（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）隨機利率下金融衍生產(chǎn)品的定價.pdf

摘要 最近二十多年來金融衍生產(chǎn)品在全球范圍內(nèi)獲礙迅猛發(fā)展 期權(quán)定價及投 資消費問題越來越引起國內(nèi)外數(shù)學(xué)家 金融學(xué)家的廣泛重視 如何確定金融衍 生產(chǎn)品的公平價格是它們合理存在與健康發(fā)展的關(guān)鍵 在所有的衍生產(chǎn)品定價 中 期權(quán)定價的研究最為廣泛 自1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 建立了著名的期權(quán)定 價模型 b l a c k s c h o l e s 模型以來 期權(quán)定價理論得到迅猛發(fā)展 近年來 國際 金融衍生市場除了人們熟知的歐式期權(quán)和美式期權(quán)之外 還涌現(xiàn)出了大量由標 準期權(quán)變化 組合 派生出的新型期權(quán) 期權(quán)定價理論是現(xiàn)代金融學(xué)的重要組 成部分 促進了金融市場的繁榮 它與投資組合理論 資本資產(chǎn)定價理論 市 場有效性理論及代理問題一起 被認為是現(xiàn)代金融學(xué)的五大理論模塊 本文研究了隨機利率下外匯期權(quán)的定價問題 利用隨機分析的原理和金融 工程的思想 以偏微分方程理論作為主要工具 對隨機利率下外匯期權(quán)的定價 問題做了有益的探索 得到了一些具體結(jié)論 全文共分為五章 第一章 主要介紹了期權(quán)定價理論的意義 起源 發(fā)展 研究動態(tài)和研究 方法以及本文的主要內(nèi)容 第二章 主要介紹了標準歐式期權(quán)的基本定價模型和求解方法 另外還簡 單介紹了一下短期利率模型v a s i c e k 模型 第三章 本文討論了雙幣種期權(quán)的定價問題 這里主要討論了三種情形 固定匯率下的國外看漲期權(quán) 以本國貨幣命名的國外看漲期權(quán)和浮動匯率下的 國外看漲期權(quán) 利用偏微分方程的理論和方法 在匯率服從幾何布朗運動 本 國利率服從短期利率模型v a s i c e k 模型的假設(shè)下分別給出了定價模型和顯式的 定價公式 第四章 在上一章的假設(shè)上進一步討論了亞式雙幣種期權(quán)的定價問題 這 里也討論了三種情形 固定匯率下敲定價服從幾何平均的國外看漲期權(quán) 匯率 服從幾何平均的國外看漲期權(quán) 匯率和敲定價都服從幾何平均的國外看漲期 權(quán) 同樣利用偏微分方程的理論和方法 也分別給出了相應(yīng)的定價模型和顯式 的定價公式 第五章 主要是討論外國利率服從短期利率模型v a s i c e k 模型 匯率服從幾 何布朗運動的歐式觸發(fā)式匯率期權(quán)的定價問題 建立了該期權(quán)的定價模型 并 給出了顯式的定價公式 最后通過實際數(shù)據(jù)分析了解的金融意義 關(guān)鍵詞 期權(quán)定價 隨機利率 亞式期權(quán) 匯率期權(quán) 定價公式 1 i a b s t r a c t t h et h e o r ya n dp r a c t i c eo f d e r i v a t i v e8 e c u r i t i e sh a v e b e e nd e v e l o p e dv e r yf a s ti nt h er e c e n tt w e n t y3 r e a r sa l lo v e rt h ew o r i d m a n ym a t h e n l 8 t i c a ls c i e n t i s t sa n df i n a n c i a le c o n o m i s t s p a ym o r ea n dm o r ea t t e n t i o nt ot h ep r o b l e m so no p t i o n sa n di n v e s t m e n t c o d s u m p t i o n s i n c e 1 9 7 3 i nw h i c hf i s c h e rb l a c ka n dm y r o ns c h o l e sp r o p o s e daf a m o t l so p t i o np r i c i n gr o o d e l b l a c k s c h o l e sm o d e l o p t i o np r i c i n gt h e o r yh a sd e v e l o p e dq u i c k l y r e c e n t l y i na d d i t i o nt o k n o w ne u r o p e a no p t i o n sa n da m e r i c a no p t i o n s t h e r ea p p e a rm a n yn e wv e r i e ww h i c h a r ec h a n g e d c o m p o s e d d e r i v e db yv a n i l l ao p t i o n si ni n t e l 2 1 a t i o n a lf i n a n c i a lm a r k e t o p t i o np r i c i n gt h e o r y t h ei m p o r t a n tp a r to fm o d e r nf i n a n c e h a sp r o m o t e dt h ep r o s p e r i t y o ff i n a n c i a lm a r k e t t o g e t h e rw i t ht h ep o r t f o l i os e l e c t i o nt h e o r y t h ec a p i t a la s s e tp r i c i n g t h e o r y t h ee f f e c t i v e n e s st h e o r yo fm a r k e ta n da c t i n gi s s u e i ti sr e g a r d e db 8o n eo ft h ef i v e t h e o r ym o d f l e si nm o d e r nf i n a n c e i n t h i sp a p e r w es t u d yt h ep r i c i n gi s s u eo ft h ee x c h a n g eo p t i o nu n d e rs t o c h a s t i c i n t e r e s tr a t e w ee x p l o r et h ei s s u eo fp r i c i n gi s s u eo fe x c h a n g eo p t i o na n dg a i nm a t e r i a l c o n c l u s i o n t h em a j o rw o r ki ss u p p o r t e db yp r i n c i p l e so fs t o c h a s t i ca n a l y s i sw i t ht h ei d e s o ff i n a n c i a le n g i n e e r i n g a n dt h i st h e s i si sc o m p o s e do ft h ef o l l o w i n gf i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 t h es i g n i f i c a n c e o r i g i n d e v e l o p m e n t a c a d e m i ct r e n d sa n dr e s e a r c hm e t h o d so fo p t i o np r i c i n ga n dt h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 t h ep a p e rs u m m a r i z e st h eb a s a lp r i c i n gm o d e lo fv a n i l l ae u r o p e a no p t i o n a n dt h es o l v i n gw a yf o rp r i c i n gt h eo p t i o n s a l s ot h em o d e lo fs h o r ti n t e r e s tr a t e v a s i c e k m o d e l a r es i m p l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 w es t u d yt h ep r i c i n go fq u a n t oo p t i o n s t h e r ea r ed i v i d e di n t ot h r e e c a t e g o r i e s f i x e de x c h a n g er a t ef o r e i g ne q u i t yc a l l c a l lo nf o r e i g ne q u i t yd e n o m i n a t e di n d o m e s t i cc u r r e n c y f l o a t i n ge x c h a n g er a t ef o r e i g ne q u i t yc a l l a n dw ed e r i v et h ep r i c i n g m o d e la n dp r i c i n gf o r m u l a so nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ed o m e s t i ci n t e r e s tr a t ef o l l o w st h e v a s i c e ks h o r t r u ni n t e r e s tr a t em o d e la n dt h ee x c h a n g er a t ef o l l o w sg e o m e t r i cb r o w n i a n i nc h a p t e r4 t h ea s i a nq u a n t oo p t i o n sa r ed i s c u s s e d a l a ot h e r ea r ed i v i d e di n t o t h r e ec a t e g o r i e s f i x e de x c h a n g er a t ef o r e i g ne q u i t yc a l lw i t ha v e r a g e ds t r i k e a v e r a g e d e x c h a n g er a t ef o r e i g ne q u i t yc a l l a v e r a g e de x c h a n g er a t ef o r e i g ne q u i t yc a l lw i t h2 v e f a g e ds t r i k e a n dt h ec o r r e s p o n d i n gp r i c i n gf o r m u l a sa n dm o d e la r ed e r i v e d i nc h a p t e r5 w ed i s c u s st h ep r i c i n gf o rac l a s so ft r i g g e r e de x c h a n g er a t eo p t i o no n t h ea s s u m p t i o nt h a tt h ed o m e s t i ci n t e r e s tr a t ef o l l o w st h ev a s i c e ks h o r t r u ni n t e r e s tr a t e m o d e la n dt h ee x c h a n g er a t ef o l l o w sg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n a n dd e r i v e dt h ep r i c i n g f o r m u l a sa n dm o d e l i nt h ef i n a lp a r to ft h i sp a p e r t h ef i n a n c i a lm e a n i n go ft h es o l u t i o n o ft h em o d e li sa l s oa n a l y z e d i k e yw o r d s 0 p t i o np r i c i n g s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e a s i a no p t i o n e x c h a n g er a t eo p t i o n p r i c i n gf o r m u l a i v 論文獨創(chuàng)性聲明 本論文是我個人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的研究成 果 論文中除了特別加以標注和致謝的地方外 不包含其他人或機 構(gòu)已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果 其他同志對本研究的啟發(fā)和所做 的貢獻均已在論文中做了明確的聲明并表示了謝意 作者簽名 日期 論文使用授權(quán)聲明 本人完全了解上海師范大學(xué)有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 即 學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件 允許論文被查閱和借閱 學(xué)校 r 以公布論文的全部或部分內(nèi)容 可以采用影印 縮印或其它手段保 存論文 保密的論文在解密后遵守此規(guī)定 作者簽名 導(dǎo)師簽名 日期 第一章前言 第一章引言 期權(quán) o p t i o n 是指一種能在未來某特定時間以特定價格買入或賣出一定數(shù)量 的某種特定商品的權(quán)利 期權(quán)定價理論是現(xiàn)代金融理論最為重要的成果之一 它 在股票期權(quán)激勵 金融風(fēng)險管理及公司財務(wù)管理中有著廣泛的應(yīng)用 期權(quán)交易起始于十八世紀后期的美國和歐洲市場 但由于制度不健全等因素 影響 期權(quán)交易的發(fā)展一直受到抑制 直到1 9 7 3 年4 月2 6 日芝加哥期權(quán)交易所 c b o e 開張 進行統(tǒng)一化和標準化的期權(quán)合約買賣 期權(quán)交易才規(guī)范化并迅 速發(fā)展壯大起來 現(xiàn)在 期權(quán)交易已經(jīng)遍布全世界 中國的金融市場起步較晚 目前我國的期權(quán)交易還處于試運行階段 但自1 9 9 5 年鄭州商品交易所被接納為 國內(nèi)唯一的 國際期權(quán)市場協(xié)會 會員開始 中國期權(quán)市場發(fā)展已經(jīng)歷了1 0 多 年 1 0 多年來 中國期權(quán)市場從三方面邁出了堅實步伐 即期權(quán)制度體系建設(shè) 期權(quán)市場需求開發(fā)和期權(quán)技術(shù)系統(tǒng)設(shè)計 中國期權(quán)市場發(fā)展的速度越來越快 關(guān) 于期權(quán)的研究將成為2 l 世紀中國期貨業(yè)改革和創(chuàng)新的主旋律 期權(quán)定價的研究工作主要歸納為如下幾個方面 1 鵲b l a c k s c h o l e s 模型 推廣到帶跳的擴散過程和隨機波動情形 以便解釋從實際期權(quán)市場中觀察劉的用 b l a c k s c h o l e s 模型無法解釋的現(xiàn)象 2 研究依賴價格變化路徑的奇異期權(quán)的 定價和它的數(shù)值計算方法 3 研究不完全市場 主要是帶跳的隨機過程或一 般的半鞅過程摸型 中的期權(quán)定價 套期保值或砷沖以及最優(yōu)滇費一投資組合問 題 4 研究帶 摩擦 的金融市場中的期權(quán)套期保值或?qū)? 中 這里所指的摩 擦包括交易費 稅收 買賣價差和各種約束條件 5 帶違約風(fēng)險的期權(quán)定價 問題 6 不對稱信息下的市場交易 期權(quán)定價的方法主要有 b l a c k s c h o l e s 期權(quán)定價方法 二又樹方法 有限差分方法 蒙特卡羅模擬方法 確定性套利方 法 套例定價方法和區(qū)間定價方法 見文獻 9 目前從事期權(quán)定價研究的主 要有如下三類人 概率論和隨機分析學(xué)者 隨機控制論學(xué)者和偏微分方程學(xué)者 近年來 我國研究期權(quán)的人越來越多 對期權(quán)定價理論的研究正方興未艾 按照所賦予的權(quán)利不同 期權(quán)可分為看漲期權(quán) c a l lo p t i o n 和看跌期權(quán) p u to p t i o n 按照執(zhí)行時間的不同 期權(quán)可分為歐式期權(quán)和美式期權(quán) 然而隨著金融市 場的不斷發(fā)展與完善 涌現(xiàn)出許多新型期權(quán) 如兩值期權(quán) 障礙期權(quán) 亞式期權(quán) 回望期權(quán) 彩虹期權(quán) 一籃子期權(quán)等 這些新型期權(quán)的出現(xiàn)既繁榮了衍生證券市 場 又促進了期權(quán)定價理論的發(fā)展與完善 隨著經(jīng)濟全球化的發(fā)展 利率市場的不確定性日益增加 為了抵御利率風(fēng)險 人們正越來越多的使用利率衍生產(chǎn)品 最近二十多年來 海外利率衍生產(chǎn)品市場 發(fā)展很快 在我國 隨著市場經(jīng)濟體制的不斷完善 資本市場逐步開放 利率市 場化的內(nèi)外部條件正在逐步具備 各種利率衍生產(chǎn)品正由各金稻機構(gòu)逐步較快地 推向市場 因此 研究利率衍生產(chǎn)品的定價具有重要的現(xiàn)實意義 上海師范大學(xué)碩士論文 2 利率的一個重要特征是具有均值回歸現(xiàn)象 并且受市場不確定因素的影響而 呈現(xiàn)隨機波動現(xiàn)象 因此v a s i c e k 于1 9 7 7 年首先提出了一個符合上述特點的短期 利率模型 該模型結(jié)構(gòu)簡單 作為衍生債的零息票債價格函數(shù)具有指數(shù)仿射 結(jié)構(gòu)型的表達式 從而容易得到其他利率 后來人們提出了各種其它的隨機利率 模型 除了v a s i c e k 模型外 還有c o x i a g e r s o l l r o h u l l w h i t e b l a c k k a r a s i n s k i 等 模型 2 1 2 2 經(jīng)濟全球化使得各國經(jīng)濟的依存度加大 匯率 本國利率和外國利率形成的 交叉貨幣市場上有關(guān)衍生產(chǎn)品的定價問題已經(jīng)得到了多方面的關(guān)注 本文主要考 慮歐式外匯期權(quán)的定價問題 就本國利率和外國利率都是常數(shù) 匯率服從幾何布 朗運動的情形 文f 1 1 1 2 給出了顯式的定價公式 1 9 9 1 年 a m i n 和j a r r 唧 2 3 就本國利率和外國利率都服從h j m 模型 匯率服從幾何布朗運動的情形 也給 出了顯式的定價公式 本文則就本國利率服從v a s i c e k 模型 匯率服從幾何布朗 運動的情形 討論外匯期權(quán)的定價問題 在第二章中 主要介紹了標準歐式期權(quán)的基本定價模型和求解方法 另外還簡 單介紹了一下短期利率模型v a s i c e k 模型 在第三章中 本文討論了雙幣種期權(quán)的定價問題 這里主要討論了三種情形 固定匯率下的國外看漲期權(quán) 以本國貨幣命名的國外看漲期權(quán)和浮動匯率下的國 外看漲期權(quán) 利用偏微分方程的理論和方法 在匯率服從幾何布朗運動 本國利 率脆扶短期利率模型v a s i c e k 模型的假設(shè)下分別給出了定價模型和顯式的定價公 式 在第四章中 在上一章的假設(shè)上進一步討論了亞式雙幣種期權(quán)的定價問題 這里也討論了三種情形 固定匯率下敲定價服從幾何平均的國外看漲期權(quán) 匯率 服從幾何平均的國外看漲期權(quán) 匯率和敲定價都服從幾何平均的國外看漲期權(quán) 也分別給出了相應(yīng)的定價模型和顯式的定價公式 在第五章中 討論了一種觸發(fā)式匯率期權(quán)的定價問題 文f 6 1 1 7 1 討論了本國利 率和外國利率都是常數(shù) 匯率服從幾何布朗運動下歐式外匯期權(quán)的定價問題 文 f 8 1 則討論了匯率服從幾何布朗運動下歐式觸發(fā)式匯率期權(quán)的定價問題 文 9 9 考 慮了本國利率和外國利率服從遠期利率模型 匯率服從幾何布朗運動的歐式外匯 期權(quán)的定價問題 在本章中 則主要是討論外國利率服從短期利率模型v a s i c e k 模 型 匯率服從幾何布朗運動的歐式觸發(fā)式匯率期權(quán)的定價問題 建立了該期權(quán)的 定價模型 并給出了顯式的定價公式 最后通過實際數(shù)據(jù)分析了解的金融意義 本文是在b l a c k s c h o l e s 框架下來進行討論的 利用結(jié)構(gòu)化方法來建立期權(quán)的 定價模型 并采用偏微分方程的求解方法來求解出相應(yīng)定價模型的解的顯式表達 式 墨三主叁查堡壘壘堡壘 第二章基本概念和理論 早在1 9 7 3 年 b l a c k s c h o l e s 就已經(jīng)假定原生資產(chǎn)價格的變動遵循幾何布朗運 動 從而建 i 連續(xù)情形下原生資產(chǎn)價格變動的行為模型 由此得出了著名的 8 定價模型 m o n t e n 于1 9 7 3 年推廣了該模型 由于他們對期權(quán)定價理論的杰出貢 獻 1 9 9 7 年的諾比爾經(jīng)濟學(xué)獎授予了s c h o l e s 和m o n t e n 本節(jié)將簡單介紹b s 定 價模型1 1 3 b l a c k s c h o l e s 期權(quán)定價模型的基本假設(shè)為 i 無稅收 i i 無交易費用 i i i 無風(fēng)險利率r 股票期望收益率盧和波動率礦均為常數(shù) 且不支付股息 i v 投資者可按無風(fēng)險利率任意的借入或貸出 無買空限制 v 無套利機會 詢股票價格s t 遵循幾何布朗運動 d s t u s t d t 七口s t d z t 罾 礦霹嗇嘲差州姐 黧嚆s t m k 羞 吖淼畦 0 t n 服從正態(tài)分布 它的均值和方差分別為 鼬 吼 儼h r 一 e 叫 啦 v a r q 丟 1 一e 2 2 1 2 2 1 3 這里職 r 表示測度q 意義下的條件期望算子 v a r q i r 表示測度q 意義下 的條件方差算子 由 2 1 1 可見 鼬 t 2 這表明 v a s i c e k 模型下的短期利率均值應(yīng) 島t 當時間8 趨于無窮大時將趨于 蒂數(shù) 當r t 時 聲 s 將下降趨于 當n 時 口 s t 將上升趨于 這種現(xiàn)象稱為均值回歸現(xiàn)象 均值回歸現(xiàn)象在實際經(jīng)濟生活中普遍存在 當 利率偏高時 借款者對資金的需求將減少 結(jié)果回造成利率的下降 當利率偏高 時 借款者對資金的需求往往趨高 從而引起利率的上 于卜 上海師范大學(xué)碩士論文 6 第三章雙幣種期權(quán)的定價 3 1 引言 隨著近年來投資全球化的增長 雙幣種期權(quán)獲得了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展 雙幣 種期權(quán)是這樣一種未定權(quán)益 即期權(quán)的收益取決于國外貨幣下金融衍生產(chǎn)品的價 格 而實際的支付是以本國貨幣來支付 雙幣種期權(quán)的收益函數(shù)可由國外資產(chǎn)價 格和匯率組合而成 因此我們就可獲得許多可選的投資和對沖的機會 文 1 4 中 討論了常數(shù)利率下的標準雙幣種期權(quán) 文1 5 j 中則考慮了常數(shù)利率下歐式雙幣種 期權(quán)的定價 本文討論了本國利率服從短期利率模型 v a s i c e k 模型 下的歐式雙 幣種期權(quán)的定價 盡管在這里利用了文f 4 中的 雙幣種預(yù)洗 法 即修正風(fēng)險中 性下的漂移率和波動率 并模仿了文 5 中的結(jié)構(gòu) 但由于前面的文獻均只考慮 常數(shù)利率下的情況 因此本文的研究及其結(jié)果是有意義的 在這里我們只討論本 國貨幣下的期權(quán)定價問題 國外貨幣下的情況可類似得出 3 2 預(yù)備知識 顯然 隨機利率下的雙幣種期權(quán)有五個獨立變量 即匯率f 國外貨幣下的 資產(chǎn)價格s 本國貨幣下的資產(chǎn)價格s 本國利率r 和時間變量t 注意s 和 s 有如下關(guān)系 s s f 3 1 因此該期權(quán)既可能是變量s f 釅 s r 和t 的函數(shù) 在全文中 則有 見 5 1 d s s d f f d 9 p d r r 和t 的函數(shù) 也可能是s f r 和t 或 假設(shè)這幾個變量服從如下分布 s a l t 口s d z u f d t o f d z 訌鏟m 盯s d z 1 口 扣一r 出 聽d z 3 2 p s u s 諱f p s f 仃s o f 磚 建 碡十2 p s f a s 玎f 磅 7 一q p 卵即即 硌 r q 6 r j q 3 3 假設(shè)d t r 為t 時刻到期支付l 元的本國貨幣下的無風(fēng)險債在t 時刻的價 第三章雙幣種期權(quán)的定價 7 格 則d t r 在風(fēng)險中性世界和以上市場利率模型下所滿足的偏微分方程為 箬刈 籌 2 等一 o 3 t 上述方程的解為 d t r 唧育 日 百 其中 硼 一 1 一唧一 弘 剮 一頁 t 一 t 一 礦6 一 7 2 2 霹 2 t 刁 一一 互f 本文是在b l a c k s c h o l 船框架下進行討論 這里我們根據(jù)雙幣種期權(quán)收益函數(shù) 結(jié)構(gòu)的不同討論了三種情形下的期權(quán)定價 即固定匯率下的國外看漲期權(quán) 以本 國貨幣命名的國外看漲期權(quán)和浮動匯率下的國外看漲期權(quán) 3 3 固定匯率下的國外看漲期權(quán) 該期權(quán)在到期目的收益為 訂 s t r t t f 0 m a x s t x o 其中晶為固定匯率 而為國外貨幣下的敲定價格 定理3 1 該期權(quán)的價值呀 r t 滿足如下微分方程 籌州 磐 碚s 等 i 1 2 鏟磐 砰箏 p r s 盯r a s s 籍卅一o 證 在t 時刻構(gòu)造投資組合 n 竹一a s f 一 2 d 使得i i 在時段 t t d t 內(nèi)是無風(fēng)險的 因此 d i i m 口一 i f d s a d s d f 一 1 f s q d t 一 2 d d r 眨一 l s f a 2 d d t 3 5 由i 公式有 d d 署出 百c g d 咖 等出咖 o 6 一r 百o d o 籌 d t 12 等如 ?；I握 3 6 上海師范大學(xué)碩士論文 8 珊 百o v 2 出 等m 等辦 籌娜 磐打打 驀玀辦 警疵 r s 籌班州a r 警出十 以妒磐出 扣籌出 n s 四西s 蒜出 即s 等協(xié) 西磐蜴 3 把 3 6 3 7 代入 3 5 式 消除風(fēng)險項 取 啦 等 螗辨 再把它代入 3 5 式得呀 sr t 所滿足的p d e 為 警州 百o v 2 椰磐 磐 扣磐 p s o o s s 籍卅 o 3 s 記方程 3 8 為c 呀 0 那么定解問題為 伽v 2 s 慧r tt f o m a x s r 噸0 3 9 i 一鼉 o p 利用偏微分方程的方法求解定解問題 3 9 可得如下定理 定理3 2 若滿足假設(shè)條件 3 1 一 3 4 則定解問題 3 9 有如下解析解 昭 s r t 昂 t 一 s e 延乒 d 1 一曲e 簪 池 其中 z 表示標準正態(tài)分布函數(shù) 露 去j 乙e 一譬幽 f 譬鏟0 d s 一 正鏟 s 如 d l 墮掣掣墮 如娟一以 m k 彳 一 如2d i 一 證 作變換c 沲t 善 z 告 則定解問題 3 9 變?yōu)?f 瓦d u 1 叭 z 2 硪鏟u 碟 r z 荔 o 3 1 0 u z r 蜀m a x 巧一 磚 一 其中 鏟 擊 箬 2 暉2 以一軌s 田聽吉等 a q 2 磅一2 p v s a s a 一a 再作變換 i n z 則 3 1 0 變?yōu)?囂身雪髡蓑攔孝刨 江 第三章雙幣種期權(quán)的定價 9 其中聲 t 6 一r i 孑 r 令c 茹 t 礦 祁口一o w x t 其中 口 一參 盧 一豎2 y 2 則 3 1 1 變?yōu)?罾 卻 等一o 瓦裔至宣稿礦嘞咄 再作變換7 詹鏟 s d s t f 鏟 s d s f p r 則上述問題變?yōu)?面o w 一 鬻 o 1w 簏 z 0 f 茹 二麓 一一m 積 一研 0 i i p z r e 一 m 積 一研 o 由p o i s s o n 公式可得 腳 去e e 一喏帕 如 志e e 一咩帥 將上面的計算結(jié)果回代可得定解問題 3 9 的解的表達式為 垤 只r 幻 f e o r t s e 壁 歸 d 1 一x f 8 c n d 2 1 3 4 以本國貨幣命名的國外看漲期權(quán) 該期權(quán)在到期日的收益為 堙 s t f r 竹 t m a x 島s t 一翱 m a x s 一茹d o 其中 a 為本國貨幣下的敲定價格 顯然瑤 只只r t 呀 n f 由文 5 可知只要確定磅 碟 那么類似定理1 我們就完全可以得到略 s 只r t 滿足的偏微分方程 定理3 3 堙 s 只r t 滿足如下微分方程 絲o t a b r 警 髻 磋f a b 曙y 弘s 2 魯 a f f 鐘 麗9 砰警 s s 慧m 叩f f 淼協(xié)卿啦s 怒州姐 上海師范大學(xué)碩士論文 1 0 由定理3 2 直接可得曙 s r t 滿足的解析式 因此我們有下面的定理 定理3 4 該期權(quán)的價值呀慨f r t 為 v d 2 s f r t 蠟 r t 汁 妒e 止乒 d 3 一托e 孛 d 4 其中 z 表示標準正態(tài)分布函數(shù) 去屁e 一譬幽 f 譬鏟 s d s 一 丘鏟 s d s d 3 墮 塑 也 也一以一蒡 p 荔 v c 口 口 鏟 芽z 碡一2 冉s 呀聽五藏t 礙 一r 一 護 若該期權(quán)在到期日的收益為 增 s t 砰 r t 功 e t m a x s t 一西 0 則垤 s t 斥 r 丁 b 垮 s t 印 t m a x s t x 0 顯然堙 s f r t f 呼限r(nóng) t 同理我們可知 叼慨e r t 有與曙慨只r t 完全相同的微分方程 只是此時終值條件發(fā)生了改變 又由定理3 2 直接可得昨 s r t 滿足的解析式 注意 此時漂移項磅變?yōu)? 岔因此有如下結(jié)果 定理3 5 該期權(quán)的價值呀 se r t 滿足 v 2 s f r t f 叼 只 e o r t p e 止 盥 蟊 一恐e 孛 如 其中 z 表示標準正態(tài)分布函數(shù) z 了1 鬲j e 譬幽 f f 擴 s 如一 露鏟 s 如 如 墮豢嬰 矗 d l 一伲一嘉忙署 c 口 z 叮 鏟 矛磚 磚一2 p r s 即西五面 t 一r 一 孑2 t 證明與定理3 3 是類似的 在此略去 第四章亞式雙幣種期權(quán)的定價 第四章亞式雙幣種期權(quán)的定價 4 1 引言 亞式期權(quán)是一張期權(quán)合約 在期權(quán)到期日的收益依賴于在整個或部分期權(quán)有 效期內(nèi)原生資產(chǎn)所經(jīng)歷的價格平均值 取平均值的過程有兩種形式 一種是離散 的 一種是連續(xù)的 在期權(quán)合約中平均值的形式也有兩種 一種是幾何平均而另一 種是算術(shù)平均 由于人們對算術(shù)平均比對幾何平均更容易理解 因此在金融市場 中采用算術(shù)平均亞式期權(quán)比幾何平均亞式期權(quán)更普遍 但是我們注意到在b l a c k s c h o l e s 框架下原生資產(chǎn)的價格和匯率都假定為服從對數(shù)正態(tài)分布 因此從計算期 權(quán)金的角度看 幾何平均亞式期權(quán)要比算術(shù)平均亞式期權(quán)簡單得多 在下面分析 亞式雙幣種期權(quán)的定價中我們總是假設(shè)平均值是連續(xù)的幾何平均的形式 現(xiàn)在假設(shè)在區(qū)間 0 硼上取平均值 其中t 是期權(quán)到期日 t 表示當前時間 且0 tst 原生資產(chǎn)價格過程s 在 0 t 上的連續(xù)幾何平均定義為 e 印 m t n 洲r(nóng) 同樣地可以定義匯率f 的連續(xù)幾何平均 其中 皤 唧 搿h 即 打 0 t s r 4 1 0 t t 4 2 假設(shè)d t r 為t 時刻到期支付1 元的本國貨幣下的無風(fēng)險債在t 時刻的價 格 則d t r 在風(fēng)險中性世界和以上市場利率模型下所滿足的偏微分方程為 署州 籌 爭第一r d o 4 s 上述方程的解為 d t r 唧酗r 幅 t 其中 一1 1 e x p c t t 忡 拯蚶等必一掣 4 2 固定匯率下敲定價服從幾何平均的國外看漲期權(quán) 該期權(quán)在到期目的收益為 v t 品 印 g 昂m a c 曲一g 圣 0 上海師范大學(xué)碩士論文 其中晶為固定匯率 定理4 1 該期權(quán)的價值滿足下面的微分方程 警刊a r 警 瑤s 等 蠆1 2 萬o a t v a 4 i 警 伽聽啊s 籍 字h 毒 籌一r 呀 o 4 a 證明 在t 時刻構(gòu)造投資組合n i i 四一 x 1 s f o 一 2 d 使得i i 在時段 t t d t 內(nèi)無風(fēng)險 因此 由i t 公式衣 d i i 卅一 l 昂d 一 2 d d r 略一 1 s f o a 2 d d t 4 5 d d t 箸出 籌辦 云l 麗a 2 d 打d r d 6 一r 石o d 百o d 疵 j i 2 等出 西等d z r 4 6 明 籌出 等拶 籌辦 籌a s 稻 哇箏撕 器姍 畿犯s 籌疵 r s 籍鞏 口 6 叫百a r t 疵 1 一2c e i 拶2 v 2 出 匆箏蝓嘶s 驀出 c r s s 等掘 珥等餌 畿甄 4 z 把 4 6 4 7 代入 4 5 消去風(fēng)險項 取 年去籌 赴 笳 再把它代入 4 5 式得呀 只r j g s t 所滿足的p d e 為 籌 o a v l 磋s 等 如s 2 碧 互1 磚箏 p r s a r a s s 籍 孚h 麥 籌一r 呀 o 4 8 第四章亞式雙幣種期權(quán)的定價 記方程 4 8 為c 呀 0 那么定解問題為 錈窿 辭 昂m 叫島一四川 4 9 利用偏微分方程的方法求解定解問題 4 9 可得如下定理 定理4 2 若滿足假設(shè)條件 3 1 3 4 則定解問題 4 9 有如下解析解 呀 sr g 函t d 蜀 口一t e 絲出q 蘭 絲 西 一e 6 高 d 8 1 x q z 表示標準正態(tài)分布函數(shù) 去j 乙e 譬玉 f2 r s d s f 2 r s d s z 擊i n 譬 鞣 u 三霉b u d 鬻1 i o u 書護等 螂 再作變換廳 互t 西u z 考 那么 4 1 0 就化為 豢梨護a uc 翳o u zf o m a x 1 妒一o 即 一e 糾r o 礴乏豢鬟 1 親2 1c 2 d 籌 郵 丟等 m r 法等 肼s 田西擊箸 i 咋西麗 碚一吐 令療 互t e a z 郇仃一o w 蜀t 其中口 p t 2 7 t m t 一礦 t 鉀 t 則上 述定解問題可轉(zhuǎn)化為 稿o w c 竺蠢盞一 圭查塹堇盎堂塑 笙圭 一 三生一 作變換r 2 7 s d s n 口z y s a s f t 一f 則 4 1 2 就轉(zhuǎn)化為 頁aw裔l蓊儼ww z蘭e a z 腫呻 肛m i 0 妒 z f 0 m a x 1 一e 糾1 o 由p o i s s o n 公式可得 wcz 去廣 一哮妒 s dscz 2 了彖上 8 一 礦妒 5 喜 一迢 一m r 1 一 手 d 5 麗 一 8 8 叭 嚴5 再把它回代到 4 9 即可得 訂 s 亡 d f o e p c r q e 皿華絲 d 7 一e 蜘掣 d 8 司 4 3 匯率服從幾何平均的國外看漲期權(quán) 該期權(quán)在到期日的收益為 謹 島 r t 礙 t 睇 l a x 曲一x o 顯然 此時瞄滿足的p d e 方程與砑完全相似 只是把含有g(shù) s 微分項換作g f 的微分項即可 即有下面的定理 定理4 3w 兩足的p d e 力 磐 口 a r 警 磅s 磐十弘12 妒籌 互1 霹籌 怕西即s 纂 字 n 殺 籌一r 蠟一o 記t y a 4 1 為 增 0 那么增滿足如下定解問題 黥 蕊恥哪s t x o m a x s t 1 咐 島 行 睇 t 哪 我們知道此時在國外貨幣下 該期權(quán)在到期目的收益可表示為 v s r 島舟g t 警m a x 潞一x i f c p o c 4 1 4 2 蔓里主堊查墨至壁塑壑墮塞壘二 旦 疆蒸籜畦愕汪 切一s f s 磊 宰h a 鬻一r 吩 0 t 嬋 3 記上述方程為c 巧 0 那么坼滿足如下定解問題 w 啉c v s m o 铞 即 一m a x s t 也0 h 4 1 坼 曲 仰 g 善 即 一五 o 弘 現(xiàn)在我們只要求出巧的值 那么馬上由垤 f 巧可得垤的值 因此有下面的 定理 定理4 4 垤有如下解析解 增 只g p t f g d e p 口一4p 虹出孚生地 d 一x e 互譬墮坦 d 其中n 表示標準正態(tài)分布函數(shù) z 去 e 一譬缸 f 露2 7 8 幽一 南 鯉業(yè)艫 小咝學(xué) 證 現(xiàn)在我們來求解定解問題 4 4 作變換礦 r t v s l g f 婀 則定 解問題 4 4 化為 其中 4 5 4 6 塑鏟扣絲盼 妒 甲q 爭艫 拶一一蛹嘴蕊 馨一 t r即儼乒 致 r 叩幣 p 裨 一 毋鐘 翮槲 砉 黧簦礱瑤巾器心 再作變換礦 z t w d z 霉 d 旯l j 上面定解問題就化為 其中 耨c 竺躲獸象郇肛 4 8 4 9 4 o z 外 e a z p 口一n w z t 其中d 一面 t 2 彳 t 盧一一矛 2 4 彳 贏 那么 4 9 就變?yōu)?弱嗟魏一 吵 作變換1 露2 s d s p f 2 r s d 8 f r 下 則上面的問題又變?yōu)?薪o w 1 甄0 2 w 酬 z 嘞吵 由p o i s s o n 公式可得 眥撲麗1e e 一嘻帥沖 志 e 掣e 一 i n s x t 出 再把它回代到 4 4 又由增 f 巧就可得式所需的結(jié)論 4 4 匯率和敲定價格都服從幾何平均的國外看漲期權(quán) 4 1 0 翌鏟 缸 i 蘇篡 唔加翌艄 稀簍一 鯽一所卜 q z dd一 荔而 j戶r 0 喲耖粥 一 2s 一 卅加竺慨取 一 一d j l l l i i 訂訂p科湖雄 第四章亞式雙幣種期權(quán)的定價 1 7 該期權(quán)在到期日的收益為 略 島 r t 舔 解 t 鮮m a x 一 皤 o 這里增滿足的方程與呀和垤完全相似 只是此時g 和舔作為獨立項 同時出現(xiàn)在增中 那么在w 的微分項中同時擁有了g 和g 吾的微分項 因此 我們完全可用同樣的方法得到叼的微分方程 定理4 5 垤滿足如下的偏微分方程 警州 磐刪s 籌 磚鏟警 秒12 掣 腫 s 纂 丁g f m 瓦f 麗o v i d 孚l n 葛 籌一r 增 o 4 1 2 此時曙要滿足如下的終值條件 增 曲 仰 醒 g t g m a x s w 一 舔 0 下面我們來求上面問題的解 這里同時參照4 2 和4 3 中的方法可求得叼的 值 與4 3 類似 此時在國外貨幣下該期權(quán)在到期目的收益可表示為 y 衙 f r 仰 舔 睇 刃 警m a x 涵一鋁 o 胛 此時h f r g s g f t 滿足方程 魯十d 6 叫警 s 等 砟f 籌 靠妒碧 扣碧 磚鏟碧 矗 s 霎岳 西盯 羔魯 p f s 即時f s i 蔫 宰h 磊 籌 字h 毒 籌一r 巧 記上述方程為 巧 0 那么巧滿足如下定解問題 4 1 3 瑟菇r o t 罐 g 丁 譬m a x 昂一 四 0 4 th i 島 罐 g 丁 譬m a x 昂一 四 o 毛1 4 現(xiàn)在我們只要求出巧的值 那么馬上由昭 f 巧可得昭的值 因此有下面的 定理 定理4 6 瞪有如下解析解 嵋 s r f g f 甌 t d f s g f f 歸 e 孛 d 1 一e 絲娣絲 d 1 2 上海師范大學(xué)碩士論文 證 現(xiàn)在我們只需要求出巧的值即可 作變換c 小 鼎 z 池警 則 4 1 4 就化為 其中 黧鬟妒矗囂 佳塒 積t 幣t 2 p 卵以即一班一 碚t 靠 t 口 6 一r 脅s 西如一幣 p r p a r a e 4 1 6 面兩 一 6 醇 嘉 一亍t 船 卿即一r 再作變換療 z t u d z x o 則上面定解問題就化作 其中 u鬻 z側(cè)荔例器一洶 t max 1 ez t u z t m a x 1 l 4 1 7 遺1 0d一 m 伍 茅砰 等 2 墮t 2 去 肼 豇吾警 a m 磊 面瓦 l 螃去籌 扣去等 兩 如 令廳 z e a z 口 t 一 互t 其中q 一歷 t 2 幣 t 盧 一伍2 t 4 2 5 t 麗 幻 那么 4 1 7 就變?yōu)?百o w w z 梨t 簍m 扎a x 1 掣 1 e 1 2一e 1 o 作變換r f d 2 r s d s p j 2 r s d s f p f 則上面的問題又變?yōu)?磊ow 1磊o w0 z m a x 1 一0 礦 z 妒 z e 一 z e 糾1 4 1 9 4 2 0 第四章亞式雙幣種期權(quán)的定價 1 9 由p o i s s o n 公式可得 互f 麗1i i 0 0 一哮 d s 去 e 一哮e 一 1 e j r 幽 再把它回代到 4 1 4 即可得 v a s r f c f 國 t o s c a f 2 t e i t 卅 e 孛 d 一e 絲墚業(yè) d 1 2 上海師范大學(xué)碩士論文 2 0 第五章觸發(fā)式匯率期權(quán)的定價 5 1 引言 隨著經(jīng)濟全球化的發(fā)展趨勢越來越明朗 世界范圍內(nèi)的貿(mào)易交流逐漸頻繁 而由于各國貨幣間的匯率不是恒定不變的 這使得交易過程中會由于貨幣兌換的 變動而產(chǎn)生額外的風(fēng)險 因此 能夠合理利用金融市場上的匯率期權(quán)達到規(guī)避風(fēng) 險和套期保值的目的對于當今社會的發(fā)展是具有重要的實際意義 為了正確合理 地運用匯率期權(quán) 對其進行合理的定價是極其必要的 本文討論了一種觸發(fā)式匯率期權(quán)的定價模型 這類期權(quán)的定價分析可以就本 國利率 外國利率和匯率變化的不同形態(tài)和不同模型假設(shè)進行討論 文 1 和 2 中討論了匯率服從幾何布朗運動的b l a c k s c h o l e s 框架 本國利率和外國利率都是 常數(shù) 下歐式外匯期權(quán)的定價 文 3 中則討論了匯率服從幾何布朗運動的b l a c k s c h o l e s 框架下歐式觸發(fā)式匯率期權(quán)的定價模型 文 4 考慮了本國利率和外國利 率服從遠期利率模型 匯率服從幾何布朗運動的歐式外匯期權(quán)的定價問題 本文 則討論了外國利率服從短期利率 v a s i c e k 模型 匯率服從幾何布朗運動的歐式觸 發(fā)式匯率期權(quán)的定價問題 建立了該期權(quán)的定價模型 并給出了定價公式 本文所要分析的外匯產(chǎn)品是2 0 0 5 年渣打銀行推出的一支名為 匯弄4 投資創(chuàng)新 的美元理財創(chuàng)新產(chǎn)品 該產(chǎn)品是一個比較典型的觸發(fā)式匯率產(chǎn)品 該產(chǎn)品具體的 合同條款如下 1 該產(chǎn)品最低投資額度為2 萬美元 投資期限為3d q 2 該產(chǎn)品的基本收益率為5 以投資人投資日當天的澳元對美元的匯率為 基準 o 1 5 設(shè)為觸發(fā)匯率 一o 0 5 設(shè)為協(xié)定匯率 3 3 個月內(nèi)任意一天如果澳元對美元的匯率達到或超過了觸發(fā)匯率水平 那 么投資者可以在當天提前取回所有的收益 并在3 個月期滿時拿回本金 4 若在3 個月內(nèi)澳元對美元的匯率始終沒有達到觸發(fā)匯率水平 那么在到期 日時 投資者可以取得約定的收益 但本金的取得有以下規(guī)定 1 若到期日 澳元對美元的實際匯率達到或高于協(xié)定匯率 那么投資者可以取回本金 2 若到期日澳元對美元的實際匯率低于協(xié)定匯率 那么本金將按照協(xié)定匯率兌換成 澳元返還給投資者 這個合同是一個與匯率有關(guān)的定期存款合同 而事實上由于該合同有一個可 第五章觸發(fā)式匯率期權(quán)的定價 能提前支取利息的條款和期末由于實際匯率與協(xié)定匯率間的關(guān)系而產(chǎn)生的支取本 金的不同方案的條款 我們其實可以將這份合同看成是一個隱含的關(guān)于匯率的期 權(quán)合同 合同中又規(guī)定了在匯率達到合同約定的水平的時候 持有人是可以提前 支取利息的 這一條款實際上是一種觸發(fā)式期權(quán)的條款 這個匯率水平被稱為觸 發(fā)點 而如果匯率始終沒有達到合同中規(guī)定的匯率水平 那么合同持有人將在到 期日支取本金和利息 因此這是一份非標準的歐式期權(quán) 從上面的分析可以看到 我們可以將這份存款合同看著是一份歐式觸發(fā)式匯 率期權(quán) 假設(shè)它的面值是1 美元單位 本文將通過合同中給出的條件建立模型 求出這份期權(quán)理論上內(nèi)含的價值 本文中我們給出以下假設(shè)條件 i 市場不存在套利機會 i i 忽略交易摩擦產(chǎn)生的損失 手續(xù)費 稅收等 i i i 匯率變動遵循幾何布朗運動 0 q 半 r t r a t 蒯叫 5 1 這里 表示t 時刻澳元對美元的匯率 1 澳元 s 美元 r 表示美元的利率 r t 表示t 時刻澳元的利率 w 為標準布朗運動 盯為市場波動率 澳元利率采用v a s i c e k 模型 d r t o 6 一r t d