極限——動與靜的統(tǒng)一.doc

極限動與靜的統(tǒng)一 兼與師教民教授商榷陳玉發(fā) 田穎科 鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育處 450121摘要：師教民教授在一篇文章中提到了極限理論產(chǎn)生的矛盾，這個矛盾的產(chǎn)生不是由于微積分本身產(chǎn)生的，而是由于敘述方式使人產(chǎn)生的。通過對極限概念的分析，可以看出，所謂的矛盾根本就不是什么矛盾。關(guān)鍵詞： 微分 極限 悖論 （作者簡介：陳玉發(fā)，男，漢族，出生于1969年5月工作單位：鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，副教授，碩士，從事數(shù)學(xué)教育研究郵編：450121）在文【1】中，師教民教授提到了極限理論（標(biāo)準(zhǔn)分析法或第二代微積分）存在三大錯誤：沒有揭開微積分之謎，形成嚴(yán)重的邏輯困難，與物理實踐不相符合文【1】的作者說“本文用在極限理論求導(dǎo)公式中加入公式的方法，證明上述三大錯誤的”在文【1】的證明中，關(guān)于第一代微積分的說明是大家都知道的導(dǎo)致“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”的貝克萊悖論在牛頓的微積分（第一代微積分）里，由于牛頓用來進(jìn)行推導(dǎo)計算的基礎(chǔ)是沒有定義的“無窮小”，因而導(dǎo)致了貝克萊悖論這一點沒有爭議問題是作者關(guān)于“柯西等人創(chuàng)立的微積分理論 標(biāo)準(zhǔn)分析法（極限理論或第二代微積分）”所做的說明筆者看過之后，想到了一個小故事：一個小孩兒在賣橘子，旁邊還有橘子皮一個人走過來問：“橘子多少錢一斤？”小孩兒答：“一塊二一斤”買者又問：“橘子皮多少錢一斤？”小孩兒答：“兩毛錢一斤”于是買橘子的人說：“把橘子皮剝掉，我只要橘子瓤，橘子皮兩毛錢一斤，瓤一塊錢一斤，加起來還是一塊二一斤你再把皮賣掉，一斤橘子你并沒有少賣錢你看行不行？”小孩兒答應(yīng)了其實在這里，賣橘子的人偷換了概念，把小孩給騙了在文【1】的證明中，存在兩個問題：第一就是偷換了概念；第二是沒有真正的理解極限概念的含義為了說明筆者的觀點，現(xiàn)把文【1】中的證明摘錄如下：“柯西等人創(chuàng)立的微積分理論 標(biāo)準(zhǔn)分析法（極限理論或第二代微積分）定義并求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的過程為：令函數(shù)的自變量變化任意增量，則隨之變化增量，所以把函數(shù)在時的極限值定義為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記做或，于是有可以等于0 （）文170（菲赫金哥爾茨數(shù)學(xué)分析原理：第卷第分冊吳親仁，陸秀麗，譯北京：高等教育出版社，：第頁）說：“最后我們來看看自變量的本身：它的增量，就叫做它的微分，即規(guī)定，”所以第二代微積分的上述式（）中的可換成，于是式（）就變?yōu)榭梢缘扔? （）從上述式（）的推導(dǎo)知，第二代微積分在推導(dǎo)出函數(shù)并定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，任意增量或微分，然而在求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，又改成任意增量或微分因此，第二代微積分 說不清楚 到底是還是，即產(chǎn)生了和的矛盾”比較對式（）和式（）的分析知，第二代微積分和第一代微積分一樣存在和的矛盾，即第二代微積分沒有解決微分之謎或微積分之謎或貝克萊悖論或第二次數(shù)學(xué)危機(jī)這個著名于天下的世界數(shù)學(xué)大難題”在上面引號里面的論述中，前后的不是同一個概念前面的指的是自變量的微小增量，所以而后面的指的是，即在時的極限值就像前面的小故事里說的，橘子一塊二一斤，指的是整個橘子，而不是皮兩毛錢一斤，瓤一塊錢一斤另外，在上面的論述中，已經(jīng)引進(jìn)了極限的概念，利用極限來定義導(dǎo)數(shù)，是完全可以清楚明白的說清導(dǎo)數(shù)的，并沒有邏輯混亂之所以“產(chǎn)生了和的矛盾”，一方面前后的不是同一個；另一方面是因為對極限的概念沒有真正的理解極限的定義是由柯西首先使用的，并利用極限的定義創(chuàng)立了標(biāo)準(zhǔn)分析柯西給出的極限的定義是對極限的一種定性的描述，因此在論證時容易引起含混后經(jīng)維爾斯特拉斯的“算術(shù)化”，使得極限可以進(jìn)行“定量的”分析，進(jìn)而使得微積分完全擺脫幾何直觀所帶來的含糊概念【2】關(guān)于極限的概念，要明確以下幾點：1極限是微積分中的基本概念，是利用定義的形式給出的因此，極限的定義與數(shù)學(xué)中的公里具有同等的地位極限的定義是一種規(guī)定的規(guī)則如前所述，當(dāng)時，這里，是不等于0的，但是，這是定義的要求因此，在前面的算式中，是沒有任何矛盾的2極限是一個過程，徐治利先生曾經(jīng)引用李白的詩句“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡,惟見長江天際流”來比喻極限的動態(tài)過程【3】這兩句詩形象的刻畫了極限的內(nèi)涵拿極限 ，來說，是隨著趨向于而趨近于0的。而趨向于這個過程是沒有終點的，因此，的運動（變化）也是一個永遠(yuǎn)的過程。因此有了極限的另一種記法：，（，這種記法形象的刻畫了極限的實質(zhì)。3極限是運動與靜止的統(tǒng)一首先，極限是一種動態(tài)的過程，這個動態(tài)過程是沒有終點的，但是，極限的定義中給它規(guī)定了一個終點即，就是變量（當(dāng)時）變化的終點到了終點，極限的動態(tài)變化也就終止了因此，極限是動與靜的統(tǒng)一在中，帶有極限符號時，是動態(tài)的，這時運動結(jié)束時，的變化終止于，這時，因為，在運動的終止?fàn)顟B(tài)，是可以等同于0因為前后兩個一個是“動態(tài)的”，一個是“靜態(tài)的”，動態(tài)的不能等于0 ，而靜態(tài)的則可以看做是0.4極限是連接有限和無限的橋梁極限的過程本身就是一個無限的過程，而人類的認(rèn)識范圍只在有限的范圍如何了解無限，我們只能借助于極限例如求無窮級數(shù)的和，我們只知道這個級數(shù)的前有限項的和，而所謂的無窮級數(shù)的和就是無窮多項的和，因此，可見，借助極限，我們可以探知一些無限的東西5極限可以看做是一種運算，或者是一種變換例如，即通過極限的作用把變成了自然數(shù)從這個角度來看文【1】關(guān)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過程中，是在的作用下，被變成了因此，從極限的角度來看，文【1】中所提到的矛盾就不再是矛盾了，只是因為敘述方式的不合適，使人覺得好像有矛盾參考文獻(xiàn)：【1】師教民論極限理論的微分之謎J高等數(shù)學(xué)研究年月【2】華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析M北