高考數(shù)學(xué) 3.1任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)配套課件 文 新人教A版 .ppt

第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 三年4考高考指數(shù) 1 了解任意角的概念 2 了解弧度制的概念 能進(jìn)行弧度與角度的互化 3 理解任意角的三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 的定義 4 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 sin2x cos2x 1 tanx 1 三角函數(shù)的定義及應(yīng)用是本節(jié)的考查重點(diǎn) 注意三角函數(shù)值符號(hào)的確定 2 同角三角函數(shù)關(guān)系式常用來(lái)化簡(jiǎn) 求值 是高考的熱點(diǎn) 3 主要以選擇題 填空題的形式考查 1 角的有關(guān)概念 1 定義 角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著它的 從一個(gè)位置 另一個(gè)位置所成的圖形 2 分類 3 終邊相同的角 與角 終邊相同的角可構(gòu)成集合s 端點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)到 正角 負(fù)角 零角 k 360 k z 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 角 為銳角是角 為第一象限角的什么條件 提示 充分不必要條件 因?yàn)殇J角為大于0小于的角 而第一象限角為 2k 2k k z 2 若 是第二象限角 判斷下列表述是否正確 在括號(hào)內(nèi)填 或 k 360 45 k z 90 180 k 360 90 k 360 180 k z k 180 135 k z 解析 k 360 45 k z表示的是與45 終邊相同的角 是第一象限的角 故不正確 90 180 不能表示所有第二象限的角 故不正確 正確 k 180 135 表示的是當(dāng)k為偶數(shù)時(shí) 與135 終邊相同的角 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí) 與315 終邊相同的角 不能表示第二象限的角 故不正確 答案 2 弧度的概念和公式 1 定義 長(zhǎng)度等于 所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角 弧度記作rad 半徑長(zhǎng)的弧 2 公式 角的弧度數(shù)公式 弧長(zhǎng)用l表示 角度與弧度的換算 1 rad 弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)l 扇形面積公式 s 1rad 即時(shí)應(yīng)用 1 337 30 的弧度數(shù)是 2 的度數(shù)為 3 扇形半徑為45 圓心角為120 則弧長(zhǎng)為 解析 1 337 30 表示的弧度數(shù)為 2 的度數(shù)為 3 圓心角120 的弧度數(shù)為 故弧長(zhǎng)l 45 30 答案 1 2 75 3 30 3 任意角的三角函數(shù) 1 定義 設(shè)角 終邊與單位圓交于p x y 則sin cos tan 2 幾何表示 三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示 正弦線的起點(diǎn)都在x軸上 余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn) 正切線的起點(diǎn)都是 1 0 y x 3 誘導(dǎo)公式 一 sin k 2 cos k 2 tan k 2 k z 4 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 平方關(guān)系 商數(shù)關(guān)系 sin cos tan sin2 cos2 1 即時(shí)應(yīng)用 1 已知角 終邊上一點(diǎn)a 2 2 則tan 2 若tan 2 則 解析 1 由角 終邊上一點(diǎn)a 2 2 可知tan 1 2 答案 1 1 2 弧度制的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 弧度制的應(yīng)用 1 引進(jìn)弧度制后 實(shí)現(xiàn)了角度與弧度的相互轉(zhuǎn)化 在弧度制下可以應(yīng)用弧長(zhǎng)公式 l r 扇形面積公式 s lr r2 計(jì)算弧長(zhǎng)和扇形的面積利用弧度制比角度制更簡(jiǎn)捷 方便 2 應(yīng)用上述公式時(shí) 要先把角統(tǒng)一為用弧度制表示 提醒 弧度制和角度制不能混用 解決問題時(shí)要先統(tǒng)一 例1 已知扇形的圓心角是 半徑為r 弧長(zhǎng)為l 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧長(zhǎng)l 2 若扇形的周長(zhǎng)為20cm 當(dāng)扇形的圓心角 為多少弧度時(shí) 這個(gè)扇形的面積最大 3 若 r 2cm 求扇形的弧所在的弓形的面積 解題指南 1 可直接用弧長(zhǎng)公式 但要注意用弧度制 2 可用弧長(zhǎng)或半徑表示出扇形面積 然后確定其取最大值時(shí)的半徑和弧長(zhǎng) 進(jìn)而求出圓心角 3 可直接利用公式求解 規(guī)范解答 1 l 10 cm 2 由已知得 l 2r 20 所以s lr 20 2r r 10r r2 r 5 2 25 所以r 5時(shí) s取得最大值25 此時(shí)l 10 2rad 3 設(shè)弓形面積為s弓 由題知l cms弓 s扇 s 互動(dòng)探究 將本例第 1 小題中的r 10cm改為扇形的弦ab 10cm 再求弧長(zhǎng)l 解析 因?yàn)閳A心角 60 ab 10cm 所以r 10cm l 10 cm 反思 感悟 1 弧度制下的弧長(zhǎng) 扇形面積公式與角度制下的弧長(zhǎng)公式l 扇形面積公式s 有著必然的內(nèi)在聯(lián)系 2 在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)要注意合理的利用圓心角所在的三角形 變式備選 扇形oab的面積是1cm2 它的周長(zhǎng)是4cm 求圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng)ab 解析 設(shè)扇形的半徑為rcm 弧長(zhǎng)為lcm 圓心角的弧度數(shù)為 則有 解得 由 得 2 ab 2sin1 cm 三角函數(shù)的定義 方法點(diǎn)睛 1 三角函數(shù)定義的理解在直角坐標(biāo)系xoy中 設(shè)p x y 是角 終邊上任意一點(diǎn) 且 po r 則sin cos tan 2 定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 1 已知角 終邊上一點(diǎn)p的坐標(biāo) 則可先求出點(diǎn)p到原點(diǎn)的距離r 然后利用三角函數(shù)的定義求解 2 已知角 的終邊所在的直線方程 則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo) 求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題 若直線的傾斜角為特殊角 也可直接寫出角 的三角函數(shù)值 例2 已知角 的終邊在直線3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 解題指南 在直線上設(shè)出點(diǎn) 求出所設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 求得三角函數(shù)值 因?yàn)樗O(shè)點(diǎn)可在不同象限 所以需要討論 規(guī)范解答 角 的終邊在直線3x 4y 0上 在角 的終邊上任取一點(diǎn)p 4t 3t t 0 則x 4t y 3t r po 5 t 當(dāng)t 0時(shí) r 5t 當(dāng)t 0時(shí) r 5t 綜上可知 sin cos tan 或sin cos tan 反思 感悟 1 利用三角函數(shù)定義解題時(shí) 方法比較靈活 若是角 的終邊落到一條直線上 一般要分類討論 2 任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別 銳角三角函數(shù)是任意角的三角函數(shù)的一種特例 它們的基礎(chǔ)是建立于相似或直角三角形的性質(zhì) r 同為正值 所不同的是 銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的 任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離 坐標(biāo)與坐標(biāo)的比來(lái)定義的 它也適合銳角三角函數(shù)的定義 實(shí)質(zhì)上 由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過程 變式訓(xùn)練 已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)p m m 0 且sin m 試判斷角 所在的象限 并求cos 和tan 的值 解析 由題意 得r m 0 m 故角 是第二或第三象限角 當(dāng)m 時(shí) r 2 點(diǎn)p的坐標(biāo)為 當(dāng)m 時(shí) r 2 點(diǎn)p的坐標(biāo)為 變式備選 已知角 的終邊過點(diǎn) a 2a a 0 求 的三角函數(shù)值 解析 因?yàn)榻?的終邊過點(diǎn) a 2a a 0 所以r a x a y 2a 當(dāng)a 0時(shí) 同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 同角三角函數(shù)關(guān)系式的理解 1 同角三角函數(shù)關(guān)系式的基本用途 根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值 求出該角的其他三角函數(shù)值 化簡(jiǎn)同角三角函數(shù)式 證明同角的三角恒等式 2 注意公式的逆用和變形應(yīng)用 sin2 cos2 1 sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 sin cos tan 例3 已知 x 0 sinx cosx 1 求sinx cosx的值 解題指南 先利用平方關(guān)系解第一問 然后利用商數(shù)關(guān)系的值求解即可 規(guī)范解答 1 由sinx cosx 平方得sin2x 2sinxcosx cos2x 即2sinxcosx sinx cosx 2 1 2sinxcosx 又 x 0 sinx 0 cosx 0 sinx cosx 0 故sinx cosx 2 sinxcosx 2 cosx sinx 反思 感悟 1 在利用同角三角函數(shù)關(guān)系式解題的時(shí)候 變形非常關(guān)鍵 同時(shí) 1 的代換也經(jīng)常巧妙的用在里面 使問題得以解決 2 有些題目還用到方程思想 函數(shù)思想 變式訓(xùn)練 2012 杭州模擬 已知 0 且tan 2 則lg sin 2cos lg sin 3cos 解析 由 0 tan 2 得tan lg sin 2cos lg sin 3cos 答案 易錯(cuò)誤區(qū) 同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用誤區(qū) 典例 2011 重慶高考 若cos 且 則tan 解題指南 根據(jù)角所在的范圍 先求出sin 的值 再根據(jù)商數(shù)關(guān)系求出正切值 規(guī)范解答 因?yàn)?cos 所以所以答案 閱卷人點(diǎn)撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 新課標(biāo)全國(guó)卷 已知角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合 始邊與x軸的正半軸重合 終邊在直線y 2x上 則cos2 a b c d 解析 選b 由題意知 tan 2 即sin 2cos 將其代入sin2 cos2 1中可得cos2 故cos2 2cos2 1 2 2011 上海高考 若三角方程sinx 0與sin2x 0的解集分別為e f 則 a e f b e f c e f d e f 解析 選a 因?yàn)?