數(shù)學(xué)建模在工程中的應(yīng)用.docVIP

模糊分析法解足球隊排名問題 余科 （數(shù)理學(xué)院 122112 ） 蘇博飛（數(shù)理學(xué)院 122111） 王有元（數(shù)理學(xué)院 122111） 過思甸（公管學(xué)院 023112）摘要： 本文解答了93年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題，運用模糊聚類分析法，討論了足球隊比賽的排名問題。首先，我們將數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，求出每隊的勝,負(fù),平以及總場數(shù)，歸一化處理后作為建模的影響因子，然后由相似系數(shù)構(gòu)建模糊相似矩陣，最后構(gòu)建模糊等價矩陣截取進(jìn)行排名，并將得到的結(jié)果從12支隊推廣到了N支隊的情況。本文中所用的方法經(jīng)過驗證，得到的結(jié)果合理，可信。關(guān)鍵詞：模糊分析法，相似系數(shù)，比賽排名 一 問題分析根據(jù)題目所給的表格，我們能得到的數(shù)據(jù)是殘缺和不整齊對稱的，這樣就給排名造成了困難。例如在圖表中，T1隊和T2隊打了三場比賽，和T5只打了一場比賽，和T11沒打比賽。這樣如果只是單純的利用勝利的場數(shù)來進(jìn)行排名，所得到的結(jié)果必定是不完善的，同時也是不準(zhǔn)確的。因此為了得到較完善的結(jié)果，我們可以先將每個隊所參加的比賽中，勝，負(fù)和平的場數(shù)列表如下，得到每個隊實力的大概了解。 表一場數(shù)隊 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9T10 T11T12勝10581221367612負(fù)5441253188563平463620332624 總19151519951717171799 接著，我們分析各隊在每場比賽中的平均進(jìn)球數(shù)，失球數(shù)和進(jìn)失球數(shù)差數(shù)，這些數(shù)據(jù)也有助于我們進(jìn)一步了解各隊的實力。列表如下： 表二T1 T2 T3 T4 T5T6 T7 T8T9T10 T11 T12進(jìn)球數(shù)1.4120.81.3330.63210.62.0590.9410.6470.8820.7780.667失球數(shù)0.9410.6670.81.6841.4441.20.5880.824111.5561進(jìn)失球差0.4710.4330.533-1.052-0.444-0.61.4710.118-0.353-0.118-0.778-0.333 通過表一，二的分析，我們可以確定T7是最好的，T4是最差的，但是對于其他的球隊僅以上述數(shù)據(jù)還是無法得出準(zhǔn)確可信的排名。為了得出合理可信的排名，我們還應(yīng)該考慮，Ti與其余各隊的比賽成績，由于有的對和其余的對沒有比賽，其成績難以確定。為了解決這個難題，我們準(zhǔn)備先制定一個規(guī)則，為各隊定義一組特征數(shù)據(jù)，同時計算各隊之間的模糊相似度。最后綜合表一二，即可得出合理的排名出來。 二 模型假設(shè)1,基本假設(shè)1) 參賽各隊存在客觀的真實實力,這是任何一種排名算法的基礎(chǔ)2) 在每場比賽中體現(xiàn)出來的強(qiáng)隊對弱隊的表面實力對比是以它們的真實實力對比為中心的互相獨立的正態(tài)分布,這條假設(shè)保證了我們可以以比賽成績?yōu)橐罁?jù)對球隊的真實實力進(jìn)行排名,3) 每場比賽對于排名的重要性相同，每個進(jìn)失球?qū)τ谂琶餐瑯又匾?) 確定各隊的特征數(shù)據(jù)時，僅計算進(jìn)失球的差數(shù)。2，建模假設(shè)1） 根據(jù)生活經(jīng)驗可以知道，甲以一場2:1勝乙，易于兩場都以2:1勝乙，同理更易于三場都以2:1勝乙。對于這種情況，我們在進(jìn)行計算時要對數(shù)據(jù)加權(quán)。例如：r甲乙=（2-1）S，r甲乙=，r甲乙=。我們?nèi)VS，且令S=1.0，V=1.2，U=1.4。2） Ti與Ti自身的特征數(shù)據(jù)為rii=0。3） 用絕對值減數(shù)法確定Ti與Tj之間的模糊程度：；通過估算c=0.038；4） 排名原則：越先聚為一類的隊，名次越靠近。 三 建模及求解根據(jù)假設(shè)的模型，以及表一二的數(shù)據(jù)，可以計算出各隊的特征數(shù)據(jù)如下，假設(shè)論域為T=T1,T2,T3,T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,T12，于是有：接著，利用絕對值減數(shù)法，可以計算與的模糊相似程度，于是有模糊相似矩陣X： 有前面的表一二分析得，為倒數(shù)第一名。再根據(jù)上面的模糊相似矩陣可以得出T1T12中與T4的相似系數(shù)為： 表三T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T120.3510.3970.27510.6450.5110.0040.4530.5690.3720.6020.572為了便于觀察，我們將X4j(即j隊與4隊的相似程度)用Tj來表示，知道T5=0.645是除T4外最大的首先與聚成一隊的是,因此可以得出為倒數(shù)第二名。同理，再由模糊相似矩陣得首先與聚成一隊的是,則為倒數(shù)第三名，依次類推則可得出排名如下表： 表四名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12隊名 T7 T3 T1 T9T10T8 T11T12 T2 T6 T5 T4根據(jù)模型的假設(shè)與模糊矩陣的計算，使得我們的排名具有一定的準(zhǔn)確性和可信性。 四 模型的合理性分析及推廣討論上述模型的優(yōu)點在于：1） 它存在反饋機(jī)制, 并且具有穩(wěn)定性, 保證了排名的公平和令人信服。2） 對要比較的兩隊之間沒有必須比賽的要求，即使有部分?jǐn)?shù)據(jù)殘缺也不影響模型的建立及問題的求解。3） 以上所作出的排名算法很容易得到推廣，當(dāng)隊數(shù)不是12而是N時，可以利用計算機(jī)來進(jìn)行計算。此外，我們的算法還受到一些條件的約束：1） 當(dāng)有二個隊的比賽成績完全一樣時，該算法不能排出名次來；2） 當(dāng)根據(jù)比賽成績無法判斷哪些隊成績