排列組合期末復(fù)習(xí)(教師版).doc

排列組合常見題型及解法1 重復(fù)排列“求冪運(yùn)算” 重復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題。例1 8名同學(xué)爭奪3項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有（ ） 解析 冠軍不能重復(fù)，但同一個學(xué)生可獲得多項(xiàng)冠軍。把8名學(xué)生看作8家“店”，3項(xiàng)冠軍看作3個“客”，他們都可住進(jìn)任意一家“店”，每個客有8種可能，因此共有種不同的結(jié)果。2. 特殊元素（位置）用優(yōu)先法:把有限制條件的元素（位置）稱為特殊元素（位置），可優(yōu)先將它（們）安排好，后再安排其它元素。對于這類問題一般采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。例1. 6人站成一橫排，其中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？解法1：（元素分析法）因?yàn)榧撞荒苷咀笥覂啥?，故第一步先讓甲排在左右兩端之間的任一位置上，有種站法；第二步再讓其余的5人站在其他5個位置上，有種站法，故站法有：480（種）解法2：（位置分析法）因?yàn)樽笥覂啥瞬徽炯?，故第一步先從甲以外?個人中任選兩人站在左右兩端，有種；第二步再讓剩余的4個人（含甲）站在中間4個位置，有種，故站法共有：（種）例2（2000年全國高考題）乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有_種（用數(shù)字作答）。解析3名主力的位置確定在一、三、五位中選擇，將他們優(yōu)先安排，有種可能；然后從其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，有種排法。因此結(jié)果為=252種。例3 5個“1”與2個“2”可以組成多少個不同的數(shù)列？解析按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。由于7個位置不同，故只要優(yōu)先選兩個位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”）。因此，一共可以組成=21個不同的數(shù)列。3. 相鄰問題用捆綁法:對于要求某幾個元素必須排在一起的問題，可用“捆綁法”“捆綁”為一個“大元素：與其他元素進(jìn)行排列，然后相鄰元素內(nèi)部再進(jìn)行排列。例1.（1996年上海高考題）有8本不同的書，其中數(shù)學(xué)書3本，外文書2本，其他書3本，若將這些書排成一列放在書架上，則數(shù)學(xué)書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有_種（結(jié)果用數(shù)字表示）。解析將數(shù)學(xué)書與外文書分別捆在一起與其它3本書一起排，有種排法，再將3本數(shù)學(xué)書之間交換有種，2本外文書之間交換有種，故共有=1440種排法。評述這里需要說明的是，有一類問題是兩個已知元素之間有固定間隔時，也用“捆綁法”解決。如：7個人排成一排，其中甲乙兩人之間有且只有一人，問有多少種不同的排法？可將甲乙兩人和中間所插一人“捆綁”在一起做“大元素”，但甲乙兩人位置可對調(diào)，且中間一人可從其余5人中任取，有種排法。4. 相離問題用插空法:元素相離（即不相鄰）問題，可以先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素插入已排好的元素位置之間和兩端的空中。例. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法？解：先將其余4人排成一排，有種，再往4人之間及兩端的5個空位中讓甲、乙、丙插入，有種，所以排法共有：（種）5. 定序(順序一定)問題用除法:對于在排列中，當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法。例. 由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)有多少個？解：不考慮限制條件，組成的六位數(shù)有種，其中個位與十位上的數(shù)字一定，所以所求的六位數(shù)有：（個）6. 多排問題用直排法:對于把幾個元素分成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一成一排的方法求解。例5. 9個人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，則不同的坐法共有多少種？解：9個人可以在三排中隨意就坐，無其他限制條件，三排可以看作一排來處理，不同的坐標(biāo)共有種。7. 至少問題正難則反“排除法”:有些問題從正面考慮較為復(fù)雜而不易得出答案，這時，可以采用轉(zhuǎn)化思想從問題的反面入手考慮，然后去掉不符合條件的方法種數(shù)往往會取得意想不到的效果。在應(yīng)用此法時要注意做到不重不漏。例1. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個點(diǎn)，取其中4個不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有（ ）A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種解：從10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)有種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類。第一類，取出的4個點(diǎn)位于四面體的同一個面內(nèi)，有種；第二類，取任一條棱上的3個點(diǎn)及該棱對棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4個點(diǎn)共面，有3種。以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有：（種）。8錯位排列問題:錯位排列問題是一個古老的問題，最先由貝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n個有序元素，全部改變其位置的排列數(shù)是多少？所以稱之為“錯位”問題。例1五個編號為1、2、3、4、5的小球放進(jìn)5個編號為1、2、3、4、5的小盒里面，全錯位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是說5個全部放錯）一共有多少種放法？ 【華圖解析】直接求5個小球的全錯位排列不容易，我們先從簡單的開始。 小球數(shù)/小盒數(shù) 全錯位排列 1 0 2 1（即2、1） 3 2（即3、1、2和2、3、1） 4 9 5 44 6 265當(dāng)小球數(shù)/小盒數(shù)為13時，比較簡單，而當(dāng)為46時，略顯復(fù)雜，考生們只需要記下這幾個數(shù)字即可（其實(shí)0，1，2，9，44，265是一個有規(guī)律的數(shù)字推理題，9=(1+2)*3；44=(2+9)*4；265=(44+9)*5；(44+265)*6=1854）由上述分析可得，5個小球的全錯位排列為44種。例2五個瓶子都貼了標(biāo)簽，其中恰好貼錯了三個，則錯的可能情況共有多少種？【華圖解析】做此類題目時通常分為兩步：第一步，從五個瓶子中選出三個，共有種選法；第二步，將三個瓶子全部貼錯，根據(jù)上表有2種貼法。則恰好貼錯三個瓶子的情況有種。接下來，考生們再想這樣一個問題：五個瓶子中，恰好貼錯三個是不是就是恰好貼對兩個呢？答案是肯定的，是。那么能不能這樣考慮呢？第一步，從五個瓶子中選出二個瓶子，共有種選法；第二步，將兩個瓶子全部貼對，只有1種方法，那么恰好貼對兩個瓶子的方法有種。 問題出來了，為什么從貼錯的角度考慮是20種貼法，而從貼對的角度考慮是10種貼法呢? 答案是，后者的解題過程是錯誤的，這種考慮只涉及到兩個瓶子而沒有考慮其他三個瓶子的標(biāo)簽正確與否，給瓶子貼標(biāo)簽的過程是不完整的，只能保證至少有兩個瓶子的標(biāo)簽是正確的，而不能保證恰有兩個瓶子的標(biāo)簽是正確的。所以華圖公務(wù)員考試輔導(dǎo)專家王永恒老師建議各位考生在處理錯位排列問題時，無論問恰好貼錯還是問恰好貼對，都要從貼錯的角度去考慮，這樣處理問題簡單且不易出錯。9. “隔板法”:常用于解決整數(shù)分解型排列、組合的問題。例:為構(gòu)建和諧社會出一份力，一文藝團(tuán)體下基層宣傳演出，準(zhǔn)備的節(jié)目表中原有4個歌舞節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，擬再添2個小品節(jié)目，則不同的排列方法有多少種？ 分析：記兩個小品節(jié)目分別為A、B。先排A節(jié)目。根據(jù)A節(jié)目前后的歌舞節(jié)目數(shù)目考慮方法數(shù)，相當(dāng)于把4個球分成兩堆，由例26知有 種方法。這一步完成后就有5個節(jié)目了。再考慮需加入的B節(jié)目前后的節(jié)目數(shù)，同上理知有 種方法。故由乘法原理知，共有 種方法。 【小結(jié)】對本題所需插入的兩個隔板采取先后依次插入的方法，使問題得到巧妙解決。例. 有10個三好學(xué)生名額，分配到6個班，每班至少1個名額，共有多少種不同的分配方案？解：6個班，可用5個隔板，將10個名額并排成一排，名額之間有9個空，將5個隔板插入9個空，每一種插法，對應(yīng)一種分配方案，故方案有：（種）10分球入盒問題例32：將5個小球放到3個盒子中，在下列條件下，各有多少種投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空解：將小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3個不同的盒子中，即先分堆，后分配。有小球不同，盒子不同，盒子可空 解：種小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要將5個不同小球分成3份，分法為：1，1，3；1，2，2。共有=25種小球不同，盒子相同，盒子可空本題即是將5個不同小球分成1份，2份，3份的問題。共有種小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 00 00 ，有種方法小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把5個小球及插入的2個隔板都設(shè)為小球（7個球）。7個球中任選兩個變?yōu)楦舭澹梢韵噜彛Ｄ敲?塊隔板分成3份的小球數(shù)對應(yīng)于 相應(yīng)的3個不同盒子。故有=21解：分步插板法。小球相同，盒子相同，盒子不空解：5個相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。 共 2種小球相同，盒子相同，盒子可空解：只要將將5個相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，1； 2，2，1。例、有4個不同的小球，放入4個不同的盒子內(nèi)，球全部放入盒子內(nèi)（1）共有幾種放法？（答：）（2）恰有1個空盒，有幾種放法？（答：）（3）恰有1個盒子內(nèi)有2個球，有幾種放法？（答：）（4）恰有2個盒子不放球，有幾種放法？（答：）11分組問題與分配問題分組問題：均勻分組，除法處理；非均勻分組，組合處理例。有9個不同的文具盒：（1）將其平均分成三組；（2）將其分成三組，每組個數(shù)2，3，4。上述問題各有多少種不同的分法？分析：（1）此題屬于分組問題：先取3個為第一組，有 種分法，再取3個不第二組，有種分法，剩下3個為第三組，有 種分法，由于三組之間沒有順序，故有種分法。（2）同（1），共有種分法，因三組個數(shù)各不相同，故不必再除以。練習(xí)：12個學(xué)生平均分成3組，參加制作航空模型活動，3個教師各參加一組進(jìn)行指導(dǎo)，問有多少種分組方法？分配問題： 定額分配，組合處理； 隨機(jī)分配，先組后排。例。有9本不同的書：（1）分給甲2本，乙3本，丙4本；（2）分給三個人，分別得2本，3本，4本。上述問題各有多少種不同的分法？（1）此題是定額分配問題，先讓甲選，有種；再讓乙選，有種；剩下的給丙，有種，共有種不同的分法（2）此題是隨機(jī)分配問題：先將9本書分成2本，3本，4本共有三堆，再將三堆分給三個人，共有種不同的分法?！驹u述】本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先選元素（即組合）后排列 概率、隨機(jī)事件的概率例1 某商業(yè)銀行為儲戶提供的密碼有0，1，2，9中的6個數(shù)字組成.(1)某人隨意按下6個數(shù)字，按對自己的儲蓄卡的密碼的概率是多少？(2)某人忘記了自己儲蓄卡的第6位數(shù)字，隨意按下一個數(shù)字進(jìn)行試驗(yàn)，按對自己的密碼的概率是多少？解 （1）儲蓄卡上的數(shù)字是可以重復(fù)的，每一個6位密碼上的每一個數(shù)字都有0，1，2，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為，隨意按下6個數(shù)字相當(dāng)于隨意按下個，隨意按下6個數(shù)字相當(dāng)于隨意按下個密碼之一，其概率是.(2)以該人記憶自己的儲蓄卡上的密碼在前5個正確的前提下，隨意按下一個數(shù)字，等可能性的結(jié)果為0，1，2，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為.例2 一個口袋內(nèi)有m個白球和n個黑球，從中任取3個球，這3個球恰好是2白1黑的概率是多少？（用組合數(shù)表示）解 設(shè)事件I是“從m個白球和n個黑球中任選3個球”，要對應(yīng)集合I1，事件A是“從m個白球中任選2個球，從n個黑球中任選一個球”，本題是等可能性事件問題，且Card(I1)= ，于是P(A)=.、互斥事件有一個發(fā)生的概率例3在20件產(chǎn)品中有15件正品，5件次品，從中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）從20件產(chǎn)品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法為。恰有一件次品的概率P=.(2)法一 從20件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有1件次品為事件A1,恰有2件次品為事件A2，3件全是次品為事件A3,則它們的概率P(A1)= =,而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .法二 記從20件產(chǎn)品中任取3件，3件全是正品為事件A，那么任取3件，至少有1件次品為，根據(jù)對立事件的概率加法公式P()=例4 1副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊4種花色，每種13張，共52張，從1副洗好的牌中任取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率.解 從52張牌中任取4張，有種取法.“4張中至少有3張黑桃”，可分為“恰有3張黑桃”和“4張全是黑桃”，共有種取法注 研究至少情況時，分類要清楚。、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率來源:學(xué)+科+網(wǎng)例5 獵人在距離100米處射擊一野兔，其命中率為0.5，如果第一次射擊未中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但距離150米. 如果第二次射擊又未中，則獵人進(jìn)行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為200米. 已知獵人的命中概率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率.解 記三次射擊依次為事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。,命中野兔的概率為例6 要制造一種機(jī)器零件，甲機(jī)床廢品率為0.05，而乙機(jī)床廢品率為0.1，而它們的生產(chǎn)是獨(dú)立的，從它們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件廢品的概率； （2）其中至多有一件廢品的概率. 解： 設(shè)事件A為“從甲機(jī)床抽得的一件是廢品”；B為“從乙機(jī)床抽得的一件是廢品”.則P（A）=0.05, P(B)=0.1,（1）至少有一件廢品的概率（2）至多有一件廢品的概率、概率內(nèi)容的新概念較多，本課時就學(xué)生易犯錯誤作如下歸納總結(jié)：類型一 “非等可能”與“等可能”混同例1 擲兩枚骰子，求所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率錯解 擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和2，3，4，12共11種基本事件，所以概率為P=剖析 以上11種基本事件不是等可能的，如點(diǎn)數(shù)和2只有(1，1)，而點(diǎn)數(shù)之和為6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種事實(shí)上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率為P=類型二 “互斥”與“對立”混同例2 把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是（ ） A對立事件 B不可能事件 C互斥但不對立事件 D以上均不對錯解 A剖析 本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同，二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在 ： (1)兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；(2)互斥概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生 事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發(fā)生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發(fā)生，一個不發(fā)生，可能兩個都不發(fā)生，所以應(yīng)選C類型三 “互斥”與“獨(dú)立”混同例3 甲投籃命中率為O8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少?錯解 設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： 剖析 本題錯誤的原因是把相互獨(dú)立同時發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和互斥事件是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩事件相互獨(dú)立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生與否沒有影響，它們雖然都描繪了兩個事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系是根本不同解： 設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨(dú)立，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，于是P(AB)=P(A)P(B)= 0.169幾何概型1、【2012高考真題遼寧理10】在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，領(lǐng)邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】設(shè)線段AC的長為cm，則線段CB的長為()cm,那么矩形的面積為cm2，由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為，故選C2、【2012高考真題湖北理8】如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是A BC D【答案】A第8題圖【解析】令，扇形OAB為對稱圖形，ACBD圍成面積為，圍成OC為，作對稱軸OD，則過C點(diǎn)。即為以O(shè)A為直徑的半圓面積減去三角形OAC的面積，。在扇形OAD中為扇形面積減去三角形OAC面積和，扇形OAB面積，選A.3、【2012高考真題北京理2】設(shè)不等式組，表示平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】題目中表示的區(qū)域如圖正方形所示，而動點(diǎn)D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此，故選D。 練習(xí)：一、從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測驗(yàn).每位女同學(xué)能通過測驗(yàn)的概率均為，每位男同學(xué)能通過測驗(yàn)的概率均為.試求：（）選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率；（）10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時被選中且通過測驗(yàn)的概率. (2004年全國卷)解：本小題主要考查組合，概率等基本概念，獨(dú)立事件和互斥事件的概率以及運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，滿分12分.解：（）隨機(jī)選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率為 1；6分（）甲、乙被選中且能通過測驗(yàn)的概率為 ；12分二、 已知8支球隊中有3支弱隊,以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組,每組4支.求：（）A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；（）A組中至少有兩支弱隊的概率. (2004年全國卷)解：（）解法一：三支弱隊在同一組的概率為 故有一組恰有兩支弱隊的概率為解法二：有一組恰有兩支弱隊的概率（）解法一：A組中至少有兩支弱隊的概率 解法二：A、B兩組有一組至少有兩支弱隊的概率為1，由于對A組和B組來說，至少有兩支弱隊的概率是相同的，所以A組中至少有兩支弱隊的概率為三、為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用，單獨(dú)采用甲