數(shù)學導航高考數(shù)學大一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形同步練習 文.doc

【數(shù)學導航】2016屆高考數(shù)學大一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形同步練習 文第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化3理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 1角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合s|k360，kz2弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角弧度記作rad.(2)公式：角的弧度數(shù)公式|(弧長用l表示)角度與弧度的換算1rad1 rad弧長公式弧長l|r扇形面積公式slr|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點p(x，y)，那么y叫做的正弦，記作sin x叫做的余弦，記作cos 叫做的正切，記作tan 各象限符號口訣全正，正弦，正切，余弦三角函數(shù)線有向線段mp為正弦線有向線段om為余弦線有向線段at為正切線1三角函數(shù)值的符號規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦2三角函數(shù)的定義及單位圓的應用技巧(1)在利用三角函數(shù)定義時，點p可取終邊上異于原點的任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點，|op|r一定是正值(2)在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)小于90的角是銳角()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)三角形的內角必是第一、第二象限角()(4)不相等的角終邊一定不相同()(5)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等()(6)點p(tan ，cos )在第三象限，則角終邊在第二象限()(7)，則tan sin .()(8)為第一象限角，則sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2如圖，在直角坐標系xoy中，射線op交單位圓o于點p，若aop，則點p的坐標是()a(cos ，sin )b(cos ，sin )c(sin ，cos )d(sin ，cos )解析：由三角函數(shù)的定義可知，點p的坐標是(cos ，sin )答案：a3若sin 0且tan 0，則是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析：由sin 0，知在第三、第四象限或終邊在y軸的負半軸上，由tan 0，知在第一或第三象限，因此在第三象限答案：c4若點p在角的終邊上，且p的坐標為(1，y)，則y等于_解析：因tan y，y.答案：5下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是_(填序號)2k45(kz)；k360(kz)；k360315(kz)；k(kz)解析：18036045720315，與終邊相同的角可表示為k360315(kz)答案：象限角及終邊相同的角1若k18045(kz)，則在()a第一或第三象限b第一或第二象限c第二或第四象限d第三或第四象限解析：當k2n(nz)時，2n18045n36045，為第一象限角當k2n1(nz)時，(2n1)18045n360225，為第三象限角所以為第一或第三象限角故選a答案：a2(1)寫出終邊在直線yx上的角的集合；(2)若角的終邊與角的終邊相同，求在0,2)內終邊與角的終邊相同的角；(3)已知角為第三象限角，試確定、2的終邊所在的象限解析：(1)在(0，)內終邊在直線yx上的角是，終邊在直線yx上的角的集合為 .(2)2k(kz)，(kz)依題意02k，kz.k0,1,2，即在0,2)內終邊與相同的角為，.(3)2k2k(kz)，2k2k(kz)終邊在第二象限24k20，則()asin 20bcos 0csin 0dcos 20(2)已知角的終邊上一點p(，m)(m0)，且sin ，求cos ，tan 的值解析：(1)tan 0，(kz)是第一、三象限角sin ，cos 都可正、可負，排除b，c而2(2k，2k)(kz)，結合正、余弦函數(shù)圖象可知，a正確取，則tan 10，而cos 20，故d不正確(2)設p(x，y)由題設知x，ym，r2|op|2()2m2(o為原點)，r，sin ，r2，3m28，解得m.當m時，r2，x，y，cos ，tan ；當m時，r2，x，y，cos ，tan .答案：(1)a1已知點p(sin cos ，tan )在第一象限，則在0,2內，的取值范圍是()abcd解析：由已知得0,2，故.答案：b2若角的終邊過點p(8m，6sin 30)，且cos ，則m的值為_解析：r，cos ，m0，m.答案：3若角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解析：設終邊上任一點為p(4a,3a)，當a0時，r5a，sin ，cos ，tan ，當a0時，r5a，sin ，cos ，tan .4(2014全國卷)如圖，圓o的半徑為1，a是圓上的定點，p是圓上的動點，角x的始邊為射線oa，終邊為射線op，過點p作直線oa的垂線，垂足為m.將點m到直線op的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則yf(x)在0，的圖象大致為()解析：以o為坐標原點，射線oa為x軸的正方向，建立坐標系則p(cos x，sin x)，m(cos x,0)，故m到直線op的距離為f(x)|sin xcos x|sin 2x|，x0，故選c答案：c用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點p的坐標，則可先求出點p到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解；(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關問題a級基礎訓練1集合|kk，kz中的角的終邊所在的范圍(陰影部分)是()解析：當k2n時，2n2n；當k2n1時，2n2n.故選c答案：c2將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉過程中形成的角的弧度數(shù)是()abcd解析：將表的分針撥快應按順時針方向旋轉，為負角，故a、b不正確，又因為撥快10分鐘，故應轉過的角為圓周的.即為2.答案：c3已知是第二象限角，p(x，)為其終邊上一點，且cos x，則x()abcd解析：依題意得cos x0，由此解得x，選d答案：d4給出下列各函數(shù)值：sin(1 000 )；cos(2 200)；tan(10)；.其中符號為負的是()abcd解析：sin(1 000)sin 800；cos(2 200)cos(40)cos 400；tan(10)tan(310)0；，sin 0，tan 0，原式0.答案：c5若sin tan 0，且0，則角是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析：由sin tan 0可知sin ，tan 異號，從而為第二或第三象限角由0可知cos ，tan 異號，從而為第三或第四象限角綜上可知，為第三象限角答案：c6已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長等于_解析：設扇形半徑為r，弧長為l，則，解得.答案：7如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，角的終邊與單位圓交于點a，點a的縱坐標為，則cos _.解析：因為a點縱坐標ya，且a點在第二象限，又因為圓o為單位圓，所以a點橫坐標xa，由三角函數(shù)的定義可得cos .答案：8設角是第三象限角，且sin ，則角是第_象限角解析：由是第三象限角，知2k2k(kz)，kk(kz)，知是第二或第四象限角，再由sin 知sin 0，所以只能是第四象限角答案：四9已知角的終邊上有一點p(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos 的值解析：的終邊過點(x，1)(x0)，tan .又tan x，x21，即x1.當x1時，sin ，cos .因此sin cos 0；當x1時，sin ，cos ，因此sin cos .故sin cos 的值為0或.10已知.(1)寫出所有與終邊相同的角；(2)寫出在(4，2)內與終邊相同的角；(3)若角與終邊相同，則是第幾象限角？解析：(1)所有與終邊相同的角可表示為 .(2)由(1)，令42k2(kz)，則有2k1.又kz，取k2，1,0.故在(4，2)內與終邊相同的角是、.(3)由(1)有2k(kz)，則k(kz)是第一、三象限的角b級能力提升1已知角2k(kz)，若角與角的終邊相同，則y的值為()a1b1c3d3解析：由2k(kz)，及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan 0.所以y1111.答案：b2滿足cos 的角的集合為_解析：作直線x交單位圓于c、d兩點，連接oc、od，則oc與od圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為 .答案：3已知扇形aob的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大??；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長ab解析：設扇形aob的半徑為r，弧長為l，圓心角為，(1)由題意可得解得或或6.(2)2rl8，s扇lrl2r224，當且僅當2rl，即2時，扇形面積取得最大值4.r2，弦長ab2sin 124sin 1.4(1)確定的符號；(2)已知(0，)，且sin cos m(0m0，tan 50，cos 80，原式大于0.(2)若0op1.若，則sin cos 1.由已知0m0.第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式1理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2cos21，tan .2能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出，的正弦、余弦、正切的誘導公式1同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2cos21.(2)商數(shù)關系：tan .2六組誘導公式組數(shù)一二三四五六角2k(kz)正弦sin sin_sin sin cos_cos 余弦cos cos cos_cos sin sin_正切tan tan tan tan_1誘導公式記憶口訣對于角“”(kz)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”“符號看象限”是指“在的三角函數(shù)值前面加上當為銳角時，原函數(shù)值的符號”2三角函數(shù)求值與化簡的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和積轉換法：利用(sin cos )212sin cos 的關系進行變形、轉化(3)巧用“1”的變換：1sin2cos2cos2(1tan2)tan .3同角三角函數(shù)的基本關系式sin cos 、sin cos 與sin cos 的關系(sin cos )212sin cos ；(sin cos )2(sin cos )22；(sin cos )2(sin cos )24sin cos .對于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個式子，已知其中一個式子的值，可求其余二式的值1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)sin2cos21.()(2)同角三角函數(shù)的基本關系式中角可以是任意角()(3)六組誘導公式中的角可以是任意角()(4)誘導公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”中的“符號”與的大小無關()(5)若sin(k)(kz)，則sin .()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2tan 315的值為()a bc1d1答案：d3若cos ，則tan 等于()abc2d2答案：c4sin_.解析：sinsinsin.答案：5._.解析：原式1.答案：1利用誘導公式化簡1已知sin()0，則下列不等關系中必定成立的是()asin 0bsin 0，cos 0，cos 0dsin 0，cos 0解析：sin()0，sin 0.cos()0，cos 0.cos 0.答案：b2已知a(kz)，則a的值構成的集合是()a1，1,2，2b1,1c2，2d1，1,0,2，2解析：當k為偶數(shù)時，a2；k為奇數(shù)時，a2.答案：c3化簡：_.解析：原式1.答案：1利用誘導公式化簡三角函數(shù)的原則遵循誘導公式先行的原則，即先用誘導公式化簡變形，達到角的統(tǒng)一，再進行三角函數(shù)名稱轉化，以保證三角函數(shù)名稱最少利用誘導公式求值(1)已知sin，則cos_；(2)sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)_.解析：(1)，coscossin.(2)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 301.答案：(1)(2)11已知tan，則tan_.解析：，tantantan.答案：2求值：sin 690sin 150cos 930cos(870)tan 120tan 1 050.解析：原式sin(72030)sin(18030)cos(1 080150)cos(720150)tan(18060)tan(1 08030)sin 30sin 30cos 150cos 150tan 60tan 301.1.誘導公式應用的步驟：注意：誘導公式應用時不要忽略了角的范圍和三角函數(shù)的符號2巧用相關角的關系會簡化解題過程常見的互余關系有與；與；與等，常見的互補關系有與；與等同角三角函數(shù)基本關系式(1)若tan 2，則cos2()abcd(2)已知x0，sin xcos x，則sin xcos x的值為_解析：(1)cos2.(2)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，即2sin xcos x，(sin xcos x)212sin xcos x.又x0，sin x0，sin xcos x0，故sin xcos x.答案：(1)a(2)1已知tan 2，則(1)_.(2)3sin23sin cos 2cos2_.解析：(1)法一：tan 2，cos 0，.法二：由tan 2，得sin 2cos ，代入得.(2)3sin23sin cos 2cos2.答案：(1)(2)2(2014湖北武漢模擬)已知sin()cos()，則sin cos _.解析：由sin()cos()，得sin cos ，將兩邊平方得12sin cos ，故2sin cos .(sin cos )212sin cos 1，又0，cos 0.sin cos .答案：3已知5，則sin2sin cos _.解析：依題意得：5，tan 2.sin2sin cos .答案：4(2014浙江杭州模擬)若，sin 2，則cos sin 的值是_解析：(cossin )21sin 2.，cos sin .cos sin .答案：5(2014山西山大附中5月月考)已知sin cos ，(0，)，則tan ()a1bcd1解析：由sin cos 及sin2cos21，得(sin cos )212sin cos 2，即2sin cos 10，故tan 0，且2sin cos 1，解得tan 1(正值舍)答案：a6在abc中，若sin(2a)sin(b)，cos acos(b)，求abc的三個內角解析：由已知得sin asin b，cos acos b兩式平方相加得2cos2a1.即cos a或cos a.(1)當cos a時，cos b，又角a、b是三角形的內角， a，b，c(ab).(2)當cos a時，cos b.又角a、b是三角形的內角， a，b，不合題意綜上知，a，b，c.同角三角函數(shù)關系式及變形公式的應用：(1)利用sin2cos21可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實現(xiàn)角的弦切互化(2)應用公式時注意方程思想的應用：對于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二a級基礎訓練1sin2sin3sin等于()a1bc0d1解析：原式sin2sin3sin0.答案：c2已知cos，且|，則tan ()abcd解析：cossin ，又|0，為第一或第二象限角tan()tan .(1)當是第一象限角時，cos ，原式.(2)當是第二象限角時，cos ，原式.b級能力提升1設a，b，c為abc的三個內角，有以下表達式：(1)sin(ab)sin c；(2)cos(ab)cos c；(3)tantan ；(4)sin2sin2.不管abc的形狀如何變化，始終是常數(shù)的表達式有()a1個b2個c3個d4個解析：(1)sin(ab)sin csin(c)sin c2sin c，不是常數(shù)；(2)cos(ab)cos ccos(c)cos ccos ccos c0，是常數(shù)；(3)tantan tantan 1，是常數(shù)；(4)sin2sin2sin2sin2cos2sin21，是常數(shù)故始終是常數(shù)的表達式有3個，選c答案：c2若tan ，(，2)，則cos _.解析：由tan 和sin2cos21，得cos2.當m0時，為第三象限角，cos 0，所以cos ；當m0，所以cos .故cos .答案：3已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解析：由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.4已知sin ，cos 是關于x的方程x2axa0(ar)的兩個根(1)求cossin的值；(2)求tan()的值解析：由題意知原方程根的判別式0，即(a)24a0，a4或a0.又，(sin cos )212sin cos ，a22a10，a1或a1(舍去)，sin cos sin cos 1.(1)cossinsin cos 1.(2)tan()tan 1.第三節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性2理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(如單調性、最大值和最小值，圖象與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內的單調性1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.1有關公式的逆用、變形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.2三角公式內在關系1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在實數(shù)，使等式sin()sin sin 成立()(3)公式tan()可以變形為tan tan tan()(1tan tan )，且對任意角，都成立()(4)存在實數(shù)，使tan 22tan .()答案：(1)(2)(3)(4)2若sin ，則cos ()abcd解析：因為sin ，所以cos 12sin2122.答案：c3cos 33cos 87sin 33cos 177的值為()abcd解析：cos 33cos 87sin 33cos 177cos 33sin 3sin 33cos 3sin(333)sin 30.答案：b4若cos ，是第三象限的角，則sin_.解析：由于是第三象限角且cos ，sin ，sinsin coscos sin .答案：5設sin 2sin ，則tan 2的值是_解析：sin 22sin cos sin ，cos ，又，sin ，tan ，tan 2.答案：三角函數(shù)公式的基本應用1(2014山東威海二模)在abc中，若cos a，cos b，則cos c()abcd解析：在abc中，0a，0b0，cos b0，得0a，0b，從而sin a，sin b，所以cos ccos(ab)cos(ab)sinasin bcos acos b.答案：c2已知sin()，則()abcd2解析：sin()，sin .2sin .答案：b3(2014江蘇卷)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解析：(1)因為，sin ，所以cos .故sinsin cos cos sin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscos cos 2sinsin 2.兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導公式的推廣，可用、的三角函數(shù)表示的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統(tǒng)一角和角與角轉換的目的三角函數(shù)公式的活用(1)若，則(1tan )(1tan )的值是_(2)化簡：_.解析：(1)1tan tan()，tan tan 1tan tan .1tan tan tan tan 2，即(1tan )(1tan )2.(2)原式cos 2x.答案：(1)2(2)cos 2x1.的值為()abcd解析：.答案：b2若(4tan 1)(14tan )17，則tan()等于()abc4d12解析：由已知得4tan 16tan tan 14tan 17，tan tan 4(1tan tan )，tan()4.答案：c運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多種變形等公式的逆用和變形應用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應用后，才能真正掌握公式的應用角的變換(1)已知tan2，則tan的值為_(2)已知，cos()，則cos()abcd解析：(1)tan2，tantan.(2)因為，所以()，.又因為cos()，cos，所以sin()，sin，所以coscoscos()cossin()sin.答案：(1)(2)c1設tan()，tan，則tan()abcd解析：tantan.答案：c2若0，0，cos，cos，則cos()abcd解析：coscoscoscossinsin，0，則，sin.又0，則，sin.故cos.答案：c3(2014湖南懷化質檢)設，(0，)，且sin()，tan ，則cos _.解析：tan ，tan ，結合(0，)，可知.由tan 及sin2cos21，得sin ，cos .又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .答案：4已知cos ，cos()，且、，則cos()的值等于()abcd解析：、，(0，)，sin ，sin().cos cos()cos()cos sin()sin ，sin ，cos()cos cos sin sin .答案：d1.當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式2當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”3常見的配角技巧：2；()；()；()()；()()；.a級基礎訓練1化簡cos 15cos 45cos 75sin 45的值為()abcd解析：cos 15cos 45cos 75sin 45cos 15cos 45sin 15sin 45cos(1545)cos 60，故選a 答案：a2設，都是銳角，那么下列各式中成立的是()asin()sin sin bcos()cos cos csin()sin()dcos()cos()解析：sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，又、都是銳角，cos sin 0，故sin()sin()答案：c3已知cos，則cos xcos的值是()abc1d1解析：cos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.答案：c4.()a4b2c2d4解析：4.答案：d5(2014蘭州檢測)在斜三角形abc中，sin acos bcos c，且tan btan c1，則角a的值為()abcd解析：由題意知，sin acos bcos csin(bc)sin bcos ccos bsin c，在等式cos bcos csin bcos ccos bsin c兩邊同除以cos bcos c得tan btan c，又tan(bc)1tan a，即tan a1，所以a.答案：a6tan 15tan 30tan 15tan 30的值是_解析：原式tan(1530)(1tan 15tan 30)tan 15tan 30tan 45(1tan 15tan 30)tan 15tan 301.答案：17已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角，則sin_.解析：依題意可將已知條件變形為sin()sin ，sin .又是第三象限角，因此有cos .sinsinsin cos cos sin .答案：8(2014河北高陽中學上學期第一次月考)已知sin cos ，且，則的值為_解析：sin cos ，sin cos ，則(sin cos )212sin cos .，sin cos .則(sin cos ).答案：9化簡：.解析：tan .10已知，均為銳角，且sin ，tan().(1)求sin()的值；(2)求cos 的值解析：(1)，從而.又tan()0，0.sin().(2)由(1)可得，cos().為銳角，且sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin().b級能力提升1cos cos cos()abcd解析：cos cos coscos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80.答案：a2已知1，tan()，則tan(2)_.解析：1，2tan 1，即tan .tan(2)tan()1.答案：13已知tan.(1)求tan 的值；(2)求的值解析：(1)法一：tan.由tan，有.解得tan .法二：tan tan.(2)法一：tan .法二：由(1)知tan ，得sin cos .sin2cos2，1cos2cos2.cos2.于是cos 22cos21，sin 22sin cos