中考平面幾何知識(shí)點(diǎn).ppt

初中生平面幾何 知識(shí)點(diǎn)及例題解答 目錄 一 圖形的認(rèn)知及簡(jiǎn)單圖形 幾何圖形的定義 立體圖形和平面圖形 展開圖 多面體以及旋轉(zhuǎn)體 直線 射線 線段 線段的中點(diǎn) 角 角的分類 平角 把一條射線 繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn) 當(dāng)終止位置和起始位置成一條直線時(shí) 所成的角叫做平角銳角 小于直角的角叫做銳角直角 平角的一半叫做直角鈍角 大于直角而小于平角的角周角 把一條射線繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn) 當(dāng)終邊和始邊重合時(shí) 所成的角叫做周角周角 平角 直角的關(guān)系 1周角 2平角 4直角 360 余角 補(bǔ)角 示例 如右圖 1 2 90 1 3 180 1 4 則 1與 2互為余角 即 1是 2的余角 2也是 1的余角 1與 3互為補(bǔ)角 即 1是 3的補(bǔ)角 3也是 1的補(bǔ)角 因?yàn)?1 4 則 4與 2互為余角 4與 3互為補(bǔ)角 1 2 3 4 直線的相交 一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長線 這兩個(gè)角是對(duì)頂角 兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩個(gè)角的兩邊互為反向延長線 這樣的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角 對(duì)頂角的性質(zhì) 對(duì)頂角相等 兩條直線相交所形成的角為90度 則這兩條直線垂直 那么一條直線就叫做另一條直線的垂線 它們的交點(diǎn)叫做垂足 如圖 AB與CD垂直相交 交點(diǎn)為O 則 COB 90 直線CD就是AB的垂線 AB也是CD的垂線 點(diǎn)O就叫做垂足 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 兩條直線相交不成垂角時(shí) 其中一條直線叫做另一條直線的斜線 它們的交點(diǎn)叫斜足 直線外一點(diǎn)到它與這條直線垂足的連線 叫做垂線段 連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)所有線段中 垂線段最短 我們把垂線段的長度 叫點(diǎn)到直線的距離 O 平行線定義 性質(zhì) 定義 同一平面內(nèi) 永不相交的兩條直線叫做平行線 性質(zhì) 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 如果a b b c 則b c 兩直線平行 同位角相等 內(nèi)錯(cuò)角相等 同旁內(nèi)角互補(bǔ) 同位角 內(nèi)錯(cuò)角 同旁內(nèi)角 對(duì)頂角 右圖中 1與 2的位置關(guān)系稱為同位角 1 2 2與 4的位置關(guān)系稱為內(nèi)錯(cuò)角 2 4 3與 4的位置關(guān)系稱為同旁內(nèi)角 3 4 180 1與 4的位置關(guān)系稱為對(duì)頂角 1 4 1 2 3 4 例題 如圖 直線l1 l2 l3交于一點(diǎn) 直線l4 l1 若 1 124 2 88 則 3的度數(shù)為 A 26 B 36 C 46 D 56 如圖 直線l4 l1 1 AOB 180 而 1 124 AOB 56 3 180 2 AOB 180 88 56 36 故選B 4 二 平面直角坐標(biāo)系 定義以及知識(shí)點(diǎn) 平面直角坐標(biāo)系 我們可以在平面內(nèi)畫兩條互相垂直 原點(diǎn)重合的數(shù)軸 組成平面直角坐標(biāo)系 水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸 習(xí)慣上取向右為正方向 垂直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸 取向上方向?yàn)檎较?兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 象限 坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限 坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)寫作 x y 第一象限 x 0 y 0第二象限 x0第三象限 x0 y 0橫坐標(biāo)上的點(diǎn)坐標(biāo) x 0 縱坐標(biāo)上的點(diǎn)坐標(biāo) 0 y 距離問題 點(diǎn) x y 距x軸的距離為y的絕對(duì)值 距y軸的距離為x的絕對(duì)值 坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離 點(diǎn)A a 0 點(diǎn)B b 0 則AB距離為a b的絕對(duì)值 點(diǎn)A 0 a 點(diǎn)B 0 b 則AB距離為a b 的絕對(duì)值 X軸 Y軸 定義及知識(shí)點(diǎn) 角平分線上的點(diǎn) 若 x y 為第一 三象限角平分線上的點(diǎn) 則x y 若 x y 為第二 四象限角平分線上的點(diǎn) 則x y 0 兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等 則這兩個(gè)數(shù)相等或者互為相反數(shù) 若直線l與x軸平行 則直線l上的點(diǎn)縱坐標(biāo)值相等 若直線l與y軸平行 則直線l上點(diǎn)橫坐標(biāo)值相等 對(duì)稱問題 一點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱 則x同y反 一點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱 則y同x反 一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 則x反y反 坐標(biāo)點(diǎn) x y 的平移 三 三角形 定義 性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn) 全等三角形 相似三角形及勾股定理 三角形 定義 與三角形有關(guān)的線段 三角形兩邊之和大于第三邊 兩邊之差小于第三邊 依據(jù) 兩點(diǎn)之間 線段最短 在實(shí)際運(yùn)用中 只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊 則可說明能組成三角形 在實(shí)際運(yùn)用中 已經(jīng)兩邊 則第三邊的取值范圍為 兩邊之差 第三邊 兩邊之和 所有通過周長相加減求三角形的邊 求出兩個(gè)答案的 注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形 三角形的高 從 ABC的頂點(diǎn)A向它所對(duì)的邊BC所在的直線畫垂線 垂足為D 所得線段AD叫做 ABC的邊BC上的高 如圖1 三角形的中線 連接 ABC的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D 所得線段AD叫做 ABC的邊BC上的中線 如圖2 三角形的中線將三角形分為面積相等的兩部分 三角形的平分線 畫 A的平分線AD 交 A所對(duì)的邊BC于D 所得線段AD叫做 ABC的角平分線 如圖3 三角形的中線 角平分線 高均為線段 三角形具有穩(wěn)定性 四邊形沒有穩(wěn)定性 1 2 3 三角形的高不一定在三角形內(nèi)部 角平分線與中線都在三角形內(nèi)部 角平分線 中線 與三角形有關(guān)的角 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度 三角形最多只有一個(gè)直角或者鈍角 最少有兩個(gè)銳角 三角形的外角 三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角 叫做三角形的外角 結(jié)合內(nèi)角和可知 三角形的外角最少兩個(gè)鈍角 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角 三角形的外角和為360度 等腰三角形兩個(gè)底角相等 等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等 A B C或者 A B C等相似形式 均可推出三角形為直角三角形 A B C等相似形式 均可推出三角形為鈍角三角形 三角形的角平分線 例題 如圖 在 ABC中 AB AC AD是BC邊上的中線 BE AC于點(diǎn)E 求證 CBE BAD 證明 AB AC AD是BC邊上的中線 BE AC CBE C CAD C 90 CAD BAD CBE BAD 全等三角形 全等三角形的定義和性質(zhì) 全等三角形的判定 普通全等三角形的判定方法 三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 邊邊邊 兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 邊角邊 兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 角邊角 兩個(gè)角和其中一個(gè)角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 角角邊 直角三角形全等的判定 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 斜邊直角邊 角平分線性質(zhì)及判定 性質(zhì) 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等 判定 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上 例題 已知 AB CD相交于點(diǎn)O AC DB OC OD E F為AB上兩點(diǎn) 且AE BF 求證 CE DF 證明 由AC DB 可得 A B ACO BOD 又 1 2 所以 AOC BOD AC BD AE BF 則 AEC與 BFD中 兩邊及夾角相等 AEC BFD CE DF 例題 在 ABC中 AB AC 作AD AB交BC的延長線于點(diǎn)D 作AE BD CE AC 且AE CE相交于點(diǎn)E 求證 AD CE 證明 AE BD EAC ACB AB AC B ACB B EAC 在 ABD和 CAE中 B EAC AB AC BAD ACE ABD CAE AD CE 相似三角形 相似三角形的定義 相似圖形 形狀相同的圖形叫做相似圖形 相似多邊形對(duì)邊角相等 對(duì)應(yīng)邊的比相等 相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比 相似三角形形狀相同的三角形叫相似三角形 相似三角形的判定 相似三角形的性質(zhì) 相似圖形的周長與面積 例題 如圖 ABC中 點(diǎn)D E分別在邊AB BC上 DE AC 若BD 4 DA 2 BE 3 則EC A B C D E 3 2 4 勾股定理 勾股定理與直角三角形 例題 如右圖 直角三角形的兩個(gè)直角邊長度分別為5 12 那么根據(jù)勾股定理 求出斜邊長度 直角三角形中銳角的三角函數(shù) 注意這里的鄰邊不包括斜邊 銳角三角函數(shù)的性質(zhì) 銳角三角函數(shù)不能取負(fù)值 0 sinA l 0 cosA l 銳角的正弦和余弦之間的關(guān)系 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值 sinA cos 90 一A cosB cosA sin 90 一A sinB銳角的正切和余切之間的關(guān)系 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值 任意銳角的余切值等于它的余角的正切值 tanA cot 90 一A cotB cotA tan 90 A tanB注 A B 90 三角函數(shù)的變化規(guī)律 角度在0 90 變化時(shí) 角度在0 90 變化時(shí) 同角三角函數(shù)關(guān)系式及特殊角的三角函數(shù)值 利用三角函數(shù)解直角三角形 例如一桿AB直立地面 從D點(diǎn)看桿頂A 仰角為60 從C點(diǎn)看桿頂A 仰角為30 若CD長為10米 求桿AB的高 四 多邊形與軸對(duì)稱圖形 定義 性質(zhì) 多邊形的定義 多邊形的性質(zhì) 內(nèi)角 多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角 外角 多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角 對(duì)角線 連接多邊形不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段 叫做多邊形的對(duì)角線 多邊形的內(nèi)角和 N邊形內(nèi)角和 n 2 180度 多邊形的外角和 360度 對(duì)于N邊形 最多只能有三個(gè)外角為鈍角 最多只能有三個(gè)內(nèi)角為鈍角 對(duì)于N邊形 最多只能有四個(gè)外角為直角 最多有四個(gè)內(nèi)角為直角 此時(shí)N 4 對(duì)于N 4的N邊形 最多只能有三個(gè)外角為直角 最多有三個(gè)內(nèi)角為直角 從N邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā) 可以引N 3條對(duì)角線 它們將N邊形分成N 2個(gè)三角形 從N邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā) 可以引N 3條對(duì)角線 N邊形共有對(duì)角線N N 3 2個(gè) 正多邊形 軸對(duì)稱 如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊 直線兩旁的部分能夠互相重合 這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形 這條直線就是它的對(duì)稱軸 注意 線段不能稱為對(duì)稱軸 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊 如果它能夠與另一個(gè)圖形重合 那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱 這條直線叫做對(duì)稱軸 折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn) 叫做對(duì)稱點(diǎn) 經(jīng)過線段中點(diǎn)且垂直于這條線段的直線 叫做這條線段的垂直平分線 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱 那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線的垂直平分線 類似的 軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸 是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線 性質(zhì)與判定 五 四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 梯形 平行四邊形 定義 有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 性質(zhì) 對(duì)邊相等夾在平行線間的平行線段相等對(duì)角相等對(duì)角線互相平分判定 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形 平行線間的距離 兩平行線間最短的線段 垂直 矩形 定義 有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形 性質(zhì) 矩形的四個(gè)角都是直角矩形的對(duì)角線相等引申 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半判定 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形 判定四邊形是矩形的方法 例題 在平行四邊形ABCD中 過點(diǎn)D作DE AB于點(diǎn)E 點(diǎn)F在邊CD上 DF BE 連接AF BF 求證 1 四邊形BFDE是矩形 2 若CF 3 BF 4 DF 5 求證 AF平分 DAB 答案 證明 1 四邊形ABCD為平行四邊形 DC AB即DF BE又 DF BE 四邊形DEBF為平行四邊形 又 DE AB 即 DEB 90 四邊形DEBF為矩形 菱形 定義 有一鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形性質(zhì) 菱形的四條邊都相等 菱形的兩條對(duì)角線互相垂直 并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 判定 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 四邊相等的四邊形是菱形 有一鄰邊相等的平行四邊形是菱形 菱形的判定方法 正方形 定義 四條邊都相等 四個(gè)角都是直角的平行四邊形叫做正方形 性質(zhì) 既是矩形 又是菱形 具有矩形的性質(zhì) 也有菱形的性質(zhì) 四個(gè)角都是直角 四條邊都相等 兩條對(duì)角線相等 且互相垂直平分 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 判定 兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形 判定四邊形是正方形的方法 梯形 定義 一組對(duì)邊平行 另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形 有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形 等腰梯形的性質(zhì) 等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等 等腰梯形的兩條對(duì)角線相等 等腰梯形的判定 同一個(gè)底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形 兩腰相等的梯形是等腰梯形 中位線 三角形的中位線 連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線 三角形的中位線與中線不同 梯形的中位線 連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形中位線三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊 并且等于第三邊的一半梯形中位線定理 梯形中位線平行于兩底 并且等于兩底和的一半 各類圖形的面積 六 圓 定義 定理 性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn) 圓的定義和性質(zhì) 定義 在一個(gè)平面內(nèi) 線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周 另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓 固定的端點(diǎn)O叫做圓心 線段OA叫做半徑 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦 經(jīng)過圓心的弦叫做直徑 直徑是一個(gè)圓里最長的弦 性質(zhì) 圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于定長 到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一平面上 圓心為O 半徑為r的圓可以看成所有到定點(diǎn)O距離等于定長r的點(diǎn)的集合 圓的面積公式 S r 圓的周長公式 C 2 r垂直于弦的直徑平分弦 平且平分弦所對(duì)的兩條弧 平分弦的直徑垂直于弦 并且平分弦所對(duì)的兩條弧 弧 圓心角 圓周角 弧 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧 簡(jiǎn)稱弧 圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧 每一條弧都叫做半圓 圓心角 頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角 圓是軸對(duì)稱圖形 任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸 圓是中心對(duì)稱圖形 圓心O是它的對(duì)稱中心 三個(gè)相等 在同圓或等圓中 相等的圓心角所對(duì)的弧相等 所對(duì)的弦也相等 在同圓或等圓中 如果兩條弧相等 那么它們對(duì)應(yīng)的圓心角相等 所對(duì)的弦相等 在同圓或等圓中 如果兩條弦相等 那么它們所對(duì)應(yīng)的圓心角相等 所對(duì)的弧相等 圓周角 頂點(diǎn)在圓上 并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角 在同圓或等圓中 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等 都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半 半圓 或直徑 所對(duì)的圓周角是直角 90 圓周角所對(duì)應(yīng)的弦是直徑 圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角之和為180 內(nèi)接四邊形4個(gè)頂點(diǎn)都在圓上 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 直線和圓的位置關(guān)系 切線 判定 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 性質(zhì) 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn) 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過圓心 切線長 經(jīng)過圓外一點(diǎn)作過圓的切線 這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長 就叫做這點(diǎn)到圓的切線長 切線長定理 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線 它們的切線長相等 這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角 例題 O O B C A D E AOC 80 OB OC 根據(jù)等腰三角形性質(zhì) 則 B OCB 40 AE為切線 則 BAE 90 ADB B 90 ADB 50 答案 B 弦切角 頂點(diǎn)在圓上 一邊和圓相交 另一邊和圓相切的角叫弦切角 弦切角定理 弦切角等于它所對(duì)應(yīng)的弧的圓周角 推理 如果兩個(gè)弦切角所對(duì)應(yīng)的弧相等 那么這兩個(gè)弦切角也相等 如右圖 FAE ACE ADE如圖 AB為切線 則有 C BAE BAE D C D F 圓與三角形 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓 則個(gè)圓叫做三角形的外接圓 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) 叫做這個(gè)三角形的外心 特殊情況 直角三角形的外心在斜邊上的中點(diǎn) 三角形的內(nèi)心 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓 圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn) 叫做三角形的內(nèi)心 三角形面積 內(nèi)切圓半徑r 三角形周長L 2 例題 如圖 AB是 O的弦 AB 6 點(diǎn)C是 O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 且 ACB 45 若點(diǎn)M N分別是AB BC的中點(diǎn) 則MN長的最大值是 圓與圓的位置關(guān)系 圓O1與圓O2半徑分別為R r O1與O2之間的距離為d 圓與圓相交 兩個(gè)交點(diǎn) R rR r 圓與圓內(nèi)