（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）若干偏微分方程的基于自然邊界歸化的區(qū)域分解算法.pdf

北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 有限元法 邊界元法以及廣義差分法是求解許多工程問題的常用的數(shù)值方法 邊界 元方法適于求解線性 均凄淘題籠界區(qū)域蠡題 但是受翔題及區(qū)域蘸復(fù)雜性熬限制 有 限元及有限體積法臻l 適用于有界區(qū)域 可以求解囂線性酶 囂均質(zhì)的潤題 自然邊賽元 法是中國學(xué)者首次提出的一種邊界元方法 該方法不但有 般邊界元方法所共有的優(yōu) 點 褥盈還有許多獨特數(shù)健點 無界區(qū)域上謫微分方程邊值閥題酶求解一謄餐受天韶關(guān)注 入衍嘗試著嗣各種數(shù)值 方法來克服由區(qū)域無限性所帶來的困難 另一方面區(qū)域分解算法已成為近年來計算數(shù)學(xué) 研究的熱門領(lǐng)域 本文基于耋然邊界鷹純方法 研究無界區(qū)域芝對予各向異性常系數(shù)橢囂型鑣徽分方 程河題的一種重疊型區(qū)域分解算法 本文還將c c 型對偶剖分的廣義差分法與自然邊界元方法相結(jié)合 解決 類半線性 各南羿性橢圓型鄉(xiāng) 邊值翹題 第一章奔綴本文的研究蠢容 該課題的研究意義 研究現(xiàn)狀 發(fā)展趨勢以及有關(guān) 有限黨 自然邊界麗 廣義差分法的基本理論 第二章 提出對于各項異性常系數(shù)橢 圓型偏微分方程問趣的一種重疊型區(qū)域分解算法即s c h w a r z 交替算法 證明了在連續(xù)情 形下最大模意義下鰱凡鷹迭我收斂性并逶過f o u r i e r 分橋墩及共焦糕匿邊界的性質(zhì)獲得 了不依賴各項異性程度的最優(yōu)的迭代收斂因予 利用極值原理證明了離散情形下得幾 何收斂性 得到了迭代收斂解的誤差估計 進一步精細(xì)的分析了壓縮因予并與數(shù)值例 子一致 最后 數(shù)值結(jié)果證實了理論分耨憋正確性 也迸一步證驥了在無界區(qū)域上解 各項異性橢圓鍪偏微分方程的優(yōu)越性 第三章 將c c 型對偶測分的廣義差分法與自然 邊界元方法相結(jié)合 解決一類半線性各向異性橢圓型方程外邊值問題 利用廣義差分 法進行離散純 得劐差分格式 形成菲線性方程組 根據(jù)有限元與妻然邊界元誤差估 詩理論和廣義差分法黼值理論 獲得一酚的誤差估計 關(guān)鍵謠 偏微分方程數(shù)值解法 燹界區(qū)域 半線性各向異性闖題 有限體積元 奩然 邊界歸化 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 o nt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o df o rs o m ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sb a s e do n t h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n a b s t r a c t b o t ht h eb o u n d a r yd e m e n tm e t h o d b e m a n dt h ef i n i t ed e m e n tm e t h o d f e m a r e r c c o g n i z e dn o w a sg e n e r a ln u m e r i c a lm e t h o d sw h i c ha r ea p p l i c a b l et oaw i d ev a r i e t yo f e n g i n e c d n gp r o b l e m s i ng e n e r a l 讎b e mi sm o r es u i t a b l ef o rp r o b l e m so v e ru n b o u n d e d d o m a i n s w h i l ei ti su s u a l l yc o n f i n e dt ot h er e g i o nw i t hh o m o g e n e o u sm a t c 纛武w h e r et h e g o v e r n i n ge q u a t i o n sa r cl i n e a r 0 n 曲o t h e rh a n d 骶f e m i sr e s t r i c t e dt oab o u n d e dr e g i o n w h e r e a si ti sa p p l i c a b l et op r o b l e m sw h e r et h em a t e r i a lp r o p e r t i e sa r en o tn e c e s s a r i l y h o m o g e n e o u sa n dn o n l i n e a r i t i e sm a y 蝴芯低n a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d 刪b e 的 n o to n l yh a st h o s ea d v a n t a g e st h a to t h e rb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d sp o s s e s s b u ta l s oh a ss o m e d i s t i n c t i v ea d v a n t a g e s i ti sa l w a y sp a i dc l o s ea t t e n t i o nt os o l v i n gt h eb o u n d a r yp r o b l e m so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n p d e o v e ru n b o u n d e dd o m a i n s l o t so fn u m e r i c a lm e t h o d sw e r et r i e dt od e a lw i t h d i f f i c u l t ya r i s e df r o mt h ei n f i n i t yo ft h ed o m a i n s o nt h eo t h e rh a n d d o m a i nd e c o m p o s i t i o n m e t h o d d d m h a sb e e na si m p o r t a n tf o c u si nt h ef i e l dc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s w es t u d y a k i n do fn u m e r i c a lm e t h o dt os o l v et h ee l l i p t i cp r o b l e m so v e ru n b o u n d e dd o m a i n sb ym e a n so f o v e r l a p p i n ga r i dn o n o v e r l a p p i n gd d m f i r s tw oi n v e s t i g a t ea r to v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o db a s e d0 1 3 t h en a t u r a l b o u n d a r yr e d u c t i o n0 1 1e l l i p t i cb o u n d a r y 緬 a n i s o t r o p i ee l l i p t i c p d ew i t hc o n s t a n t c o e f f i c i e n t si na nu n b o u n d e dd o m a i n s e c o n dw ec o m b i n et h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d so nc cd u a ls u b d i v i s i o nw i t ht h e n a t u r a lb o u n d a r yd e m e n tm e t h o dt os o l v eak i n do fa n i s o t r o p i ea n ds e m i l 證e s re l l i p t i cp d e 舔 a nu n b o u n d e dd o m a i n i nc h a p t e r1 w om a i n l yi n t r o d u c et h ec o n t e n t so fr e s e a r c h t h em e a n i n go fr e s e a r c h t h e s t a t u so fr e c e n tr e s e a r c h e s t h et e n d e n c yo fd e v e l o p m e n ta n ds o m eb a s i cl m o w l e d g eo ff i n i t e e l e m e n t b o u n d a r ye l e m e n ta n dt h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d s 髓ec o n t e n t sa r ei m p o r t a n t t h e o r e t i c a lb a s e so ft h i sp a p e ra n dw i l lb er e f f e r e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s i nc h a p t e r2 w o i n v e s t i g a ma no v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o db a s e do nt h en a t u r a lb o u n d a r y r e d u c t i o no i le l l i p t i cb o u n d a r yf o rt h ea n i s o t r o 丞ee l l i p t i c 蹴w i t hc o n s t a n tc c d j 5 l c i 鍵蜒i na n u n b o u n d e dd o m a i n w ep r o v ei t sg e o m e t r i ci t e r a t i v ec o n v e r g e n c ew i t hm a x i m u mn o r mi nt h e c o n t i n u o u sc a s ea n do b t a i na no p t i m a li t e r a t i o nc o n v e r g e n c ef a c t o r w h i c hi si n d e p e n d e n to f t h ea n i s o t r o p i ed e g r e e b yu s i n gf o u r i e ra n a l y s i sw i t hc o n f o c a le l l i p t i cb o u n d a r i e s w ea l s o p r o v ei t sg e o m e l r i cc o n v e r g e n c ei n t h ed 主s 站靜醣ec a s ea n do b t a i nt h ee r l d re s t i m a t oo f t h e i t e r a t i v e 2 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 c o n v e r g e n ts o l u t i o nb yu s i n gt h em a x i m m np r i n c i p l e f i n a l l y o u rn u m e r i c a lr e s u l t sc o n f i r mt h e t h e 0 9 2 t i c a lc o n v e r g e n c e 缸l a i y s i sa n ds h o wt h ea d v a n t a g ef o rs o l v i n gt h ea n i s o t r o p i ce l l i p t i c p d ei nu n b o u n d e dd o m a i n s i nc h a p t e r3 w oc o m b i n et h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d sw i t h t h en a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o dt os o l v eak i n do f a n i s o t r o p i ca n ds e m i l m e a re l l i p t i cp d e i na l lu n b o u n d e dd o m a 虹w ec a r r yo u td i 刪i m f i o nt oo b t a i nt h ed i f f e r e n c es c h e m ea n dt h e n o n l i n e a rc q t l a t i o l l sb yt h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o b y 齜e r r o re s t i m a t et h e o r yo ft h e f i n i t ee l e m e n ta n dt h en a m r a lb o u n d a ye l e m e n t w oo b t a i n e dt h ee 愀e s t i m a t ea n dt h e a s y m p t o t i cr a t eo f0 1 1c o n v 靴a 啦t h ei n t e r p o l a t i o nt h e o r yo ft h eg e n e r a l i z 甜 d i f f e r e a o 苣趲e 睦湖 k e y w o r d s p d fn u m e r i c a ls o l u t i o n u n b o u n d e dd o m a i ms e m i l i n e a ra n i s o t r o p i ce l l i p t i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m g e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d s 碰刪b 煅姍 r e d u c t i o n 3 一 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的研究成 果 據(jù)我所懿 除了文中特別加以標(biāo)注藉致謝的地方外 論文中不包含其縫入已經(jīng)發(fā)表 或撰寫過的研究成果 也不包含為獲得韭友王迎太堂或其他教育機構(gòu)的學(xué)位或證書而使 用過的材料 與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說 贊并表示謝意 靴敝燃名 勺般簽字躁期 解 胛e t 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解韭友王些揩關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 有權(quán)保留 并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤 允許論文被查閱和借閱 本人授權(quán) 韭友王墼太堂可以將學(xué)位論文鮑全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索 可以采用影 印 縮印或掃描等復(fù)黼手段保存 匯編學(xué)位論文 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書 學(xué)位論文作者簽名 嘎牽r 定 導(dǎo)師簽名 蓑擎叔 簽字日期 如格年f 月y 7 日簽字日期 礎(chǔ)年f 月叼日 學(xué)位論文作者畢業(yè)后去向 王作單位 遺訊地址 電話 郵編 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 l 引言 作為本文的開篇部分 本章主要介紹了課題 若干偏微分方程的基于自然邊界歸化 的區(qū)域分解算法 研究的內(nèi)容 研究意義 及其發(fā)展趨勢 然廄介紹了本文的組織結(jié)構(gòu) 課題研究韻意義 方法及其發(fā)展趨勢 眾所周知 偏微分方程可根據(jù)特有的數(shù)學(xué)特征分為三大類型即拋物型 雙曲型和橢 圓型 這三類偏微分方程描述了不同本質(zhì)的物理現(xiàn)象 其應(yīng)用是極其廣泛的 對于在理 論研究和實際應(yīng)矮離題中提窶麓許多偏微分方程 由于其邊界和邊界條鋒復(fù)雜等原霹 尋求解的解析表達式相當(dāng)困難 有時甚至是不可能的 所以必須利用計算機研究偏微分 方程的數(shù)值解 簡而裔之 這種研究的任務(wù)在實用中主要表現(xiàn)在兩個方面 是用有效 魏數(shù)篷方法離教德微分方程愛其邊界條件 對此 差分方法和有限元方法是目前被試雋 行之有效的兩類主要的數(shù)值方法 是關(guān)于高效率高精度求解離教微分方程 采用好的 算法與采用一般算法的計算效果往往相差很大 采用好的算法 不但能使求解過程數(shù)值 穩(wěn)定 數(shù)值解熬精度得烈提高面且能數(shù)十倍數(shù)百倍的地節(jié)省計算工作量 糯圓型方程攢述了定常態(tài)物理現(xiàn)象 例如 彈性力學(xué)率的平衡聞題 無秸性流體酶 無旋運動 亞聲速流及滲流問題 位勢場 靜電磁場和引力場等 問題 熱傳導(dǎo)中的溫 度分布 擴散中的濃度分布及導(dǎo)體中的電子密度分布問題等都可用橢圓型方程的定解問 題來描述 盡管線性橢匱型方程的理論研究已較完善 然 囂對手絕大多數(shù)實際通題 霾 為定解區(qū)域和邊僵條件復(fù)雜 解祈解極難尋找 所以用各種近似方法對這些寒際問題進 行數(shù)值研究就很有實際意義和發(fā)展前景 用差分方法解橢圓型方程是實用的且已有不少 研究鵜應(yīng)懇麓秉 但是 差分方法是晟翹嘭蹲珞翩分 這對矩形定解區(qū)域方便 對 般 復(fù)雜的定界區(qū)域差分方法就顯褥不靈活不方便了 另終 差分方法對邊界條葶串的處理也 不令人滿意 在許多實際闖題中 我們常常會碰劐無界區(qū)域上偏微分方程邊值闖題 邀時 若仍 焉求解有界區(qū)域問題行之有效的有限元法或有限差分法來楚理這類闞遂 時常會感委困 難 于憝 為解決這一難題 各種方法應(yīng)運而生 例如 無限元方法 自適應(yīng)有限元方法 在人工邊界上有近似邊界條件的有限元 法 迭蘿斷蓉法 有限霓與邊瓣食法 重疊塑和菲重疊鍪醫(yī)蠛分解算法 基于自然邊 界歸化的藕合法和區(qū)域分解算法等等 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 9 7 6 年 w l w o o d l 4 首次提滋無限元這一術(shù)語 值他的無限元是指單元個數(shù)無限 而幾何形狀是有限的 后來 應(yīng)隆安恰當(dāng)?shù)牟捎昧藷o限相似單元這個術(shù)語 無界區(qū)域的 無限相似單元得到了發(fā)展 其中求解無窮階線性代數(shù)方程組是這種方法的關(guān)鍵 蓯二十世紀(jì)六十年代 特別是七十年代之艨 邊界元方法在經(jīng)典的邊界積分方程法 的基礎(chǔ)上 吸收了有限元法的離散化技術(shù)而發(fā)展起來的一種求解偏微分方程的數(shù)值方法 5 周 o 對微分方程作邊界歸化的思想早在1 9 世紀(jì)就已出現(xiàn) 在c n e u m m m 1 8 3 2 1 9 2 5 v v o l t e r 斌1 8 6 0 1 9 4 0 e f r c d h l o m 1 8 5 5 1 壘2 7 d h i l b e r t 1 8 6 2 1 9 4 3 j h 刪1 8 6 5 1 9 6 3 等人的著作中已有許多系統(tǒng)的理論成果 但是 真正將邊界歸化理論應(yīng)用于數(shù)值計 算 并為了數(shù)值計算的目的而深入研究邊界歸化理論卻是從2 0 世紀(jì)6 0 年代才開始的 隨著鰳年代以來電予計算機的飛速發(fā)展和在科學(xué)工程計算領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用帶動了有限 元方法的蓬勃發(fā)展 人們將有限元技術(shù)與經(jīng)典的邊界歸化理論相結(jié)合 為邊界積分方程 法在科學(xué)工程計算中的應(yīng)用打開了新的局面 到7 0 年代后期 邊界積分方程法開始統(tǒng) 一成為邊界元方法 它是繼有限元方法之后出現(xiàn)的一種薪的 重要的數(shù)值計算方法 c a b r e b b i a g c h s i a o w l w e n d l a n d j c n e d e l e c 以及我國的馮康院士 余德浩研究 員 韓厚德教授 祝家麟教授等人對這一方面的發(fā)展和推廣做出了突出的貢獻 現(xiàn)在 邊界元方法已被廣泛應(yīng)用于斷裂力學(xué) 彈性力學(xué) 電磁場和熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域的科學(xué)研究和 工程技術(shù)的數(shù)值計算 當(dāng)前 國際上流行兩種經(jīng)典的邊界歸化方法 直接法和間接法 直接邊界歸化方法是 從基本解和g r e e n 公式出發(fā)將微分方程邊值問題化為邊界上的積分方程 間接邊界歸化 是放基本解及位勢理論出發(fā)得到f r e d h o l m 積分方程 這兩類邊賽歸化得到的邊界積分 方程通常失去了原問題的自伴性等有用的性質(zhì) 從而離散化盾得到的線性方程組得系數(shù) 矩陣 般是非對稱的 自然邊界歸化的思想是由我國學(xué)者馮康院士首先提出來的 1 9 7 8 年l o 至n 月 馮 先生應(yīng)法國國家科學(xué)研究孛心 c e n t e rn a t i o i n a ld el ar e c h e r e h es c i e n t i f i q u e 及意大利國 家科學(xué)院 a c a d e m i an a t i o n a b l ed e il i n c e i 邀請赴法 意講學(xué) 在這次講學(xué)中 馮先生 首次提融了一種全新的邊界歸化方式 一正則邊界歸化 由于這種歸化保持能量不變 原邊值闖題的許多有用的性質(zhì)如雙線性型的對稱性 強制性等都被保持 觚焉自然積分 方程得解的存在唯一性及穩(wěn)定性等結(jié)果也就隨之而得 這一優(yōu)點還是得正則邊界歸化熊 與傳統(tǒng)的有限元方法自然而直接的耦合 因此 后來馮先生又將正則邊界歸化改稱為自 然邊界魁化 這一提法一直沿用至今 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 到八十年代孛期 自然邊界 元的研究工作就已在二維閑題中取得了許多重要成果 1 9 硼 余德浩研究員的中文專著的出版則是自然邊界元方法趨于成熟的重要標(biāo)志 該書 建立了自然邊界元法的一般理論框架 并系統(tǒng)地研究了二維調(diào)和問題 重調(diào)和問題 平 面彈性良逐和s t o k e s 闖題的自然邊界元法以及露然邊界元與有限元的耦合算法 此外 l 9 11 研究了二維h e l m h o l t z 方程外邊值問題的自然邊界元法 除了自然邊界元 法可以直接用來求解某些特殊區(qū)域上的橢圓邊值問題 自然邊界元與有限冗耦合法外 基于自然邊界歸化的區(qū)域分解算法等還是處理無界區(qū)域及斷裂區(qū)域問題的有效手段 前述 研究工作已在二維 三維領(lǐng)域以及與時間有關(guān)雙隨型 拋物型聞題方面取得了許多重要 研究成果 但這些成果主要是基于圓周 或球面 人工邊界 而對于具有長條形內(nèi)邊界的無 界區(qū)域問題應(yīng)用橢圓 或橢球面 人工邊界可大大減少計算量 節(jié)省存儲空間和計算時間 不失為一種更有效的數(shù)值方法 對于各向同性線性橢圓問題 自然邊界元與有限元耦合法已有相當(dāng)完善的論述 但 對非線性問題 至今尚缺少相關(guān)分析 近年來 李開泰與肖家駒又開始研究應(yīng)用有限元 與經(jīng)典邊界元的耦合處理非線性橢圓聞題嘲 吳正朋1 1 乏1 習(xí)利用鴦限元與自然邊界元耦合 的方法解決了一類各向異性半線性外闖題 予此 對于各向異性橢圓外閥題方面的研究 也已經(jīng)非常深入 m 1 7 j 假自然邊界元的應(yīng)用也有其明顯的局限性 因為對一般的區(qū)域而言 g r e e n 函數(shù)往 往難以求褥 近年來 余德浩研究員首次提患的基于自然邊界歸化的重疊型和不重疊型 區(qū)域分解算法 7 瑚 解決了這一難題 對無界區(qū)域問題 他引入圓周做人工邊界 將無 界區(qū)域q 分解為一個很小的有界區(qū)域q 和一個圓外無界區(qū)域q 然后在q 和q 上交 替求解 在q 上可用已有盼有限元程序求解一今很小覯模的邊值悶題 并仍可用區(qū)域 分解算法和快速算法并行求解 而在i 萎 j l 無界區(qū)域q 這一典型區(qū)域上應(yīng)用自然邊界元 法是非常方便的 在文 1 9 d g 已給出用p o i s s o n 積分公式求各點函數(shù)值公式 這使得q 上的閼題變得十分簡單 而且可以進行并行求解 這種方法針對無界區(qū)域成功的具備了 區(qū)域分解法的優(yōu)點 將大型問題劃為小型問題 復(fù)雜問題化為簡單問題 串行問題化為 并行問題 并克服了耦合法剛度矩陣不是帶狀稀疏的缺點 運用該方法 已得到一些很好的結(jié)果 在陰中 對連續(xù)情形利用投影定理證明了在 黼意義下的幾何收斂 在人工邊賽為圓周的情形下用傅立葉分析方法精細(xì)的刻畫了收縮 因子與區(qū)域重疊程度和頻率之間的關(guān)系 在 1 8 中 證明了離散d 一 交替法在本質(zhì)上 是一釉預(yù)處理迭代法 并且離散d 一 交替法迭代矩陣磷卜1 的條件數(shù)與有限元網(wǎng)格參數(shù) 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 磊無關(guān) 最蜃給出了數(shù)值側(cè)子 健還指出了s t e k l o v p o i n c a r e 算子與自然積分算子及 g r e e n 函數(shù)之間的關(guān)系 此外 自然積分算子分別在有界區(qū)域和無界區(qū)域的區(qū)域分解法方面有了新的應(yīng)用 許進越等利震圓域內(nèi)的g r e e n 透數(shù)為求解p o i s s o n 方程邊值閻題構(gòu)造預(yù)處理子 t u s h i j i m a 等利用自然邊界歸化的技巧確定在二維無粘流體的機翼周圍的環(huán)流 邊界元法及相關(guān)的計算方法的研究與應(yīng)用領(lǐng)域還在擴大 加強基本理論 基本解 奇異積分 收斂性 誤差估計 邊界元強推法等 的研究 研究大型滿秩矩陣方程組的 求鰓算法 開發(fā)有使甩價篷 能在微機上使用盼程序包等 仍有重要意義 隨著研究工 作的深入 一定會取得新的有意義的成果 隨著進一步的研究 國外學(xué)者g j r o d i na n d0 s t e i n b a c h 在二維勢能原理的框架下 考慮了長條形區(qū)域閩題 失了克服此闖題中由于存在兩種不同昀長條區(qū)域瑟使邊界元矩 陣條件數(shù)很壞 提出了一類新的預(yù)處理算子 使得預(yù)處理后的邊界元矩陣適于長條形區(qū) 域 k e l l e ra n dc a v o l i 研究了分別以圓和球面作為人工邊界簡化波方程 g i v o l ia n dk e l l e r 在彈性靜力學(xué)中研究了以非局部邊界條件為界的問題 m a c c a m ya n dm a t i n 討論了在二 維條件下有間斷面兩個區(qū)域中的減化波方程 m a r i n g o l d s r e i na n dh a g s t r o ma n dk e l l e r 研 究了在圓柱面區(qū)域中以非局部邊界條件為人工i 2 2 界的問題 良夕 十年代又興起了區(qū)域分解算法流致霹 在科學(xué)幫工程計算 如油 氣藏酶勘探與 開發(fā) 大型結(jié)構(gòu)工程 航天器的設(shè)計 天氣預(yù)報中 隨著并行技術(shù)的發(fā)展 區(qū)域分解算 法越來越得到人們的重視 這一算法把計算區(qū)域分解成若干予區(qū)域分別求解并通過迭代 得整體近似解 由予它將問題分解 由大化小 有復(fù)雜純簡單 適合并行計算 卣于允 許在不同的子區(qū)域上建立不同的數(shù)學(xué)模型 選擇不同的計算方法 進行不同的網(wǎng)格剖 分 應(yīng)用現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)程序 特別可以在若干規(guī)則的子區(qū)域采用快速的變換 自然邊界元 法 譜方法等高效快速算法 故區(qū)域分解算法和其他方法相比有特別的靈活性和顯著的 優(yōu)越性 但是對于求解無界區(qū)域橢囂邊值問題 只采用區(qū)域分解算法是不夠的 因為加 入 z 邊界以后 至少還有一個無界區(qū)域 可以應(yīng)用邊界歸化來解決 通常對處理無界 區(qū)域問題是采用有限元與邊界元耦合的方法 做適當(dāng)?shù)娜斯み吔绮⑶壹咏七吔鐥l件 再在有限區(qū)域應(yīng)用有限元方法 近年來提出了無界區(qū)域上基于叁然邊界歸純的 類重疊 型和不重疊型區(qū)域分解算法將區(qū)域分解算法與邊界歸化的理論相結(jié)合思想在文獻 8 中 就已被明確表述 該文指出 自然邊界元和有限元耦合法是當(dāng)前與并行計算相關(guān)而興 起的區(qū)域分解算法的先驅(qū)工作 勢 自然邊界蛔化將直接應(yīng)用到區(qū)域分解 也將闖接應(yīng) 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 用于預(yù)條件處理 勞于是文泠 2 2 提出了基于邊界歸他的區(qū)域分解算法 并應(yīng)用自然 邊界歸化在無界區(qū)域上實現(xiàn)了重疊型區(qū)域分解 證明了連續(xù)問題迭代的收斂性 文 2 3 則研究了無界區(qū)域上不重疊性區(qū)域分解算法 即d i r i c h l e t n e u m a n n 方法 并討論了 其離散隨題迭代的收斂性 墾外也鴦將經(jīng)典邊界歸純與區(qū)域分解算法結(jié)合瞬王佟嘲 但 迄今為止國內(nèi)外在基予邊界歸化的區(qū)域分解這一方向的工作都是基于協(xié)調(diào)有限元 即要 求解在界面上連續(xù) 這對離散的要求是比較強的 近幾年隨著區(qū)域分解算法的興起 人們對無界區(qū)域問題的區(qū)域分解算法表現(xiàn)出濃厚 的興趣 文 2 4 借動予區(qū)域分解算法的思想并基于橢圓人工邊界的自然邊界歸化理論 又 研究了具有長條形內(nèi)邊界的二維調(diào)和外問題的自然邊界元與有限元的耦合法及一種非重 疊型區(qū)域分解算法 提出了具有長條形內(nèi)邊界的二維調(diào)和外問題的自然邊界元與有限元的 藕合法對論了耦合變分迥遂的適定性 并給出了逼近解的誤差估計及數(shù)值例子 同時 提 出了基于橢圓人工邊界的非重疊型區(qū)域分解算法 即d n 交替算法 研究一般外區(qū)域上的 d n 交替算法離散問題的收斂性 證明了其收斂速度與有限元網(wǎng)格粗細(xì)無關(guān) 詳細(xì)分析了 橢圓外區(qū)域上的d n 交替算法的收斂性與松弛因子的選取 并給出相應(yīng)的數(shù)值例 目前 這些算法中 在區(qū)域上 由原來的圓形外區(qū)域 橢圓外區(qū)域 上半平面區(qū) 域 研究到具有長條形及不規(guī)則區(qū)域的外問題上的求解 對于不同的內(nèi)邊界外問題 人 們通常選取圓周 橢圓或球面作為人工邊界 在所研究的方程類型上 從典型的拉普拉 斯方程 泊松方程到雙調(diào)幫方程 赫姆霍茲方程等無論在算法的提出上還是在離散聞題 的收斂性及收斂速度上都取得了很滿意的結(jié)果 1 2 本文主要研究內(nèi)容 本文研究的主要內(nèi)容是各項異性外問題的s c h w a r z 交替法及其收斂性和誤差估計以 及半線性各向異性橢圓外問題的融然邊界元有限體積元耦合法 各項異性橢圓型方程d i r i c h l e t 外問題 露窯 務(wù)蜜 工q 內(nèi) 露孬 務(wù)薩2 歹 2 瞪 u u o r o 上 覷毗y 存在 其中q 是一條分段光滑曲線r 0 的外部無界區(qū)域 s u p p f 是有界的且b a o 針對上述問題在理論方面 利用極值原理證明了在連續(xù)情形最大模意義下的幾何迭 代收斂性 遙過選取適當(dāng)?shù)墓步箼E匿邊霧利用f o u r i e r 分析獲得了不依賴各項異性程度 一 墮三螳堡堂笙壅 一 一 一 p 一一一一 的最優(yōu)的迭代收縮因子 還在離散情形最大模意義下證甓了幾何收斂性 麗且進一步得 到了誤差估計 連續(xù)情形的幾何收斂性 由s c h w a 記交替算 z i 一 u 2 n l 和 2 斛2 分別在 魚和熟上凡褥收斂予原闖題的解掰 r 存在o q q o l 使 f 警卜 阿m 觚卜擴i 1 警b 彳刪l 墨g 舯1 攀缸卅l 獲得的眶縮因子為 礦 絲二爭 當(dāng)取髓 鏹鰳和颮 哆風(fēng) 1 吃 q 時 迭代壓 4 一鴿 縮因子就可取為一個常數(shù) 紙 1 g 蕊茍 離散情形下的幾何收斂性及誤差估計 序列 瑤時1 和 瑤舯2 分別在a 和西 上 是幾何收斂的 且存在o 吼 q o a 0 假設(shè)廠似 的支集s u p p f 有限 f x y 關(guān)于 連續(xù) 且存在常數(shù)廠 使得 l f x y 材 一 k 只諺i b v l 7 0 以及 o 勢狂 一 純夕 蝴一y o v u y 塌g 勁 利用廣義差分法進行離散化 得到差分格式 形成非線性方程組 根據(jù)有限元與自 然邊界元誤差估計理論和廣義差分法的插值理論 獲得一階的誤差估計 誤差估計 考慮下面變分問題 j 川 毛睦聯(lián) 彬 一f f 靦 孝烤 撕 j 1 量 r 鬈眇凼 咄 u x y l r o 0 若掰 力變分闖題藝述變分聞題的解 魂為對應(yīng)的有限體積元解 剃有 i l u h u k 2 喈 母 k 磊 s 廁 其中c 為常數(shù) 3 預(yù)備知識 s o b o l e v 空間尉 q 與掰 鋤 為定義s o b o l e v 函數(shù)空聞 我們先會纓泛函分析中內(nèi)積和范數(shù)的概念 定義1 內(nèi)積是從線性空間到實數(shù)或復(fù)數(shù)域的一個映射 h x h k 蝕y 專 五y 若它滿足下列條件 王 織 0 善 o 紛 五y 3 觸 y 淞名 4 攔 定義1 2 線性空聞x 上的范數(shù)定義為該空聞上的菲受實值泛函 秈 x 啼墨 工專 若它滿足下列條件 1 1 4 o 1 1 4 1 o j x o 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 b y n b h y u 3 l k 捌 h 8 工l l v 口 尺其中足為實數(shù)或復(fù)數(shù)域 若在線性空間中已定義內(nèi)積 則由內(nèi)積必可定義范數(shù) 這只需令肛l 止黽x 即 可 于是內(nèi)積空閬必為賦范空聞 在泛函分析中 完備的賦范空間稱b a n a c h 空聞 完 備的內(nèi)積空間稱h i l b e r t 空間 h i l b e r t 空間一定是b a n a c h 空間 在熟知的函數(shù)空間 兩上可定義內(nèi)積 o v k 然 三d 球 a d a l d x 其中 表示對一切滿足o 睜 構(gòu)造有限維的分片多項式函數(shù)空閹氓 稱為有限元空聞 包括三個要素 區(qū) 域的有限元剎分 多項式函數(shù)的選取以及自由度的確定 3 在v h 中尋找有限元逼近解 稱為有限元解 該過程歸結(jié)為求解一個代數(shù)方程 組 關(guān)于有限元法的數(shù)學(xué)理論可以參閱英文經(jīng)典著作 1 1 和圓 中文方面的書可參閱嘲 自然邊界歸化 基于自然邊界蛔化的邊界元法稱為自然邊界元方法 7 8 9 1 它是從g r e e n 函數(shù)和 g r e e n 公式出發(fā) 將偏微分方程邊值闖題歸化為邊界上的強奇異積分方程 然后化為樽 應(yīng)的變分形式在邊界上離散化求解得一種數(shù)值方法 由此可見 自然邊界無法包括兩方 面的主要內(nèi)容 其一是尋找g r e e n 函數(shù) 實現(xiàn)囪然邊界歸化 其二是解決強奇異積分方 程得計算聞題 兩廂者是皇然邊界元法最楊蚤最困難的部分 隨著強奇異積分的計算閽 題在二維領(lǐng)域中得到解決 自然邊界元法獲得了極大的發(fā)展 對于重疊型 我們以泊松方程為例介紹一下外邊值問題的s c h w a r z 交替法 嘲a u f f 鰳o l 其中q 為適當(dāng)光滑閉曲線r o 的外部無界區(qū)域 砧oe 日 r o 作半徑為墨及r 2 的同心 圓周e 及r 2 包圍 墨 墾 0 記q 為l 及t 聞的有界區(qū)域q 為f 2 外部無界區(qū)域 定義如下s c h w a r z 交替算法 l a u 2 肘1 f q l 內(nèi) 缸2 斛1 k 上 1 2 l 囂2 樹 u 魏 f l 上 及 卜竺 乏lq 2 守 1 3 l 群2 舯2 籍2 m r 2 上 一 捍 o 1 第0 步 直接任取r l 上的函數(shù)值l o 不妨取 oi t o 第董步 結(jié)合l 上的值 在q 上解內(nèi)邊值閼題 縟到藝上的函數(shù)值囂1k 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 第2 步 在q 2 上解井邊營聞題墩 褥囂 上酌函數(shù)值籍2 b 以此類推 對予非重疊型 同樣以o 為例介紹d n 交替算法 俸半徑舞墨的薅周t 包露矗 剃q 霰分為有界區(qū)域黿 a o 對于闋 題 2 1 在q 中做麩焦橢圓r l 和r 2 x y c e l 屈 y 2 墨2 r l 而y 吃 礦 屬 y 2 建2 r 其中r 包圍t 記鏈為l 及f l 間畜界區(qū)域 g 為l 外部無界區(qū)域則 q q lu q 2 定義s c h w a r z 交替算法如下 瘁等 芻可 a 2 u 2 n i 只嘞 球2 州 u o f o 上 2 2 2 1 加 r l 上 及 療等 6 等 o 吼 療1 r 6 可2 o 互之內(nèi) l 豁揪 囂鍘 f 2 上 其中靠 o l 2 初始第0 步 直接取r 上的函數(shù)值拓o 0 第一步 在區(qū)域q l 上解內(nèi)邊值問題 0 動 得到 上的函數(shù)值掰1t 第二步 在區(qū)域氈上解磬邊值聞題0 3 得到瑟2b 依此類推 作變換工 石 孝及y 否 r l 則橢圓r 和r 變成 饋功 嚷露 參2 a b r 2 2 r 謹(jǐn) r l a a 孝2 專緲 r 2 是2 r 2 于是 問題 2 2 和 2 3 分別化成 f a 2 槲 厶 磊 內(nèi) 囂 榭 弼 霧 上 o 毋 l 豁 m u 孫 f l 上 及 盎 內(nèi) 于 上 其中磊為由厶與于 所圍成區(qū)域 盎 為f 的外部區(qū)域 g 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 2 2 u 可牧斂性 為t i 正陰 2 4 和 2 5 得到的序列的幾何收斂性 先根據(jù)強極值原理引入 引理2 1 設(shè)彩毫c 國1 且滿足 鑫彩 諺疊 慮 國端o r o 上 ic 0 1 f l 上 若令翔 s u p a p 咖 之 則o q o l 由此 定理2 1 9 1 3 2 1 或 3 7 1 任給 o 日 于1 s c h w a r z 交替算法 2 4 及 2 5 得到 的解 豁2 樹 和 籍2 觸 分別在磊和磊2 上幾何收斂予 2 董 的解籍 且存在 0 g 吼 l 使 f 警卜 l 糾叩卜擴l i m a x i n n 2 n 2 g 樅警 u 掰0 其中吼由引理2 1 給定 對予 般的無界區(qū)域q 定量的分析上述s c h w a r z 交替算法酶收斂速度是難以實現(xiàn) 的 現(xiàn)設(shè)r o 是一個橢圓 記 r o x y i 口 工2 y 2 r 2 弓l 進撩匿坐標(biāo)識 妨 則 孝 兀 c o s h u c o s 笮 五 s i n h u s i n 其協(xié)勞坩1 n 瓣 搠 數(shù)脯蜷平恥一族 共焦橢隧 公共焦點為 矗o 于是 于o 力i 一鰳 妒 o 2 霈 f 們l 鸕 伊墨 o 2 艿b 受一 缸 妨 璉 爹 豫醞 經(jīng)過橢圓坐標(biāo)變換得到島 p z 鸕 設(shè)廣 廣分別表示砑 磊 胃專心 和 日 礦i 一日1 盈 的d i r i c h l e t 跡算子 曰表示在r o 上取零值的日 緝 一日1 西 的 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 p o i s s o n 積分算子 忍表刁 工 圭v 2 h r l 螽2 的蹦s 湖積分算子 因磊l 上及磊2 上的 齊次d i r i c h l e t 邊值問題解存在且唯一 故毋 忍均有確切定義 在于l 上囂 芝噥哪刪 a l 磊n 0 1 2 在于2 上 蘢熊e x p 刪 肛?fù)?瓦n 0 1 2 利用分離變量法得 坤 莖 唧 而 h u o 嘎甕需 等 唧 y p 2 v 霹鑭鼬鉚 8 筑唧 由上兩式有 心7 雄 莖 唧 笨嘗錫 黑籌 嗷唧 廣露肥v 弘e x p i n g h u 2 一 u o 川a 黑甕翁 e x p i n g 我們得到 定理2 2 廣墨7 z 和7 曼 翟均為壓縮算子 且 l i i r 昱r 露 h g i i h v u h 毒m 渺翟魍v k 譬 1 噸冀 協(xié) 棼妒 其中壓縮因子滿足0 q l 且可取為 q 絲 鰒一硒 證翡 x j 2 1 的 個解狂 由 k 的定義 并由 蚓 衄刪l o 療 o 2 6 2 7 2 8 這個定理很容易被證明 參見刪 注l 上面的證明修正了文獻 柏 中的筆誤 補上了其收斂速度分析中的應(yīng)有的常 數(shù)項 去掉了壓縮因子中的常數(shù)因子c 2 6 和 2 7 是最優(yōu)的 因為不等式 2 6 在 心一熊 二一 鮑一鰒 礙 注3 對于給定的邊界f 如力 薛 羅 霆2 盡管菇 k 鬻依 賴于 a 的比值 但是 與以往的人工邊界的取法不同 柏 當(dāng)取鸕 q 風(fēng)和 璉 咤 o 純 風(fēng) 求解 為了證明誤差估計 我們有 引理2 2 設(shè) s 4 f i 且滿足 呶魄 致 僥 f i 精 略 o f o 上 l 魄 i f l 上 若令 麟 略 妒 l 以 t 0 j 8 0 q o 矗 1 在弓 理2 2 中 當(dāng)磊專0 時g o j i 一垡o 假設(shè)磊 魂 其中 是表示網(wǎng)格尺寸的一個常 數(shù) 令 和 表示收斂解 我們有 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 定理旗由 4 玲及 零得捌酶序靖 霹械 和 伊 分別在磊矗幫筑上是死何收 斂的 且存在o q h q o l 有 繁融一刮 霞警陪 警睇一訓(xùn) 霞攀陋一u i 其中鉑由引理2 2 給定 i i e 嚏 蕊p 駕瑰3 7 可證 2 4 誤差估計 為了褥到序列 域舯1 和 瑤樅 輯 國與準(zhǔn)確解掰的誤差估計引入下逃闖題 求 囅最妒 盎偽 使得 la h u h 屹 屹 囅2 i u s f l h u 弧毯 f i f o 女上 函1 2 曩 上 一 0 堂 恕阻3 i 嘞 疆張疋山 由有限元割分的正則性 有線性有限元和線性插值的乞估計 盛掣就i i 戳母 繁k n 扭錯 輕塒 從而 m 氣a x l n h u 魄l g 毪警 n h u u h l c o h l i 堿 q 1 5 邛 一 警卜鼢 繁p 助i c o 硼u l g l 母 其中q 不依賴于材 或 龜 a 置 矗 由此得 引理2 3 任給鶘豈 曠l 一 存在吼 o 吼 q o 得到的序列 棚 和 枷 研 分別在龜矗和龜上滿足下列不等式 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 其孛e燃是 q 由萼l(xiāng)理22給定 g不依賴于磊 龜 詈和蠢 oh 其孛e 燃 生 由萼l(xiāng) 理2 2 繪定 g 不依賴于磊 龜 蘭和蠢 l穢 詆明 由 2 1 0 2 11 2 1 2 和 2 1 3 可得 及 壤奴一 n i t p k 氈 壤一 斛 囂魏 1 一 蒯 h h 一 秸 妒砸 醞上 于l 上 越心一礦2 囂婊 i 一 舯2 i l 一國一 蒯x 由 2 1 7 根據(jù)引理2 2 和離散極值原理 可得 警k 一 棚 g 赫蛩k 一礦1 t 甄蠢警 蠢輯一 矬 注意到線性插值函數(shù)的最大值和最小值在節(jié)點上取得及 2 1 6 式 有 瓔 a x l n a 如一 2 卜珥筍 9 似一 2 卜鼉f b 一 2 l 攀沁 鰳l 攀k 一瑤1 g 螽陋魁a 警k 瑤拜l 從而 警k 酣1 i c o h q o 鏨 t 逸 鼉警k 一 療 0 1 7 g 1 8 0 1 9 對g 1 8 直接利用極值原理和q 1 5 式 同理可得 腎曠 b 戤戤卜弼m i 警陬甜一 蛩嘶一 l m v a x l r l 擴蠔 翠陬一礦1j c o h l l l x m a x u t 一礦 o 鰳 于是 幽 2 1 9 和 2 2 0 遞推可得 蛩 一 s 2 g 堿姚磊 甄蛩k 一礦b s2 c d q o 蠢 1 對 塾k 窖一 m a x l 一域 g j j l 2 吼一 2 靠十籪4 忙您 磊 搿 舡觚k 一材善l g 2 1 一勰 川叫 一 叫 吩 驢 t 降 嶧酬 姒矗 昀咖 磊 再缸 礴圳 鯔 渤l p 蓐 2 伊搴以 1 一 鉗k 蝌警 蛐恥 北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 幫k 一瑤蓐l c o h l l 4 a 繁k 融 墨 c o h 1 2 9 0 2 q o 籀1 q o l l u l l a 孽 嶧k 一計 2 2 2 再利鼴極值原理及0 1 5 0 1 6 0 盔潮g 三國式霹褥 警k 嗡2 槲卜醉陬一礦1 l 拳r e 引 i n a 趣一矽 腎陋協(xié)一穢 l 蛩卜刮 叩卜嘞i 警卜瑤 i c h l l i i a 如掣曠以l 焉 潞一 囂 茹鼉擎 咯一露菇i 篇鼉 馮秘一 樹 繁 h 一括一 棚霉 m a x i h 一甜一u i 十嘩挲k 一 2 艫1 l 鬟鼢肛1 1 2 a 稚珥擎l 吻一端l 剩用援值覆理藕蘭角種等式 由雩l