正弦定理---說課稿.doc

正弦定理說課稿 各位老師大家好！今天我說課的題目是正弦定理，選自北師大版必修五第二章解三角形第一節(jié)。下面主要從以下幾個方面對本課進行說明。教材分析 1、教材地位解三角形這一章內容，是初中解直角三角形內容的拓展與延續(xù)，也是高一三角函數(shù)與平面向量在解三角形中的應用。初中階段著重定性的討論三角形中線段與角的位置關系，本章主要是定量地揭示三角形邊、角之間的數(shù)量關系。本章內容在高考中主要與三角函數(shù)、平面向量等知識聯(lián)系起來以及在立體幾何問題求解中的應用。正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同時它的推導過程也為余弦定理的推導設下伏筆，因此它具有承上啟下的重要地位，并且它還是解決實際生活中與三角形有關的問題的有力工具。據(jù)此，我們制定以下教學目標2、教學目標(1)知識與技能正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及基本應用(2)過程與方法通過對直角三角形邊角數(shù)量關系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，體驗用特殊到一般的思想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的過程。(3)情感態(tài)度與價值觀在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)、總結、解決問題的過程中，用心體驗數(shù)學的思想方法，培養(yǎng)多思考的習慣，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。3、教學重點、難點(1)重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及基本應用（正弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律，是解三角形的重要工具，也是三角函數(shù)與平面向量知識在三角形中的應用. 因此，本節(jié)課重點內容是正弦定理證明與基本應用. ）(2)難點：證明方法推導的多樣性. （在證明過程中通過教師的引導，學生的研討，對知識多角度地挖掘來證明定理. 因此，本節(jié)課難點的內容是證法的多樣性.） 教學過程1、設疑引入，創(chuàng)設情景興趣是最好的老師,如果一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著成功了一半，因此通過問題引入，巧設疑問來激發(fā)學生的思維，激活學生的求知欲。首先提出問題：為了求得不可直接到達的兩點A、B之間的距離，通常另選一點C，測得a，b和角（圖1）。如果，那是一個簡單的解直角三角形的問題；但若，那就是斜三角形的問題了，如何求得AB的距離呢？這樣，由實際的問題步步深入，提出問題，引導學生知道僅利用直角三角形來解決實際問題還存在局限性，提出求解斜三角形的必要性，激發(fā)學生探索新知識的興趣。 （圖1）接著，教師給學生指明一個探究的方向，在直角三角形這樣的特殊情況下，有 ， ， ，即 ，故 ，在此提出問題1，對任意的三角形，是否都存在呢？引導學生自己探索證明方法。這樣由特殊情況到一般問題的提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認識過程。（在證明方法的探索過程中，說明以下問題，以幫助學生獲得證明思路：1強調將猜想轉化為定理，需要嚴格的理論證明。2鼓勵學生通過作高轉化為熟悉的直角三角形進行證明，即引導方法一。3提示學生思考哪些知識能把長度和三角函數(shù)聯(lián)系起來，繼而思考用向量分析，用數(shù)量積作為工具證明定理，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，即引導方法二。 4思考是否還有其他的方法來證明正弦定理，提示，做三角形的外接圓構造直角三角形，即引導方法三。）2、帶疑探究，嚴謹推理證明一（1）（等面積法）分別作三邊上的高，所以所以得，同理可證即證。（等面積法較為簡單、學生容易理解并獨立完成，將一般三角形問題轉化為熟悉的直角三角形問題，此法體現(xiàn)了劃歸轉化的數(shù)學思想）證明二（平面向量法）：過A作單位向量垂直于ACVBVACVBV += 兩邊同乘以單位向量 (+)= 則：+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理：若過C作垂直于得： = =當ABC為鈍角三角形時，設 A90過A作單位向量垂直于向量，則與的夾角為，與的夾角為.同樣可得.(平面向量法較為復雜，但以向量作為工具來研究解決數(shù)學問題，也體現(xiàn)了向量的工具性，并且以銳角三角型為例說明，可以讓學生下去之后完成鈍角三角形的證明，再加深此法的理解和應用)以上兩種方法都說明定理的成立，提出問題2：定理的比值有什么特殊意義？引入方法三。證明三（外接圓法）：如圖，在ABC中，已知BCa，ACb，ABc，作ABC的外接圓，O為圓心，連接BO并延長交圓于B，設BB2R則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到：BAB90，CB同理可得,=（此法在將一般三角形問題轉化為直角三角形問題時，通過構建三角形的外接圓來進行證明，不但證明了定理并且說明了正弦定理比值的幾何意義即三角形的外接圓直徑）（總結：以上三種證法在本質上都是同一證法，只不過是從代數(shù)、幾何與平面向量的幾個角度構造直角三角形，通過尋找等量關系達到證明等式得目的，在證明過程中，我們以銳角三角型為例進行說明，在此應注意提醒學生考慮問題的全面性，即注意對鈍角三角形情況的證明，體會分類討論思想的應用） 通過以上三種證法，我們說明對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形來說，上面的關系式均成立，因此我們得到下面的定理正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，即=( 外接圓半徑)。（這一部分的設計，首先通過實例引導學生的思維盡快進入探究正弦定理這個主題，逐步完成“情境思考”“提出問題”“研究特例”“歸納猜想”“理論探究”“解決問題” 這一思維和解決問題的操作過程，進而形成解決問題的能力。同時，由實際問題出發(fā)又與第三部分正弦定理的應用相銜接。）以上是本節(jié)課的新課講解過程，下面通過四個例題，來深化和鞏固本節(jié)課所學內容。3、實例分析，深化理解教師分析，正弦定理實際上可以寫成三個等式，實際應用時根據(jù)題意選取，每一個等式中有兩邊與兩角，引導學生歸納出正弦定理可解決的兩類解三角形問題：（1）已知兩角與一邊（2）已知兩邊與其中一邊的對角即知三求一，另正弦定理適合于任何三角形。例1若則是（ ）A等邊三角形B有一內角是30 C等腰直角三角形D有一內角是30的等腰三角形（C這個問題較為簡單，是直接由正弦定理及已知條件對比發(fā)現(xiàn),故,）例2、在證明 。（利用正弦定理將等式左端邊轉化為角表示，再結合三角函數(shù)知識進行化簡即體現(xiàn)通過正弦定理實現(xiàn)邊角轉化的功能）例3、已知在以及的外接圓面積。解： （利用正弦定理解斜三角形的應用一：已知兩角及一邊，并且考察了正弦定理比值的幾何意義） 例4、在ABC中，已知，求B（精確到）和（保留兩個有效數(shù)字）。解：，當時，當時，（正弦定理解斜三角形的應用二：已知兩邊及一邊對角。在此例中出現(xiàn)了多解的情況在講完本例后，提出問題3：如何從理論角度說明在利用正弦定理解已知兩邊及一邊對角過程中解的情況？引導學生進行歸納總結，為下節(jié)課的講解做好鋪墊。）4、總結提高，明確要點1、理解三角形的面積公式，熟悉正弦定理用向量來證明的推導過程，教師可引導學生課后再去探究其它證明方法，為下一節(jié)課的余弦定理的推導埋下伏筆。2、在正弦定理中，若C=，則有，即為直角三角形中的邊角關系，與初中學過的知識相吻合。把知識又從一般過渡到特殊，由抽象到具體。2、正弦定理的兩個應用：（1）已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；（2）已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素,這時可引導學生加以敘述,培養(yǎng)學生的歸納總結能力。5、課堂練習、提高鞏固 （這三個練習題是針對以上例題設計的鞏固練習。練習1、2分別是針對例3、例4的強化練習。練習3是正弦定理及比值幾何意義的應用）6、深入思考，課后延申（1）課后證明鈍角三角形的情況。（為了鞏固向量方法的證明）（2）還有沒什么其它的證明方法。（例如坐標法）（3）根據(jù)正弦定理的特點設計三道題，要有一定的代表性。（為下一節(jié)課正弦定理應用做準備）評價分析 我認為我的這堂課的設計基本符合新課程改革的理念.在整堂課的設計中,我充分考慮了數(shù)學的學科特點和高中學生的心理特點,運用了多種教學方法和手段,引導學生