高中數(shù)學中的易忘、易錯、易混點梳理.doc

高中數(shù)學中的易忘、易錯、易混點梳理杭州學軍中學 特級教師 馮定應(yīng)本文發(fā)表于青年時報高三數(shù)學復習的策略非常重要，如果在復習中心浮氣躁、東一榔頭西一棒，或者不根據(jù)自己的實際情況，盲目地隨大流，都難以取得良好的復習效果。為了爭取最佳的復習效果，在高三后期及時調(diào)整自己的復習方略是非常必要的。 確定復習策略的依據(jù)有兩條，一是高考的考試大綱（或考試說明），二是自己的實際情況。復習工作的目的，就是努力使自己的數(shù)學水平達到考試大綱的要求。經(jīng)常梳理自己的知識系統(tǒng)，結(jié)合自己的具體情況制定數(shù)學復習策略，及時調(diào)整數(shù)學復習方法，是每一位同學都需要重視的工作。只有摸清自己的易忘、易錯、易混點，才能完善學科知識和能力結(jié)構(gòu)，明確復習重點，做到查漏補缺。系統(tǒng)地梳理知識，需要用心體會，耐心地將平時含糊不清、似是而非的概念、公式徹底理清。如：異面直線上兩點間的距離公式中正、負號如何確定；給定區(qū)間內(nèi)，求二次函數(shù)的最值的討論依據(jù)是什么；的圖形變換的順序；應(yīng)用導數(shù)確定函數(shù)極值點、單調(diào)區(qū)間的基本步驟等等，這一些易忘點、易錯點、易混點，需要自己及時“回到課本”逐一弄懂，千萬不能一帶而過，也不要以為記住概念和公式就萬事大吉了。例如，梳理“數(shù)列求和”不但要求記住公式，還應(yīng)該從公式的推導過程中去體會“倒序求和”、“錯位相減求和”、“拆項求和”等方法和技巧，進而把握“歸納、遞推” 、“化歸、轉(zhuǎn)化”等數(shù)學思想。數(shù)學思想方法是更高層次的抽象和概括，它能夠進行廣泛的遷移，形成解決數(shù)學問題的通性通法。又如整理“不等式的解法”時，如果只是機械地分類型羅列幾種解法，那么遇到一個陌生的不等式，仍然沒有辦法。只有當我們把握了解不等式的思想方法才能變化自如，融會貫通。梳理知識還應(yīng)該注意一題多解、一題多變，不斷地比較和提煉，使方法最優(yōu)化。應(yīng)青年導報欄目編輯的邀請，下面，根據(jù)今年高考的考試大綱（或考試說明），結(jié)合同學們平時數(shù)學學習時的易忘、易錯、易混點，我和我的同事們一起對高中數(shù)學的一些知識點、技能點和一些重要的結(jié)論進行了一個比較全面的梳理，供同學們查漏補缺時參考。一 集合與函數(shù)1進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進行求解.2你會用補集的思想解決有關(guān)問題嗎？3求不等式（方程）的解集，或求定義域（值域）時，你按要求寫成集合的形式了嗎？問題:、 、 的區(qū)別是什么？ 4絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么？5解一元一次不等式（組）的基本步驟是什么？問題:如何解不等式：？6三個二次（哪三個二次？）的關(guān)系及應(yīng)用掌握了嗎？如何利用二次函數(shù)求最值？注意到對二次項系數(shù)及對稱軸進行討論了嗎？ 7簡單命題與復合命題有什么區(qū)別？四種命題之間的相互關(guān)系是什么？如何判斷充分與必要條件？問題：請舉例說明“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別.8 什么是映射、什么是一一映射？問題：已知：A=1，2，3，B=1，2，3，那么可以作 個A到B上的映射，那么可以作 個A到B上的一一映射.9函數(shù)的表示方法有哪一些？如何判斷函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性？單調(diào)性、周期性、奇偶性在函數(shù)的圖象上如何反應(yīng)？什么樣的函數(shù)有反函數(shù)？如何求反函數(shù)？互為反函數(shù)的圖象間有什么關(guān)系？求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，你注明函數(shù)的定義域了嗎？問題：已知函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（你處理函數(shù)問題是是否將定義域放在首位） 問題：已知函數(shù)圖象與的圖象關(guān)于直線.10 如何正確表示分數(shù)指數(shù)冪？指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)是什么？11 你熟練地掌握了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)嗎?問題：已知函數(shù)上，恒有，則實數(shù)取值范圍是： 。12你熟練地掌握了函數(shù)單調(diào)性的證明方法嗎？（定義法、導數(shù)法）13如何應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解題?比較函數(shù)值的大??；解抽象函數(shù)不等式；求參數(shù)的范圍（恒成立問題）.這幾種基本應(yīng)用你掌握了嗎？問題：寫出函數(shù)的圖象及單調(diào)區(qū)間.時,求函數(shù)的最值.這種求函數(shù)的最值的方法與利用均值不等式求函數(shù)的最值的聯(lián)系是什么？問題：證明“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”與證明“函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”有什么不同嗎？二 數(shù)列14如何判斷等差數(shù)列、等比數(shù)列？等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和求和公式如何推導？15解決等差（等比）數(shù)列計算問題通常的方法有哪兩種？ 基本量方法：抓住及方程思想；利用等差（等比）數(shù)列性質(zhì)）.問題：在等差數(shù)列中，其前，的最小值； 16解決一些等比數(shù)列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進行討論了嗎？17在“已知，求”的問題中,你在利用公式時注意到了嗎？(時，應(yīng)有)18解決遞推數(shù)列問題通常有哪兩種處理方法？（猜證法；轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列問題） 問題：已知: 19你知道存在的條件嗎？（,你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概念嗎？你知道無窮數(shù)列的前項和與所有項的和的不同嗎？什么樣的無窮等比數(shù)列的所有項的和必定存在？ 20一般數(shù)列的求和問題你能夠找到一些辦法嗎?(倒序相加法、錯位相減法、拆項裂項法)*21用數(shù)學歸納法證明問題的基本步驟是什么？你注意到“用數(shù)學歸納法證明中，必須用上歸納假設(shè)”嗎？1 自然數(shù)有關(guān)的命題常用數(shù)學歸納法證明，其步驟是：（1）驗證命題對于第一個自然數(shù)nn0 (kn0)時成立；(2)假設(shè)n=k時成立，從而證明當n=k+1時命題也成立，（3）得出結(jié)論.2.(1)、（2）兩個步驟在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可。第二步證明時要一湊假設(shè)，二湊結(jié)論.三三角函數(shù)22正角、負角、零角、象限角的概念你清楚嗎?，若角的終邊在坐標軸上，那它歸哪個象限呢？你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區(qū)別嗎？23角度與弧度如何換算？你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？24三角函數(shù)的定義及單位圓內(nèi)的三角函數(shù)線（正弦線、余弦線、正切線）的定義你知道嗎?25誘導公式， 及二倍角公式你熟記了嗎？你會推導每個三角公式嗎？還記得某些特殊角（,等）的三角函數(shù)值嗎？26掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì).你會寫三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？會寫簡單的三角不等式的解集嗎？(要注意數(shù)形結(jié)合與書寫規(guī)范,可別忘了），你是否清楚函數(shù)的圖象可以由函數(shù)經(jīng)過怎樣的變換得到嗎？問題：如何把函數(shù)的圖象變成函數(shù)的圖象？如何把函數(shù)的圖象變成函數(shù)的圖象？27你會用五點法畫的草圖嗎？哪五點？會根據(jù)圖象求參數(shù)的值嗎？28.你會求三角函數(shù)的周期嗎？（先化簡再求）輔助角公式在求周期、化簡時起著重要作用：29在三角函數(shù)中求一個角時，注意考慮兩方面了嗎？（先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的范圍）30.反三角的概念（反正弦函、反余弦函及反正切），你知道的含義嗎？31三角函數(shù)中的和、差、倍、降冪公式、輔助角公式在求值、化簡、和證明時“正用”及“逆用”、“變用”你都掌握了嗎？問題：已知求的變化范圍.四 平面向量32你熟悉平面向量的運算（和、差、實數(shù)與向量的積、數(shù)量積）、運算性質(zhì)和運算的幾何意義嗎？33你通常是如何處理有關(guān)向量的模（長度）的問題？（利用；）34你知道解決向量問題有哪兩種途徑？（向量運算；向量的坐標運算）35你弄清“”與“”了嗎？問題：兩個向量的數(shù)量積與兩個實數(shù)的乘積有什么區(qū)別？（1） 在實數(shù)中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出.（2） 已知實數(shù)，且，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有.（3） 在實數(shù)中有，但是在向量的數(shù)量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.36向量的平移公式、函數(shù)圖象的平移公式你掌握了嗎？37正弦定理、余弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎？三角形內(nèi)的求值、化簡和證明恒等式有什么特點？五 不等式38不等式證明的基本方法你都掌握了嗎？（比較法；分析法；綜合法；數(shù)學歸納法）重要不等式是指哪幾個不等式？由它們推出的均值不等式串是什么？問題：若，求證.(注意方法)問題：若是不等邊三角形的三邊長，其面積為，外接圓半徑為1，求證:.問題：求證；若恒成立，求n的最大值.39利用均值不等式求最值時，你是否注意到：“一正；二定；三等”.40解分式不等式應(yīng)注意什么問題？用“根軸法”解整式（分式）不等式的注意事項是什么？41解含參數(shù)不等式怎樣討論？注意解完之后為什么要寫上：“綜上，原不等式的解集是”.問題：對一切恒成立，求的范圍.42你會用不等式解（證）一些簡單問題嗎？43處理不等式恒成立問題有哪些常用的方法？六解析幾何44直線的斜率公式、點到直線的距離公式、到角公式、夾角公式你記住了嗎？45何為直線的方向向量？直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？46在用點斜式、斜截式求直線的方程時，你是否注意到不存在的情況？問題：截距是距離嗎？“截距相等”意味著什么？47.解決線性規(guī)劃問題的基本步驟是什么？請你注意解題格式和完整的文字表達.（設(shè)出變量，寫出目標函數(shù)寫出線性約束條件畫出可行域作出目標函數(shù)對應(yīng)的系列平行線，找到并求出最優(yōu)解應(yīng)用題一定要有答。）48你知道解決直線與圓的位置關(guān)系問題常常利用圓心到直線的距離嗎？直線與圓錐曲線的位置關(guān)系怎樣判斷？49三種圓錐曲線的定義、圖形、標準方程、幾何性質(zhì)你掌握了嗎?50利用圓錐曲線第二定義解題時，你是否注意到定義中的定比前后項的順序？如何利用第二定義推出圓錐曲線的焦半徑公式？如何應(yīng)用焦半徑公式？51用圓錐曲線方程與直線方程聯(lián)立求解時，在得到的方程中你注意到這一條件了嗎？圓錐曲線本身的范圍你注意了嗎？52曲線與直線相交時，弦長如何求，弦長公式你記得嗎？53解析幾何問題的求解中，平面幾何知識利用了嗎？題目中是否已經(jīng)有坐標系了，是否需要建立直角坐標系？54求軌跡的幾種基本方法是什么？每一種方法的基本步驟是怎樣的？55圓、和橢圓的參數(shù)方程是怎樣的？常用參數(shù)方程的方法解決哪一些問題？七立體幾何56平面的基本性質(zhì)是什么？（三個公理，三個推論）57上述各個公理和推論的意義和作用是什么?(請注意在表示點、線、面之間的關(guān)系時的符號的規(guī)范性.)問題：三個平面兩兩相交，有三條交線，證明：這三條交線兩兩平行或相交于一點.問題：已知：證明：a、b、c、d共面.58你掌握了空間圖形在平面上的直觀畫法嗎？（斜二測畫法）。59理解空間兩直線位置關(guān)系分類方法，掌握平行直線的性質(zhì)（公理4），理解異面直線的概念和判定定理.你知道如何證明空間兩直線的位置關(guān)系嗎？（相交、平行和異面） 60線面平行和面面平行的定義、判定和性質(zhì)定理你掌握了嗎？線線平行、線面平行、面面平行這三者之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化在解決立幾問題中的應(yīng)用是怎樣的？每種平行之間轉(zhuǎn)換的條件是什么？ 61線面垂直和面面垂直的定義、判定和性質(zhì)定理你掌握了嗎？線線垂直、線面垂直、面面垂直這三者之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化在解決立幾問題中的應(yīng)用是怎樣的？每種垂直之間轉(zhuǎn)換的條件是什么？62三垂線定理及其逆定理你記住了嗎？63求線面角的關(guān)鍵是什么？（找直線的射影）.異面直線所成的角如何求？64你知道從確定平面外一點向平面作射影的三種常用方法嗎？（面面垂直線面垂直；從角的頂點出發(fā)引角所在平面的一條斜線，若該斜線與角的兩邊成等角，則該斜線在此平面上的射影是角平分線所在直線；利用特殊三棱錐頂點在底面上射影的位置）65你知道作二面角的平面角的主要方法是什么？（定義法、三垂線定理、垂面法）66你知道公式：和中每一字母的意思嗎？能夠熟練地應(yīng)用它們解題嗎？67空間向量的意義及其向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積運算的法則是什么？向量共線、共面、垂直的充要條件是什么？68空間向量的基本定理.空間任一向量可由空間基向量唯一表示出來.你知道利用向量解決幾何問題的一般步驟是什么？ 69空間向量的夾角的坐標運算公式.你知道如何運用夾角公式求直線與平面所成的角、直線與平面內(nèi)的直線所成的角、二面角及其平面角嗎？請注意這些角的意義、求法和角的取值范圍. 70空間向量的距離的坐標運算公式.分清幾個距離的意義和計算方法（公式）. 你知道如何運用距離公式求點到直線的距離、直線到與直線平行的平面的距離、兩個平行平面間的距離、異面直線間的距離嗎? 71你知道異面直線上兩點間的距離公式如何運用嗎？72棱柱及其性質(zhì)、平行六面體與長方體及其性質(zhì)、長方體對角線定理及其證明.這些知識你掌握了嗎?（注意運用向量的方法解題）73棱錐及其性質(zhì)、正棱錐及其性質(zhì)、正多面體的種類你掌握了嗎?74球及其性質(zhì)；地球經(jīng)度線和緯度線的意義、球面距離的求法；球的表面積和體積公式. 這些知識你掌握了嗎?八 排列、組合和概率75你掌握了解決排列、組合應(yīng)用題的常見方法嗎？（考慮特殊元素；考慮特殊位置；捆綁法；插入法；先選后排法；排除法；列舉法.）76二項式展開式的通項公式記得嗎？用賦值法求出二項展開式的奇次項系數(shù)之和與偶次項系數(shù)之和，你還記得嗎？77你掌握了三種常見的概率公式嗎？（等可能事件的概率公式；互斥事件有一個發(fā)生的概率公式；相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式.）問題：某人每次射擊擊中的概率是0.2,射擊中每次射擊的結(jié)果是相互獨立的，求他在10次射擊中擊中目標的次數(shù)不超過5次的概率.78次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生次的概率公式為，你在運用時有過差錯嗎？*79理解隨機變量，離散型隨機變量的定義，你能夠?qū)懗鲭x散型隨機變量的分布列嗎?X1X2XnPP1P2Pn（1）期望值E x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; （2）方差D ;(3)標準差；問題：某人每次投籃投中的概率為0.1,每次投籃的結(jié)果是相互獨立的，求他首次投籃投中時所需要投籃次數(shù)的分布列及他在5次內(nèi)投中的概率.*80.你知道二項分布的定義和有關(guān)性質(zhì)嗎?B(n，p)，其中n,p為參數(shù)，記為:；二項分布是一種常見的離散型隨機變量的分布，比如投硬幣，投骰子 ，射擊等等。怎樣的離散型隨機變量服從二項分布？又二項分布的期望與方差分別是什么？（若B（n,p）,則Enp, Dnpq,這里q=1- p）.81你知道哪幾種常見的抽樣方法？它們各自的特點及適用范圍是怎樣的？（1） 簡單隨機抽樣（包括抽簽法和隨機數(shù)表法）；（2） 系統(tǒng)抽樣，也叫等距離抽樣；（3）分層抽樣，常用于某個總體由差異明顯的幾部分組成的情形.82.如何對總體分布進行估計?(用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確，要求能畫出頻率分布表和頻率分布直方圖；理解頻率分布直方圖矩形面積的幾何意義.)*83你還記得一般正態(tài)總體如何化為標準正態(tài)總體嗎？（對任一正態(tài)總體來說，取值小于的概率，其中表示標準正態(tài)總體取值小于的概率）*84兩個變量之間的關(guān)系有哪兩種？（函數(shù)關(guān)系；相關(guān)關(guān)系.）你知道對于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組觀測值，如何求出的回歸直線方程嗎？*85.你了解假設(shè)檢驗的基本思想嗎? （1） 提出統(tǒng)計假設(shè)，確定隨機變量服從正態(tài)分布；（2） 確定一次試驗中的取值a是否落入范圍；（3） 作出推斷：如果a，接受統(tǒng)計假設(shè)； 如果 a由于這是小概率事件，就拒絕假設(shè)； (4) 相關(guān)系數(shù)r,衡量變量y與x之間的相關(guān)程度，|r|1,且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；且|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.九導數(shù)及其應(yīng)用*86你理解數(shù)列極限的定義嗎? 你會求一些簡單數(shù)列的極限嗎?（1） 掌握數(shù)列極限的直觀描述性定義；（2） 掌握數(shù)列極限的四則運算法則，注意其適用條件：一是數(shù)列anbn的極限都存在；二是僅適用于有限個數(shù)列的和、差、積、商;（3） 對于無窮數(shù)列的和（或積），應(yīng)先求和（或積），再求極限；（4） 常用的幾個數(shù)列極限：（C為常數(shù)）；;（1,q為常數(shù)）. （5） 無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式:（0）.*87. 你理解函數(shù)的極限嗎? 你會求一些簡單函數(shù)的極限嗎?（1）當x趨向于無窮大時，函數(shù)的極限為a .（2）當時函數(shù)的極限為a.(3)掌握函數(shù)極限的四則運算法則.*88. 你理解函數(shù)的連續(xù)性嗎?(1)如果對函數(shù)f(x)在點x=x0處及其附近有定義，而且還有，就說函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)；（2）若f(x)與g(x)都在點x0處連續(xù)，則f(x)g(x),f(x)g(x),(g(x)0)也在點x0處連續(xù)；（3）若u(x)在點x0處連續(xù)，且f(u)在u0=u(x0)處連續(xù)，則復合函數(shù)fu(x)在點x0處也連續(xù)；(4)連續(xù)函數(shù)的極限運算:如果函數(shù)在點x0處有極限，那么.89.在點處可導的定義你還記得嗎？（或）存在）它的幾何意義和物理意義分別是什么？利用導數(shù)可解決哪些問題？具體步驟還記得嗎？90你會用“在其定義域內(nèi)可導，且不恒為零，則在某區(qū)間上單調(diào)遞增（減）對恒成立。”解決有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性問題嗎？91你知道“函數(shù)在點處可導”是“函數(shù)在點處連續(xù)”的什么條件嗎？ 92. 你知道導數(shù)有哪一些應(yīng)用?93. 你知道求可導函數(shù)最大值與最小值的步驟嗎?求可導函數(shù)極值的步驟：求導數(shù)；求方程的根和使不存在的值；檢驗在方程的根和使不存在的的左右的符號，如果左正右負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.求可導函數(shù)最值的步驟：求在內(nèi)的極值；將在各極值點的極值與比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個是最小值.十復數(shù)*94.你了解復數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、模、共軛復數(shù)的概念和復數(shù)的幾何表示嗎?*95.請你熟練掌握、靈活運用以下結(jié)論：(1) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR);(2) 復數(shù)是實數(shù)的條件： z=a+biRb=0 (a,bR); zRz=; zRz20;*96.復數(shù)是純虛數(shù)的條件你知道嗎? z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b0(a