾乎所有元件或系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程都是非線性方程 即輸入即輸入 輸出和擾動(dòng)等之間的關(guān)系都是非線性的輸出和擾動(dòng)等之間的關(guān)系都是非線性的 模型精度模型精度即輸入即輸入 輸出和擾動(dòng)等之間的關(guān)系都是非線性的輸出和擾動(dòng)等之間的關(guān)系都是非線性的 模型精度模型精度 越高 模型就越復(fù)雜 通常會(huì)產(chǎn)生越高 模型就越復(fù)雜 通常會(huì)產(chǎn)生非線性非線性 非線性微分方程的求解和控制系統(tǒng)性能研究非常復(fù)雜非線性微分方程的求解和控制系統(tǒng)性能研究非常復(fù)雜 不方不方非線性微分方程的求解和控制系統(tǒng)性能研究非常復(fù)雜非線性微分方程的求解和控制系統(tǒng)性能研究非常復(fù)雜 不方不方 便 便 通常在建立模型時(shí)通常在建立模型時(shí) 會(huì)在模型精確性和可行性之間做出折衷會(huì)在模型精確性和可行性之間做出折衷通常在建立模型時(shí)通常在建立模型時(shí) 會(huì)在模型精確性和可行性之間做出折衷會(huì)在模型精確性和可行性之間做出折衷 考慮 考慮 對(duì)許多系統(tǒng)來(lái)說(shuō)對(duì)許多系統(tǒng)來(lái)說(shuō) 如果研究的是系統(tǒng)在某個(gè)如果研究的是系統(tǒng)在某個(gè)工作點(diǎn)工作點(diǎn)附近的性附近的性對(duì)許多系統(tǒng)來(lái)說(shuō)對(duì)許多系統(tǒng)來(lái)說(shuō) 如果研究的是系統(tǒng)在某個(gè)如果研究的是系統(tǒng)在某個(gè)工作點(diǎn)工作點(diǎn)附近的性附近的性 能 那么把它看作是線性關(guān)系 不會(huì)產(chǎn)生很大的誤差 同時(shí) 能 那么把它看作是線性關(guān)系 不會(huì)產(chǎn)生很大的誤差 同時(shí) 由于線性化以后可以應(yīng)用疊加原理等由于線性化以后可以應(yīng)用疊加原理等 使得研究問(wèn)題非常方使得研究問(wèn)題非常方由于線性化以后可以應(yīng)用疊加原理等由于線性化以后可以應(yīng)用疊加原理等 使得研究問(wèn)題非常方使得研究問(wèn)題非常方 便 因此我們要研究非線性微分方程的線性化 便 因此我們要研究非線性微分方程的線性化 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 26 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 在一定的條件下或在一定范圍內(nèi)把非線性的數(shù)學(xué)模型化為 線性模型的處理方法稱為非線性數(shù)學(xué)模型的 在一定的條件下或在一定范圍內(nèi)把非線性的數(shù)學(xué)模型化為 線性模型的處理方法稱為非線性數(shù)學(xué)模型的線性化線性化 線性化的條件線性化的條件 線性化的條件線性化的條件 小偏差理論小偏差理論或或小信號(hào)理論小信號(hào)理論 在工程實(shí)踐中 控制系統(tǒng)都 在工程實(shí)踐中 控制系統(tǒng)都 有一個(gè)額定的工作狀態(tài)和工作點(diǎn)有一個(gè)額定的工作狀態(tài)和工作點(diǎn) 當(dāng)變量在當(dāng)變量在工作點(diǎn)工作點(diǎn)附近作附近作有一個(gè)額定的工作狀態(tài)和工作點(diǎn)有一個(gè)額定的工作狀態(tài)和工作點(diǎn) 當(dāng)變量在當(dāng)變量在工作點(diǎn)工作點(diǎn)附近作附近作 小范圍的變化時(shí) 就滿足這個(gè)條件 小范圍的變化時(shí) 就滿足這個(gè)條件 在工作點(diǎn)附近存在各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)在工作點(diǎn)附近存在各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù) 在工作點(diǎn)附近存在各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)在工作點(diǎn)附近存在各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù) 線性化的方法 在給定工作點(diǎn)的鄰域?qū)⒎蔷€性函數(shù)展開(kāi)為線性化的方法 在給定工作點(diǎn)的鄰域?qū)⒎蔷€性函數(shù)展開(kāi)為 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 忽略級(jí)數(shù)中的高階項(xiàng)后忽略級(jí)數(shù)中的高階項(xiàng)后 就可得到只包含偏差的就可得到只包含偏差的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 忽略級(jí)數(shù)中的高階項(xiàng)后忽略級(jí)數(shù)中的高階項(xiàng)后 就可得到只包含偏差的就可得到只包含偏差的 一次項(xiàng)的線性方程 這種線性化方法稱為一次項(xiàng)的線性方程 這種線性化方法稱為小偏差法小偏差法 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 27 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 設(shè)非線性函數(shù)設(shè)非線性函數(shù)y f x 如圖所示如圖所示 如果在給定工作點(diǎn)如果在給定工作點(diǎn)y f x 處各處各設(shè)非線性函數(shù)設(shè)非線性函數(shù)y f x 如圖所示如圖所示 如果在給定工作點(diǎn)如果在給定工作點(diǎn)y0 f x0 處各處各 階導(dǎo)數(shù)均存在 則在階導(dǎo)數(shù)均存在 則在y0 f x0 附近將附近將y展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) 展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) xf ff yy f x 2 0 0 0 xx x x f xfxfy yy f x y0 2 0 0 2 2 2 1 xx x x xf x0 x 0 若偏差若偏差 x x x0很小 可忽略級(jí)數(shù)中高階無(wú)窮小項(xiàng) 上式化為很小 可忽略級(jí)數(shù)中高階無(wú)窮小項(xiàng) 上式化為 xx xf xfxfy 0 x xf xx x x xfxfy 0 0 0 xKxx x x xf xfxfyyy 0 0 00 K表示表示y f x 曲線在曲線在 x0y0 處切線的斜率處切線的斜率 因此非線性函數(shù)在工因此非線性函數(shù)在工 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 28 K表示表示y f x 曲線在曲線在 x0 y0 處切線的斜率處切線的斜率 因此非線性函數(shù)在工因此非線性函數(shù)在工 作點(diǎn)處可以用該點(diǎn)的切線方程線性化 作點(diǎn)處可以用該點(diǎn)的切線方程線性化 線性化 例線性化 例1 將液位流體過(guò)程在工作點(diǎn)將液位流體過(guò)程在工作點(diǎn) Q6 1 3Qh dh C 將液位流體過(guò)程在工作點(diǎn)將液位流體過(guò)程在工作點(diǎn) Q10 6 h0 4 處線性化 處線性化 1 Q dt 解解 設(shè)設(shè)hQ3 3 解解 設(shè)設(shè)hQ3 3 hhhQ 3 3 平衡點(diǎn)處有平衡點(diǎn)處有 100 3Qh 將將Q進(jìn)行進(jìn)行線性化線性化 hhhQ h 0 3 3 03 hh 0 3 3hh 7503 將將Q3進(jìn)行進(jìn)行線性化線性化 h h h h 4 0 0 2 3hh 75 03 0 則則 1100 0 75 03 QQhh hhd C 1 75 0Qh hd C 則則 1100 75 03QQhh dt C 則則 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 29 1 75 0Qh dt C 則則 線性化 例線性化 例2 兩相伺服電機(jī)輸入量?jī)上嗨欧姍C(jī)輸入量 輸出量輸出量 設(shè)設(shè)J為電為電 兩相伺服電機(jī)輸入量?jī)上嗨欧姍C(jī)輸入量uk 輸出量輸出量 設(shè)設(shè)J為電為電 動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Mf為負(fù)載轉(zhuǎn)矩 為負(fù)載轉(zhuǎn)矩 M為電機(jī)轉(zhuǎn)為電機(jī)轉(zhuǎn) 矩矩 SMM k u 矩矩 假設(shè)假設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩負(fù)載轉(zhuǎn)矩是電動(dòng)機(jī)角速度的非線性函數(shù) 是電動(dòng)機(jī)角速度的非線性函數(shù) 電樞電樞u驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)矩電樞電樞uk驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)矩 是電動(dòng)機(jī)角速度和電樞電壓的非線性函數(shù) 是電動(dòng)機(jī)角速度和電樞電壓的非線性函數(shù) 則可得則可得則可得則可得 轉(zhuǎn)矩平衡方程轉(zhuǎn)矩平衡方程 kf uMM dt d J 其中兩個(gè)非線性項(xiàng)均需要線性化 其中兩個(gè)非線性項(xiàng)均需要線性化 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) 時(shí)時(shí)u uM MM M dt 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) 0時(shí)時(shí)uk uk0 Mf Mf0 M M0 由于平衡點(diǎn)處由于平衡點(diǎn)處 0 dt d 000kf uMM 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 30 dt f 線性化 例線性化 例2 d 轉(zhuǎn)矩平衡方程轉(zhuǎn)矩平衡方程 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) 時(shí)時(shí)u uM MM M kf uMM dt d J SMM k u 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) 0時(shí)時(shí)uk uk0 Mf Mf0 M M0 平衡點(diǎn)處平衡點(diǎn)處0 dt d 000kf uMM 當(dāng)增加一個(gè)當(dāng)增加一個(gè) 時(shí) 時(shí) uk uk0 u 0 dM dt 0 0 d dM MM f ff k k kk u u MM uMuM 0 0 00 dM k k k f f u u MM uM d dM M dt d J 0 0 00 0 0 0 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 31 線性化 例線性化 例2 k f u u MM d dM dt d J k uddt 0 0 0 dM k k f u u MM d dM dt d J 0 0 0 設(shè)時(shí)間參數(shù)設(shè)時(shí)間參數(shù) 0 00 0 0 M d dM u M K M d dM JT f k m f m 0 00 0 0 k kmm uK dt d T 則則 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 32 dt 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 在處理線性化問(wèn)題時(shí)在處理線性化問(wèn)題時(shí) 需要注意以下幾點(diǎn)需要注意以下幾點(diǎn) 在處理線性化問(wèn)題時(shí)在處理線性化問(wèn)題時(shí) 需要注意以下幾點(diǎn)需要注意以下幾點(diǎn) 上述線性化是針對(duì)元件的某一上述線性化是針對(duì)元件的某一工作點(diǎn)工作點(diǎn)進(jìn)行的 工作點(diǎn)不同 得進(jìn)行的 工作點(diǎn)不同 得 到的線性化方程的系數(shù)也將不同到的線性化方程的系數(shù)也將不同 因此在線性化時(shí)必須確定元因此在線性化時(shí)必須確定元到的線性化方程的系數(shù)也將不同到的線性化方程的系數(shù)也將不同 因此在線性化時(shí)必須確定元因此在線性化時(shí)必須確定元 件的件的工作點(diǎn)工作點(diǎn) 在線性化過(guò)程中在線性化過(guò)程中 略去了泰勒級(jí)數(shù)中二階以上的無(wú)窮小項(xiàng)略去了泰勒級(jí)數(shù)中二階以上的無(wú)窮小項(xiàng) 如如在線性化過(guò)程中在線性化過(guò)程中 略去了泰勒級(jí)數(shù)中二階以上的無(wú)窮小項(xiàng)略去了泰勒級(jí)數(shù)中二階以上的無(wú)窮小項(xiàng) 如如 果實(shí)際系統(tǒng)中輸入量果實(shí)際系統(tǒng)中輸入量變化范圍較大變化范圍較大時(shí) 采用小偏差法建立線性 模型必然會(huì)帶來(lái) 時(shí) 采用小偏差法建立線性 模型必然會(huì)帶來(lái)較大的誤差較大的誤差 線性化后的微分方程通常是線性化后的微分方程通常是增量方程增量方程 在實(shí)用上為了簡(jiǎn)便通常 直接采用 在實(shí)用上為了簡(jiǎn)便通常 直接采用y和和x來(lái)表示增量 來(lái)表示增量 若描述非線性特性的函數(shù)具有間斷點(diǎn) 折斷點(diǎn)或非單值關(guān)系而 無(wú)法作線性化處理時(shí) 則控制系統(tǒng)只能應(yīng)用非線性理論來(lái)研究 若描述非線性特性的函數(shù)具有間斷點(diǎn) 折斷點(diǎn)或非單值關(guān)系而 無(wú)法作線性化處理時(shí) 則控制系統(tǒng)只能應(yīng)用非線性理論來(lái)研究 本質(zhì)非線性本質(zhì)非線性 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 33 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 為何引入傳遞函數(shù)為何引入傳遞函數(shù) 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 為何引入傳遞函數(shù)為何引入傳遞函數(shù) 微分方程模型的優(yōu)缺點(diǎn) 微分方程模型的優(yōu)缺點(diǎn) 比較比較直觀直觀 微分方程是時(shí)間域描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模 型 在給定外作用以及初始條件下 求解微分方程可以得到 微分方程是時(shí)間域描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模 型 在給定外作用以及初始條件下 求解微分方程可以得到 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)系統(tǒng)的輸出響應(yīng) 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)系統(tǒng)的輸出響應(yīng) 借助于電子計(jì)算機(jī)可以迅速而準(zhǔn)確的求得結(jié)果 借助于電子計(jì)算機(jī)可以迅速而準(zhǔn)確的求得結(jié)果 如果如果系統(tǒng)系統(tǒng)的的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)改變或某個(gè)參數(shù)變化時(shí)改變或某個(gè)參數(shù)變化時(shí) 就要重新列寫(xiě)并就要重新列寫(xiě)并 如果如果系統(tǒng)系統(tǒng)的的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)改變或某個(gè)參數(shù)變化時(shí)改變或某個(gè)參數(shù)變化時(shí) 就要重新列寫(xiě)并就要重新列寫(xiě)并 求解微分方程 不便于系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì) 求解微分方程 不便于系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì) 因此因此 微分方程的方法研究控制系統(tǒng)對(duì)于參數(shù)變化或結(jié)構(gòu)形式微分方程的方法研究控制系統(tǒng)對(duì)于參數(shù)變化或結(jié)構(gòu)形式因此因此 微分方程的方法研究控制系統(tǒng)對(duì)于參數(shù)變化或結(jié)構(gòu)形式微分方程的方法研究控制系統(tǒng)對(duì)于參數(shù)變化或結(jié)構(gòu)形式 的改變的分析具有的改變的分析具有局限性局限性 用拉氏變換求解線性系統(tǒng)的微分方程時(shí)用拉氏變換求解線性系統(tǒng)的微分方程時(shí) 可以得到控制系統(tǒng)可以得到控制系統(tǒng) 用拉氏變換求解線性系統(tǒng)的微分方程時(shí)用拉氏變換求解線性系統(tǒng)的微分方程時(shí) 可以得到控制系統(tǒng)可以得到控制系統(tǒng) 在復(fù)域的數(shù)學(xué)模型在復(fù)域的數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)除了表征系統(tǒng)的動(dòng) 傳遞函數(shù)除了表征系統(tǒng)的動(dòng) 態(tài)特性外態(tài)特性外 還可以用以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)性能還可以用以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)性能 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 34 態(tài)特性外態(tài)特性外 還可以用以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)性能還可以用以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)性能 的影響 的影響 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 定義定義 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為的傳遞函數(shù)為零初始條件零初始條件下下 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出 定義定義 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為的傳遞函數(shù)為零初始條件零初始條件下下 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出 量的拉氏變換與系統(tǒng)輸入量的拉氏變換之比 量的拉氏變換與系統(tǒng)輸入量的拉氏變換之比 幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明 幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 不是線性定常的系統(tǒng)是否有傳遞函數(shù)不是線性定常的系統(tǒng)是否有傳遞函數(shù) 不是線性定常的系統(tǒng)是否有傳遞函數(shù)不是線性定常的系統(tǒng)是否有傳遞函數(shù) 零初始條件的含義 零初始條件的含義 1系統(tǒng)的輸入在系統(tǒng)的輸入在t 0時(shí)才作用于系統(tǒng)時(shí)才作用于系統(tǒng) 即在即在t 0時(shí)系統(tǒng)輸時(shí)系統(tǒng)輸 1 系統(tǒng)的輸入在系統(tǒng)的輸入在t 0時(shí)才作用于系統(tǒng)時(shí)才作用于系統(tǒng) 即在即在t 0 時(shí)系統(tǒng)輸時(shí)系統(tǒng)輸 入及其各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)均為零 入及其各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)均為零 2輸入量在加于系統(tǒng)之前輸入量在加于系統(tǒng)之前 系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài) 即在即在t 0 時(shí)輸出時(shí)輸出 2 輸入量在加于系統(tǒng)之前輸入量在加于系統(tǒng)之前 系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài) 即在即在t 0時(shí)輸出時(shí)輸出 及其所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零 及其所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零 不滿足零初始條件的系統(tǒng)是否有傳遞函數(shù)不滿足零初始條件的系統(tǒng)是否有傳遞函數(shù) 不滿足零初始條件的系統(tǒng)是否有傳遞函數(shù)不滿足零初始條件的系統(tǒng)是否有傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的響應(yīng)是系統(tǒng)的響應(yīng)是零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)和和零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)之和 由于線性系統(tǒng)滿之和 由于線性系統(tǒng)滿 足疊加原理足疊加原理 非零初始條件產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)可以看作是某種非零初始條件產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)可以看作是某種 華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院王燕舞 35 足疊加原理足疊加原理 非零初始條件產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)可以看作是某種非零初始條件產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)可以看作是某種 輸入作用下的響應(yīng) 輸入作用下的響應(yīng) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)摒棄了非零初始狀態(tài)對(duì)響應(yīng)的影 響 來(lái)考察系統(tǒng)的特性 摒棄了非零初始狀態(tài)對(duì)響應(yīng)的影 響 來(lái)考察系統(tǒng)的特性 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) dd nn1 dd tcatc dt d atc dt d a mm n n n n n n 1 0 1 1 1 設(shè)線性定常系統(tǒng)由 下述 設(shè)線性定常系統(tǒng)由 下述n階線性常微分階線性常微分 式中式中c t 是系統(tǒng)輸出量是系統(tǒng)輸出量 r t 是系統(tǒng)輸