蘇化明：高等數(shù)學(xué)中的逆向思維.pdf

2 0 0 1 年 第 5期 數(shù)學(xué)通 報(bào) 高 等 數(shù) 學(xué) 中 的逆 向思 維 蘇 化 明 臺(tái)肥工業(yè)大學(xué)教學(xué)與信息科學(xué)系 2 3 0 O O 9 逆向思維的基本特點(diǎn)是 從 已有思路的相反 方 向去思考問題 如 考慮使用間接方法 考慮逆 推 考慮研究逆命題 考慮問題的不可能性 等 它 有利于克服思維定勢(shì) 的保 守性 常?？蓭椭藗?尋求新的思路 新的方法 開拓新 的知識(shí)領(lǐng)域 在 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中 不少內(nèi)容都可 以用來培養(yǎng)學(xué)生 的逆向思維能力 作者在工科高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐 中曾對(duì)這 問題作 過探討 以下我們將從幾個(gè)主 要 方 面來說 明這一 問題 1 利用定 義 的可 逆性 1 利用定積 分 的定義 求極 限 例 1 設(shè) 在 0 1 上連續(xù) 且 0 求極 限 z 1 上?？萍?大學(xué) 1 9 8 0 注 本例為上海科技大學(xué) 1 9 8 0年碩士研究生 入學(xué)試題 下 同 解 利用定積分 的定義 n 1 2 利用 積分 的幾 何意義 求定積 分 例 2 計(jì) 算 l 2 x X 2 全 國 2 o o 解 原積分即為I 1 一 一1 由于 Y 1 一 一1 o o 1 表示圓心為 1 0 半 徑為1 的 圓 周 故由 定積 分的 幾 何 意 義知 號(hào) 2 定理 公 式 的逆 用 1 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求數(shù)列極限 例 3求極 限 z l i 二 昆 明工學(xué) n 院 1 9 8 2 解 考 慮 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 耋 u 耋 n n o Flj k n n f 題 解 S m 1 9 8 9 3 0 6 6 3 取 6 6 3左右各 解 取 左右各 由性質(zhì) 3可 知 最 佳 分拆 中最 多 只 能一 處 出 現(xiàn)相鄰兩數(shù)的差為 2 其余相鄰二數(shù)之差都為 1 由上述分析可知 欲使分拆后 值最大 可 按性質(zhì) 1 先求出 S m的值 然后寫 出 S m左右 共 m個(gè)整數(shù)值 盡可 能做 到左 右對(duì)稱 若 S k r l 0 r m 則可把分拆的后r 1 個(gè)整 數(shù)向右移 1 位 即 n 變成 1 m r 1 6 B I 若S K r 2 0 r 2 B 1 可將分拆 數(shù)前面 I 2 個(gè)數(shù)向左移 1 位 即 變成 一1 6 1 6 F 2 設(shè) 最少數(shù) 2 由性質(zhì) 2 3可 知 此種分拆就是所求的最佳分拆數(shù) 例 1 第 四屆 冬 令營 第 5題 即文 首獲 獎(jiǎng) 命 1 5 個(gè)數(shù) l l1 5 2 5 3 8 1 又1 9 8 9 K一 6 可將 5 2 5 3 5 7各 減 少 1 得 最 佳 分拆 為 5 1 5 2 5 6 5 8 5 9 8 1 I 1 7i 1 7 5 1 J 5 8 另解 1 9 8 9 K 2 4 可將后面2 4 個(gè) 整數(shù) 各加 1 得 5 1 5 2 5 6 5 8 5 9 8 1 又如將 1 9 9 5分拆成 3 0個(gè)正整數(shù)之 和 使 n 2 n 3 求 ll i ll l k 最大時(shí) 的分拆數(shù) 因?yàn)?S m 1 9 9 5 3 0 6 6 5 取 6 6 5 兩側(cè)各 1 5 個(gè) 數(shù)得1 9 9 5 K 最佳 分拆數(shù)為5 2 5 3 8 1 如 1 故 維普資訊 2 0 0 1 年 第 5期 數(shù)學(xué)通 報(bào) 因?yàn)?l i m l lm 1 n t n J 一 l i ra l n l f l i m 2 一2 1 1 所以級(jí)數(shù) 收斂 故由級(jí)數(shù)收斂的 必要條件 知 2 0 2 利用函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例 4求 廠 lt r c t s l l 的各階導(dǎo)數(shù)在 0 處的值 東北工學(xué) 院 1 9 8 1 解 因?yàn)?南 n 0 1 e 證 明 全 國 1 9 9 3 證 若 6 n e 則 例 8設(shè) 一1 證 明 若 0 口 1 則 1 1 i 若 d 1 則 1 1 j i 兩式 中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 0 時(shí)成立 南京工 學(xué) 院 1 9 8 2 證 若 0 一1 即 1 1 0 則當(dāng) 0 d0 即 1 1 則當(dāng) 0 n 1 時(shí) 1 1 從而l 1 t d x l 即 1 一1 且 0 口 1 時(shí) i 式成立 且其 中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 0 時(shí)成立 用類 似的步驟 可證 j 2 利用 二重積 分求解定 積分 問題 眾所周知 著名的概率積分 l e d x就是 借助于二重積分求解的 這種思想也 可以用來解 另一些定 積分 問題 例 9求 d x 全國 1 9 9 o 解 一 一 J 0 2一 J o 1 一f 盤 一 一 J 0 1 J c 2一 J 1 I 2 f 出 1 r 出 引 丁 了J 2 1 1 n 2 例 1 0設(shè) 是定義在 0 1 上 的一個(gè) 正 值單調(diào)遞減函數(shù) 求證 J J J J 第 1 7屆美 國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題 證 要證 的不等式 等價(jià) 于 舳 即 證 一 舳J 1 2 0 或 J y y 一 f y d x d y 0 令 f y y 一 y d x d d y 令 J J y y 一 y 則 J 二 J y y 一 于 是 2 1 J o J y 一 f y d x d y 由于 l廠單 調(diào)遞 減 故 對(duì) 于 0 1 上 的任 意 Y 必有 Y 一f y 0 從而 2 1 0 因而要證 的不等 式成立 3 積 分問題 的導(dǎo)數(shù) 解法 j 利用求二階常系數(shù)線性非齊次微分方 程特解的思想求解某些不定積分 例 1 1 求l X 3 e d x 華東六省一市 1 9 8 6 解 令 2 f 則 i 3 e 2 1 l fe 一 設(shè) l t e 一 耐 b e c n b 為待定常數(shù) c 為任意常數(shù) 上式 兩邊對(duì) 求 導(dǎo)數(shù) 得 t e 一 m b e 即 一 m 一 b 比較 同次 冪 系數(shù)知 0 一1 b 一1 故 l t e d t 一 1 e c 從而 l e 一 一 1 e 一 c 例 1 2求I e 3 ts l n 4 t d t 東北師范大學(xué) 1 9 8 2 解 令I(lǐng) e i n 4 t d t e a c o s 4 t b s in 4 t n b為待定常數(shù) c為任意常數(shù) 上式 兩邊 對(duì) f 求導(dǎo) 數(shù) 得 e n 4 f 3 8 a c o s 4 t b s i n 4 t e 一 4a s i n 4t 4b c o s 4t 即 3 n 4 b c o s 4 t 一4 n 3 b s i n 4 t s i n 4 t 比較知 3 4 b 0 一4 a 3 b 1 解得 n L一 一 25 一 2 5 故 l e 3 s i n 4 t d t 一 e 4 c 4 t 一 3 s i n 4 t c 利 用微 分學(xué) 方法 解定 積 分問題 例 1 3設(shè) 廠 是 連續(xù) 函數(shù) 證 明 c d f 哈爾濱工業(yè) 大學(xué) 1 9 8 1 證 令 r d f d 一 一 M d u 0 則 j 出一 J 如一 維普資訊 3 0 2 0 0 1 年 第 5期 數(shù)學(xué) 通報(bào) 0 故 c 常數(shù) 又 O 0 所以 9 0 從而原等式成立 例 l 4 設(shè) 廠 在閉區(qū)間 0 1 上連續(xù) 在開 區(qū)間 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 且f o O 0 f 1 證 明 舳 第 3 4 屆美國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題 證令C x 2 I d t 一 0 1 則有 c o 0 且 G x 2 f 一 x x 2 f 1 一f 由于0 f 1 0 0 故當(dāng)0 1 時(shí) 廠 x 0 x 0 從而 G x 0 再 令F J 出 一 J 尸 d r 0 1 則有F 2 廠 I 一 尸 2 Jo f d t d t 一 f c 由前所證 故 F 0 又 r O 0 所以 F 0 特別地有 F 1 0 賄 鼬 出 4利用解題 的可逆 性原 則 如解 題 時(shí)正面 受 阻 可 逆 向思 考 例如 在證明一類與微分 中值定理有關(guān) 的命 題時(shí) 關(guān)于如何構(gòu)造輔助函數(shù) 常用這種思路 例 1 5設(shè) 在區(qū)間 n b 上連續(xù) 在 n 6 內(nèi)可導(dǎo) 證明 在 o b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使 6上粵 0 一 口 上海財(cái)經(jīng) 學(xué)院 I 9 8 5 全 國 1 9 9 4 證 易 知 l 因而可設(shè)輔助函數(shù) 由于 F 在 b 上滿 足拉格 朗 日中值 定理 的條件 故在 a b 內(nèi)至 少 存 在 一 點(diǎn) 使 I 此 日 口 蛆6上 0 一 倒 1 6 設(shè) 函數(shù) f 在 區(qū)間 0 1 上連續(xù) 在 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 且f O f 1 o 1 試 證 1 存在 I 專 1 J 使 r 2 對(duì)任意實(shí)數(shù) 必存在 O Y 使得 f 一 一 1 全 國 1 9 9 9 證1 令 一 則 9 x 在 O 1 上 連續(xù) 又 1 一1 0 故由閉區(qū)間上連續(xù) 函數(shù) 的介值 定理 知存 在 1 使 f 一 0 即 2 若對(duì)任意實(shí)數(shù) 存在 0 使 f 一兒 廠 一 1 則 應(yīng)滿足一階線性微分方程 一 f 一 1 或f 一a f 1一A x 解 此方 程得 廠 c 從而c e 一 一 t c為任意常數(shù) 故可設(shè)輔助 函數(shù) F e 一 f 一 0 由于 F 在 0 上連續(xù) 在 0 內(nèi)可導(dǎo) 且 F 0 F 0 于是可對(duì) F 在 0 上運(yùn)用羅爾定理 從而存在 0 使 0 即 e 一 廠 一 f 一 一1 0 即