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第九章含權(quán)債券的定價(jià) Black sModel利率二叉樹期限結(jié)構(gòu)的藝術(shù) 利率模型含權(quán)債券的定價(jià)利率頂與利率底互換選擇權(quán)可贖回和可回售債券可轉(zhuǎn)換債券 1 期權(quán)定價(jià)模型 Black Scholesmodel Black Scholes 1973 其中 c為買入期權(quán)的價(jià)格 S為標(biāo)的股票的當(dāng)前市價(jià) K為買入期權(quán)的執(zhí)行價(jià) T為距離到期日的時(shí)間 r為無風(fēng)險(xiǎn)利率 為股價(jià)變動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差 2 B S公式的比較靜態(tài)分析 3 例 Black Scholes模型的問題 給歐式calloption定價(jià) 3年零息債券 行權(quán)價(jià)為 110 面值為 100 結(jié)論很明顯 應(yīng)該是0 但在下面假設(shè)情況下 r 10 4 的年價(jià)格波動(dòng)率 用Black Scholes模型計(jì)算出來的價(jià)格為7 78 4 應(yīng)用傳統(tǒng)Black ScholesModel給債券定價(jià)的問題 如果要使用上述公式為債券定價(jià) 我們必須要假設(shè)債券價(jià)格未來3年的演變過程 可這一過程異常的復(fù)雜 原因如下 債券價(jià)格在到期日必須收斂至面值 而股票的隨機(jī)演變過程不需要這一限制 隨著到期日的臨近 債券價(jià)格的波動(dòng)率會(huì)下降 B S公式假定波動(dòng)率為常數(shù)顯然不合適 B S公式假定短期利率為常數(shù) 而在固定收益證券方面 我們又假定了債券價(jià)格隨機(jī)變動(dòng) 明顯矛盾 此外 上述的利率可能為負(fù)值也是一個(gè)問題 5 Black sModel 盡管存在著以上問題 Black Scholes的變形 即Black sModel 也還經(jīng)常被使用 其條件是 a 期權(quán)的盈虧在某一特點(diǎn)時(shí)間只依賴于一個(gè)變量 b 可以假定在那個(gè)時(shí)點(diǎn)上 那個(gè)變量的分布呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布 例如 當(dāng)期權(quán)有效的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)短于債券償還期時(shí) 就可以利用Black sModel 6 利用Black sModel給歐式期權(quán)定價(jià) 7 利用Black sModel給歐式期權(quán)定價(jià) T 期權(quán)到期日F 到期日為T 價(jià)值為V的遠(yuǎn)期價(jià)格K 執(zhí)行價(jià)格r T期的即期收益率 連續(xù)利率 F的波動(dòng)率N 累積正態(tài)分布Pc valueofcallPp valueofput 8 例 應(yīng)用Black sModel 給10個(gè)月期的歐式期權(quán)定價(jià) 標(biāo)的債券為9 75年 面值 1 000 半年利息 50 在3個(gè)月后和9個(gè)月后得到 已知今天債券價(jià)格 960 包括應(yīng)計(jì)利息 執(zhí)行價(jià)格 1 0003個(gè)月的無風(fēng)險(xiǎn)利率為9 9個(gè)月的無風(fēng)險(xiǎn)利率為9 5 10個(gè)月的無風(fēng)險(xiǎn)利率為10 以年為基礎(chǔ) 連續(xù)利率 債券價(jià)格的波動(dòng)率為年9 9 例 應(yīng)用Black sModel 求解第一步 找到遠(yuǎn)期價(jià)格計(jì)算期權(quán)價(jià)格的參數(shù)為 F 939 68 K 1000 r 0 1 0 09 T 10 12 8333 10 例 應(yīng)用Black sModel 11 Black sModel的缺陷 盡管Black sModel通過假定某個(gè)利率 或債券價(jià)格 或其他變量在將來某個(gè)時(shí)刻的概率分布為對(duì)數(shù)正態(tài) 從而在某種程度上改進(jìn)了Black ScholesModel的缺陷 這也使得這一模型能夠被應(yīng)用于對(duì)上限 歐式債券期權(quán)和歐式互換這樣的產(chǎn)品定價(jià) 但是 這一模型仍然有局限性 這些模型不能夠?qū)嗜绾坞S時(shí)間變化來提供描述 因此 對(duì)美式互換期權(quán) 可贖回債券或結(jié)構(gòu)性債券產(chǎn)品定價(jià)時(shí)就不再適用了 因此 我們需要將注意力由債券的價(jià)格轉(zhuǎn)移至利率上來 12 含權(quán)債券定價(jià)的定價(jià)策略 可回購(gòu)債券的價(jià)值 不可回購(gòu)債券價(jià)值 CallOption的價(jià)值可回賣債券的價(jià)值 不可回賣債券價(jià)值 PutOption的價(jià)值回購(gòu)債券定價(jià)策略 利用利率模型給不可回購(gòu)債券定價(jià)利用利率模型給嵌入的calloption定價(jià) 13 利率二叉樹 binomialinterestratetree 前面已經(jīng)提及 當(dāng)我們?yōu)閭暮瑱?quán)證券定價(jià)時(shí) 我們需要將注意力轉(zhuǎn)移到利率的演化上來 假設(shè)6個(gè)月期和1年期的即期利率分別為3 99 和4 16 另外 6個(gè)月后6個(gè)月的即期利率可能演變成4 與4 5 圖示如下 14 利率二叉樹與無套利定價(jià) 根據(jù)即期利率目前所呈現(xiàn)的期限結(jié)構(gòu)與6個(gè)月期利率的樹狀圖 我們可以計(jì)算6個(gè)月期與1年期零息債券的價(jià)格 面值1000美元的6個(gè)月零息債券 其價(jià)格樹狀圖為 980 4402 1000 1 0 0399 2 15 利率二叉樹與無套利定價(jià) 面值1000美元的1年期零息債券 其價(jià)格樹狀圖為 注 在這里 我們按照半年復(fù)利進(jìn)行貼現(xiàn)的 959 6628 1000 1 0 0416 2 2 977 9951 1000 1 0 045 2 980 3922 1000 1 0 04 2 16 利率二叉樹與無套利定價(jià) 1年期零息債券在 日期1 的期望價(jià)格 expectedprice 是 0 5 977 9951 0 5 980 3922 979 1937以當(dāng)時(shí)的6個(gè)月期即期利率將上述價(jià)格折算為 日期0 的現(xiàn)值 則期望折現(xiàn)值為 979 1937 1 0 0399 2 960 04這一數(shù)值與前面的959 6628并不相同 為什么 因?yàn)樯鲜銎谕凳怯酗L(fēng)險(xiǎn)的 17 利率二叉樹與無套利定價(jià) 考慮一個(gè)在6個(gè)月之后可以以978 50美元的價(jià)格買進(jìn)面值為1000美元的6個(gè)月零息債券的期權(quán)的價(jià)值 選擇權(quán)價(jià)值的樹狀圖如下 18 利率二叉樹與無套利定價(jià) 無套利原理為我們提供了一套處理上述問題的定價(jià)方法 這一點(diǎn)在上一章中已有所體現(xiàn) 我們?cè)?日期0 使用6個(gè)月期和1年期零息債券構(gòu)建一個(gè)當(dāng)利率上升到4 5 時(shí)價(jià)值為0 當(dāng)利率上升到4 時(shí)價(jià)值為1 8922的組合 假定F0 5和F1分別表示6個(gè)月和1年期債券的面值 有 19 利率二叉樹與無套利定價(jià) 解前述方程式得 F0 5 772 0005 F1 789 3705即需要買進(jìn)面值為789 3705美元的1年期零息債券 賣空772 0005美元的6個(gè)月期零息債券 依據(jù)無套利原理 選擇權(quán)的價(jià)格應(yīng)當(dāng)為 0 9804402 772 0005 0 9596628 789 3705 0 63而當(dāng)我們直接將選擇權(quán)的樹狀圖中的值加權(quán)并貼現(xiàn)時(shí) 其價(jià)值等于 0 5 0 0 5 1 8922 1 0 0399 2 0 9276 要大于選擇權(quán)的真實(shí)價(jià)值 20 利率二叉樹與無套利定價(jià) 與考察股票期權(quán)的價(jià)值時(shí)不考慮股價(jià)變動(dòng)的概率相似 我們?cè)谟?jì)算上述選擇權(quán)價(jià)值時(shí) 并未考慮利率發(fā)生變動(dòng)的機(jī)率 這里給出的解釋與股票期權(quán)的解釋相同 即無論利率上升的機(jī)率是0 1還是0 9 我們組合的成分均不變 這可能會(huì)引發(fā)人們的疑問 即各種狀況出現(xiàn)的 機(jī)率 扮演的是什么角色 利率上升和下降的機(jī)率實(shí)際上已經(jīng)反映在債券的價(jià)格之中了 因而已經(jīng)通過這一渠道影響了選擇權(quán)的價(jià)值 21 利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 在前面 我們利用無套利原理 通過構(gòu)建投資組合的方法得到了選擇權(quán)的價(jià)值 但這一方法并不簡(jiǎn)便 我們可以借用上一章提出了風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理來為利率期權(quán)定價(jià) 具體如下 在前面 我們已經(jīng)說明了 未來的期望值的現(xiàn)值并不等于該債券的價(jià)格 但某一虛擬的機(jī)率可以做到這一點(diǎn) 22 利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 假定P為 上行狀況 的機(jī)率 1 P 為 下行狀況 的機(jī)率 依據(jù)下述方程式有 P等于0 661 并不是我們假定的實(shí)際機(jī)率0 5 讓我們?cè)俅慰紤]選擇權(quán)價(jià)格的樹狀圖 23 利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 當(dāng)我們使用上述的 虛擬機(jī)率 風(fēng)險(xiǎn)中性概率 對(duì)選擇權(quán)的價(jià)值求期望并貼現(xiàn)時(shí)有 可以看出 這一結(jié)果與前面使用復(fù)制的投資組合的方法得出的結(jié)論完全一致 這就是上一章已經(jīng)提及的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 作為現(xiàn)代金融學(xué)中最為微妙的概念 我們將風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)在利率期權(quán)中的應(yīng)用步驟總結(jié)如下 求取虛擬機(jī)率而使根本證券 underlyingsecurities 的價(jià)格等于其未來期望值的現(xiàn)值 然后 根據(jù)虛擬機(jī)率來計(jì)算利率期權(quán)的期望價(jià)值的現(xiàn)值 24 利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 具體邏輯如下 首先 在一個(gè)既定的零息債券價(jià)格樹狀圖之下 一種證券根據(jù)套利方式所定的價(jià)格并不取決于投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好 既然人人都同意復(fù)制的投資組合的價(jià)值 他們也應(yīng)當(dāng)會(huì)同意期權(quán)合約的價(jià)值 其次 設(shè)想一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系 它的當(dāng)時(shí)債券價(jià)格與6個(gè)月期的利率演變和我們的經(jīng)濟(jì)體系相同 在這一經(jīng)濟(jì)體中 每個(gè)人都具有中性的風(fēng)險(xiǎn)偏好 且通過組合的現(xiàn)金流得到風(fēng)險(xiǎn)中性概率 再次 在中性風(fēng)險(xiǎn)偏好的經(jīng)濟(jì)體內(nèi) 選擇權(quán)的定價(jià)是將現(xiàn)金流的期望值折現(xiàn)為現(xiàn)值 最后 由于中性風(fēng)險(xiǎn)偏好的經(jīng)濟(jì)體的價(jià)格和利率演變與我們的完全相同 因此 我們的經(jīng)濟(jì)體和風(fēng)險(xiǎn)中性經(jīng)濟(jì)體內(nèi)選擇權(quán)的價(jià)值相等 25 股票定價(jià)不能使用套利定價(jià)的原因 沒有任何的組合能夠復(fù)制未來個(gè)股價(jià)格的波動(dòng) 26 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 前面的分析都是在兩期框架下進(jìn)行的 從這里開始 我們開始討論三期框架下的情形 假定當(dāng)時(shí)1 5年期的即期利率為4 33 我們?nèi)匀患俣?個(gè)月期利率只有兩種演變可能 即上行和下行 但是 上行 下行 與 下行 上行 并不一定相等 即如下圖 27 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 這種樹狀圖一般被稱為 非結(jié)合性樹狀圖 non recombiningtree 從經(jīng)濟(jì)的角度來看 這一設(shè)定非常合理 但是在實(shí)務(wù)中 這一設(shè)定非常難于處理 甚至無法處理 當(dāng)我們處理一個(gè)二十年期的債券時(shí) 最后一期的節(jié)點(diǎn)數(shù)將超過5000億個(gè) 因此 我們一般設(shè)定結(jié)合性的樹狀圖 我們?cè)O(shè)定一個(gè)1 5年期的樹狀圖如下 28 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 當(dāng)樹狀圖的階段增加時(shí) 我們需要設(shè)計(jì)某種方法來表示節(jié)點(diǎn)的位置 一種常用的方法是 以 日期 表示樹狀圖的 列 起始點(diǎn)為0 從左忘右計(jì)數(shù) 以 狀況 來表示樹狀圖的 行 起始點(diǎn)為0 由下往上計(jì)算 我們很容易構(gòu)建1 5年期零息債券的價(jià)格樹狀圖 如下 937 7641 1000 1 0 0433 2 3 29 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 在上圖中 Pu和Pd是表示1 5年期債券在經(jīng)過了0 5年之后的價(jià)格 它當(dāng)時(shí)是1年期的零息債券 這兩個(gè)價(jià)格是未知的 我們很自然就想到使用風(fēng)險(xiǎn)中性概率求取債券的期望值 并將其折算為市場(chǎng)價(jià)格 具體的樹狀圖如下 30 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的偏好 我們有解之得 q 0 632 31 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 此時(shí) 1 5年期零息債券價(jià)格的樹狀圖變?yōu)?32 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 此時(shí) 我們可以使用 日期0 和 日期1 兩組風(fēng)險(xiǎn)中性概率 和利率的樹狀圖為含權(quán)債券定價(jià)了 例如 某1年期證券的到期價(jià)值有三種可能的結(jié)果 500 100 10 該證券未來一年的樹狀圖為 33 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 日期1 狀況1 的價(jià)格為 日期1 狀況0 的價(jià)格為 日期0 的價(jià)格為 34 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 既然我們可以將風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型由2期擴(kuò)展到3期 那么我們應(yīng)當(dāng)可以將其擴(kuò)展至任何日期 計(jì)算 n 1 個(gè)半年期債券價(jià)格的步驟如下 1 取得當(dāng)時(shí)的利率期限結(jié)構(gòu) 即r 0 5 r 1 r 1 5 r 2 r n 2 0 5 2 設(shè)定6個(gè)月期利率在未來n期的演變圖 換言之 就是 日期0 到 日期n 1 之間的利率樹狀圖 3 分別計(jì)算1年期 1 5年期 n 2 0 5 年期零息債券價(jià)格的樹狀圖 以及所有相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率 4 計(jì)算 n 1 個(gè)半年期的債券價(jià)格 由債券的到期價(jià)值依次往前推算 其依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性概率 最終得到第0期的價(jià)格 35 一年期即期利率的樹狀圖 根據(jù)前面所討論的1 5年期零息債券價(jià)格樹狀圖 我們可以計(jì)算6個(gè)月之后所可能發(fā)生的兩個(gè)1年期即期利率 在6個(gè)月之后 1 5年期的債券將成為1年期的零息債券 它有兩個(gè)可能的價(jià)格 955 6376與960 4493 這兩個(gè)價(jià)格蘊(yùn)含的1年期利率為4 59 與4 08 由于我們假定當(dāng)時(shí)的1年期利率為4 16 因此 1年期利率的樹狀圖如下 36 單一因子模型的缺陷 實(shí)質(zhì)上 上述6個(gè)月之后1年期即期利率之所以能夠推算出來 是因?yàn)楫?dāng)我們確定了6個(gè)月期利率的樹狀圖之后 已經(jīng)隱含的假定所有固定收益證券的價(jià)格都可以由6個(gè)月期利率的演變所決定 也就是說 我們假定的每種可能狀況都完全取決于該狀況的6個(gè)月期利率 在多重因子模型 multi factor 中 我們可以假定所有證券的價(jià)格是取決于數(shù)種而不是一種隨機(jī)變量 例如 在LongstaffandSchwartz 1992 的模型中 可能的狀況由短期利率水平及其波動(dòng)率共同決定 37 單一因子模型的缺陷 單一因子模型的重大缺陷在于 由于單一因子的隨機(jī)演變將決定所有證券的價(jià)格 所以各種證券的報(bào)酬率之間具有完美的相關(guān)性 就技術(shù)上而言 不同到期日的債券報(bào)酬率之間雖然存在正向關(guān)聯(lián) 但并不完美 多因子模型就能夠做到這一點(diǎn) 然而 盡管多因子模型比較符合實(shí)際情況 但模型本身非常難以處理 因此 我們僅僅介紹比較單純的單一因子模型 38 時(shí)間階段的縮短 將間隔時(shí)間縮短至6個(gè)月以下 在建構(gòu)利率樹狀圖時(shí) 僅僅涉及技術(shù)性而不是觀念性的調(diào)整 首先 利率期限結(jié)構(gòu)的資料必須對(duì)應(yīng)于模型所選定的時(shí)間階段 其次 利率樹狀圖中所演變的利率也必須對(duì)應(yīng)階段的時(shí)間 39 時(shí)間階段的選擇 這必然導(dǎo)致另一個(gè)問題 即時(shí)間階段如何選擇 第一 時(shí)間階段越短 耗時(shí)越長(zhǎng) 第二 計(jì)算證券涉及的步驟越多 數(shù)據(jù)上的處理越需要留意 例如 四舍五入 最理想的時(shí)間階段取決于所處理的問題 比較精密的模型 允許樹狀圖有數(shù)種時(shí)間階段 以便在精密性與方便性之間取得最佳的均衡 40 期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù) 利率模型 到目前為止 我們已經(jīng)知道 根據(jù)當(dāng)時(shí)的利率期限結(jié)構(gòu) 并假設(shè)短期利率的演變過程 我們就可以為利率期權(quán)定價(jià)了 這一方法的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相互協(xié)調(diào)而不矛盾 但價(jià)格的精確性則取決于利率模型的假設(shè) 而如何假設(shè)短期利率的演變過程則更像是一門藝術(shù) 從這里開始 我們將介紹業(yè)內(nèi)人士如何擬定假設(shè) 借以創(chuàng)造可靠的期限結(jié)構(gòu) 41 期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù) 利率模型 利率模型分為兩類 無套利模型 arbitrage freemodel 和均衡模型 equilibriummodel 前者是指利用當(dāng)前的債券市場(chǎng)價(jià)格推導(dǎo)出短期利率的演變過程 因此 無套利機(jī)會(huì)模型推導(dǎo)出的結(jié)果必須符合當(dāng)時(shí)的利率期限結(jié)構(gòu) 后者則不同 它并不認(rèn)為債券的市場(chǎng)價(jià)格必然合理 從基本方面來說 均衡模型是根據(jù)當(dāng)時(shí)的期限結(jié)構(gòu)來推導(dǎo)出期望報(bào)酬所具有的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià) 均衡模型一般先對(duì)經(jīng)濟(jì)變量做假設(shè) 并推導(dǎo)出一個(gè)關(guān)于短期利率的演變過程 然后再得出對(duì)債券價(jià)格與期權(quán)價(jià)格的影響 簡(jiǎn)而言之 在均衡模型中 利率的演變過程是模型輸出的結(jié)果 在無套利模型中 今天的利率期限結(jié)構(gòu)是作為輸入值來使用的 42 利率模型 無套利模型 從上一章可以看出 股票價(jià)格變動(dòng)參數(shù)的設(shè)定決定了股票期權(quán)二叉樹中的風(fēng)險(xiǎn)中性概率 同理 短期利率的演變過程參數(shù)的設(shè)定也將決定利率二叉樹中的風(fēng)險(xiǎn)中性概率 通常情況下 我們會(huì)假定利率變化服從某一分布過程 然后 通過無套利的方法來確定這一分布過程中的參數(shù) 注意到 我們可以通過將風(fēng)險(xiǎn)中性概率設(shè)為0 5 從而方便我們后來的計(jì)算 但此時(shí)隨機(jī)游走過程中的參數(shù)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化 這些參數(shù)必須滿足均值和方差的要求 43 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 44 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 表示整個(gè)期間內(nèi)1年期利率波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差 r1 H表示在第1年底較高的1年期即期利率 r1 L表示在第1年底較低的1年期即期利率 由于我們假設(shè)了利率的變化服從對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)游走過程 這兩者的關(guān)系就是 r1 H r1 Le2 同理有r2 HH r2 LLe4 r2 HL r2 LLe2 r3 HHH r3 LLLe6 r3 HHL r3 LLLe4 r3 HLL r3 LLLe2 因此 我們?cè)诿恳浑A段只需要計(jì)算出最低利率即可 45 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 假定市場(chǎng)上存在四種債券 四種債券都是按照面值銷售 因此債券的到期收益率等于其票面利率 同時(shí)假設(shè)這兩種債券是按年付息 10 有關(guān)信息如下表 46 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 47 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 VH 100 4 2 1 r1e2 VL 100 4 2 1 r1 100 1 2 VH 4 2 1 r0 VL 4 2 1 r0 解之得 r1 4 4448 重復(fù)上面的步驟 我們可以得到r2 r3 r4 rt 48 Ho Lee 模型 HoandLee 1986 第一次提出了關(guān)于期限結(jié)構(gòu)的無套利模型 在該模型中 短期利率的二項(xiàng)式變動(dòng)如下 也就是說 新的短期利率是前一期的短期利率 加上某常數(shù)乘以時(shí)間階段 再加上或減去某一個(gè)常數(shù)乘以時(shí)間階段的平方根 前者稱之為趨勢(shì)變量 drift 后者稱之為隨機(jī)偏離 randomdeviation 49 Ho Lee 模型 在這里波動(dòng)率和利率都是以基點(diǎn)的形式表示的 所以波動(dòng)率 也稱為基點(diǎn)波動(dòng)率 50 Ho Lee 模型 剩下的工作就如前面的那個(gè)簡(jiǎn)單例子一樣了 即確定參數(shù)m和 的數(shù)值 波動(dòng)率闡述 是用來取得期權(quán)的 理想 價(jià)格 它的數(shù)值可以根據(jù)利率波動(dòng)率的某種看法 歷史資料或某種隱含的方法來設(shè)定 下面我將簡(jiǎn)單的介紹一下如何使用歷史資料來確定波動(dòng)率的方法 51 波動(dòng)率 波動(dòng)率是利率模型的關(guān)鍵因素 我們可以用標(biāo)準(zhǔn)差來表示波動(dòng)率 用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)波動(dòng)率a 選擇到期收益率的歷史數(shù)據(jù) 每天 b 計(jì)算到期收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差c 乘以365 或250 得到年的波動(dòng)率 52 Ho Lee 模型 讓我們重新用回前面的半年期債券的例子 假定 等于0 45 那么6個(gè)月期 一個(gè)階段 的波動(dòng)率為 6個(gè)月期和1年期的即期利率分別為3 99 4 16 因此 1年期零息債券的樹狀圖應(yīng)當(dāng)為 53 Ho Lee 模型 此時(shí) 使用利率二叉樹模型估計(jì)出的價(jià)格必須等于1年期零息債券的價(jià)格 因此有解之得 m 0 342089 將這一數(shù)值代入到利率樹狀圖中 可得 54 Ho Lee 模型 同樣的 我們將利率樹狀圖延伸一期 Ho Lee模型假定了波動(dòng)率保持不變 因此有 55 Ho Lee 模型 依據(jù)先前推演的數(shù)據(jù) 我們可以得到下圖假定1 5年期零息債券的即期利率為4 33 1 5年期零息債券的價(jià)格為0 937764 那么1 5年期零息債券的價(jià)格樹狀圖應(yīng)當(dāng)為如下 56 Ho Lee 模型 57 2020 1 15 58 Ho Lee 模型 對(duì)于一個(gè)1 5年期的零息債券來說 模型的定價(jià)必須等于市場(chǎng)價(jià)格 因此有解之得 m 1 36176 帶入6個(gè)月期的利率樹狀圖可得 59 Ho Lee 模型 依次類推 我們得到任何利率期間的樹狀圖 但該模型也存在一些缺點(diǎn) 第一個(gè)缺點(diǎn)就是該模型的正態(tài)分布假設(shè) 這將導(dǎo)致利率可能為負(fù)值 當(dāng)負(fù)值的隨機(jī)沖擊相當(dāng)大時(shí) 利率可能為負(fù)值 某些業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為這是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤 但另一些人則認(rèn)為 只要模型能夠理想的定價(jià) 不需過分在意這一點(diǎn) 第二個(gè)缺點(diǎn)是短期利率的基點(diǎn)波動(dòng)率不受利率水平的影響 而業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為 當(dāng)利率水平比較高時(shí) 短期利率的基點(diǎn)波動(dòng)率應(yīng)該比較大 但這也不是一個(gè)公認(rèn)的現(xiàn)象 60 所羅門兄弟模型 所羅門兄弟模型彌補(bǔ)了Ho Lee模型的一些缺陷 如使用對(duì)數(shù)正態(tài)分布取代了正態(tài)分布 這保證了利率值不可能為負(fù) 同時(shí) 短期利率的基點(diǎn)波動(dòng)率將與利率水平成比例 也就是說基點(diǎn)波動(dòng)率等于比例波動(dòng)率乘以利率 短期利率的演變過程如下 61 所羅門兄弟模型 如果對(duì)樹狀圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)取自然對(duì)數(shù) 則有換言之 短期利率的自然對(duì)數(shù)呈正態(tài)分布 在統(tǒng)計(jì)學(xué)上 某種隨機(jī)變量的自然對(duì)數(shù)呈現(xiàn)正態(tài)分布 該隨機(jī)變量本身呈現(xiàn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布 62 所羅門兄弟模型 我們使用與前面完全相同的計(jì)算方法可以得到模型的參數(shù) 進(jìn)而得到各時(shí)間段的短期利率的演變過程 但是這一模型同樣具有缺陷 與Ho Lee模型一樣 原始的所羅門兄弟模型對(duì)短期利率波動(dòng)率也提出的假設(shè) 只不過這一假設(shè)是隱含的而已 如果6個(gè)月期利率的比例波動(dòng)率為12 則使用所羅門模型所隱含的波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)計(jì)算得到的30年期利率的波動(dòng)率將降至10 5 就實(shí)際觀察而言 波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu) 期斜率確實(shí)是下降的 但下降的速度快于所羅門兄弟模型所蘊(yùn)含的速度 63 Black Derman Toy模型 和所羅門兄弟模型相比 這一模型的最主要的優(yōu)點(diǎn)是可以反映利率期限結(jié)構(gòu)的實(shí)際波動(dòng)情況 這是因?yàn)?它假設(shè)短期利率波動(dòng)率 隨時(shí)間而變動(dòng) 且利率的趨勢(shì)變量m將受到利率水準(zhǔn)的影響 業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為 利率水平偏高時(shí) 它的趨勢(shì)變量相對(duì)較小 甚至為負(fù)值 而當(dāng)利率水平偏低時(shí) 趨勢(shì)變量相對(duì)較大 也就是說具有所謂的均值復(fù)歸現(xiàn)象 64 Black Derman Toy模型 BDT模型具有如下的結(jié)構(gòu) 為了保證樹狀圖時(shí)結(jié)合的 我們一般假定這相當(dāng)于假定 65 其他的利率模型 同樣的是 BDT模型也并非是完美無缺的 它也存在很多缺陷 后續(xù)的模型也對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn) 無套利的利率模型還有 BlackandKarasinski 1990 模型HullandWhite 1990 模型等利率模型中的均衡模型有Vasicek 1977 模型RendlemanandBartter 1980 模型Cox IngersollandRoss 1985 模型等 66 無套利模型和均衡模型的比較 取得模型所需要的資料無套利模型需要即期利率期限結(jié)構(gòu)的資料 相對(duì)容易取得 均衡模型需要以某種方法來衡量投資者承擔(dān)利率風(fēng)險(xiǎn)所需要的報(bào)酬 難以取得 對(duì)資料瑕疵的敏感程度無套利機(jī)構(gòu)模型將利率期限結(jié)構(gòu)視為合理 但事實(shí)上 市場(chǎng)報(bào)價(jià)并不必然合理 這可能是由于計(jì)算上的錯(cuò)誤 流動(dòng)性限制或其他特殊因素所造成 均衡模型則能剔除這類有問題的價(jià)格 67 無套利模型和均衡模型的比較 運(yùn)用模型來交易現(xiàn)金流量固定的債券無套利模型認(rèn)為所有債券的價(jià)格都是正確的 因此認(rèn)為任何策略都無利可圖 而均衡模型并不認(rèn)為現(xiàn)有債券價(jià)格必然合理 因此可以被應(yīng)用 運(yùn)用模型來交易衍生性合約指買進(jìn)或賣出衍生性合約 同時(shí)運(yùn)用根本正貨或其他衍生性合約來規(guī)避頭寸的風(fēng)險(xiǎn) 這種策略的獲利只需要知道相對(duì)定價(jià)錯(cuò)誤即可 而無套利模型可以很好的滿足這一需求 但均衡模型則需要同時(shí)計(jì)算兩種策略的值 因此相對(duì)不合理 68 無套利模型和均衡模型的比較 模型的持續(xù)性每當(dāng)運(yùn)用的時(shí)候 無套利機(jī)會(huì)模型需要假設(shè)趨勢(shì)變量 波動(dòng)率與利率回歸均值的行為 但是不同的運(yùn)用日期 模型的參數(shù)都需要相應(yīng)的變化 而均衡模型是根據(jù)歷史資料或某種堅(jiān)定的信念來設(shè)定參數(shù) 所以模型的參數(shù)不會(huì)發(fā)生變化 均有內(nèi)部的一致性 69 無套利模型和均衡模型的比較 70 給頂 底 互換選擇權(quán)和可轉(zhuǎn)換債券定價(jià) 我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握了利率二叉樹的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 也理解了利率二叉樹的構(gòu)建過程 從這里開始 我們可以給各種利率期權(quán)定價(jià)了 下面的內(nèi)容包括 頂與底互換選擇權(quán)可轉(zhuǎn)換債券 71 頂與底 利率的頂是一個(gè)選擇權(quán) 它限制住了浮動(dòng)利率負(fù)債所支付的最高利率水平 利率的底是一個(gè)選擇權(quán) 它限制住了浮動(dòng)利率負(fù)債所支付的最低利率水平 頂和底可以 脫離貸款本身 可以通過單獨(dú)交易來獲得 與證券相連 其價(jià)格體現(xiàn)在了證券的利率當(dāng)中 72 頂與底 一個(gè)頂可以被理解為關(guān)于浮動(dòng)利率R的一串calloptions 一個(gè)底可以被理解為關(guān)于浮動(dòng)利率R的一串putoptions 頂和底被分離出來的部分被稱為 caplets floorlets 頂?shù)挠?本金 期限 max Rt Rk 0 Rt t期的利率Rk caprate注意是你購(gòu)買了頂 給你帶來的利益 而不是實(shí)際支付的利率 73 例 給Cap定價(jià) Caprate5 2 名義數(shù)量 10 000 000 支付頻率 年利率變化 r0 3 5 ru 5 4289 rd 4 4448 ruu 7 0053 rud 5 7354 rdd 4 6958 ruuu 9 1987 ruud 7 5312 rudd 6 1660 rddd 5 0483 74 例 Valueoftheyear1caplet 22 890 10 000 000 5 4289 5 2 11 058 0 5 22 890 0 1 035 11 058r0 3 5 22 890ru 5 4289 0rd 4 4448 75 例 Valueoftheyear2caplet 66 009r0 3 5 111 008ru 5 4289 0rdd 4 6958 53 540rud 5 7354 180 530ruu 7 0053 25 631rd 4 4448 76 例 Valueoftheyear3caplet 150 214r0 3 5 214 217ru 5 4289 96 726rd 4 4448 295 775ruu 7 0053 155 918rud 5 7354 46 134rdd 4 6958 399 870ruuu 9 1987 233 120ruud 7 5312 96 600rudd 6 1660 0rddd 5 0483 77 例 ValueofCap Valueofcap valueofcaplet1 valueofcaplet2 valueofcaplet 11 058 66 009 150 214 227 281 78 例 給Floor定價(jià) Floorrate4 8 名義金額 10 000 000 支付頻率 年利率變化如下 r0 3 5 ru 5 4289 rd 4 4448 ruu 7 0053 rud 5 7354 rdd 4 6958 ruuu 9 1987 ruud 7 5312 rudd 6 1660 rddd 5 0483 79 例 Valueoftheyear1floorlet 35 520 10 000 000 4 8 4 4448 17 159 0 5 35 520 0 1 035 17 159r0 3 5 0ru 5 4289 35 520rd 4 4448 80 例 Valueoftheyear2floorlet 2 410r0 3 5 0ru 5 4289 10 420rdd 4 6958 0rud 5 7354 0ruu 7 0053 4 988rd 4 4448 81 例 Valueoftheyear3floorlet 0r0 3 5 0ru 5 4289 0rd 4 4448 0ruu 7 0053 0rud 5 7354 0rdd 4 6958 0ruuu 9 1987 0ruud 7 5312 0rudd 6 1660 0rddd 5 0483 82 例 ValueofFloor Valueoffloor valueoffloorlet1 valueoffloorlet2 valueoffloorlet 17 159 2 410 0 19 569 83 互換選擇權(quán) Swaptions 例 有下面互換 名義本金 1000 期限3年 固定利率支付方每年支付10 1 他擁有選擇權(quán) 使他隨時(shí)可以終結(jié)互換 我們的目的是要確定這一互換選擇權(quán)的價(jià)值 假定在0時(shí)點(diǎn)利率為10 利率上升與下降的概率各為50 利率路徑如下 84 例 Swaptions r0 10 ru 11 rd 9 ruu 12 rud 10 rdd 8 85 例 Swaptions 如果理解為本金也相互交換 對(duì)于分析該問題 也許更為方便 由于收和付的金額是相等的 這不會(huì)影響期權(quán)的價(jià)值 我們的分析是從后往前走的 主要注意的是 互換是按照年初約定的利率 而在年底互換的 86 例 Swaptions 在Time2 市場(chǎng)利率分別為12 10 or8 如果是12 固定利率最后支付額的現(xiàn)值 1101 1 12 983 04 YOU 浮動(dòng)利率最后支付額的現(xiàn)值 1120 1 12 1000 00不執(zhí)行 因此 期權(quán)的價(jià)值為 0 87 例 Swaptions 如果是10 固定利率最后支付額的現(xiàn)值 1101 1 10 1000 91 YOU 浮動(dòng)利率最后支付額的現(xiàn)值 1100 1 10 1000 00執(zhí)行的價(jià)值為 0 91 所以 期權(quán)的價(jià)值為 0 91 88 例 Swaptions 如果是8 固定利率最后支付額的現(xiàn)值 1101 1 08 1019 44 YOU 浮動(dòng)利率最后支付額的現(xiàn)值 1080 1 08 1000 00執(zhí)行的價(jià)值為 19 44 所以 19 44 89 例 Swaptions 在Time1 市場(chǎng)利率分別為11 orat9 如果是11 剩下的固定利率支付額的現(xiàn)值 101 1 11 0 5 1101 1 10 1101 1 12 1 11 984 66 YOU 浮動(dòng)利率支付的現(xiàn)值 110 1 11 1000 1 r2 1 11 1 r2 1000 不執(zhí)行 另外 你仍然有選擇權(quán) 該選擇權(quán)也許在下一期帶來價(jià)值 期權(quán)的現(xiàn)值為 5 0 5 91 1 11 41 90 例 Swaptions 如果是9 剩下的固定利率支付額的現(xiàn)值 101 1 09 5 1101 1 08 1101 1 10 1 09 1019 35浮動(dòng)利率支付的現(xiàn)值 1090 1 09 1000 執(zhí)行的價(jià)值為 19 43 等待的價(jià)值也許超過執(zhí)行的價(jià)值 5 19 43 5 91 1 09 9 33 結(jié)論 立即執(zhí)行 價(jià)值 19 35 91 例 Swaptions 在Time0 利率為10 剩下的固定利率支付額的現(xiàn)值 1002 77 1002 77r0 10 984 66101ru 11 1019 43101rd 9 983 04101ruu 12 1000 91101rud 10 1019 44101rdd 8 1101 1101 1101 1101 92 例 Swaptions 浮動(dòng)利率支付的現(xiàn)值 1100 1 1 1000 立即執(zhí)行的價(jià)值為 2 76 但是 也許等待的價(jià)值更高 不執(zhí)行則期權(quán)的價(jià)值為 5 41 5 19 35 1 1 8 98 在time0 期權(quán)的價(jià)值為 8 98 我們終于找到了它 93 可贖回債券與可回售債券 可贖回債券是指賦予發(fā)行人在到期日之前按照約定價(jià)格贖回債券的權(quán)利 可回售債券是指賦予投資者在到期日之前將債券按照約定的價(jià)格回售給發(fā)行者的權(quán)利 94 可贖回債券與可回售債券 可贖回債券價(jià)格 不可贖回債券價(jià)格 期權(quán)價(jià)格之所以從不可贖回債券價(jià)格中減去期權(quán)的價(jià)格 是因?yàn)橥顿Y者向發(fā)行者出售期權(quán)時(shí)會(huì)收到期權(quán)價(jià)格 這等同于減少了債券購(gòu)買價(jià)格 可回售債券價(jià)格 不可回售債券價(jià)格 期權(quán)價(jià)格之所以不可回售債券價(jià)格加上期權(quán)價(jià)格才等于可回售債券價(jià)格 是因?yàn)橥顿Y者向發(fā)行者購(gòu)買期權(quán)時(shí)會(huì)支付期權(quán)價(jià)格 這等于增加了債券購(gòu)買價(jià)格 95 可贖回債券價(jià)格的確定 利率二叉樹的方法 假定市場(chǎng)上存在普通債券和可贖回債券兩種債券 債券的面值都是100元 票面利率都是6 5 剩余期限都是四年 可贖回債券在一年后可以按照面值100元提前贖回 4年期的債券價(jià)格的利率二叉樹如下 96 可贖回債券價(jià)格的確定 我們已經(jīng)知道如何計(jì)算任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)處的債券的價(jià)值V 由于發(fā)行者可以按照贖回價(jià)贖回債券 因此 只要某節(jié)點(diǎn)處計(jì)算出的債券價(jià)值超過贖回價(jià) 發(fā)行者就可以按照贖回價(jià)贖回債券以減少自己的負(fù)債 因此 我們首先計(jì)算所有節(jié)點(diǎn)處的價(jià)值V 然后取贖回價(jià)100元和V兩者之中的較小值作為該節(jié)點(diǎn)債券的價(jià)值 這樣我們可以構(gòu)造出下圖 97 可贖回債券價(jià)格的確定 98 可轉(zhuǎn)換債券 可轉(zhuǎn)換債券是一種公司債 持有人有權(quán)在規(guī)定期限內(nèi)按事先確定的轉(zhuǎn)換價(jià)格將其轉(zhuǎn)換成發(fā)行人普通股股票的期權(quán) 它可以看成是由兩部分構(gòu)成 普通債券加上賦予債券投資人將債券轉(zhuǎn)換為發(fā)行人普通股股票的權(quán)利 99 可轉(zhuǎn)換債券的有關(guān)術(shù)語(yǔ) 可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格就是指投資者購(gòu)買可轉(zhuǎn)換債券時(shí)實(shí)際支付的價(jià)格 可轉(zhuǎn)換債券的投資價(jià)值是指可轉(zhuǎn)換債券作為普通債券的價(jià)值 即取消可轉(zhuǎn)換債券的可轉(zhuǎn)換條款后的普通債券的價(jià)值 轉(zhuǎn)換比率是事先規(guī)定的一個(gè)可轉(zhuǎn)換債券可以轉(zhuǎn)換為普通股股票的數(shù)量 相應(yīng)的 我們可以得到轉(zhuǎn)股價(jià)格 轉(zhuǎn)換價(jià)值則等于轉(zhuǎn)換時(shí)普通股票的價(jià)格與轉(zhuǎn)換比率的乘積 也就是投資者將可轉(zhuǎn)換債券換成股票后股票的市場(chǎng)價(jià)值 轉(zhuǎn)換價(jià)值 轉(zhuǎn)換時(shí)普通股票價(jià)格 轉(zhuǎn)換比率 100 可轉(zhuǎn)換債券的有關(guān)術(shù)語(yǔ) 市場(chǎng)轉(zhuǎn)換價(jià)格是指 如果一個(gè)投資者購(gòu)買可轉(zhuǎn)換債券 然后立即將其轉(zhuǎn)為股票 該投資者為普通股票實(shí)際支付的價(jià)格 市場(chǎng)轉(zhuǎn)換價(jià)格 可轉(zhuǎn)換債券的市場(chǎng)價(jià)格 轉(zhuǎn)換比率市場(chǎng)轉(zhuǎn)換價(jià)格是一個(gè)對(duì)分析比較有用的數(shù)字 如果股票市場(chǎng)價(jià)格與市場(chǎng)轉(zhuǎn)換價(jià)格水平一致 股票價(jià)格進(jìn)一步的上升都會(huì)使可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值增加 其增加數(shù)額至少與股票價(jià)格上升的數(shù)額相同 因此 市場(chǎng)轉(zhuǎn)換價(jià)格可被視為一個(gè)盈虧平衡點(diǎn) 101 可轉(zhuǎn)換債券的有關(guān)術(shù)語(yǔ) 可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格一般會(huì)超過轉(zhuǎn)換價(jià)值 即市場(chǎng)轉(zhuǎn)換價(jià)格一般會(huì)大于當(dāng)期的股票價(jià)格 轉(zhuǎn)換溢價(jià)等于可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格超過轉(zhuǎn)換價(jià)值的部分占轉(zhuǎn)換價(jià)值的比率 用公式表示如下 轉(zhuǎn)換溢價(jià) 可轉(zhuǎn)換債券的市場(chǎng)價(jià)格 轉(zhuǎn)換價(jià)值 轉(zhuǎn)換價(jià)值可轉(zhuǎn)換債券的附加條款可轉(zhuǎn)換債券一般會(huì)同時(shí)規(guī)定許多附加條款 如轉(zhuǎn)股期 轉(zhuǎn)股價(jià)修正條款 可贖回條款和可回售條款 102 可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值 可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值可以由兩部分構(gòu)成 普通債券加上債券持有者將債券轉(zhuǎn)換為普通股票的期權(quán) 由此 可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值可以分為三個(gè)部分 普通債券價(jià)值 轉(zhuǎn)換價(jià)值和期權(quán)價(jià)值 可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值至少不會(huì)低于以下兩者中的最高者 普通債券價(jià)值和轉(zhuǎn)換價(jià)值 103 可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值 從上圖中可以看出 可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值等于普通債券價(jià)值和轉(zhuǎn)換價(jià)值兩者之間的最大值與期權(quán)